Fermi-Aufgaben in der Grundschule. Vor- und Nachteile und Implementierung

Bachelorarbeit , 2020 , 55 Seiten , Note: 1,3

Didaktik - Mathematik

Im ersten Teil dieser Arbeit werden Vor- und Nachteile von Fermi-Aufgaben in der Grundschule auf der Grundlage mathematikdidaktischer Literatur herausgearbeitet. Der zweite Teil der Arbeit untersucht Vor- und Nachteile dieses Aufgabenformats aus Sichtweise von Grundschullehrkräften, deren Meinung mithilfe eines Fragebogens eingeholt wurde.

"Was tut ihr in eurem Leben öfter: mit den Augen blinzeln oder atmen?" Fragen wie diese mögen den meisten Lehrkräften auf den ersten Blick ungewöhnlich und wahrscheinlich nicht geeignet für den Mathematikunterricht erscheinen. Trotzdem halten Fermi-Aufgaben mehr und mehr Einzug in die Schulen, auch wenn sie in der Praxis häufig noch zur Verunsicherung beitragen. In dieser Arbeit werden Fermi-Aufgaben zunächst vorgestellt und deren Einsatz im Unterricht näher betrachtet, wodurch die Grundlage geschaffen wird, um sich folgenden Fragen zuzuwenden: Was sind Vor- und Nachteile von Fermi-Aufgaben? Wie nehmen Mathematiklehrkräfte der Primarstufe Fermi-Aufgaben diesbezüglich wahr? Zu deren Beantwortung werden die didaktischen Vor- und Nachteile dieses Aufgabenformats vorgestellt, ebenso wird eine stichprobenartige Lehrerumfrage ausgewertet, um die Einstellung der Lehrkräfte bezüglich Fermi-Aufgaben exemplarisch einzufangen. Begonnen wird nun mit der Einordnung von Fermi-Aufgaben in das Gesamtkonzept des Mathematikunterrichts.

INHALTSVERZEICHNIS

I. EINLEITUNG

II. VERORTUNG VON FERMI-AUFGABEN

III. ENTSTEHUNG VON FERMI-AUFGABEN

IV. WAS SIND FERMI-AUFGABEN?

V. KONKRETE UNTERRICHTSUMSETZUNG
V.1 EINSATZMÖGLICHKEITEN VONFERMI-AUFGABEN
V.2 BEARBEITUNGSSCHRITTE VONFERMI-AUFGABEN
V.3 VORAUSSETZUNGEN FÜR DASBEARBEITEN VONFERMI-AUFGABEN
V.4 DIEROLLE VONLEHRKRAFT UNDSUS

VI. FERMI-AUFGABEN IN DER GRUNDSCHULE
VI.1 EINFÜHRUNG VONFERMI-AUFGABEN

VII. VOR- UND NACHTEILE VON FERMI-AUFGABEN
VII.1 VORTEILE
VII.1.1 MODELLIEREN
VII.1.2 KOMMUNIZIEREN
VII.1.3 GRÖSSEN- UND STÜTZPUNKTVORSTELLUNGEN
VII.1.4 FÄCHERVERBINDENDER EINSATZ
VII.1.5 SINNSTIFTENDER ANLASS ZUR INTERNETRECHERCHE
VII.1.6 DIFFERENZIERUNG
VII.2 NACHTEILE
VII.3 ZWISCHENFAZIT

VIII. EIN MEINUNGSBILD VON LEHRKRÄFTEN
VIII.1 DESIGN DERBEFRAGUNG
VIII.1.1 ERHEBUNGSVERFAHREN
VIII.1.2 PRETEST
VIII.1.3 STICHPROBENUMFANG
VIII.1.4 AUSWERTUNGSVERFAHREN
VIII.2 ERGEBNISSE DERBEFRAGUNG
VIII.2.1 EINSATZ VON FERMI-AUFGABEN
VIII.2.2 WAS SIND FERMI-AUFGABEN?
VIII.2.3 VORTEILE VON FERMI-AUFGABEN
VIII.2.4 NACHTEILE VON FERMI-AUFGABEN
VIII.2.5 BEWERTUNG VON FERMI-AUFGABEN

