Das Konzept „Entdeckungen im Zahlenland“. Kritische Reflexion dargestellt an der Vermittlung des Zahlbegriffs

Examination Thesis , 2006 , 120 Pages , Grade: 1

Pedagogy - Orthopaedagogy and Special Education

Der Übergang vom Kindergarten in die Grundschule stellt für das Leben eines jeden Kindes einen entscheidenden Einschnitt dar. Es kündigt sich ein Lebensabschnitt an, der von programmiertem Lernen und gezielter Ausbildung geprägt sein wird.
Der Kindergarten hat die Möglichkeit, den Übergang zur Grundschule einzuleiten und zu unterstützen. Doch bereitet er in sinnvoller Weise auf die Grundschule vor?
Dass Lernen nicht erst in der Schule anfängt, ist eine Binsenweisheit. Der Spracherwerb mag als Beispiel dienen: Er zeigt, welche enorme Lernfähigkeit Kindern in den ersten sechs Lebensjahren eigen ist. Die Forderung, diese Lernfähigkeit im Hinblick auf die schulische Bildung möglichst früh zu nutzten, ist nicht neu. Aber spätestens seit der Diskussion über die Ergebnisse der PISA-Studie ist sie von der Tagesordnung nicht mehr wegzudenken: Elementarpädagogische Einrichtungen sollen sich als Bildungseinrichtungen sehen und ihren Beitrag dazu leisten, die Bildungsqualität in Deutschland zu erhöhen. Kann der Kindergarten, die Kindertagesstätte das leisten? Werden diese Einrichtungen nicht überfordert? Vor allem aber: Werden nicht die Kinder überfordert? Damit stoßen wir unmittelbar auf die Frage nach sinnvollen Konzepten.
Es gibt mittlerweile eine Reihe von Kindergärten, die ihre Kinder anhand spezieller Konzeptionen spielerisch auf den Schulunterricht vorbereiten wollen. „Entdeckungen im Zahlenland“ ist eines dieser Konzepte, das mit gezielter Frühförderung Kinder auf den Mathematikunterricht der ersten Klasse vorbereiten will. Trotz dieser elementarpädagogischen Förderung weisen SchülerInnen häufig in der Grundschule deutliche Lernschwierigkeiten in Mathematik auf. Die Ursachen für Misserfolge dürfen aber nicht nur im Kindergarten gesucht werden. In der Grundschule wird die Messlatte der Erwartungen häufig undifferenziert an alle SchülerInnen gleichermaßen angelegt, ohne Vorbildung einerseits und Defizite andererseits wahrzunehmen und zu beachten. Somit werden die Lernvoraussetzungen der ErstklässlerInnen nicht richtig eingeschätzt und beurteilt, weshalb manche SchülerInnen beim Eintritt in die erste Klasse unterfordert, andere dagegen deutlich überfordert werden. Das Ziel meiner Arbeit soll sein aufzuzeigen, inwiefern das Konzept „Entdeckungen im Zahlenland“ auf den Mathematikunterricht der ersten Klasse vorbereitet.

Inhalt

1. Einleitung

2. Darstellung des Konzepts „Entdeckungen im Zahlenland“ nach Gerhard Preiß
2.1 Zur Didaktik im Umgang mit Zahlen
2.2 Die Erfahrungs- und Handlungsfelder Zahlenhaus, Zahlenweg und Zahlenland
2.3 Zum formalen Ablauf der Lerneinheiten

3. Darstellung des Konzepts „Struktur- und niveauorientiertes Lernen” nach Reinhard Kutzer
3.1 Anmerkungen zur derzeitigen Lernorganisation
3.2 Zur Theorie des „struktur- und niveauorientierten Lernens“
3.3 Zur praktischen Umsetzung des „struktur- und niveauorientierten Lernens“ – die Lern- und Unterrichtsorganisation
3.4 Die zentralen Aspekte der Zahl

4. Betrachtung der Unterrichtswerke für den Mathematikunterricht
4.1 Das Mathebuch 1
4.1.1 Konzeption
4.1.2 Schülerband
4.2 Welt der Zahl 1. Schuljahr
4.2.1 Konzeption
4.2.2 Schülerband

5. Darstellung des Untersuchungsverfahrens
5.1 Zur Konzeption des Testverfahrens
5.1.1 Item 1: Zuordnungsformen – Erkennen und Verstehen der Paarzuordnung
5.1.2 Item 2: Beurteilung der Mächtigkeitsrelationen – Verstehender Umgang mit den Begriffen „mehr“, „weniger“, „gleich viele“
5.1.3 Item 3: Anzahlinvarianz – Erkennen der strukturellen Freiheit einer Menge
5.1.4 Item 4: Repräsentanz – Vergleich von Mengen mit Elementen unterschiedlicher Größe
5.1.5 Item 5: Seriation und Klassifikation
5.1.6 Item 6: Zahlfolgen ergänzen
5.1.7 Item 7: Gedankliche Mengenanalyse
5.1.8 Item 8: Anwendung der Operationszeichen
5.2 Hinweise zur Durchführung
5.3 Ablauf des Testverfahrens
5.4 Externe Bedingungen der Untersuchung
5.4.1 Orte der Untersuchung
5.4.2 Vorstellung der Untersuchungsgruppe
5.4.3 Zeitraum, Ablauf und Dauer der Untersuchung

6. Zum individuellen Lernstand der SchülerInnen
6.1 Darstellung der Untersuchungsergebnisse
6.1.1 Item 1: Zuordnungsformen
6.1.2 Item 2: Beurteilung der Mächtigkeitsrelationen
6.1.3 Item 3: Anzahlinvarianz
6.1.4 Item 4: Repräsentanz
6.1.5 Item 5: Seriation und Klassifikation
6.1.6 Item 6: Zahlfolgen ergänzen
6.1.7 Item 7: Gedankliche Mengenanalyse
6.1.8 Item 8: Anwendung der Operationszeichen
6.2 Tabellarische Zusammenfassung der Ergebnisse

7. Interpretation und Diskussion
7.1 Interpretation der Ergebnisse in Bezug auf die Konzeption von Kutzer
7.1.1 Zuordnungsformen
7.1.2 Beurteilung der Mächtigkeitsrelationen
7.1.3 Anzahlinvarianz
7.1.4 Repräsentanz
7.1.5 Seriation und Klassifikation
7.1.6 Zahlfolgen ergänzen
7.1.7 Gedankliche Mengenanalyse
7.1.8 Anwendung der Operationszeichen
7.2 Interpretation der Ergebnisse in Bezug auf die Konzeption von
Preiß
7.3 Gegenüberstellung der Konzeptionen
7.4 Interpretation der Ergebnisse in Bezug auf die Unterrichtswerke

8. Zusammenfassung
8.1 Zusammenfassung der Erkenntnisse der Untersuchung
8.2 Konsequenzen für die Vorschularbeit – Ausblick

9. Literatur

1. Einleitung

Der Übergang vom Kindergarten in die Grundschule stellt für das Leben eines jeden Kindes einen entscheidenden Einschnitt dar. Es kündigt sich ein Lebensabschnitt an, der von programmiertem Lernen und gezielter Ausbildung geprägt sein wird.

