Durch die aktiv-handelnde Auseinandersetzung mit Pentominos erweitern die Schülerinnen und Schüler (SuS) ihre geometrische Kompetenz im Umgang mit ebenen Figuren und fördern ihr Raumvorstellungsvermögen. In substanziellen Lernumgebungen erstellen sie Pentominos in der Ebene, untersuchen sie hinsichtlich ihrer geometrischen Eigenschaften und erkennen und beschreiben räumliche Beziehungen. Die SuS experimentieren zunehmend eigenständig mit dem Material im kumulativen Unterrichtsgeschehen.
Um räumliche Beziehungen zwischen den Pentominos zu entdecken und zu begründen, legen die SuS eine vorgegebene Form mit Pentominos aus, stellen ihre Lösungen zeichnerische dar und reflektieren die räumliche Anordnung bezüglich ihrer geometrischen Eigenschaften.
Schriftliche Unterrichtsplanung
Unterrichtsentwurf zum Unterrichtsbesuch im Fach Mathematik (Klasse 3/4)
Thema der Unterrichtsreihe:
„Pentominos“ – Quadratfünflingen auf der Spur.
Ziel der Unterrichtsreihe:
Durch die aktiv-handelnde Auseinandersetzung mit Pentominos erweitern die Schülerinnen und Schüler (SuS) ihre geometrische Kompetenz im Umgang mit ebenen Figuren und fördern ihr Raumvorstellungsvermögen. In substanziellen Lernumgebungen erstellen sie Pentominos in der Ebene, untersuchen sie hinsichtlich ihrer geometrischen Eigenschaften und erkennen und beschreiben räumliche Beziehungen. Die SuS experimentieren zunehmend eigenständig mit dem Material im kumulativen Unterrichtsgeschehen.
Thema der Unterrichtsstunde:
„Pentominos in Form gebracht“ – Auslegen einer vorgegebenen Form, zeichnerisches Darstellen der Lösungen und Untersuchung der räumlichen Beziehungen hinsichtlich der erarbeiteten Eigenschaften der Pentominos.
Ziel der Unterrichtsstunde:
Um räumliche Beziehungen zwischen den Pentominos zu entdecken und zu begründen, legen die SuS eine vorgegebene Form mit Pentominos aus, stellen ihre Lösungen zeichnerische dar und reflektieren die räumliche Anordnung bezüglich ihrer geometrischen Eigenschaften.
Aufbau der Unterrichtsreihe:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Analyse der Sache
Pentominos sind dem Bereich der Geometrie zuzuordnen. „Pentominos sind Figuren aus fünf Quadraten [...] gleicher Größe. Benachbarte Quadrate [...] liegen jeweils Seite an Seite. Zwei Pentominos gelten als verschieden, wenn sie weder durch Drehen noch durch Kippen in die gleiche Lage gebracht werden können. Es gibt zwölf verschiedene Pentominos“ (Hirt/Wälti 2012,S.204). Um im Folgenden konkrete Pentominos benennen zu können, wird auf die Zuordnung bestimmter Buchstaben zurückgegriffen, denn „die Pentominos haben je nach Raumlage Ähnlichkeiten mit Buchstaben“ (Spindeler/Volke (2011, S.24).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
In der Unterrichtsstunde sollen die SuS im ersten Schritt möglichst viele Lösungen finden diese vorgegebene Form mit Pentominos auszulegen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es gibt sieben Möglichkeiten, die vorgegebene Form mit Pentominos auszulegen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das mentale Operieren spielt eine signifikante Rolle. Die SuS „legen“ die Pentominos in der Vorstellung in die vorgegebene Form. An dieser Stelle greift die Fähigkeit eine „zweidimensionale [...] Figur in der Vorstellung schnell und exakt im gedachten Raum bzw. in der Ebene [der vorgegebenen Figur] zu drehen (Franke/Reinhold 2016,S. 72). Durch das Operieren und Auslegen wird die räumliche Situation erfasst und Lagebeziehungen zwischen den einzelnen Pentominos reflektiert. Die Fähigkeit räumliche Beziehungen wahrzunehmen, „beinhaltet vorwiegend das richtige Erfassen räumlicher Anordnungen von Objekten oder Teilen von ihnen und deren Beziehungen untereinander“ (Franke/Reinhold 2016, S.65). Beim Auslegen unterscheidet man zwischen einer systematischen und einer ausprobierenden Vorgehensweise, wobei das Ausprobieren durch Handlungserfahrungen zunehmend systematisiert wird (vgl. Franke/Reinhold 2016,S.314). Die Lösungsmöglichkeiten werden in Form von zeichnerischen Darstellungen auf Kästchenpapier festgehalten. Das Zeichnen dient in diesem Zusammenhang zum Protokollieren der Lösungsmöglichkeiten und zum reflektierten Umgang mit den Eigenschaften der Pentominos. Die SuS können nachvollziehen, welche Legemöglichkeiten ausgeschöpft wurden. Das Kästchenpapier bietet eine Unterstützung im zeichnerischen Prozess, wobei die Schwierigkeit darin besteht, dass das Schülermaterial (Pentominos aus Moosgummi) nicht durch sichtbare Quadrate strukturiert ist, welche direkt auf das Kästchenpapier übertragen werden könnte. Außerdem gehört „zum Zeichnen [...] auch handwerklich-praktisches Geschick, das die visuomotorischen Fähigkeiten wie das Halten und Führen eines Stiftes im Einklang mit dem visuell Wahrgenommenen [...] berührt“ (Franke/Reinhold (2016,S.346).
