In der Bachelorarbeit wird das Schwingungsverhalten eines 14-stöckigen Gebäudes untersucht. Das Ziel ist es, mit der bestehenden Berechnungsmethode akzeptable Lösungen der Frequenz zu erhalten. Das Wohngebäude wird anhand von zwei Ebener-Rahmensysteme für zwei unterschiedliche Richtungen modelliert. Das Rahmensystem ist aus Rahmen mit unterschiedlichen Höhen aufgebaut. Mithilfe des Weggrößenverfahrens lässt sich die Ersatzsteifigkeit jeder Etage berechnen. Die Ersatzsteifigkeiten der Etagen bilden zusammen die Steifigkeit des Gesamttragwerks. Der Eigenfrequenz entspricht das Verhältnis von Steifigkeit zu Masse.
Mit dem Rayleigh-Verfahren können Eigenfrequenzen ohne übermäßigen Aufwand ermittelt werden, wobei eine sinnvolle Schwingungsform für ein diskretes System abgeschätzt wird. Des Weiteren wurden zwei alternativen Schwingungsform eingesetzt, um die Anwendbarkeit des Rayleigh-Verfahrens weiterhin zu überprüfen, eine anhand der 1. Eigenform und eine auf Grundlage der 2. Eigenform. Die ermittelten Lösungen wurden anschließend per Iteration verbessert und auf diese Weise konnten mögliche Näherungslösungen erarbeitet werden.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1. Einleitung
2. Grundlagen
2.1. Prinzip der virtuellen Arbeit
2.1.1. Verschiebungsarbeit
2.1.2. Prinzip der virtuellen Verschiebung
2.2. Weggrößenverfahren
2.2.1. Elementsteifigkeitsmatrix
2.2.2. Gesamtsteifigkeitsmatrix
2.3. Grundlage der Dynamik
2.3.1. Bewegungsgleichung
2.3.2. Eigenwertgleichung
2.3.1. Schwingungsform
2.3.2. Modalanalyse mit Rayleigh-Verfahren
3. Modellbildung
3.1. Festlegung der Koordinaten Ebenes Rahmensystem des Tragwerks
3.2. Berechnungsmodell für Gesamttragwerk
3.3. Berechnungsmodell für eine Etage
4. Ermittlung der Steifigkeit mit dem Weggrößenverfahren
4.1. Herleitung des Verfahrens
4.2. Steifigkeit des Erdgeschosses
4.2.1. Deckenverschiebung als Gruppenfreiheitsgrad
4.2.2. Knotenverdrehung als Gruppenfreiheitsgrad
4.2.3. Deckenneigung als Gruppenfreiheitsgrad
4.2.4. Ersatzsteifigkeit des Erdgeschosses
4.3. Steifigkeit des ersten Obergeschosses
4.3.1. Deckenverschiebung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.3.2. Knotenverdrehung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.3.3. Deckenneigung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.3.4. Ersatzsteifigkeit des ersten Obergeschosses
4.4. Steifigkeit des zweiten Obergeschosses
4.4.1. Deckenverschiebung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.4.2. Knotenverdrehung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.4.3. Deckenneigung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.4.4. Ersatzsteifigkeit des zweiten Obergeschosses
4.5. Steifigkeit des dritten Obergeschosses
4.5.1. Deckenverschiebung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.5.2. Knotenverdrehung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.5.3. Deckenneigung als Gruppen-Freiheitsgrade
4.5.4. Ersatzsteifigkeit des dritten Obergeschosses
5. Berücksichtigung der Schubsteifigkeit der Wände
5.1. Schubaussteifungswände
5.2. Schubsteifigkeit der Wände des steifen Kernes
6. Ermittlung der Steifigkeitsmatrix
6.1. Steifigkeit einer Etage
6.2. Gesamtsteifigkeitsmatrix
7. Ermittlung der Massenmatrix
8. Modalanalyse mit Hilfe des Rayleigh-Verfahrens
8.1. Berechnung der Eigenfrequenz
8.2. Vergleich des Ergebnisses
9. Alternative Lösungsansätze
9.1. Erster alternativer Lösungsansatz
9.2. Zweiter alternativer Lösungsansatz
10. Analyse der Ergebnisse
11. Literaturverzeichnis
A1 Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite
A2 Berechnung des Flächenträgheitsmoments
A2.1 Schwerpunkt des Querschnittes
A2.2 Flächenträgheitsmomente
Zusammenfassung
In der vorliegenden Bachelorarbeit wird das Schwingungsverhalten eines 14-stöckigen Gebäudes untersucht. Das Ziel ist es, mit der bestehenden Berechnungsmethode akzeptable Lösungen der Frequenz zu erhalten. Das Wohngebäude wird anhand zwei Ebenes-Rahmensystems für zwei unterschiedliche Richtungen modelliert. Das Rahmensystem ist aus Rahmen mit unterschiedlichen Höhen aufgebaut. Mit Hilfe des Weggrößenverfahrens lässt sich die Ersatzsteifigkeit jeder Etage berechnen. Die Ersatzsteifigkeiten der Etagen bilden zusammen die Steifigkeit des Gesamttragwerks. Der Eigenfrequenz entspricht das Verhältnis von Steifigkeit zu Masse. Mit dem Rayleigh-Verfahren können Eigenfrequenzen ohne übermäßigen Aufwand ermittelt werden, wobei eine sinnvolle Schwingungsform für ein diskretes System abgeschätzt wird. Die Ergebnisse der Eigenfrequenz des gebildeten Modells weichen 17 Prozent in x-Richtung und 9,8 Prozent in y-Richtung von den gemessenen Ergebnissen ab; die Differenz liegt unter 20 Prozent und somit sind die Ergebnisse akzeptabel. Des Weiteren wurden zwei alternativen Schwingungsform eingesetzt, um die Anwendbarkeit des Rayleigh-Verfahren weiterhin zu überprüfen, eine anhand der 1. Eigenform und eine auf Grundlage der 2. Eigenform. Die ermittelten Lösungen wurden anschließend per Iteration verbessert und auf diese Weise konnten mögliche Näherungslösungen erarbeitet werden. Bei der ersten alternativen Lösung beträgt die Abweichung 15,8 Prozent in x-Richtung und 8,8 Prozent in y-Richtung. Bei der zweiten alternativen Lösung wird eine fast genaue Lösung der Eigenfrequenz in x-Richtung geliefert, mit nur 0,53 Prozent Abweichung zu den gemessenen Ergebnissen; in y-Richtung beträgt sie 11,6 Prozent.