Der Kindergarten hat die Möglichkeit, den Übergang zur Grundschule einzuleiten und zu unterstützen. Doch bereitet er in sinnvoller Weise auf die Grundschule vor? Welche Rolle übernimmt er in der frühpädagogischen Begleitung und Entwicklung eines Kindes? Ist er die fröhliche, zweckfreie Alltagswelt der Drei- bis Sechsjährigen, in der – wenn überhaupt – die sozialen Erziehungsdefizite des Elternhauses kompensiert werden? Oder ist die überkommene, romantisch naturverbundene Bezeichnung „Kindergarten“ nicht eher eine Täuschung, hinter der sich schon Schule verbirgt oder zumindest eine Einrichtung, die sehr konkret auf die Schule vorbereitet?

Es stellt sich die Frage, welche Situation tatsächlich vorhanden ist und welche zu fordern ist.

Dass Lernen nicht erst in der Schule anfängt, ist eine Binsenweisheit. Der Spracherwerb mag als Beispiel dienen: Er zeigt, welche enorme Lernfähigkeit Kindern in den ersten sechs Lebensjahren eigen ist. Die Forderung, diese Lernfähigkeit im Hinblick auf die schulische Bildung möglichst früh zu nutzten, ist nicht neu. Aber spätestens seit der Diskussion über die Ergebnisse der PISA-Studie ist sie von der Tagesordnung nicht mehr wegzudenken: Elementarpädagogische Einrichtungen sollen sich als Bildungseinrichtungen sehen und ihren Beitrag dazu leisten, die Bildungsqualität in Deutschland zu erhöhen. Kann der Kindergarten, die Kindertagesstätte^[1] das leisten? Werden diese Einrichtungen nicht überfordert? Vor allem aber: Werden nicht die Kinder überfordert? Damit stoßen wir unmittelbar auf die Frage nach sinnvollen Konzepten.

Es gibt mittlerweile eine Reihe von Kindergärten, die ihre Kinder anhand spezieller Konzeptionen spielerisch auf den Schulunterricht vorbereiten wollen. „Entdeckungen im Zahlenland“ ist eines dieser Konzepte, das mit gezielter Frühförderung Kinder auf den Mathematikunterricht der ersten Klasse vorbereiten will.

Das Ergebnis ist umstritten. Trotz dieser elementarpädagogischen Förderung weisen SchülerInnen häufig in der Grundschule deutliche Lernschwierigkeiten in Mathematik auf. Was sind die Gründe? Die Vermutung liegt nahe, dass solche Projekte zur mathematischen Früherziehung im Kindergarten ihr Ziel verfehlen. Es scheint, dass Erzieherinnen nicht wissen, welche Leistungen von einem Kind in der ersten Klasse erwartet werden.

Die Ursachen für Misserfolge dürfen aber nicht nur im Kindergarten gesucht werden. In der Grundschule wird die Messlatte der Erwartungen häufig undifferenziert an alle SchülerInnen gleichermaßen angelegt, ohne Vorbildung einerseits und Defizite andererseits wahrzunehmen und zu beachten. Somit werden die Lernvoraussetzungen der ErstklässlerInnen nicht richtig eingeschätzt und beurteilt, weshalb manche SchülerInnen beim Eintritt in die erste Klasse unterfordert, andere dagegen deutlich überfordert werden. Auch die Überprüfung mathematischer Lernvoraussetzungen bei der Anmeldung in die Schule deckt dieses Problem nicht auf, wird doch hier das Verständnis für den Zahlbegriff auf das Aufsagen der Zahlwortreihe von 1 bis 10 reduziert – was ja an sich noch überhaupt kein Verständnis beinhalten muss; das Kind reiht erstmal nur 10 Wörter aneinander.

Das Ziel meiner Arbeit soll sein aufzuzeigen, inwiefern das Konzept „Entdeckungen im Zahlenland“ von Gerhard Preiß auf den Mathematikunterricht der ersten Klasse vorbereitet. Daher habe ich für diese Arbeit eine Untersuchung in einer Gruppe von ErstklässlerInnen vorgenommen, die im Kindergarten nach diesem Konzept gefördert wurden. Eine Darstellung dieses Konzepts zur elementarpädagogischen mathematischen Bildung wird im folgenden Kapitel 2 vorgenommen.

Untersuchungen^[2] haben gezeigt, dass einigen Kindern wesentliche Einsichten in die Struktur der Zahl fehlen, die aber als entscheidende Voraussetzungen für einen gelingenden mathematischen Lernprozess anzusehen sind. Die Vermittlung solcher Einsichten hat sich das Konzept zum „struktur- und niveauorientierten Lernen“ von Reinhard Kutzer zur Aufgabe gemacht. Das für die Untersuchung verwendete Überprüfungsverfahren, welches eine Grob- und Feindiagnose des aktuellen Lernstands ermittelt, basiert auf den Erkenntnissen dieses Konzepts. Die Konzeption zum „struktur- und niveauorientierten Lernen“ wird in Kapitel 3 vorgestellt.

Das Konzept „Entdeckungen im Zahlenland“ dient als Grundlage meiner Arbeit, da meine Untersuchung Aufschluss darüber geben soll, inwiefern die Vorbereitung im Kindergarten dazu beiträgt, dass die Kinder im Umgang mit Zahlen und bei der Analyse von Mengen und Zahlen Sicherheit und Festigkeit besitzen und somit das Konzept die Voraussetzungen für einen sicheren Zahlbegriff bei den Kindern liefert.

Im Vordergrund steht dabei die Hypothese, dass „Entdeckungen im Zahlenland“ nicht die Basis für die Ausbildung eines sicheren Zahlbegriffs bei SchulanfängerInnen schafft, es somit bei Schuleintritt häufig zu Überforderungen kommt, was im weiteren Schulverlauf zu gravierenden Lernschwierigkeiten führen kann.

Diese Hypothese gründet sich darauf, dass der Zahlbegriff nicht über die Mengenebene angelegt wird, sondern im Umgang mit Zahlen eine Reduzierung in erster Linie auf das Zählen und Kennenlernen der Ziffern von 1 bis 10, was in der Regel mit auswendig lernen einhergeht, stattfindet. Das Konzept legt seinen Schwerpunkt nicht darauf, dem Kind verständlich zu machen, dass es sich bei einer Zahl um ein Zeichen für eine Menge handelt. Das spielerische Vorgehen des Projekts sieht keine Aufgaben zur paarweisen Zuordnung^[3] vor und auch dem Vergleich von Mengen wird keine Beachtung geschenkt. Somit werden wesentliche Einsichten in den Zahlbegriff, wie die Erkenntnis der Anzahlinvarianz^[4], die bei Kutzer starke Berücksichtigung findet, durch das Konzept von Preiß nicht vermittelt.

Daher ist im einzelnen davon auszugehen, dass einigen ErstklässlerInnen

- elementare Einsichten in einen verstehenden Umgang mit Zahlen fehlen, obwohl sie bereits im Zahlbereich 0 bis 10 operieren und
- sie trotz der Tatsache, dass sie zählen und abzählen können und somit Kenntnisse über die Zahlwortreihe besitzen, kein Verständnis von Mengen haben und daher nicht über einen gesicherten Zahlbegriff verfügen.
Außerdem gehe ich davon aus, dass
- zu Beginn des ersten Schuljahrs keine angemessene Überprüfung des aktuellen Lernstands stattfindet und somit keine Förderung der Kinder ihrem individuellen Lernstand entsprechend vorgenommen wird, also eine Diskrepanz zwischen Lernvoraussetzung der SchülerInnen und Lernanforderungen vorhanden ist.