IX. FAZIT

X. ANHANG

XI. LITERATURVERZEICHNIS

I. Einleitung

„Was tut ihr in eurem Leben öfter: mit den Augen blinzeln oder atmen?“¹ Fragen wie diese mögen den meisten Lehrkräften auf den ersten Blick ungewöhnlich und wahrscheinlich nicht geeignet für den Mathematikunterricht erscheinen. Trotzdem halten Fermi-Aufgaben mehr und mehr Einzug in die Schulen, auch wenn sie in der Praxis häufig noch zur Verunsicherung beitragen.² In dieser Arbeit werden Fermi-Aufgaben zunächst vorgestellt und deren Einsatz im Unterricht näher betrachtet, wodurch die Grundlage geschaffen wird, um sich folgenden Fragen zuzuwenden: Was sind Vor- und Nachteile von Fermi-Aufgaben? Wie nehmen Ma­thematiklehrkräfte der Primarstufe Fermi-Aufgaben diesbezüglich wahr? Zu deren Beant­wortung werden die didaktischen Vor- und Nachteile dieses Aufgabenformats vorgestellt, ebenso wird eine stichprobenartige Lehrerumfrage ausgewertet, um die Einstellung der Lehrkräfte bezüglich Fermi-Aufgaben exemplarisch einzufangen. Begonnen wird nun mit der Einordnung von Fermi-Aufgaben in das Gesamtkonzept des Mathematikunterrichts.

II. Verortung von Fermi-Aufgaben

Fermi-Aufgaben sind, aufgrund ihres Wirklichkeitsbezuges, der Kategorie des Sachrechnens zuzuordnen.³ Im Allgemeinen handelt es sich bei Sachaufgaben um einen schwierigen An­forderungsbereich der Mathematik, da Sachsituationen in ein mathematisches Modell über­tragen werden müssen, bevor eine mathematische Lösung erarbeitet werden kann, welche im Anschluss auf die Sachebene zurückgeführt werden muss.⁴ Ein Vorteil von Sachaufgaben ist die Schulung aller allgemeiner mathematischer Kompetenzen, welche Teil des Bildungs­plans sind.⁵ Die Fähigkeit des Problemlösens wird bei Sachaufgaben beispielsweise trainiert, indem auf Grundlage des Vorwissens Lösungen suchend entdeckt werden, wobei erworbe­nes Wissen abgerufen, neu durchdacht und eventuell umstrukturiert werden muss.⁶ Für die beim Sachrechnen angestoßenen Modellierungsprozesse gilt: Je durchschaubarer die Sach­aufgabe, desto geringer ist der Anspruch an die Modellierungs-Kompetenz, da hierbei das Verstehen der Sachsituation Ausgangspunkt ist.⁷ Zusätzlich wird durch die Verschriftli­chung von Lösungsgedanken das Darstellen angeregt, wobei hierüber gesagt werden kann: Je komplexer die Sachaufgabe ist, desto höher sind die Anforderungen an die Darstellungs- kompetenz.⁸

Generell lassen sich, Renate Rasch zufolge, Sachsituationen drei unterschiedlichen Typen zuordnen. Bei dem simpelsten dieser Aufgabentypen handelt es sich um „normale“ Sachaufgaben, welche auch als Routineaufgaben bezeichnet werden.⁹ Als Beispiel einer Aufgabe für die zweite Klassenstufe lässt sich folgende nennen:

„Die 33 Kobolde des Waldes fürchten den Donner. Als das Gewitter kommt, ver­stecken sich 12 in einer Höhle, die anderen suchen Schutz unter einem großen Stein. Wie viele sind unter dem Stein?“¹⁰