Abstract
This bachelor’s thesis investigates the vibration behavior of a 14-story building. The aim of the thesis is to obtain acceptable solutions of frequency with the existing calculation method. The residential building is modeled in two plane frame systems for two different directions. The frame systems are constructed from frames of different heights. The equivalent stiffness of each floor can be calculated using the displacement sizing method. The equivalent stiffnesses of the respective floors combines to form the stiffness of the overall structure. The natural frequency corresponds to the ratio of stiffness to mass. The Rayleigh method can be used to determine natural frequencies without significant effort, estimating a reasonable mode of vibration for a discrete system. The results deviate by 17% in x-direction and 9.8% in y-direction from the measured results. The measured results are less than 20%, and thus the results are accepted. Furthermore, two alternative mode shapes are used to further verify the applicability of the Rayleigh method, one using the first eigenmode and one using the second eigenmode. The obtained solutions are then improved with iteration to obtain more feasible approximate solutions. For the first alternative solution, the deviations are 15.8% in the x-direction and 8.8% in the y-direction. For the second alternative solution, a nearly exact solution of the natural frequency in x-direction is provided, with only 0.53% to the measured results; in y-direction 11.6%.
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1.1: Das zu untersuchende Wohngebäude
Abbildung 1.2: Ergebnisse der Finite-Element-Simulation
Abbildung 2.1: äußere Verschiebungsarbeiten
Abbildung 2.2: Schnittgrößen im Balken aufgrund von Fj
Abbildung 2.3: Grundelemente des Weggrößenverfahrens
Abbildung 2.4: Unterschied des Vorzeichens zwischen DVW und Elementsteifigkeitsmatrix
Abbildung 2.5: Einheitsdeformationen
Abbildung 2.6: zwei Federn in Reihenkopplung
Abbildung 3.1: Grundriss und Nummerierung des Gebäudes
Abbildung 3.2: Schubaussteifungswände sowie Maße der Stützen in verschiedenen Ebenen (links); Riegel des Rahmensystems (rechts)
Abbildung 3.3: Längsschnitt des Gebäudes in x- und in y-Richtung
Abbildung 3.4: Modell bezogen auf die Gesamthöhe des Tragwerks
Abbildung 3.5: Modell bezogen auf eine Etage in eine Richtung
Abbildung 4.1: Gruppenfreiheitsgrade u, φ und ψ
Abbildung 4.2: Rahmensystem des Erdgeschosses
Abbildung 4.3: einheitliche Deckenverschiebung u = 1
Abbildung 4.4: Darstellung der Vorzeichenkonventionen
Abbildung 4.5: Darstellungen für die Berechnung der SteifigkeitKuu
Abbildung 4.6: Darstellungen für die Berechnung der SteifigkeitKφu
Abbildung 4.7: Darstellungen für die Berechnung der SteifigkeitKψu
Abbildung 4.8: einheitliche Knotenverdrehung φ = 1
Abbildung 4.9: Darstellungen der Berechnung der Steifigkeit Kuφ
Abbildung 4.10: Darstellungen der Berechnung der Steifigkeit Kφφ
Abbildung 4.11: Darstellung der Berechnung der SteifigkeitKψφ
Abbildung 4.12: einheitliche Deckenneigungψ= 1
Abbildung 4.13: Darstellung für die Berechnung der Nebensteifigkeit Kuψ.
Abbildung 4.14: Darstellung für die Berechnung der Nebensteifigkeit Kφψ
Abbildung 4.15: Darstellung der Berechnung der Steifigkeit Kψψ
Abbildung 4.16: Rahmensystem des ersten Obergeschosses
Abbildung 4.17: Rahmensystem des zweiten Obergeschosses
Abbildung 4.18: Rahmensystem des dritten Obergeschosses
Abbildung 5.1: Schubverschiebung einer Wand
Abbildung 5.2: Die zu berechnenden Schubaussteifungswände und die Wände des steifen Kernes
Abbildung 5.3: Schubaussteifungswände
Abbildung 7.1:Fläche der Deckenplatte
Abbildung 8.1: Finite-Element-Simulation [18]
Abbildung 8.2: qualitativer Verlauf der 1. Eigen-frequenz.
Abbildung 8.3: Ergebnisse der gemessenen Frequenzen sowie nach FEM[19]
Abbildung 8.4: Darstellung der Hebelarme
Abbildung 9.1: Darstellung der ersten geschätzten alternativen Schwingungsform
Abbildung 9.2: Trägheitskräfte sowie Verschiebungen
Abbildung 9.3: qualitative Schwingungsform anhand der 2.Eigenform
Abbildung A1.1: Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite
Abbildung A1.2: Berechnung des Abstandes der Momentnullpunkte
Abbildung A2.1: Darstellung des Riegels
Tabellenverzeichnis
Tabelle 5-1: Abmessung der Wände des steifen Kernes
Tabelle 10-1:Ergebnisse der Eigenfrequenz und Abweichungen
Tabelle A2-1:Berechnung des Schwerpunktes der ersten Teilfläche
Tabelle A2-2:Berechnung des Schwerpunktes der zweiten Teilfläche
1. Einleitung
Eine typische Aufgabe der Bauingenieure besteht darin, das dynamische Tragverhalten eines existierenden Bauwerks zu untersuchen. Dabei ist die Kenntnis der Eigenfrequenzen und der zugehörigen Eigenformen eine unabdingbare Voraussetzung. Bei komplexen Konstruktionen mit einer unendlichen Anzahl der Freiheitsgrade ist ein Computerprogramm vorteilhaft, um baudynamische Probleme zu lösen. Das Verfahren von Lord Rayleigh bietet die Möglichkeit, die Modalanalyse eines Bauwerks mit Handrechnung und ohne Anwendung eines Computerprogrammes durchzuführen. Die Motivation dieser Arbeit besteht darin, dass das Schwingungsverhalten eines 14-stöckige Gebäudes mit Hilfe des Rayleigh-Verfahren für diskretes System ermittelt werden. Die potenziellen Ursachen der Abweichungen zwischen den Ergebnissen des Rayleigh-Verfahrens und der Schwingungsmessung sollen am Ende dieser Arbeit analysiert werden. Das zu untersuchende Bauwerk ist ein Wohnhaus in Bishkek- Kyrgyztan, und wird in der Abbildung 1.1 visualisiert.