Zur Erörterung des Verhältnisses von Lernvoraussetzung und Lernanforderung findet in Kapitel 4 eine Betrachtung der Unterrichtswerke für den Mathematikunterricht statt. Da die Untersuchung in zwei verschiedenen Grundschulen durchgeführt wurde, werden aus zwei Mathematikbüchern die für die Diskussion bedeutsamen Bereiche vorgestellt.

Bezüglich der Unterrichtswerke wird sich diese Arbeit weiterhin mit der Fragestellung beschäftigen,

- ob die Mathematikbücher die Lernvoraussetzungen aller ErstklässlerInnen berücksichtigen.

Eine ausführliche Darstellung der Überprüfung zur Ermittlung des aktuellen Lernstands findet in Kapitel 5 statt. Zunächst wird das verwendete Überprüfungsverfahren, entwickelt von Reinhard Kutzer und Dorothea Waniek, unter Betrachtung der einzelnen Testitems vorgestellt. Des weiteren werden die äußeren Bedingungen der Untersuchung erläutert.

Schließlich findet in Kapitel 6 eine ausführliche Darstellung der Untersuchungsergebnisse statt. Die Untersuchung liefert Daten zu den folgenden Bereichen:

1. Erkennen und Verstehen der Paarzuordnung.
2. Umgang mit den Begriffen „mehr“, „weniger“ und „gleich viele“.
3. Vergleich von Mengen nach deren flächiger Umordnung (Aspekt der Anzahlinvarianz).
4. Vergleich von Mengen mit Elementen unterschiedlicher Größe (Aspekt der Repräsentanz).
5. Seriation von Mengen nach ihrer Mächtigkeit.
Klassifikation von Mengen nach vorgegebenen Zahleigenschaften.
6. Ergänzen von auf- und absteigende Zahlfolgen.
7. Gedankliche Zerlegung von vorgegebenen Mengen in ihre Teilmengen (Mengen- Zahlanalyse).
8. Anwendung der Operationszeichen.

Die Ermittlung des aktuellen Lernstands ist auch für die Unterrichtsplanung und speziell für die Förderung einzelner SchülerInnen von entscheidender Bedeutung, da das Kind von der Stelle abzuholen ist, an der es in Richtung auf das vorgegebene Lernziel steht.^[5] Von diesem Standpunkt aus soll es weiterlernen, indem es in Richtung auf das Lernziel individuell gefördert wird.

Interpretation und Diskussion der dargestellten Ergebnisse der Untersuchung schließen sich in Kapitel 7 an. Darin sollen die Ergebnisse zum einen unter Bezugnahme auf die Konzeption von Preiß und zum anderen unter Bezugnahme auf die Konzeption von Kutzer ausgelegt und verdeutlicht werden. Eine weitere Betrachtung der Ergebnisse wird im Hinblick auf die Unterrichtswerke vorgenommen.

In Kapitel 8 werden in einer Zusammenfassung die aufgestellten Hypothesen anhand der Resultate verifiziert oder falsifiziert. Außerdem sollen in einem Ausblick mögliche Konsequenzen für die Vorschularbeit aufgezeigt werden. Diese sollen verdeutlichen, wie ein kindgemäßer Übergang vom Kindergarten in die Grundschule aussehen kann, um Über- oder Unterforderungen im Unterricht zu vermeiden.

„Seid freundlich zu den Zahlen, dann sind die Zahlen auch freundlich zu euch.“^[6]

2. Darstellung des Konzepts „Entdeckungen im Zahlenland“ nach Gerhard Preiß

Die durch die PISA-Studie entstandenen Diskussionen rund um das Schulsystem zeigen, dass Reformen unabdingbar geworden sind. Doch zielt Kritik nicht allein auf die Schule, sondern Forderungen nach einem konkreten Bildungsauftrag der Kindergärten kommen auf. Gleichzeitig entstehen Bedenken dahingehend, dass mit einer Reform des Kindergartenbetriebs schulische Inhalte vorverlegt werden, und der Bildungsauftrag des Kindergartens zu hoch bewertet wird. Vor allem die Vorstellung, dass Kinder im Vorschulalter bereits mit dem nach allgemeiner Auffassung besonders anspruchsvollen und schwierigen Fach Mathematik „belastet“ werden sollen, löst eher Missfallen aus.

Gerhard Preiß hat es sich bereits vor Veröffentlichung der Ergebnisse der PISA-Studie zur Aufgabe gemacht, ein mathematisches Konzept für den Kindergarten zu entwickeln. Der Titel „Entdeckungen im Zahlenland“ verdeutlicht bereits die beiden Grundsätze, auf denen das Konzept basiert und die erkennen lassen, wie dieses anspruchsvolle Fach für Vorschulkinder aufbereitet werden soll:

1. „Der natürliche Entdeckungsdrang und die lebendige Neugier eines Kindes.“^[7]
2. „Die Gestaltung der abstrakten mathematischen Welt als ein den Sinnen zugängliches ‚Zahlenland’.“^[8]

Diese beiden Grundsätze verstehen sich als die „Säulen des Projekts“^[9].

Die Neugier wird als von der Natur gegeben betrachtet und richtet sich daher auf alles, was neu und unbekannt ist. Dies führt zu einem Entdeckungsdrang, den sich das Projekt^[10] zu Nutze macht. Es baut erste Erfahrungen mit Zahlen in interessante und fröhliche Spielsituationen ein und will Misserfolge, die zu Demotivationen führen, vermeiden. Spiellust, Erkundungsdrang und Nachahmen – typische Eigenschaften von Kindern – sind für die „Entdeckungen im Zahlenland“ von großer Bedeutung.

Punkt 2 soll zum Ausdruck bringen, dass die Welt der Mathematik sehr abstrakt ist und daher ein besonderes methodisches Vorgehen benötigt, welches sich an der Lebens- und Erfahrungswelt der Kinder orientiert. Die Veranschaulichung der Zahlenwelt findet über die drei Handlungs- und Erfahrungsbereiche Zahlenhaus, Zahlenland und Zahlenweg statt, die im weiteren Verlauf dieses Kapitels vorgestellt werden. Entscheidend ist, den Kindern die Angst vor der Mathematik zu nehmen und ihnen einen positiven und aufbauenden Umgang mit Zahlen zu ermöglichen.

Ziel des Projekts ist,

„Kindern zu einer breiten und nachhaltigen Grundlage für das Verständnis von Mathematik zu verhelfen. [...] [Es] soll eine Basis geschaffen werden, auf der sich die unterschiedlichen mathematischen Begabungen der Kinder entfalten können.“^[11]

Preiß begründet seine Auffassung zur Bedeutung einer elementar-pädagogischen mathematischen Bildung anhand der folgenden Punkte^[12]:

1. Gerade im Vorschulalter ist das Gehirn in besonderer Weise formbar. Es werden Anlagen ausgebildet, die den Entwicklungsprozess lebenslang positiv beeinflussen.
2. Die moderne Welt braucht eine mathematisch gebildete Generation, die verantwortungsvoll in die Zukunft blickt.
3. Zum Lernen von Mathematik wird eine anregend gestaltete, spielerisch erfahrbare Lernumwelt benötigt.
4. Das Vorhandensein oder Nicht-Vorhandensein von mathematischer Denkfähigkeit darf nicht länger auf Veranlagung zurück geführt werden. Verständnis für Mathematik entwickelt sich am besten durch Üben und Erkunden.
5. Mathematische Früherziehung ermöglicht die Zunahme von Spitzenbegabungen.
6. Durch fröhliche Spielsituationen soll der Angst vor Mathematik vorgebeugt werden und der Umgang mit Zahlen erleichtert werden.
7. Die mathematische Frühförderung verhilft zu einer positiven Entwicklung aller Kräfte des Gehirns.