Bei Fragestellungen diesen Formats werden Problemlöse- und Modellierungsfähigkeiten kaum benötigt. Allerdings ist vor allem für Grundschüler und Grundschülerinnen¹¹ niedriger Klassenstufen ein Anspruch bezüglich der Darstellung der Lösung vorhanden, da der im Kopf ablaufende Rechenprozess der symbolischen Ebene einer Rechenaufgabe zugeordnet werden muss.¹² Geschult wird außerdem das Grundverständnis der Rechenoperationen,¹³ sowie die Fähigkeit, Grundvorstellungen einer passenden Rechenoperation zuzuordnen.¹⁴ In der hier genannten Aufgabe wird zum Beispiel nach einer Differenz gesucht, weswegen die­ser die Rechenoperation der Subtraktion oder Addition zugeordnet werden muss.¹⁵ Eine Ab­wandlung dieses Aufgabentyps sind Rechengeschichten, welche die SuS zu einer gegebenen Rechnung selbst formulieren. Da Rechenoperationen dabei durch eine Sachsituation zum Ausdruck gebracht werden müssen, birgt diese Fragestellung einen hohen Mathematisie- rungsanspruch.¹⁶

Ein weiterer Typ von Sachsituationen sind Problemaufgaben. Als Beispiel einer Aufgabenstellung der zweiten Klassen kann folgende herangezogen werden:

„Valeria hat 25 Pokemon-Karten. Maxime hat 13 Karten. Wie viele Karten müsste Valeria an Maxime abgeben, damit beide Kinder gleich viele Karten haben?“¹⁷

Bei diesem Aufgabentyp reichen bisherige Lösungsverfahren und vorhandenes Wissen zu den Grundmodellen der Rechenoperationen nicht aus, um die Aufgabe zu lösen.¹⁸ Stattdes­sen müssen neuartige mathematische Beziehungen analysiert und geknüpft werden, wodurch innermathematisches Denken angeregt wird.¹⁹ Außerdem sind Lösungsstrategien nicht so­fort ersichtlich, sondern werden oftmals durch probierend-suchendes Lösen entdeckt.²⁰ Hier­bei findet eine Schulung der Modellierungskompetenz statt, unter anderem angeregt durch das Erstellen eines Situationsmodells, welches eine Herausforderung darstellt, weil die Aus­gangsbedingungen der Sachsituation oft nicht sofort verstanden werden.²¹

Der letzte anzuführende Sachaufgabentyp wird als authentische Sachsituation be­zeichnet. Ein Beispiel hierfür ist:

„Wissenswertes über Gorillas. In aufrechter Haltung kann ein Gorilla-Männchen immerhin 2,30m groß sein. Die Weibchen wirken nicht ganz so bedrohlich. Sie er­reichen mit etwa 1,60m nicht ganz die durchschnittliche Menschengröße. Überra­schend klein sind die Gorilla-Babys. Sie wiegen bei ihrer Geburt nur etwa 750g. Ein ausgewachsener Gorilla vertilgt bis zu 30kg Früchte und andere Pflanzenteile pro Tag.“²²

Die für Routine- und Problemaufgaben typischen, künstlich geschaffenen Situationen, bei denen Zahlen und Größen in der Regel beliebig austauschbar sind, stehen im Gegensatz zu den in authentischen Sachaufgaben beschriebenen realen Situationen aus der Alltagswelt der Natur, der Technik, des Sports, und so weiter.²³ Sie enthalten authentisches Zahlenmaterial, welches in umfangreiche Texten eingebaut ist.²⁴ Um solche Aufgaben bearbeiten zu können, müssen zunächst wichtige Angaben identifiziert und eine Fragestellung zugeordnet wer- den.²⁵ Da in der Aufgabenstellung oftmals Größenangaben enthalten sind, ist für das Model­lieren solcher Sachsituationen eine Größenvorstellung von Bedeutung, ebenso wie deren Umrechnung beherrscht werden sollte.²⁶ Bei der Durchführung von Sachaufgaben diesen Typs bilden dazugewonnenes Wissen, der fächerverbindende Charakter des Sachrechnens, sowie das Training von Größenvorstellungen und -umrechnen den erzielten Lernzuwachs.²⁷

Rasch, welche die hier ausgeführte Einteilung von Sachaufgaben nahelegt, bezeich­net die für diese Arbeit relevanten Fermi-Aufgaben als Erweiterung des zuletzt genannten Typs der authentischen Sachaufgaben.²⁸ Schmitt-Ferreira ordnet sie etwas allgemeiner den sehr offenen Sachaufgaben zu,²⁹ zu welchen authentische Sachsituationen allerdings gezählt werden können. Im nachfolgenden Kapitel wird zunächst die Herkunft von Fermi-Aufgaben geklärt, bevor sich noch näher mit den Eigenschaften dieses Aufgabenformats beschäftigt wird.