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Abbildung 1.1: Das zu untersuchende Wohngebäude
Um eine gute Näherungslösung des dynamischen Verhaltens zu ermöglichen, ist es wesentlich, ein idealisiertes Modell zur Berechnung zu erstellen, das das Tragverhalten des zu untersuchenden Bauwerks realitätsnah abbildet. Der Abschnitt 3 dieser Arbeit stellt das Vorgehen bei der Modellbildung dar. Das in dieser Arbeit verwendete Modell ist ein ebenes Rahmensystem mit mehreren Stockwerken, wobei Letztere unterschiedlich hoch sind. Mit Hilfe des Weggrößenverfahrens lässt sich die Steifigkeit der jeweiligen Rahmen berechnen. Die Ersatzsteifigkeit einer Etage wird einzeln ermittelt; die Summe der Ersatzsteifigkeiten bildet die Gesamtsteifigkeit des Gebäudes. Dabei ist nicht zu vernachlässigen, dass die tragenden Wände ebenfalls zu der Schubsteifigkeit einer Etage beitragen. Dies wird in Abschnitt 5 anschaulich erläutert. Für die Berechnung der Eigenfrequenz soll die Masse ermittelt werden. Die Masse des gesamten Gebäudes wird in Massen der Etagen diskretisiert und am Ende wieder aufsummiert. Im Anschluss werden die Schwingungsformen abgeschätzt, um die Eigenfrequenz näherungsweise zu erhalten.
Die Genauigkeit der Lösungen ist bei dem verwendeten Verfahren stark von der Annahme der Schwingungsform abhängig. Nach der Idee von Univ. Prof. Dr.-Ing. Yuri Petryna wird eine einfache Schwingungsform für ein diskretes System abgeschätzt, um die Eigenfrequenz des gebildeten Modells zu berechnen. Die erste geschätzte Schwingungsform hat sich an dem Ergebnis der Finite-Element-Simulation eines realen Bauwerks orientiert, das in der Abbildung 1.1 dargestellt wird. Die Berechnung der Eigenfrequenz bezüglich der ersten geschätzten Schwingungsform befindet sich im Abschnitt 8 dieser Arbeit. Weiteres werden im Abschnitt 9 zwei alternative Lösungsansätze für die Schwing-ungsform angenommen und berechnet. Die Ergebnisse werden mit der Referenzlösung aus der Schwingungsmessung verglichen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1.2: Ergebnisse der Finite-Element-Simulation
2. Grundlagen
2.1. Prinzip der virtuellen Arbeit
Unter dem Begriff ‚virtuelle Arbeit‘ wird Arbeit verstanden, die im Falle einer realen Verschiebung durch virtuelle Kräfte oder im Falle einer virtuellen Verschiebung durch reale Kräfte gelenkt wird. Demzufolge ist zwischen dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen (PvK) und dem Prinzip der virtuellen Verschiebung (PvV) zu unterscheiden. Beide basieren auf der Verschiebungs- oder passiver Arbeit, bei der Last- und Verformungszustand nicht voneinander abhängig sind [1].
2.1.1. Verschiebungsarbeit
Die Verschiebungsarbeit ist ein Teil der Formänderungsarbeit. Formänderungsarbeit ist die Arbeit, die von Kraftgrößen (F, M) längs differentieller Wegelemente (du, dφ) verrichtet wird. Ein anderer Teil der Formänderungsarbeit ist Eigenarbeit oder aktive Arbeit. Zwischen diese beiden Komponenten ist zu unterscheiden anhand der Frage, von welcher Art der Verformung die Arbeit verrichtet wird. Eigenarbeit wird von selbst verursachten Verformungen verrichtet, Verschiebungsarbeit von fremd verursachten Verformungen.
Bei der Verschiebungsarbeit ist weiterhin zwischen innerer und äußerer Verschiebungsarbeit zu unterscheiden. Zur Berechnung der äußeren Verschiebungsarbeit W* wird ein im Gleichgewicht befindlicher Balken betrachtet. Auf diesem Balken werden zwei beliebige Einzellasten Fj und Fk platziert, deren Angriffspunkte gleichfalls beliebig sind [2].
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.1: äußere Verschiebungsarbeiten
Zuerst wird durch die Einzellast Fj der Balken belastet; es entsteht daraus eine Verformung δjj. Der erste Index der Verformung δjj steht für den Ort der Verformung, an dem Einzellast Fj auf den Balken wirkt; der zweite steht für die Ursache der Verformung, die Kraft Fj. Die Kraft Fj verrichtet entlang der Verformung δjj eine äußere Eigenarbeit.
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Anschließend wird die Einzellast Fk auf den Balken aufgebracht. Die Kraft Fk verursacht ebenfalls eine Verformung δkk. Allerdings entsteht aber noch zusätzlich eine Verformung δjk, die von der auf den durch Fj verformten Balken wirkenden Kraft Fk verursacht wird. Entlang der Verformung δjk verrichtet die Kraft Fj eine Arbeit, die sogenannte äußere Verschiebungsarbeit.
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Aufgrund der Kraft Fj entstehen dabei Schnittgrößen im Balken. Diese werden in Abbildung 2.2 dargestellt.
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Abbildung 2.2: Schnittgrößen im Balken aufgrund von Fj
Aufgrund von Fj verrichten diese Schnittgrößen entlang ihrer korrespondierenden Weggrößen eine Arbeit, die als innere Verschiebungsarbeit bezeichnet.
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Der Index k in der Gleichung (2.4) steht für die Verzerrungen, die durch die Kraft Fk verursacht werden.