Preiß’ Arbeit basiert auf einer neurodidaktischen Sichtweise, die sich aus den gemeinsamen Erkenntnissen von Mathematikdidaktik und Hirnforschung etabliert hat. Diese sieht nicht den Lernstoff im Mittelpunkt der Vermittlung von Wissen, sondern das Kind als Individuum mit eigenen Interessen und Fähigkeiten.^[13] Der zentrale Aspekt der Neurodidaktik lautet: Werden komplexe Zusammenhänge bunt und alltagsnah vermittelt, so können sie von Kindern bereits früh verstanden werden.^[14]

2.1 Zur Didaktik im Umgang mit Zahlen

Die Mathematikdidaktik unterscheidet verschiedene Verwendungsarten der Zahlen^[15]. Um zu verstehen, wie Kinder durch Wahrnehmung, durch Denkprozesse und im Handeln einen Zahlbegriff aufbauen, muss Kenntnis über die vielfältigen Verwendungsmöglichkeiten der Zahlen vorausgesetzt werden:

1. Zahlen als Codierungsmittel dienen als Unterscheidungskriterium z.B. in Form von Postleitzahlen oder Telefonnummern.
2. Die Kardinalzahl gibt die Anzahl der Elemente einer Menge an, z.B. 3 Bananen.
3. Die Ordinalzahl gibt Antwort auf die Frage nach dem Rangplatz eines Elements in einer Menge, z.B. das dritte Haus.
4. Zahlen als Operatoren machen Aussagen über die Häufigkeit, z.B. dreimal, das Dreifache.
5. Zahlen als Maßeinheit geben Größen bzw. das Verhältnis zu einer Einheit an, z.B. 30 cm, 50 Cent, 80 kg.
6. Zahlen zum Rechnen, z.B. in Form von 6+2=8, 15:3=5.
7. Zahlen in geometrischen Zusammenhängen findet man z.B. bei den Formen Dreieck, Viereck, Würfel.
8. Zahlen in narrativen Zusammenhängen besitzen eine symbolische Bedeutung z.B. drei Wünsche im Märchen, Dreifaltigkeit in der christlichen Religion.

Die Verwendungsarten 1 bis 6 werden als Standard in der Mathematikdidaktik gesehen. Der geometrische und der narrative Aspekt wurden von Preiß ergänzt. In seinem Projekt „Entdeckungen im Zahlenland“ legt er auf diese beiden Verwendungsarten den Schwerpunkt.

2.2 Die Erfahrungs- und Handlungsfelder Zahlenhaus, Zahlenweg und Zahlenland

Als grundsätzlich wichtige Eigenschaft im Umgang mit Zahlen sieht Preiß die Freundlichkeit. Dies wird in seinen Ausführungen immer wieder deutlich und steht daher auch als Motto über dem Gesamtkapitel. Eine freundliche Begrüßung und Verabschiedung der Zahlen sind wesentliche Bestandteile einer Lerneinheit in der Zahlenschule. Für das spielerische Kennenlernen der Zahlen in einer Lerneinheit hat er drei Erfahrungs- und Handlungsfelder^[16] entworfen, die im Folgenden vorgestellt werden:

1. Das Zahlenhaus

Für die Dauer einer Lerneinheit wird der Raum, in dem die Zahlenschule stattfindet, zu einem sogenannten Zahlenhaus. Jede einzelne Zahl besitzt im Zahlenhaus eine Wohnung, die mit passenden Möbeln ausgestattet wird. Die Zahlen werden von Kindern gespielt, die für die Dauer einer Lerneinheit ein Stirnband mit der jeweiligen Zahl tragen. Die Möblierung der Wohnungen richtet sich nach der Zahl, die dort lebt. So hat z.B. die Eins einen Zahlentisch mit dem Würfelpunktebild der 1 und eine Wohnungsnummer in Form einer Holzfahne, die die Ziffer 1 trägt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[17]

Außerdem wird die Wohnung mit verschiedenen Einrichtungsgegenständen wie Bällen, Steinen oder Nüssen ausgestattet. Bei der Möblierung hilft ein weiteres Kind, das die entsprechende Anzahl der Gegenstände zur Zahl bringt.

Der wesentliche Aspekt im Zahlenhaus ist die simultane Erfassung der Zahlen. Der Blick für die Zahlen soll gezielt trainiert werden und das Abzählen soll weitestgehend vermieden werden.

Weitere Aspekte, die im Zahlenhaus von Bedeutung sind:

- Das Kind steht im Mittelpunkt: Von der Mitte des Zahlenhauses gehen viele Aktivitäten aus. Das Kind wendet sich mit seinen Interessen und Begabungen vollständig den Zahlen zu.
- Der geometrische Aspekt: Durch verschiedene ebene und räumliche Figuren wird dieser Aspekt besonders geschult. Dadurch entwickeln die Kinder flexible Bilder von Zahlen. Auf dem folgenden Bild sind die Zahlengärtchen dargestellt. Diese dienen auch als Möbel für die Wohnungen und werden, nachdem sie mit der entsprechenden Anzahl an Perlen bestückt worden sind, der jeweiligen Wohnung zugeordnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[18]

- Festgelegte Wohnungen der Zahlen: Dadurch, dass die Zahlen an festen Orten wohnen, erlangen die Kinder Sicherheit und Vertrautheit im Umgang mit ihnen. So können sie „einen dynamischen und vernetzten Zahlbegriff“^[19] aufbauen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Bild zeigt die Anordnung der Zahlen 1 bis 5 im Zahlenhaus und den Standort (Stern) bei der Begrüßung oder der Verabschiedung der Zahlen^[20]

2. Der Zahlenweg

Das Bewegen auf dem Zahlenweg ermöglicht den Kindern einen Überblick über die Zahlen von 1 bis 10. Zahlen werden in ihrer Abfolge ganzheitlich, d.h. mit dem ganzen Körper, erfahren, wodurch ein Abspeichern der Zahlreihenfolge im Kopf ermöglicht wird. Diese gedankliche Vorstellung des Zahlenwegs in seiner Abfolge stellt bei allen Spielen und Übungen das wesentliche Ziel dar. Erleichtert wird das Lernen durch die Bewegung – das synchrone Gehen nach der Sprachmelodie des Zählens.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[21]

Auf dem Zahlenweg stehen das Zählen und der ordinale Aspekt der Zahlen im Vordergrund, da er linear verläuft. Des weiteren wird „intelligentes Zählen“^[22] ausgebildet. Dies impliziert Zurückzählen und Beginn des Zählens von einer beliebigen Zahl aus, was das spätere Lösen von Rechenaufgaben erleichtert.

Darüber hinaus erfolgt eine automatische Wahrnehmung der auffallend gemalten Ziffern, was zur Folge hat, dass sich die Kinder die Schreibweise quasi nebenbei aneignen. Insgesamt wird deutlich, dass die Verbindung von Zählen mit Bewegung und Wahrnehmung das entscheidende Kennzeichen des Zahlenwegs darstellt.