III. Entstehung von Fermi-Aufgaben

Erfunden wurden Fermi-Aufgaben von dem Namensgeber und Physik-Nobelpreisträger En­rico Fermi, welcher von 1901 bis 1954 lebte.³⁰ Wegen seiner grundlegenden Arbeit zur Nuk- learforschung,³¹ zählt er zu den bedeutendsten Physikern des 20. Jahrhunderts.³² Typisch für ihn war es, während laufenden Experimenten, trotz mangelnder Information, spontan gute Abschätzungen der Ergebnisse zu liefern, bevor die Messungen überhaupt ausgewertet wa- ren.³³ Außerdem vertrat er die Meinung, jeder denkende Mensch müsse zu jeder Frage eine Antwort finden,³⁴ weswegen er sich in seinen Vorlesungen ungewöhnliche, scheinbar unlös­bare Probleme ausdachte.³⁵ Fermis Grundgedanke dabei war, dass, um bei komplexen Prob­lemen eine genaue Lösung zu ermitteln, oftmals ein recht hoher Aufwand betrieben werden muss. Setzt man allerdings den Anspruch etwas herab und konzentriert sich nicht länger auf eine exakte, sondern auf eine nur annähernd richtige Lösung, lässt sich diese, durch Schät­zen, Recherchieren und Kombinieren von Informationen, mit verhältnismäßig wenig Auf­wand bestimmen.³⁶ Als Beispiel lässt sich hierfür die wohl bekannteste seiner Aufgaben heranziehen, welche Fermi seinen Studenten stellte: „Wie viele Klavierstimmer gibt es wohl in Chicago?“³⁷. Bei der Bearbeitung ebendieser Fragestellung schätzte er zunächst die Ein­wohnerzahl Chicagos auf drei Millionen Menschen, sowie die Größe einer durchschnittli­chen Familie auf vier Personen.³⁸ Zudem traf er die Annahme, jede dritte Familie besitze wohl ein Klavier, weswegen in Chicago rund 250.000 Klaviere zu stimmen seien. Da ein Klavierstimmer pro Tag vier Klaviere stimmen kann, kommt dieser bei 250 Arbeitstagen pro Jahr durchschnittlich auf 1000 gestimmte Klaviere. Zusammen mit der Annahme, ein Klavier müsse circa alle zehn Jahre gestimmt werden, erhält Fermi das Ergebnis, mindestens 25 Klavierstimmer seien von Nöten, um alle Klaviere Chicagos zu stimmen.³⁹

Obwohl der Physik-Professor diese Art der Aufgabenstellung zunächst für seine Vor­lesungen und Laborarbeiten entwickelte,⁴⁰ gibt es heutzutage eine Vielzahl von bewährten Fermi-Aufgaben für die Grundschule, welche sich an dem Vorbild Fermis orientieren.⁴¹ Was genau dieses Aufgabenformat in der Schulpraxis nun ausmacht, welche typische Eigenschaf­ten genannt werden können und wie das alles im Unterricht umgesetzt werden kann wird Thema des sich anschließenden Kapitels sein.