2.1.2. Prinzip der virtuellen Verschiebung
Das Prinzip der virtuellen Verschiebung besagt, dass ein System sich im Gleichgewicht befindet, wenn bei einem beliebigen virtuellen, kinematisch verträglichen Verschiebungsvorgang die Summe der virtuellen Arbeiten gleich Null ist [3]. Es wird vor allem bei statisch bestimmten Systemen angewendet, um unbekannte Kraftgrößen zu ermitteln. Das allgemeine Vorgehen bei der Anwendung des Prinzips wird wie folgt angegeben [4]:
- Die gewünschte Kraftgröße wird als äußere Kraft eingeleitet, wodurch notwendig eine kinematische Kette entsteht.
- Mit Hilfe des Polplanes wird die virtuelle Verschiebungsfigur des Systems erstellt.
- Es wird eine beliebige infinitesimal kleine Verformung angenommen.
- Die Kraftgrößen entrichten entlang der virtuellen Verschiebungen virtuelle Arbeit.
- Die virtuelle Arbeit soll gleich Null sein, damit das System sich im Gleichgewicht befindet. Anhand dieser Gleichung lässt sich die gesuchte Kraftgröße ermitteln.
2.2. Weggrößenverfahren
Beim Weggrößenverfahren treten die Formänderungen als Unbekannte auf. Die kinematisch verträglichen Verformungszustände werden damit erzeugt und so miteinander kombiniert, dass die Gleichgewichtbedingungen erfüllt sind. Aus den Gleichgewichtbedingungen lassen sich die unbekannten Größen berechnen. Beim Weggrößenverfahren geht es um dehnstarre und schubsteife Stäbe (EA und GAQ ), die Unbekannten des Verfahrens sind Drehwinkel. Die Anzahl der Freiheitsgrade wird dadurch reduziert, somit die Anzahl der Unbekannten. Die Abbildung 2.3 stellt die Grundelemente des Weggrößenverfahren dar.
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Abbildung 2.3: Grundelemente des Weggrößenverfahrens
Im Folgenden wird die Vorgehensweise erläutert.
- Das kinematisch bestimmte System wird gebildet, wodurch die Fesselung hinzugefügt wird, namentlich in Form von Dreh- und Wegfesseln. Die Anzahl der Fesseln entspricht dem Grad der kinematischen Unbestimmtheitm.
- Der Lastverformungszustand wird ermittelt. Dieser wird als „0-Zustand“ bezeichnet und ist der Verformungszustand infolge äußerer Belastung.
- DiemEinheitsverformungszustände werden ermittelt. Die Verformungsfigur sowie die Biegemomente werden auf Grundlage der Einheitsdrehungen und -verschiebungen berechnet.
- Aus den Fesseln resultieren die Zwangsgrößen, die Verschiebungen und Verdrehungen verhindern. Die Zwangsgröße an einem Knoten lässt sich mit dem Schnittprinzip und der Gleichgewichtbedingung an diesem Knoten berechnen. Die Berechnung basiert auf dem PvV.
- Im wirklichen System existieren keine Fesseln. Die Fesseln repräsentieren die wirklichen Verschiebungen und Verdrehungen. Um das Gleichgewicht zu erhalten, müssen die Zwangskräfte verschwinden. Dabei entsteht eine Steifigkeitsbeziehung.
- Die Ermittlung der Verformungsgrößen erfolgt durch das Auflösen der Steifigkeitsbeziehung. Die Steifigkeitsmatrix ist quadratisch, symmetrisch und positiv definit. Deshalb lässt sie sich invertieren.
- Die Zustandslinien werden durch eine Superposition ermittelt.
2.2.1. Elementsteifigkeitsmatrix
Im Folgenden wird die Steifigkeitsmatrix eines Biegestabs dargestellt. Die Herleitung ist der Literatur [5] entnommen.
Die Elementsteifigkeitsmatrix bezieht sich auf einen ebenen einwirkungsfreien Biegestab, welcher in Abbildung 2.3 dargestellt worden ist. Die positiven Wirkungsrichtungen aller Stabendvariablen stimmen mit den positiven lokalen Koordinaten überein. Es handelt sich um die Vorzeichenkonvention II (VK II). „Die Element-Steifigkeitsbeziehung beschreibt die elastischen Steifigkeiten eines Stabelements, welchem Stabendkinematen eingeprägt sind, in den korrespondieren Stabendkraftgrößen. Die Elementsteifigkeitsbeziehung enthält die durch Einheitsdeformationen geweckten Kraftgrößenwiderstände, sie ist quadratisch und symmetrisch“ [6]. Die Stabendmomente mit der Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix sind sowie beim DWV betragsmäßig gleich. Dabei ist zu beachten, dass die Vorzeichen beim DWV sich aus der Bezugsfaser ergeben, während sie in der Elementsteifigkeitsmatrix arbeitskonform sind. Dieser Unterschied wird in der Abbildung 2.4 anschaulich gemacht.
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Abbildung 2.4: Unterschied des Vorzeichens zwischen DVW und Elementsteifigkeitsmatrix
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Abbildung 2.5: Einheitsdeformationen
2.2.1. Gesamtsteifigkeitsmatrix
Das Berechnungsmodell bezogen auf das Gesamttragwerk besteht aus mehreren Etagen. Zur Berechnung der Eigenfrequenz des Gebäudes ist das Aufstellen einer Gesamtsteifigkeitsmatrix erforderlich. Die Etagen sind miteinander gekoppelt, deshalb können sie als eine Reihenschaltung von Federn betrachtet werden. Die Ersatzsteifigkeit einer Etage ist die Steifigkeit einer Feder.
Die Berechnung erfolgt beispielweise mit einem System aus zwei gekoppelten Federn (siehe Abbildung 2.6). Die drei Knoten werden nacheinander ausgelenkt und die Gleichung des dazugehörigen Kräftegleichgewicht wird formuliert.