3. Die Zahlenländer

Im Mittelpunkt jeder Lerneinheit steht jeweils eine Zahl, die durch spielerische Aktivitäten rund um das Zahlenland in die Lebenswelt der Kinder gestellt wird. Jedes Zahlenland wird von einer bestimmten Zahl regiert. So wohnt im Einerland die Eins und dort findet man alle Gegenstände nur einmal. Im Zweierland ist die Zwei zu Hause und alles ist paarweise vorhanden usw.

Zunächst wird das jeweilige Land mit Seil, Tor und Torwächter in einer Ecke des Raums gekennzeichnet. Auf dem Tor sind passende Bilder aufgemalt. Neben der Ziffer und dem Würfelpunktebild sieht man auf dem Tor zum Viererland z.B. ein Auto mit vier Reifen und ein Viereck.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[23]

Die häufige Verwendung geometrischer Formen betont in besonderer Weise die Bedeutung des geometrischen Aspekts in der Zahlenschule.

Weitere Charakteristika dieses Handlungs- und Erfahrungsfelds sind Gespräche über den Aufbau und die Gestaltung des Landes und eine passende märchenhafte Geschichte, die die Fantasie der Kinder anregen soll. Außerdem wird ein Lied gelernt und es gibt Rätsel und Abzählreime zum jeweiligen Land.

2.3 Zum formalen Ablauf der Lerneinheiten

Es bietet sich an einmal pro Woche eine Lerneinheit durchzuführen. Die Dauer für eine Einheit beträgt etwa eine Stunde. Falls die Konzentrationsfähigkeit deutlich abnimmt, lässt sich eine Lerneinheit auch auf zwei Termine verteilen. Die Durchführung kann mit Kindern ab 4 Jahren erfolgen, dabei sollte beachtet werden, dass der Anteil an Jungen und Mädchen etwa gleich ist und die Größe der Gruppe die Anzahl von 15 nicht überschreitet.

Der Leitfaden für den ersten Teil des Zahlenlandes umfasst zehn Lerneinheiten, in denen der Schwerpunkt auf den Zahlen 1 bis 5 liegt. Das Kennenlernen der Zahlen erfolgt durch das Einrichten der entsprechenden Wohnungen im Zahlenhaus, das Vertrautmachen mit dem Zahlenweg von 1 bis 10 und dem Entdecken der Länder vom Einer- zum Fünferland.

Der zweite Teil besteht aus weiteren zwölf Lerneinheiten. Diese setzten ihren Schwerpunkt auf die Zahlen 6 bis 10. Die entsprechenden Zahlenhäuser werden möbliert und die Zahlenländer vom Sechser- zum Zehnerland kennen gelernt. Der Zahlenweg wird bis zur Zahl 20 ergänzt.

Die einzelnen Lerneinheiten gestalten sich nach einem festen Ablauf^[24], der die drei Handlungs- und Erfahrungsfelder impliziert. Doch zunächst beginnt die Zahlenschule mit einer umfangreichen Begrüßung. Beim Betreten bekommt jedes Kind ein Stirnband mit seinem Namen aufgesetzt. Sind alle eingetroffen, so zählt ein Kind ab, wie viele Jungen und wie viele Mädchen da sind. Daraufhin fragt die Erzieherin, ob noch jemand weiß, wie viele es beim letzten Treffen waren. Nun sollen die Kinder unter Verwendung der Begriffe „mehr“, „weniger“ und „gleich viele“ die Anzahlen in Relation setzen. Ab der dritten Lerneinheit wird auch die Frage nach der Anzahl der Kinder insgesamt gestellt. Hieran soll sich ein Gespräch über das Rechnen anschließen. Neben der Möglichkeit des Abzählens soll den Kindern Rechnen mit Bauklötzen näher gebracht werden. Auf diesem Weg sollen die Kinder eine Vorstellung von den Zahlen zwischen 10 und 15 bekommen.

Nach der Begrüßung wird im ersten Erfahrungs- und Handlungsfeld mit dem gemeinsamen Aufbau des Zahlenhauses begonnen. Kinder übernehmen die Rollen der Zahlen und ihre Wohnungen werden möbliert. Nachdem das Zahlenhaus aufgebaut ist, wird ein Kind als Hausmeister bestimmt. Der Hausmeister hat die Aufgabe, alle Wohnungen auf richtige Einrichtung zu überprüfen. Unterstützt wird er dabei von der Erzieherin. Neben dem Erlangen von Sicherheit im Zahlenhaus ist ein zweiter wichtiger Aspekt Aufbau von Sprachkompetenz und Förderung eines freundlichen Umgangstons, da zwischen Hausmeister und der jeweiligen Zahl, die in der zu kontrollierenden Wohnung lebt, ein Gespräch stattfindet.

Nun verwandelt sich die Gruppenleiterin in einen Fehlerteufel, der, ohne dass die Kinder es sehen, einige Veränderungen im Haus vornimmt. Z.B. kann er Ziffernfähnchen vertauschen. Aufgabe der Kinder ist es, die Fehler zu entdecken und zu korrigieren. Der Fehlerteufel kommt insgesamt dreimal. Bei späteren Lerneinheiten kann die Erzieherin auch ein Kind als Fehlerteufel einsetzen.

Nachdem weitere spielerische Aktivitäten im Zahlenhaus durchgeführt worden sind, wird mit Hilfe der Kinder der Zahlenweg ausgelegt. Anschließend kommt auch hier der Fehlerteufel und vertauscht Zahlen oder dreht sie um. Ist alles wieder korrigiert, darf jedes Kind einmal über den Weg laufen. Die anderen Kinder zählen laut mit und es ist wichtig, dass Gehen und Zählen synchron erfolgen. Das jeweilige Kind muss sich beim Hören auf die Zahl und gleichzeitigen Gehen sehr konzentrieren. Anfangs ist es für die Kinder, die zählen, nicht leicht, das richtige Tempo zu finden, so dass die Gruppenleiterin unterstützen sollte. Während des Zählens halten alle Kinder die Hände über den Kopf. So soll eine Körperspannung entstehen, die die Konzentrationsfähigkeit steigert. Die Gehübungen können auch variiert werden. So kann ein Kind z.B. auf seiner vorher genannten Lieblingszahl stehen bleiben oder die Erzieherin nennt zwei oder drei Zahlen, die nun nacheinander von einem Kind aufgesucht werden sollen.

Im letzten Erfahrungs- und Handlungsfeld geht es um die Zahlenländer. Pro Lerneinheit wird immer ein Land näher kennen gelernt. Durch Gespräche darüber, wer in das jeweilige Zahlenland eintreten darf, sollen die Kinder dazu angeregt werden, über Gegenstände oder Personen nachzudenken, die es einmal, zweimal usw. gibt. Ins Einerland dürfen nur Dinge eintreten, die es einmal gibt, z.B. Sonne und Mond, und auch die Kinder müssen dem Torwächter eine Legitimation zum Eintreten nennen, z.B. „weil ich einen Bruder habe“. Der Eintritt ins Dreierland ist nur möglich, indem jedes Kind durch ein Dreieck krabbelt. Außerdem wird passend zu jedem Land ein Lied gelernt – auch hier findet ein Gespräch darüber statt, warum das Lied zum Land passt – und eine Geschichte aus dem jeweiligen Land erzählt. Da die Aktivitäten zu einem Zahlenland sehr umfangreich sind, wird das Kennenlernen der Zahl eines Landes auf zwei Lerneinheiten verteilt.