IV. Was sind Fermi-Aufgaben?

Wie im Kontext der Verortung von Fermi-Aufgaben bereits ausgeführt wurde, gehören diese, aufgrund ihres Wirklichkeitsbezugs, zur Kategorie des Sachrechnens.⁴² Kaufmann be­schreibt Fermi-Aufgaben als „komplexe Probleme, die keine oder unzureichende numerische Informationen ent­halten. Die erforderlichen Daten müssen geschätzt bzw. über plausible Annahmen aufgestellt werden“.⁴³

Als Ziel nennt sie die Fähigkeit über vernünftige, begründbare Annahmen eine ungefähre Größenordnung zu erlangen,⁴⁴ was der Grundidee Fermis entspricht durch Schätzen und Re­cherchieren nach einer leichter zu ermittelnden, annähernd richtigen Lösung zu suchen. Leu- ders führt darüber hinaus die Vernetzung von Alltagswissen mit Mathematik, das Trainieren selbstständiger Arbeitsstrategien, sowie die Entwicklung von Größenvorstellungen als wei­tere Lernziele an.⁴⁵ Im Allgemeinen handelt es sich bei Fermi-Aufgaben um Alltagssituati­onen der kindlichen Lebenswelt entspringende Fragestellungen, über die man normalerweise noch nicht nachgedacht hat.⁴⁶ Diese laden, Schmitt-Ferreira zufolge, Kinder zum Schmun­zeln und Staunen ein.⁴⁷ Renate Rasch ordnet das Aufgabenformat darüber hinaus den Ge­staltungsproblemen zu, welche durch eine gewisse Unbestimmtheit und Offenheit gekenn­zeichnet sind.⁴⁸ Die zur Lösung notwendigen Daten sind, wie auch das einführende Zitat Kaufmanns erwähnte, nicht vollständig gegeben und müssen teilweise durch Schätzen, Mes­sen oder Recherchieren ermittelt werden,⁴⁹ wodurch die SuS sozusagen einen Forschungs­auftrag bekommen.⁵⁰ Da die Aufgabenstellungen bei Fermi-Aufgaben häufig völlig ohne Zahlen auskommen,⁵¹ sehen sie mehr nach einer unspezifischen Alltagsfrage, als nach einer Mathematikaufgabe aus,⁵² was bei SuS oftmals Verwunderung auslöst, wie folgendes Zitat eines Drittklässlers offenlegt: „Das sind doch keine Aufgaben. Da weiß man ja nicht, was man rechnen muss!“.⁵³ SuS, die mit Aufgaben dieser Art noch nicht vertraut sind, neigen bei der Lösung in der Regel zu willkürlichem Raten.⁵⁴ Sie erkennen nicht, dass eine eindeutige Lösung gar nicht ermittelbar ist,⁵⁵ sondern es um einen Näherungswert, um ein realistisches, glaubwürdiges Ergebnis geht.⁵⁶ Bei Fermi-Aufgaben gibt es kein richtig oder falsch, statt­dessen handelt es sich um plausible oder unplausible Lösungen.⁵⁷ Es geht nicht um das Be­stimmen einer exakten Größe, sondern um eine ungefähre Größenordnung.⁵⁸ Fangen die SuS, aufgrund der fehlenden Daten, nicht an die Lösung zu erraten, nehmen sie die Frage­stellung meist als unlösbar wahr.⁵⁹ Allerdings bedarf es bei realen Problemen aus der Le­benswelt von Kindern und Erwachsenen ebenfalls einer Auseinandersetzung mit der Sach­situation, bei welcher Informationen eingeholt werden müssen.⁶⁰ Möchte man beispiels­weise eine Wand streichen, muss zunächst die Größe der zu streichenden Fläche ermittelt und anschließend die Information eingeholt werden, für wie viele Quadratmeter ein Farbei­mer ausreicht.⁶¹ Demzufolge kommt man ohne Problemlöse- und Modellierungsfähigkeiten weder bei Fermi-Aufgaben noch bei den realen Anforderungen des Lebens weit.⁶²

V. Konkrete Unterrichtsumsetzung

Im vorherigen Kapitel wurden grundlegende Eigenschaften von Fermi-Aufgaben vorge­stellt, welche nun um die Möglichkeiten zur konkreten unterrichtlichen Umsetzung ergänzt werden. Begonnen wird hierbei mit der Arbeitsform und den Einsatzmöglichkeiten von Fermi-Aufgaben.

