In this paper, a new zeta function is derived. The function is a novel form of a Riemann zeta function. Whilst all the exponents of the terms in the denominators in the series are complex numbers, the function can be shown to be real, zero or complex at any locations of interest in the complex plane. In particular, if regions having the dimensions of Riemann's Critical Strip are formed, where the line of symmetry passes through a trivial zero of Riemann's zeta function, it is shown that zeros values of this new function will only be found along these lines of symmetry, and, indeed, nowhere else in the negative half of the complex plane. It is then considered that this constitutes verification of a Riemann Hypothesis for this function in these regions.
Inhaltsverzeichnis
- Introduction
- Analysis
- Discussion
- References
- List of contents
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Verifizierung der Riemannschen Vermutung im negativen Teil der komplexen Ebene. Sie führt eine neue Zeta-Funktion, F, ein, die als eine neuartige Form der Riemannschen Zeta-Funktion definiert wird. Durch die Analyse dieser Funktion in bestimmten Regionen der komplexen Ebene, die den Dimensionen des kritischen Streifens von Riemann entsprechen, wird gezeigt, dass Nullstellen von F nur entlang der Symmetrielinien dieser Regionen auftreten und nirgendwo sonst in der komplexen Ebene. Dies führt zu der Schlussfolgerung, dass die Riemannsche Vermutung für diese Funktion in diesen Regionen verifiziert ist.
- Einführung einer neuen Zeta-Funktion, F
- Untersuchung der Nullstellen von F in der komplexen Ebene
- Verifizierung der Riemannschen Vermutung für F in bestimmten Regionen
- Beziehung zwischen F und der Riemannschen Zeta-Funktion
- Analyse der Dirichlet-Eta-Funktion
Zusammenfassung der Kapitel
Introduction
Dieses Kapitel stellt die Riemannsche Vermutung und ihre Bedeutung in der Zahlentheorie vor. Es wird erläutert, dass Riemann sich nicht mit der Verteilung von Primzahlen befasst hat, sondern mit der Anzahl von Primzahlen in einem gegebenen Bereich. Die Riemannsche Vermutung behauptet, dass alle Nullstellen der Zeta-Funktion mit einem komplexen Argument, mit Ausnahme derer im negativen Teil der komplexen Ebene, in der Region 0 ≤ x < 1 liegen und außerdem auf der Symmetrielinie dieser Region liegen. Diese Beobachtung wurde von Riemann als unbedeutend abgetan, da sie keine direkte Bedeutung für sein Ziel hatte, doch sie hat sich seitdem zu einem der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik entwickelt.
Analysis
Dieser Abschnitt führt die Riemannsche Zeta-Funktion und die Dirichlet-Eta-Funktion ein. Es wird gezeigt, dass die Riemannsche Zeta-Funktion und die Dirichlet-Eta-Funktion über eine Beziehung miteinander verbunden sind, die es ermöglicht, die Dirichlet-Eta-Funktion in Form der Riemannschen Zeta-Funktion auszudrücken. Außerdem wird die Riemannsche Funktionalgleichung eingeführt, die eine wichtige Rolle bei der Analyse der Zeta-Funktion spielt.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Riemannsche Vermutung, die Riemannsche Zeta-Funktion, die Dirichlet-Eta-Funktion, komplexe Zahlen, komplexe Ebene, Nullstellen, kritischer Streifen, Symmetrielinien, Verifikation, analytische Methoden, Zahlentheorie.
- Quote paper
- William Fidler (Author), The verification of a Riemann Hypothesis in the negative half of the complex plane, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1253740