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Abbildung 2.6: zwei Federn in Reihenkopplung
Auslenkung Knoten 1
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Auslenkung Knoten 2
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Auslenkung Knoten 3
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Die drei Gleichungen werden anschließend in die matrizielle Form überführt:
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Zusätzliche soll noch eine Randbedingung formuliert werden, damit das System statisch bestimmt ist. Dafür wird gewählt, somit ergibt sich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Berechnung der Gesamtsteifigkeit des in dieser Arbeit zu untersuchenden Gebäudes erfolgt gleichartig. Für ein Modell mit n Etagen ergibt sich eine Bandstruktur:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.3. Grundlage der Dynamik
2.3.1. Bewegungsgleichung
Bei allen baudynamischen Analysen ist die Formulierung der Bewegungsgleichungen eine wesentliche Grundlage. Die Bewegungs-Differentialgleichung (DGL) wird mit Hilfe verschiedener Verfahren formuliert, die sind: dynamisches Gleichgewicht (nach d’Alambert), Arbeitsbilanz (PvV) und Energiebilanz (Prinzip von Hamilton). Diese Verfahren basieren auf unterschiedlichen Prinzipen, die aber zu einer identischen Bewegungs-DGL führen. Die Bewegungs-DGL der Einmassenschwinger wird im Folgenden angegeben. Die Herleitung der Verfahren ist in [7] zu finden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bei einem komplizierten Bauwerk kann die Formulierung der Bewegungs-DGL für Mehrmassenschwinger eine bessere und genauere Lösung liefern. Der Übergang von Einmassen- zu Mehrmassenschwingern impliziert namentlich, dass die Massen, die Dämpfung und die Steifigkeit nicht mehr als skalare Größe, sondern als Matrizen darstellbar sind. Die Verschiebung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung sind als Vektoren aufzufassen. Die Vektoren und Matrizen werden in den folgenden Gleichungen mit einem fettgedruckten Großbuchstaben geschrieben. Es kommt zur Erhöhung von Freiheitsgraden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.3.2. Eigenwertgleichung
Die Differentialgleichung für freie ungedämpfte Schwingung ist wie folgt anzugeben:
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Für die Differentialgleichung wird ein Lösungsansatz angenommen:
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steht für räumliche Schwingungsform, steht für zeitliche Verschiebung.
Die Gleichung (2.14) lässt sich in die Formulierung des verallgemeinerten Eigenwertproblems überführen [8]. Diese wird wie folgt angegeben:
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Die Bedingung für eine nichttriviale Lösung ist:
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WennMundKreell, symmetrisch und positiv definit sind, ergeben sichnreelle positive Eigenfrequenzen, wobeindie Anzahl der Freiheitsgrade und Eigenvektor ψi ist. Das Verfahren zum Lösen der Gleichung (2.17) ist in [9] zu finden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Für jedes Paarωi, wird die Gleichung des Eigenwertproblems erfüllt. Dementsprechend werden sich für ein System mitnFreiheitsgradennEigenfrequenzen undnEigenvektoren ergeben.
2.3.1. Schwingungsform
Die Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft der Schwingungsform, mit der die Berechnung der modalen Steifigkeit und der modalen Masse möglich ist.
Zum Erläutern gibt es die Eigenschwingungen in der j-ten Eigenform und in der k-ten Eigenform. Die MassenmatrixMund die SteifigkeitKsind symmetrisch. Die Eigenform-Orthogonalitäten werden so beschrieben, wobei die erste Eigenform-Orthogonalität bezogen auf die Masse und die zweite auf die Steifigkeit ist [10]. Diese werden in Folge angegeben:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Für j = k lassen sich die Eigenfrequenzen der j-ten Eigenform berechnen:
Mit der Gleichung kann die Eigenkreisfrequenz eines diskreten Systems mit Hilfe des Rayleigh-Verfahrens einfach berechnet werden. Das Rayleigh-Verfahren wird im nächsten Abschnitt erklären.
Der Informationsgehalt einer Schwingungsform gibt die absolute Amplitude der Verschiebung nicht an, sondern das Verhältnis der Verschiebungen an unterschiedlichen Orten. Deshalb können die Schwingungsformen beliebig normiert werden.
2.3.2. Modalanalyse mit Rayleigh-Verfahren
Mit Hilfe des Rayleigh-Verfahrens kann die Modalanalyse per Handrechnung durchgeführt werden – ohne Gebrauch eines Computerprogramms. Grundidee des Verfahrens ist die Energieerhaltung bei freier ungedämpfter Schwingung [11]. Die Bilanzierung der maximalen potenziellen und maximalen kinetischen Energie ergibt sich aus der Eigenkreisfrequenz der Schwingung.
Bei einem kontinuierlichen System lässt sich das Rayleigh-Verfahren besonders vorteilhaft zur Berechnung der Eigenfrequenz anwenden. Im Hinblick auf die Vorgehensweise werden folgende Gleichungen angegeben [12]:
1. Annahme der Schwingungsantwort sowie Näherung der Schwingungsform:
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2. Die maximale potenzielle Energie:
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3. Die maximale kinetische Energie:
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4. Bilanzierung der Energie:
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Die Schwingungsformfunktion ist so zu wählen, dass sie einerseits die kinematische Randbedingungen erfüllt und andererseits der tatsächlichen Schwingungsform sich möglichst annähert. Die berechnete Frequenz ist ein Näherungswert, weshalb dabei immer eine Abweichung entsteht. Jede Abweichung fordert eine Versteifung des Systems oder noch weitere statische/kinetische Randbedingungen.
Das oben beschriebene Verfahren ist die allgemeine Vorgehensweise des Rayleigh-Verfahrens. Für komplizierte Gebäude lässt sich das Modell des Tragwerks diskretisieren, damit keine Berechnung der Integration und der Zweifach-Ableitung notwendig ist. Mit der Orthogonalität der Eigenform kann die Eigenkreisfrequenz der i-ten Eigenform des diskreten Systems wie folgt berechnet werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Abweichung der berechneten Frequenz lässt sich mit der iterativen Verbesserung des Rayleigh-Verfahrens optimieren. Im Folgenden wird die allgemeine Vorgehensweise für ein kontinuierliches System beschrieben [13].
Verfahren R00: Beim klassischen Rayleigh-Verfahren handelt sich um die Näherung „0“ der Schwingungsform. Der Index (0) steht für die erste Näherung der Schwingungsform. Die Frequenz wird durch die Gleichung (2.31) wiedergegeben und wieder mit dem Index dargestellt. Die Gleichung (2.30) stellt ebenfalls die Schwingungsgleichung dar.