V.1 Einsatzmöglichkeiten von Fermi-Aufgaben

Aufgrund der komplexen Anforderungen von Fermi-Aufgaben raten sowohl Rasch als auch Schmitt-Ferreira zu einer Bearbeitung in Kleingruppen.⁶³ Da die alleinige Bearbeitung in der Regel als zu schwer empfunden wird, plädiert auch Peter-Koop für eine Zusammenarbeit mit anderen,⁶⁴ worin sie zugleich die durch die Art der Problemstellung gegebene intrinsi­sche Motivation zur mathematischen Interaktion und Kooperation mit Mitschülern verankert sieht.⁶⁵ Im Gegensatz zur Einheit mathematikdidaktischer Literatur bezüglich der Gruppen­arbeit als Arbeitsform, sind im Blick auf die Zusammensetzung ebensolcher Gruppen unter­schiedliche Meinungen anzutreffen. Schmitt-Ferreira und Boesten raten zu heterogenen Lerngruppen von drei bis fünf SuS.⁶⁶ Der Frage nach der Gruppenzusammensetzung tritt Kaufmann etwas freier entgegen, indem sie empfiehlt, die Vor- und Nachteile leistungsho­mogener und -heterogener Gruppen abzuwägen, um im Einzelfall darüber zu entscheiden, damit möglichst viele Kinder aktiv in der Gruppenarbeit eingebunden sind.⁶⁷ Sie äußert al­lerdings das Bedenken, dass die Lernerfolge schwächerer SuS in leistungsheterogenen Grup­pen häufig zu optimistisch eingeschätzt werden, und deren eigentliches Verhalten eher als passiv oder zurückgezogen zu beurteilen wäre.⁶⁸ Noch deutlicher spricht sich Peter-Koop für eine homogene Gruppenzusammensetzung aus, da sich bei einer von ihr durchgeführten Studie⁶⁹ herausstellte, dass homogene Gruppen, welche ausschließlich aus leistungsschwa­chen SuS bestehen, nicht zwangsläufig zu falschen oder unvollständigen Ergebnissen kom- men.⁷⁰ Begründet sieht sie dies vor allem in der Bedeutung des Gruppenklimas für das Ein­bringen von Vorschlägen seitens leistungsschwacher SuS. Denn fühlt sich ein Kind in einer Gruppe wohl und akzeptiert, traut es sich eher (eventuell falsche) Vermutungen zu äußern, ohne Angst zu haben sich zu blamieren.⁷¹ Gestützt wird diese Vermutung zusätzlich durch die Beobachtung leistungsheterogener Gruppen, in welchen meist leistungsstarke Kinder die Führung übernahmen und schwächere SuS sich weniger oder gar nicht am Lösungsprozess beteiligten.⁷²

Über die bereits genannte Gruppenarbeit hinaus finden Fermi-Aufgaben ihren Ein­satz in Einzelarbeiten für besonders begabte SuS, als Fermi-Aufgabe des Monats an einer Knobelwand oder in Fermi-AGs, welche an Ganztagsschulen angeboten werden können.⁷³ Außerdem besteht die Möglichkeit SuS eigene Aufgaben erfinden zu lassen, was die Moti­vation zur deren Bearbeitung fördern kann.⁷⁴ Abgeraten wird davon, Fermi-Aufgaben als Möglichkeit zur schnellen Differenzierung einzusetzen, da es sich um sehr komplexe Auf­gaben handelt,⁷⁵ bei denen oftmals ungewöhnliche Herangehensweisen von Nöten sind, wes­wegen für eine Bearbeitung genügend Zeit zur Verfügung stehen sollte.⁷⁶ Bei allen hier ge­nannten Einsatzmöglichkeiten dieses Aufgabentyps wird ein ähnliches Muster an aufeinan­derfolgenden Bearbeitungsschritten durchlaufen, welche nun näher betrachtet werden.