Am Ende folgt die Verabschiedung aus der Zahlenschule, die wie die Begrüßung nach einem festen Ritual abläuft und so einen vertrauten Rahmen für jede Lerneinheit schafft. Alle Kinder stellen sich im Kreis auf und singen noch mal gemeinsam das Lied zu der Zahl, die im Zahlenland Thema war. Zum Schluss spricht die Erzieherin noch einen Vers in Reimform. Z.B. „Eins, zwei, drei, die Zahlenschule ist vorbei. Vier, fünf, sechs, sieben, gelb sind alle meine Rüben. Acht, neun, zehn, bis nächstes Mal auf Wiedersehen.“^[25]

Dieser Einblick in Konzeption und Ablauf des Projekts „Entdeckungen im Zahlenland“ ist für das weitere Vorgehen der Arbeit wesentlich, da die überprüften Kinder nach dieser Konzeption auf den Mathematikunterricht der ersten Klasse vorbereitet wurden. Ihre mathematische Kompetenz basiert somit auf dieser Früherziehung.

In der Überprüfung des aktuellen Lernstands wurden die Kinder mit einem Verfahren nach Kutzer konfrontiert, daher findet im folgenden Kapitel eine Darstellung seiner Konzeption statt. Beide Konzeptionen sind auch in der späteren Interpretation der Ergebnisse von wesentlicher Bedeutung und stehen daher zu Beginn dieser Arbeit.

3. Darstellung des Konzepts „Struktur- und niveauorientiertes Lernen” nach Reinhard Kutzer

Das Prüfverfahren zur Ermittlung des aktuellen Lernstands der ErstklässlerInnen wurde dem Konzept des „struktur- und niveauorientierten Lernens“ nach Reinhard Kutzer entnommen. In diesem Kapitel soll nun zunächst die theoretische Basis des in Kapitel 5 erläuterten Überprüfungsverfahrens zur Grob- und Feindiagnose des Lernstands vorgestellt werden. Im ersten Teilkapitel werden Schwächen der derzeitigen Lernorganisation aufgezeigt, daran anschließend wird die Theorie des „struktur- und niveauorientierten Lernens“ anhand wesentlicher Begrifflichkeiten dargestellt. Unter Punkt 3.3 sollen daraus resultierende Konsequenzen für die Unterrichtsorganisation erläutert werden und im letzten Teilkapitel werden die für den mathematischen Anfangsunterricht zentralen Aspekte des Zahlbegriffs vorgestellt.

3.1 Anmerkungen zur derzeitigen Lernorganisation

Die Zahl der LernversagerInnen im Fach Mathematik nimmt stetig zu und unter den LehrerInnen breitet sich gegenüber dieser Entwicklung eine zunehmende Hilflosigkeit aus. Häufig werden die Ursachen für die anwachsenden Schwierigkeiten im Bereich Mathematik bei den SchülerInnen selbst und speziell in ihrem außerschulischen Umfeld gesucht. So macht z.B. die Reizüberflutung durch das Medium Fernsehen deutlich, dass sich die Lebensumstände der Kinder in den letzten Jahren stark verändert haben. Partielle Störungen wie Konzentrations- und Wahrnehmungsschwächen nehmen zu. Daneben müssen weiterhin die Lernschwierigkeiten beachtet werden, die durch genetische Disposition (Veranlagung) begründet sind.^[26]

Laut Kutzer liegen die Ursachen für die beschriebenen Lernschwierigkeiten in den folgenden drei Aspekten^[27]:

1. Durch unzureichende Diagnostik des aktuellen Lernstands kommt es zu didaktischen Fehlentscheidungen bezüglich nachfolgender Lernschritte. Die „Zone der nächsten Entwicklung“^[28] wird nicht klar erkannt. „Lernstruktur“ und „Lerndimension“^[29] finden kaum Beachtung.
2. Diese Misere ist nicht allein auf die am Lernprozess beteiligten Pädagogen zurückzuführen, sondern ist ursächlich in einer desolaten Forschungslage begründet.
3. Die Probleme für Lernversagen im Bereich Mathematik liegen im Fehlen didaktischer Konzeptionen, die eine kind-, sach- und lernstrukturgemäße^[30] Lernorganisation ermöglichen.

Die genannten Aspekte machen deutlich, dass die gegenwärtige Lernorganisation den Lernprozess bei einigen SchülerInnen nicht zur Entfaltung kommen lässt. Durch mangelhafte Analyse der Sach- und Lernstruktur werden diesen SchülerInnen zum einen häufige Wiederholungen zugemutet, andererseits werden elementare Erkenntnisse (z.B. zur Struktur des Zahlbegriffs), die zur Erlangung eines Lernziels nötig sind, vorenthalten. Außerdem werden Lernarten und Lernverfahren verwendet, die sich nicht auf Ziel und Sachstruktur konzentrieren. Die derzeitige Lernorganisation erfasst häufig nicht die wesentlichen Dimensionen des Lernprozesses, was dazu führen kann, dass Lernpotenzial der SchülerInnen nicht genutzt wird und verloren geht.^[31]

Deshalb ist eine Umstrukturierung der Lern- und Unterrichtsorganisation im Bereich Mathematik erforderlich. Der Lernprozess muss individuell hinsichtlich der Lernvoraussetzungen organisiert werden, Über- und Unterforderungen sollen weitestgehend vermieden werden und das Gelernte soll auf das jeweilige Lebensumfeld übertragbar sein.^[32]

3.2 Zur Theorie des „struktur- und niveauorientierten Lernens“

Um den Lernprozess in der genannten Weise zu strukturieren, ist eine umfassende Analyse desselben im Besonderen für den Bereich Mathematik erforderlich. Erkenntnisse aus dieser Analyse zeigen, dass der Lernprozess mehrdimensional verläuft. Die drei wesentlichen Dimensionen des Lernens sind die Faktoren Komplexität, Niveau und Lernart. Diese sind für einen erfolgreichen Lernprozess entscheidend und müssen bei jeglicher Lernorganisation berücksichtigt werden. Im Folgenden sollen die Begriffe erläutert werden^[33]:

- Komplexität

Mit dieser Dimension ist die Komplexität der Lerninhalte und angestrebten Ziele gemeint, bzw. die Schwierigkeit der Lernsituation, in der ein/e SchülerIn handeln und verstehen soll. In der Fachsprache unter Pädagogen wird dieser inhaltliche Aspekt in der Regel als „Sachstruktur“ bezeichnet. Lernprozesse müssen von einfachen Strukturen stufenweise hin zu komplexeren Strukturen aufgebaut werden. Auf diesem Weg können sich Denkprozesse bezüglich eines Sachverhalts entwickeln und Zusammenhänge werden erkannt und verstanden.

Ein Anheben der Komplexität kann anhand des Spiels „Dosenwerfen“ verdeutlicht werden. So kann das Spiel z.B. mit 6 Dosen beginnen und nach jedem Wurf wird ermittelt, wie viele Dosen abgeworfen wurden und wie viele noch stehen. Bei Sicherheit auf dieser Komplexitätsstufe würde im weiteren Verlauf des Spiels eine Steigerung der Anzahl der Dosen vorgenommen werden.