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Verfahren R01: Bei diesem Verfahren werden die Trägheitsbelastungen, die aufgrund der angenommenen Schwingungsform entstehen, als äußere Belastung eingeführt. Dadurch entsteht eine neue Verschiebungsfigur (1). Der Index (1) steht für die nächste Iteration. Die Trägheitsbelastung verrichtet entlang der Verschiebung (1) eine Formänderungsarbeit, aus der die genährte potenzielle Energie zu verstehen ist. Die neu berechnete potenzielle Energie wird mit der maximalen kinetischen Energie, die in Gleichung (2.25) wiedergegeben wurde, bilanziert. Daraus ergibt sich der nächste Näherungswert der Frequenz. Das Vorgehen des Verfahren R01 wird durch die Gleichung bis erläutert.
Ermittlung der Trägheitskräfte:
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Die Verschiebung infolge der Trägheitskräfte:
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Die Formänderungsarbeit, die von längs verrichtet wird:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Alle skalaren Größen lassen sich aus der Integration herauslösen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aus der Bilanzierung mit der kinetischen Energie (0) ergibt sich die Eigenkreisfrequenz.
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Verfahren R11: Bei diesem Verfahren wird die kinetische Energie von Verschiebung (1) annäherungsweise ermittelt. Die erneut berechnete kinematische Energie (1) wird mit der potenziellen Energie (1) bilanziert; dafür stehen die Indizes 1 und 1.
Die maximale kinetische Energie:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aus der Bilanzierung mit der potenziellen Energie (1) ergibt sich die Eigenkreisfrequenz
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Berechnung kann mit der gleichen Vorgehensweise weiter iterativ verbessert werden. In der Regel liegt bei der Stufe R11 schon ein ausreichend genauer Wert vor.
3. Modellbildung
Die Modellbildung besteht in einer Idealisierung des Bauwerks, zu dem Zweck, das Tragverhalten des Bauwerks einfacher bewerten zu können. Die Ergebnisse einer Finite-Elemente-Simulation, die in der Kapitel 1 dargestellt wurden, zeigen die Verformung eines realen Gebäudes bei horizontaler Belastung. Aufgrund horizontaler Last wurden charakteristische Weggrößen ausgewiesen. Diese sind: horizontale Deckenverschiebungu, die Stützenverdrehungφund die Deckenneigungψ.Die folgenden Berechnungsmodelle sollen diese Freiheitgrade beinhalten; mit Hilfe des Weggrößenverfahrens wird die Steifigkeit des Tragwerks ermittelt.
3.1. Festlegung der Koordinaten
Für die weiteren Berechnungen in dieser Arbeit wird zunächst ein Koordinatensystem festgelegt, das in der Abbildung 3.1 dargestellt wird.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.1: Grundriss und Nummerierung des Gebäudes
Dieses Koordinatensystem dient dazu, zwecks Ermittlung der Steifigkeit eine klare Unterscheidung zwischen die zu betrachtenden Richtungen zu erhalten. Der Grundriss ist quadratisch, die Wandhöhen sind in x- und y-Richtung unterschiedlich. Aus der Abbildung 3.1 ist abzulesen, dass die Achsen mit den Buchstaben А, Б, В und Г die x-Richtung aufweisen, die Achsen mit Nummern 11, 12, 13 und 14 hingegen die y-Richtung. Die Abbildung 3.3 stellt die Längsschnitte entlang der jeweiligen Richtung dar. Ferner lässt sich in dieser Abbildung erkennen, dass die Höhe der Unterzüge zuzüglich der Deckenplatte in x-Richtung 500 mm beträgt; in y-Richtung beträgt sie 550 mm. Aus dieser Differenz bei der Wandhöhe ergeben sich in die folgenden Berechnungen, die mit diesem Koordinatensystem durchgeführt werden, unterschiedliche Steifigkeiten in Bezug auf die jeweilige Richtung.
3.2. Ebenes Rahmensystem des Tragwerks
Die Aufgabestellung besteht darin, ein 14-stöckiges Gebäude zu analysieren, das in der Abbildung 3.3 mit seiner Geometrie schematisch dargestellt ist. Der Grundriss des Gebäudes ist quadratisch mit einem Querschnitt von 19,2 m x 19,2 m (Abbildung 3.1). Für jede Etage wird ein Dreirahmensystem vorgesehen, wobei die Breite zwischen den Stützen 6,4 m beträgt. Die Höhe der Stützen ist von Etage zu Etage unterschiedlich. Im Erdgeschoss (EG) beträgt die Stützenhöhe 3,42 m, beim ersten Obergeschoss (1.OG) 3,6 m und vom 2. OG bis zum 14. OG gleichmäßig 3,3 m. Die Stützen weisen einen quadratischen Querschnitt auf, wobei aber auch hier Unterschiede bei den Etagen bestehen: Von Ebene -0.080 (EG) bis 6.820 (2. OG) haben die Stützen einen Querschnitt von 0,6 x 0,6 m. Von Ebene 10.120 (3. OG) bis 46.260 (14. OG) haben sie einen Querschnitt von 0,5 x 0,5 m. Der Riegel weist eine T-Form auf (siehe Abbildung 3.2). Die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite für den Riegel und zusätzlich des Flächenträgheitsmoments ist dem Anhang (A1 und A2) zu entnehmen. Die Höhe des Riegels ist richtungsweise anders; in x-Richtung beträgt die Höhe des Riegels 500 mm, in y-Richtung 550 mm. Es wird angenommen, dass es sich um ein homogenes Modell handelt, deshalb ist für alle Tragglieder der Materialkennwert identisch. Das Elastizitätsmodul wird für die Berechnung aller Bauteile mit einem Wert von 30000 MN/m[2] eingesetzt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.2: Schubaussteifungswände sowie Maße der Stützen in verschiedenen Ebenen (links); Riegel des Rahmensystems (rechts)
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Abbildung 3.3: Längsschnitt des Gebäudes in x- und in y-Richtung
3.3. Berechnungsmodell für Gesamttragwerk
Bei einem ebenen Rahmensystem sind die Stützen unter einer horizontalen Einwirkung relevante Tragglieder. In der Abbildung wird ein Rahmensystem mit mehreren Stockwerkenndargestellt, das in ein vereinfachtes Stabmodell überführt wird. Der Aufbau erfolgt etagenweise. Es ist ein Ersatzstab pro Etage mit zwei Freiheitsgraden jeweils in x- und in y-Richtung vorgesehen. Dabei istkndie Variable für die Ersatzsteifigkeit der jeweiligen Etagen undmndie Variable für die Masse einer Etage, die in folgender Berechnung realitätsnah zu ermitteln ist. Auf der Höhe der Riegel des Rahmensystems greifen die horizontalen LastenFnan, die sich dem Modell aufbringen lassen. Ferner ist es notwendig, ein weiteres Berechnungsmodell für die Etagen zu entwickeln, damit die Ersatzsteifigkeitkneiner Etage bestimmt werden kann.