Durch den reflektierten Umgang mit den Pentominos (s. Leitfragen Arbeitsblatt) und deren räumliche Anordnung wird auf die erarbeiteten Eigenschaften von bestimmten Pentominos zurückgegriffen. Die Leitfragen des Arbeitsblattes regen einen reflektierten Umgang an und fokussieren die Pentominos, die am häufigsten verwendet und die Pentominos, die nicht verwendet wurden.
Die Pentominos „X“, „I“ ,„N“ und „W“ können nicht verwendet werden, da die Formen der Pentominos es nicht zulassen. Bei der Verwendung des „X-Pentomino“ würden immer ein Quadrat oder zwei Quadrate isoliert übrig bleiben, die nicht durch ein weiteres Pentomino ausgelegt werden können. Das „I-Pentomino“ findet durch seine Form (5 Quadrate in einer Reihe) keinen Platz in der vorgegebenen Form. Das „N-Pentomino“ isoliert zwei oder drei Quadrate, die nicht durch ein weiteres Pentomino ausgelegt werden können. Das „W-Pentomino“ begrenzt ein, zwei, drei oder vier Quadarate, die nicht durch ein weiteres Pentomino ausgefüllt werden können. Am häufigsten kann das „P-Pentomino“ verwendet werden, da seine Form es zulässt, dass es mit vielen anderen Pentominos kombiniert werden kann. Das Pentomino ist durch seine einfache Form und durch wenige Ecken leicht kombinierbar.
Differenzierungsauftrag
Der Differenzierungsauftrag hält eine komplexere Auslegeform bereit, die mit vier Pentominos in unterschiedlichen Anordnungen ausgelegt werden kann. Die bereits erworbenen Handlungserfahrungen im Auslegeprozess finden an dieser Stelle Anwendung. Im Fokus der Reflexion steht das systematische Vorgehen. Durch die zeichnerische Darstellung können bestimmte räumliche Lagebeziehungen ausgeschlossen werden. Eine mögliche Reflexion einer Vorgehensweise eines Schülers wäre, dass ein Pentomino einen konstanten Platz einnimmt und die Form zunächst mit möglichen anderen Pentominos „aufgefüllt“ wird. Eine andere Möglichkeit wäre, dass ein Pentomino zunächst alle möglichen Positionen innerhalb der Form einnimmt. Durch die vorherigen Erfahrungen können einige Pentominos aufgrund ihrer geometrischen Eigenschaften als Auslegemöglichkeit ausgeschlossen werden.
Didaktische Begründung – Bedeutung für die Kinder
„In der Grundschule werden vielfältige Aktivitäten in der Ebene mit dem Ziel ausgeführt, bei den Kindern geometrische Einsichten zu fundieren, die Raumvorstellung zu verbessern und eine geometrische Sprachkultur herauszubilden“ (Franke/Reinhold 2016,S.217). Die Entwicklung der Raumvorstellung ist grundlegend für den Geometrieunterricht. Den Kindern soll geholfen werden, „sich in seiner von Formen, Figuren und Körpern mitbestimmten Umwelt mit Hilfe von Raumvorstellungen zurechtzufinden“ (Rickmeyer 1986, S.44). Rickmeyer betont weiter, dass Raumvorstellung auch im beruflichen und alltäglichen Kontext, beispielsweise beim Zusammensetzen von Maschinenteilen oder Zusammennähen von Kleidungsstücken, von elementarer Bedeutung ist. Alltagserfahrungen haben die Kinder bereits beim Auslegen von Flächen, wie beispielsweise beim Puzzeln, gemacht. Außerdem beobachten sie bei Erwachsenen wie Flächen mit Fliesen, Teppichboden oder Parkett auslegt werden können (vgl. Franke/Reinhold 2016, S.314). Durch das Spiel „Tetris“, welches aus der Lebenswirklichkeit der SuS stammt, sind den Kindern Polyominos bekannt. Die Aufgabenstellung wurde ausgewählt, da sie an diese Spielidee und Alltagserfahrungen der SuS anknüpft und durch ihren substantiellen Charakter geometrisches Handeln zulässt. Außerdem wird eine Differenzierung vom Kind aus (natürliche Differenzierung) ermöglicht. Die Aufgabe bietet ein reichhaltiges Spektrum, auf unterschiedlichen Niveaustufen vorzugehen, sodass sie der Leistungsheterogenität gerecht wird. Die SuS können unterschiedlich viele Lösungsmöglichkeiten finden und sich auf verbaler Ebene individuell artikulieren. Die vorangegangene Beschäftigung mit den geometrischen Eigenschaften (zweite Unterrichtseinheit) und die Verschriftlichung