- Niveau

Die Dimension Niveau beschreibt die Niveaustufen oder auch Abstraktionsstufen des Denkens bzw. die Art und Weise „der Auseinandersetzung mit dem Inhalt“^[34]. Lernprozesse verlaufen über „die stufenweise subjektive Verinnerlichung objektiv gegebener Sachverhalte“.^[35] Diese Stufen sind:

1. Konkrete, strukturierende Handlungen,
2. strukturierende Handlungen auf der Vorstellungsebene,
3. Umgang mit Erkenntnissen ohne konkrete Handlungen,
4. Generalisierungsstufen.

Unter Generalisierung erster Art wird die Fähigkeit verstanden, gewonnene Einsichten innerhalb des ersten Veranschaulichungsmodells zu übertragen. Bei der Generalisierung zweiter Art sollen die gewonnenen Einsichten auf andere Handlungsmodelle angewendet werden. Die Generalisierung dritter Art meint das Erkennen einer allgemeinen Struktur. Die gewonnenen Einsichten befähigen zu Verallgemeinerungen.

Unter Betrachtung des Bereichs der Operationszeichen Plus und Minus beinhaltet eine Generalisierung dritter Art die reine Zahloperation. Die Struktur der Operation ist vollständig erfasst und abgekoppelt von zuvor kennen gelernten Veranschaulichungsmodellen und Situationen. Ziel der Generalisierung ist das Erkennen einer allgemeinen Gültigkeit, die auch im Alltag Anwendung findet.

- Lernart

Auch die Art des Lernens wird als Dimension vorgestellt, da verschiedene Prozesse als Lernen bezeichnet werden. Lernen umfasst „z.B. eine Zuordnung von Bezeichnungen für bereits erkannte Zusammenhänge[...] [, aber auch] das Erkennen eben dieser Zusammenhänge selbst [...].“^[36] Für einen Lernprozess ist entscheidend, dass die Lernart nicht willkürlich ausgewählt wird, sondern sich eng an den Dimensionen Komplexität und Niveau orientiert. Bei einer Lernart, die Emanzipation und Selbstbestimmungsfähigkeit vermitteln will, ist es wichtig, dass die Lernarten im Verlauf des Lernprozesses unterschiedliche Bedeutungen erlangen.

Ein entscheidendes Element in der Theorie des „struktur- und niveauorientierten Lernens“ ist das Lernstrukturgitter^[37]. Es veranschaulicht die Beziehung zwischen den Dimensionen Komplexität und Niveau, die keineswegs isoliert voneinander zu sehen sind, sondern auf eine Art miteinander verbunden sind, die sich am sinnvollsten in Form eines solchen Strukturgitters darstellen lässt.

Denk- Niveaustufen des Denkens Endprodukt des Lernprozesses

operationen Abstraktionen (Begriffe, komplexe Struktur)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Konkrete „Komplexität“ der Inhalte/ Ziele

Handlung Einfache komplexe Folge der Strukturelemente

Struktur Struktur (inhaltlicher Aspekt)

Lernstrukturgitter: Darstellung des Bezugs zwischen Niveau und Komplexität^[38]

Da Lernen immer durch die Dimensionen Komplexität und Niveau bestimmt ist, müssen bei der Organisation von Lernprozessen beide Dimensionen berücksichtigt werden. Die einzelnen Niveau- und Komplexitätsschritte können durch die Strukturfeldanalyse^[39] ermittelt werden. Sie gewährleistet, dass der/die SchülerIn in seinem/ihrem Lernprozess zunehmend an Komplexität und Niveau gewinnt.

Die Orientierung an einem Lernstrukturgitter erleichtert die Ermittlung einer exakten Lernstandsdiagnostik und somit auch die Registrierung der Zone der nächsten Entwicklung. Außerdem ist das Lernstrukturgitter eine hilfreiche Unterstützung bei der Planung der aufeinander folgenden Lernschritte.^[40] Es wird deutlich, dass Diagnosestellung und Förderung eine Einheit bilden, die sich auf die gleiche Lernstruktur bezieht. Auf diesem Weg kann auch dem Wunsch nach unterrichtsimmanenter Diagnostik entsprochen werden.

3.3 Zur praktischen Umsetzung des „struktur- und niveauorientierten Lernens“ – die Lern- und Unterrichtsorganisation

Die durch die Betrachtung des mehrdimensionalen Lernprozesses mögliche exakte Bestimmung des aktuellen Lernstands und die Festlegung der Lern- und Förderschritte ermöglicht „einen offenen, kindorientierten, individualisierenden und differenzierenden Unterricht“.^[41] Dieser Unterricht muss die drei Bedingungen

- Kindgemäßheit,
- Sachgemäßheit und
- Lernstrukturgemäßheit erfüllen.

Die Beziehung zwischen diesen drei Dimensionen verdeutlicht die folgende Abbildung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beziehung zwischen Kind-, Sach- und Lernstrukturgemäßheit beachten^[42]

Eine kindgemäße Lernorganisation bedeutet, das Kind dort abzuholen, wo es im Hinblick auf das angestrebte Lernziel steht. Allgemeine Lernbedürfnisse, Interessen des Kindes und seine emotionale Lage sind zu berücksichtigen.

Bei einer sachgemäßen Unterrichtsorganisation ist es wichtig, die Sachstruktur im Hinblick auf objektive Lernanforderungen und das angestrebte Lernziel zu kennen. Dies sind alle objektiven Gegebenheiten, die einen Themenbereich bestimmen.

Für den lernstrukturgemäßen Unterricht ist weiterhin wichtig, dass der aktuelle Lernstand des Kindes, also die subjektiven Lernvoraussetzungen, beachtet werden. Ein lernstrukturgemäßer Unterricht ermöglicht es dem jeweiligen Kind, Strukturelemente eines Themenbereichs stufenweise subjektiv zu verinnerlichen.

Insgesamt wird deutlich, dass struktur- und niveauorientierter Unterricht immer die enge Beziehung zwischen Kind-, Sach- und Lernstrukturgemäßheit berücksichtigen muss.

3.4 Die zentralen Aspekte der Zahl

Der Versuch eine umfassende Definition der Zahl zu entwickeln, gestaltet sich äußerst schwierig, da der aus der Zahl abgeleitete Zahlbegriff verschiedene Aspekte impliziert. Für den Anfangsunterricht in Mathematik und für erste Konfrontationen mit Zahlen werden die folgenden beiden Aspekte des Zahlbegriffs^[43] als wesentlich angesehen:

1. Der kardinale Aspekt der Zahl
2. Der ordinale Aspekt der Zahl

Der kardinale Aspekt der Zahl ist dann angesprochen, wenn es um die Mächtigkeit bzw. die Anzahl einer Menge geht. Die Kardinalzahl gibt Antwort auf die Frage „wie viele...?“ Die Antwort erfolgt in den Grundzahlen entweder in schriftlicher oder in mündlicher Form. In diesem Zusammenhang findet auch der Begriff „Zahleigenschaft“ Anwendung. Mengen von gleicher Mächtigkeit verfügen demnach über gleiche Zahleigenschaft.