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Abbildung 3.4: Modell bezogen auf die Gesamthöhe des Tragwerks
3.4. Berechnungsmodell für eine Etage
In diesem Abschnitt wird ein Modell entwickelt, um die Ersatzsteifigkeit einer Etage zu erfassen.
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Abbildung 3.5: Modell bezogen auf eine Etage in eine Richtung
In der Abbildung 3.5 wird dargestellt, wie ein Tragwerk in Stabelemente diskretisiert wird. Letztere sind gerade, schubstarr, an ihren Knotenpunkten miteinander verknüpft und in Lagern fest eingespannt. Das Modell ist für beide zu betrachtenden Richtung anwendbar. Für jede Etage sind sowohl in x- als auch in y-Richtung jeweils vier Stützen und zwei Riegel vorgesehen, deren Abmessungen aus dem vorherigen Abschnitt (siehe Abschnitt 3.1) übernommen wurden. Die VariablelRbeschreibt die Länge der Riegel und die VariablelSdie der – etagenweise unterschiedlichen – Stützen. Die Bezugsfaser, die im lokalen Koordinatensystem dargestellt ist, liegt rechts von den Stützen und auf der Unterseite der Riegel. Die Knoten sind von (1) bis (8) nummeriert. An den Knoten, wo Riegel und Stütze sich zusammenschließen, sind Dreh- und Wegfesseln angebracht. Die Fesseln dienen dazu, das Einprägen der identifizierten Freiheitsgrade zu realisieren; das System ist damit kinematisch bestimmt.
4. Ermittlung der Steifigkeit mit dem Weggrößenverfahren
4.1. Herleitung des Verfahrens
Das Weggrößenverfahren ist die Grundlage für die Berechnung der Steifigkeit des Gebäudes. Die einzeln definierten kinematisch zulässigen Verformungszustände werden hier als Gruppe verwendet und als Gruppenvariablen bezeichnet. Es wird hierbei eine einheitliche Deckenverschiebungu, eine einheitliche Knotenverdrehungφund eine einheitliche Deckenneigungψeingeprägt (siehe Abbildung 4.1). Die Kraftwiderstände werden im System durch die aufgebrachten Einheitsdeformationen hervorgerufen, die mit der Steifigkeitsbeziehung eines Stabelements bestimmt werden können. Zu berechnen sind die Zwangskraftgrößen, die die Steifigkeit bezogen auf die definierten Gruppenvariablen bilden. Zu diesem Zweck wird im Zustandu= 1 je eine virtuelle Weggrößeuv,φv, ψveingeprägt. Die aus dem Zustand hervorgerufenen Kraftwiderstände leisten entlang der virtuellen Weggröße eine virtuelle Arbeit, die bilanziert wird. Die Steifigkeitsbeziehung für die Gruppenweggrößen wird im Folgenden dargestellt.
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Abbildung 4.1: Gruppenfreiheitsgrade u, φ und ψ
Nach der Auflösung der Gleichung (4.1) ergeben sich die Gruppenkraftgrößen. Dabei istFuals die Gesamtkraft, die in Richtunguwirkt, undMφals das Gesamtmoment bei den KnotenφundMψbzw. als Gesamtmoment bei der Deckenneigung zu verstehen. Die Gruppenfreiheitsgrade und die Gleichung (4.1) in aufgelöster Form lassen sich wie folgt angeben:
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Aus der beschriebenen Steifigkeitsbeziehung für Gruppenweggrößen lassen sich die Ersatzsteifigkeiten der Etagen des Gebäudes bestimmen, die anschließend die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Gebäudes konstituieren werden. Letztere ist für die Berechnung der Eigenfrequenzen des Gebäudes von Bedeutung. Im Abschnitt 3.1 wurde festgestellt, dass das Gesamtmodell des Gebäudes aus unterschiedlichen Rahmensystemen aufgebaut ist, die unterschiedliche Rahmenhöhen aufweisen. Deshalb werden die Rahmensysteme individuell mit den vorgegeben Ausgangsdaten untersucht. In den Abschnitten 4.2.1 bis 4.2.4 werden die Einträge der SteifigkeitsmatrixKhergeleitet.
4.2. Steifigkeit des Erdgeschosses
Die Abbildung 4.2 stellt das Rahmensystem für das EG mit seinen Materialkennwerten dar.
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Abbildung 4.2: Rahmensystem des Erdgeschosses
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4.2.1. Deckenverschiebung als Gruppenfreiheitsgrad
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Abbildung 4.3: einheitliche Deckenverschiebung u = 1
Als erster Zustand wirdu= 1 betrachtet. Die Abbildung 4.3 zeigt die eingeprägte Gruppenweggrößeu,die als Deckenverschiebung figuriert, und die daraus resultierenden Stabendkraftgrößen. In der Abbildung sind Stabendkraftgrößen als Kräftepaare dargestellt. Der Pfeil näher zur Stabmitte von einem Kräftepaar gibt die Wirkungsrichtung der Kraft im Stab an und der andere die Wirkungsrichtung der Kraft, die am Knoten wirkt.