der Eigenschaften helfen den schwächeren Schülern im Argumentationsprozess. Der Differenzierungsauftrag kommt ebenfalls der Leistungsheterogenität entgegen. Dieser Auftrag führt die Erfahrungen mit den Pentominos und die Gedankengänge weiter, indem der Fokus auf das systematische Vorgehen gelenkt wird. In der Unterrichtsstunde wurde bewusst eine Form gewählt, die mit zwei Pentominos ausgelegt werden kann, da die SuS noch keine vorgegebene Form mit Pentominos ausgelegt haben und der Fokus aus dem reflektierten Umgang mit den Formen der Pentominos liegt, der durch eine überschaubare Menge an Lösungsmöglichkeiten erleichtert wird. Das Zeichnen der Lösungsmöglichkeiten auf Kästchenpapier bietet den SuS „eine Grundlage für räumliche Darstellungen auf dem Papier“ (Franke/Reinhold 2016, S.345). Dadurch wird es den SuS außerdem ermöglicht, ihre Lösungen festzuhalten, denn Kinder sind „oft enttäuscht, weil sie ihre „Erfindungen“ nicht aufbewahren können“ (Franke/Reinhold 2016, S.345). Darüber hinaus bilden sie eine Grundlage zum Austausch mit dem Arbeitspartner und zur Reflexion im Plenum.
Die Unterrichtsstunde lässt sich im Lehrplan unter dem Bereich „ Raum und Form (vgl. MSW NRW 2008, S.63f.) verorten. Die SuS beschreiben räumliche Beziehungen anhand ihrer Lösungsmöglichkeiten (Bereich: Raum und Form; Schwerpunkt: Raumorientierung und Raumvorstellung). Außerdem legen sie eine vorgegebene Form mit Pentominos aus und verwenden ihnen bekannte Fachbegriffe zur Beschreibung (Bereich: Raum und Form; Schwerpunkt: Ebene Figuren). Ihre Lösungen halten sie zeichnerisch auf Kästchenpapier fest (Bereich: Raum und Form; Schwerpunkt: Zeichnen). Besonderer Schwerpunkt dieser Unterrichtsstunde liegt auf der Förderung der prozessbezogenen Kompetenzen des Problemlösens/Kreativ seins, Argumentierens und Darstellens/Kommunizierens (vgl. MSW NRW 2008, S.59f). Die SuS probieren zunehmend systematisch und zielorientiert aus, alle Lösungsmöglichkeiten zum Auslegen der Figur zu finden. Dabei wählen sie geeignete zeichnerische Darstellungen, um einen Überblick über verwendete Pentominos und bereits gefundene Lösungen zu bekommen (Problemlösen/Kreativ sein). Außerdem spielt der Bereich des Argumentierens eine bedeutsame Rolle. Die SuS erklären anhand der Leitfragen zur Reflexion des Legeprozesses räumliche Lagebeziehungen, gehen auf Gesetzmäßigkeiten der Pentominos ein und vollziehen Begründungen andere SuS in der Austauschphase nach. Durch den Reflexionsprozess, der durch die Leitfragen auf dem Arbeitsblatt angeregt wird, werden argumentative Prozesse bezüglich des geometrischen Handelns hervorgehoben. Rasch betont in Anknüpfung an das Van Hiele Modell zum geometrischen Begriffserwerb, dass „Handlungsaktivitäten alleine nicht ausreichen, um Kinder gezielt auf ihrem Weg zur geometrischen Begriffsbildung zu unterstützen. Praktische Erfahrungen [Form auslegen] müssen vielmehr auch sprachlich reflektiert werden [Leifragen]“ (Franke/Reinhold 2016, S.21). Des Weiteren wird die Kompetenz des Darstellens und Kommunizierens gefördert, indem die SuS ihre Arbeitsergebnisse in zeichnerischer und schriftlicher Form angemessen und nachvollziehbar darstellen und sich in Form eines Gesprächs mit ihrem Arbeitspartner austauschen. An dieser Stelle ist das soziale Lernen hervorzuheben. Der Lerner ist auf sozialen Austausch angewiesen, denn „Verstehen läuft über Verständigung“ (Krauthausen/Scherer 2007,S.165). Die SuS erhalten Einblicke in Lösungen der anderen SuS und können ihre Lösungen ggf. ergänzen. Der Austausch hilft ihre Ergebnisse zu begründen, eine andere Sichtweise auf die Aufgabe zu erhalten und sich gegenseitig auf argumentativer und sprachlicher Ebene zu befruchten. Außerdem werden Arbeitsergebnisse im Plenum dargestellt. Dabei nutzen sie die erworbenen Kenntnisse über die Eigenschaften der Pentominos aus der vorangegangenen Unterrichtseinheit.
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