Zum kardinalen Aspekt der Zahl ist der Operatoraspekt hinzu zu zählen. Die Operatorzahl gibt Antwort auf die Frage „wie oft...?“ und in der Antwort werden Zahladverbien verwendet. Da es auch hier um die Bestimmung der Zahleigenschaft einer Menge, genauer gesagt um die Zahleigenschaft von Vorgängen oder Handlungen geht, ist der Operatoraspekt als Unterform des kardinalen Aspekts der Zahl anzusehen.

Der unter 2. benannte ordinale Aspekt der Zahl macht eine Aussage über die Position innerhalb einer Reihe von Elementen. Die Ordinalzahl gibt Antwort auf die Fragen „wer?, welcher?, der wievielte?, an welcher Stelle?“ Hier geht es um die Bestimmung der Position in einer geordneten Folge von Gegenständen oder Menschen.

Zu ergänzen ist der „Beziehungsaspekt der Zahl“^[44], der laut Piaget für den Umgang mit Zahlen im Anfangsunterricht entscheidend ist. Piaget bezeichnet den „Zahlbegriff [als] eine ‚operatorische Synthese logischer Operationen’, nämlich Operationen der Klassifizierung und der [...] Seriation“.^[45]

Klassifikation impliziert neben dem Zusammenfassen von Mengen gleicher Mächtigkeit zu Klassen auch die Möglichkeit, kleine Mengen in größeren aufzunehmen. Dieser Vorgang wird als Klasseninklusion bezeichnet.

Bei der Seriation ist entscheidend, in welcher Relation Mengen und Zahlen zueinander stehen: Nach der 3 kommt die 4. Legt man zur Menge 3 ein Element dazu, so erhält die Menge die Zahleigenschaft 4.

Demnach stellt der Zahlbegriff eine Verknüpfung zwischen kardinalem und ordinalem Aspekt der Zahl dar. Der Zahlbegriff einer bestimmten Zahl drückt sich nicht nur durch den Vergleich mit gleichmächtigen Mengen (z.B. 4 = 4) aus, sondern kann auch durch ungleichmächtige Mengen und das Wissen über Relationen dargestellt werden (z.B. 4 = 3 + 1, 4 = 5 - 1).

Nach Kutzer ist der Beziehungsaspekt der Zahl am besten dafür geeignet zu beschreiben, was die Struktur des Zahlbegriffs, damit ist die natürliche Zahl gemeint, ausmacht.

[...]

---

^[1] An dieser Stelle sei exemplarisch darauf hingewiesen, dass die in meiner Arbeit überwiegend verwendete Bezeichnung „Kindergarten“ die „Kindertagestätte“ implizieren soll.

^[2] Vgl. Felkl, Stefanie: Überlegungen und Untersuchungen zu einem kindgemäßen Übergang vom Kindergarten zur Grundschule – dargestellt am Beispiel mathematischer Lernvoraussetzungen und Lernanforderungen. Unveröffentlichtes Exemplar. Justus-Liebig-Universität Gießen 2005.

^[3] Vgl. hierzu Kap. 3 sowie Kap. 5.

^[4] Vgl. ebd.

^[5] Vgl. Kutzer, Reinhard: Mathematik entdecken und verstehen. Band 1. Kommentarband. Frankfurt a.M.: 1998. S. 8.

^[6] Preiß, Gerhard: Entdeckungen im Zahlenland. Leitfaden Zahlenland 1. Kirchzarten 4. Aufl. 2005. S. 16.

^[7] Preiß, Gerhard: Guten Morgen, liebe Zahlen. Eine Einführung in die „Entdeckungen im Zahlenland“. Heft 1. April 2004. S. 7. In: www.zahlenland.info.

^[8] Ebd.

^[9] Ebd. S. 8.

^[10] Preiß verwendet sowohl die Bezeichnung „Projekt“ als auch „Konzept“, so dass ich mich nicht auf eine Formulierung festgelegt habe. Geht es eher um die praktische Umsetzung im Kindergarten, so verwende ich die Bezeichnung „Projekt“, bei Betrachtung der theoretischen Inhalte benutze ich die Formulierung „Konzept“.

^[11] Preiß: Guten Morgen, liebe Zahlen. Eine Einführung. 2004. S. 3.

^[12] Vgl. ebd. S. 4.

^[13] Vgl. ebd. S. 3.

^[14] Vgl. Thimm, Katja: Guten Morgen, liebe Zahlen. In: Der Spiegel. 27/2002. In: www.spiegel.de/spiegel/0,1518,203226,00.html

^[15] Vgl. Preiß: Leitfaden Zahlenland 1. 2005. S. 3.

^[16] Vgl. ebd. S. 4 ff.

^[17] Ebd. S. 15.

^[18] Ebd. S. 52.

^[19] Ebd. S. 4.

^[20] Ebd.

^[21] Ebd. S. 27.

^[22] Vgl. ebd. S. 5.

^[23] Ebd. S. 73.

^[24] Vgl. ebd. S. 8 ff.

^[25] Ebd. S. 19.

^[26] Vgl. Kutzer, Reinhard: Mathematik entdecken und verstehen. Band 1. Kommentarband. Frankfurt a. M. 1998. S. 4.

^[27] Vgl. ebd.

^[28] Der Ausdruck „Zone der nächsten Entwicklung“ geht zurück auf L. S. Wygotskis Theorien zur Entwicklung der Sprache und des Denkens (vgl. Wygotski, L. S.: Denken und Sprechen. Berlin 1964. S. 212 ff.). „Zone der nächsten Entwicklung“ bezeichnet den Bereich, in dem Problemlösung nicht mehr selbstständig, ohne Hilfe von außen möglich ist, sondern mögliche Entwicklungsstufen in gemeinsamer Arbeit unter Anleitung durch Außenstehende erreicht werden können. In diesem Entwicklungsbereich muss die Förderung ansetzen.

^[29] Vgl. Kapitel 3.2.

^[30] Vgl. Kapitel 3.3.

^[31] Vgl. Kutzer, Reinhard: Mathematik entdecken und verstehen. Band 1. Lehrerband. Frankfurt a. M. 1983. S. 8.

^[32] Vgl. Kutzer: Kommentarband. 1998. S. 4.

^[33] Vgl. ebd. S. 5 f.

^[34] Kutzer: Lehrerband. 1983. S. 14.

^[35] Kutzer: Kommentarband. 1998. S. 5.

^[36] Ebd.

^[37] Vgl. ebd. S. 5 f.

^[38] Ebd. S. 6.

^[39] Vgl. ebd. S. 5.

^[40] Vgl. Kutzer, Reinhard: Struktur- und niveauorientiertes Lernen als eine Voraussetzung für eine individuelle Lernförderung – dargestellt am Beispiel der Anzahlinvarianzen. In: AG Integration Würzburg (Hrsg.): Wege zur Integration. Würzburg 1986. S. 143-177, S. 168 f.

^[41] Kutzer: Kommentarband. 1998. S. 6.

^[42] Ebd. S. 7.

^[43] Vgl. ebd. S. 11 ff.

^[44] Vgl. ebd. S. 13.

^[45] Ebd.

• College: Justus-Liebig-University Giessen
• Grade: 1
• Author: Judith Düringer (Author)
• Publication Year: 2006
• Pages: 120
• Catalog Number: V126112
• ISBN (eBook): 9783640314997
• ISBN (Book): 9783640318438
• Language: German
• Tags: Kritische, Reflexion, Konzepts, Zahlenland“, Beitrag, Vermittlung, Zahlbegriffs