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Abbildung 4.4: Darstellung der Vorzeichenkonventionen
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Der Verschiebunguentspricht bei der Stütze die Einprägung vonωr= 1; es wird deshalb nur die fünfte Spalte der Steifigkeitsmatrix betrachtet, woraus die Kraftwiderstände abgelesen werden können.
Der Inhalt der Steifigkeitsmatrix ist nach VK II aufgestellt. Die VK II ist für die Computeranalyse vorteilhaft, es wird jedoch in dieser Arbeit alles nach VK I berechnet. Die Vorzeichenkonventionen sind in Abbildung 4.4 dargestellt. Es ändert sich das Vorzeichnen der Stabendkraftgrößen auf der linken Seite des Stabes. Die Gleichungen (4.14) bis (4.16) geben die Größen wieder.
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4.2.1.1. Steifigkeit Kuu
Die virtuelle Weggröße uv = 1v wird eingeprägt und mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen die Zwangsgröße bestimmt, um die SteifigkeitKuuzu ermitteln. Die SteifigkeitKuuist die Kraftgröße, die die Verschiebunguvunter den Bedingungen des Zustandesuverhindert. Es wird in der Abbildung 4.5 ebenfalls die virtuelle Verschiebungsfigur der Gruppenweggrößeuv =1v gezeigt. Für die Arbeitsbilanz sind die Richtungen der Wirkung zu beachten, das heißt, ob die geleistete Arbeit positiv oder negativ ist. In der Abbildung 4.5 wird gezeigt, dass die Stabendmomente im oberen Bereich der Stütze (MSo,u) entgegen dem Winkelψv drehen und somit eine negative Arbeit verrichten. Umgekehrt verhalten sich die Stabendmomente im unteren Bereich der Stütze (MSu,u).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.5: Darstellungen für die Berechnung der SteifigkeitKuu
Die Gleichung * beschreibt die Arbeitsbilanz mathematisch.
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4.2.1.2. Steifigkeit Kφu
Bei der SteifigkeitKφuwird die virtuelle Gruppenweggrößeφv = 1v eingeprägt und die Zwangsgröße bestimmt. Letztere entspricht der Größe, derer es unter den Bedingungen des Zustandesubedarf, um die Einheitsverdrehung aller Stütze zu verhindern. Die Berechnung erfolgt mit einem einfachen Knotenschnitt am oberen Bereich der Stützen und anhand der Knotengleichgewichtsbedingung. Die Wirkungsrichtung ist dabei auch zu berücksichtigen, wobeiZφuim Uhrzeigersinn (positiv definiert) drehen. Die Gleichung (4.19) gibt die Zwangsgröße wieder.
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Abbildung 4.6: Darstellungen für die Berechnung der SteifigkeitKφu
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4.2.1.3. Steifigkeit Kψu
Für die Bestimmung der SteifigkeitKψuist keine Berechnung erforderlich, da im Zustandu= 1 keine arbeitskonformen Zwangskraftgrößen zuψv = 1v existieren. Die Abbildung 4.7 zeigt es deutlich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.7: Darstellungen für die Berechnung der SteifigkeitKψu
4.2.2. Knotenverdrehung als Gruppenfreiheitsgrad
Als zweiter Zustand wirdφ= 1 betrachtet. Die Abbildung 4.8 stellt die eingeprägte Knotenverdrehung dar. Die Kraftwiderstände in den Stützen und Riegeln sind separat darzustellen und zu bestimmen. Dabei sind die Kraftwiderstände in den Riegeln noch jeweils in x- und in y-Richtung zu untersuchen. Unter Verwendung der Steifigkeitsbeziehung entspricht die Knotenverdrehung für die Stütze einer Einprägung vonφr= 1. Die Kraftgrößen sind aus der sechsten Spalte der Steifigkeitsmatrix abzulesen und mit Vorzeichen aus VK I versehen.
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Abbildung 4.8: einheitliche Knotenverdrehung φ = 1
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Für die Stützen:
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Für die Riegel erfolgt eine Einprägung an beiden Stabendelementen, und zwar auf der linken Seite φl = 1 und auf der rechten Seite φr = 1. Die Kraftgrößen sind aus der dritten und der sechsten Spalten der Steifigkeitsmatrix abzulesen und aufzuaddieren. Die Kraftgrößen müssen dabei auch in x-Richtung und in y-Richtung separat untersucht werden. Die Gleichungen (4.31) bis (4.33) geben die Kraftgrößen der Riegel in x-Richtung wieder, die Gleichungen (4.34) bis (4.36) die der Riegel in y-Richtung. Es unterscheidet sich hierbei nur das Flächenträgheitsmoment des Riegels in zwei zu untersuchenden Richtungen.
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x-Richtung:
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y-Richtung:
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Die berechneten Stabendmomente und Querkräfte gelten für alle Etagen, da sie die gleichen Riegel haben.
4.2.2.1. Steifigkeit Kuφ
Alle Steifigkeiten bezogen auf den Zustandφ= 1 lassen sich identisch zu dem ersten Freiheitsgrad bestimmen. Für die SteifigkeitKuφwird die virtuelle Weggrößeuv =1v eingeprägt und die Zwangsgröße bestimmt.Zuφentspricht die benötige Kraft, um unter den Bedingungen vonφdie virtuelle Verschiebunguvzu verhindern. Die Abbildung 4.9 zeigt die Stabendmomente sowie die Querkräfte der Stütze. Die Arbeitsbilanz wird in der Gleichung (4.37) wiedergegeben.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.9: Darstellungen der Berechnung der Steifigkeit Kuφ
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4.2.2.2. Steifigkeit Kφφ
Die ZwangsgrößenZφφwerden mit dem Knotenschnitt berechnet. Die arbeitskonformen Kraftwiderstände sind die am Knoten wirkenden StabendmomentenMSo,φ,MRr,φundMRl,φ.Dabei sind die Wirkungsrichtungen zu berücksichtigen.Kφφist ebenso wieKuueine Hauptsteifigkeit des Systems, wobei Letztere positiv maximal ist. Die Berechnung der ZwangsgrößenZφφwird in der Gleichung (4.39) ausgedrückt.
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- Thanh Vinh Pham (Author), Modalanalyse eines 14-stöckigen Gebäudes mithilfe des Rayleigh-Verfahrens, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1266444
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