V.2 Bearbeitungsschritte von Fermi-Aufgaben

Kaufmann führt als einen wichtigen Grundsatz zunächst das Vermeiden zu enger Zeitvorga­ben an. Darüber hinaus betont sie die Bedeutung der Darstellung des Lösungswegs, die Prä­sentation der Gruppenergebnisse, sowie die Reflexion und Beurteilung unterschiedlicher Vorgehensweisen.⁷⁷ Schmitt-Ferreira erkennt ebenfalls den Stellenwert der soeben genann­ten Punkte an, stellt jedoch einen etwas ausführlicheren Bearbeitungsablauf vor, welchen er anhand der Aufgabe:

„Wenn alle Schüler deiner Schule Hand in Hand eine Kette bilden würden, könnte diese Schülerkette dein Schulgebäude umschließen?“⁷⁸

ausführt. Als ersten Schritt nennt er das gemeinsame Lesen der Fermi-Aufgabe, dem der Stuhlkreis zum Austausch über die Aufgabe folgt.⁷⁹ Hierbei besteht die Möglichkeit die Vor­erfahrungen der Kinder zu aktivieren und aus dem alltäglichen Unterricht kommend eine Brücke zu Fermi-Aufgaben zu schlagen.⁸⁰ Wichtig ist bei diesem Schritt das Vorhandensein eines Grundverständnisses jedes einzelnen Schülers und jeder einzelnen Schülerin zu dem ungewöhnliche Aufgabenformat. In Bearbeitungsschritt drei erfolgt nun das gemeinsame Ideensammeln in Kleingruppen, wobei während des Austausches festgestellt werden sollte, dass nicht alle notwendigen Angaben gegeben sind.⁸¹ In dem hier genannten Beispiel erge­ben sich Fragen wie:

„Wie viele [SuS] gehen auf unsere Schule? Wie breit ist die Armspanne eines [SuS]? Wie groß ist der Umfang der Schule?“,⁸²

denen die SuS im darauffolgenden Schritt nachgehen. Denn dieser besteht darin, fehlende Daten zu ermitteln.⁸³ Die Fermi-Aufgabe zur Schülerkette um die eigene Schule betreffend, kann die Schülerzahl bei der Mathematiklehrkraft erfragt oder durch Interviewen einzelner SuS, sowie über die Schulhomepage herausgefunden werden. Die Armspanne eines Schü­lers, beziehungsweise einer Schülerin, und der Umfang der Schule können geschätzt oder gemessen werden.⁸⁴ Beim darauf folgenden fünften Schritt geht es darum, Zahlen sinnvoll miteinander zu kombinieren - es wird gerechnet.⁸⁵ Voraussetzung dafür sind das Verständ­nis der Grundrechenarten, sowie die Fähigkeit diese situationsbezogen anzuwenden.⁸⁶ Rich­tet man den Blick auf die hier genannte Beispielaufgabe, müssen die SuS den als Repräsen­tant für die Armlänge eines Schülers, beziehungsweise einer Schülerin, gewählten Wert mit der Gesamtschüleranzahl der Schule multiplizieren. Das Ergebnis dieser Rechnung liefert den Vergleichswert zum Umfang der Schule.⁸⁷ Diese zwei Werte müssen miteinander in Beziehung gesetzt werden, um die Fragestellung beantworten zu können. In Schritt sechs wird nun das Ergebnis festgehalten,⁸⁸ welches im siebten Bearbeitungsschritt auf seine Plau­sibilität geprüft werden muss.⁸⁹ Diese Überprüfung der Lösung ist, wenn auch bei SuS un­beliebt, wichtig, um zu einer ernsthaften Lösung zu kommen.⁹⁰ Erscheint das Ergebnis nicht plausibel, werden Schritt vier bis sechs nochmals durchlaufen. Sind diese zufriedenstellend abgeschlossen, stellen die einzelnen Gruppen ihre Ergebnisse vor, welche in Schritt neun gemeinsam diskutiert und miteinander verglichen werden.⁹¹ Damit es zu einer solchen Dis­kussion überhaupt kommen kann, ist es wichtig, dass alle Gruppen dieselbe Aufgabe bear­beitet haben. Gerade die Reflexion unterschiedlicher Lösungswege trägt eine hohe Bedeu­tung, da, je nach Aufgabe, Rechenweg und Ausgangswerte stark variieren können.⁹² Peter- Koop beobachtete in ihrer schon zuvor erwähnten Studie ein anfängliches Staunen der Kin­der über die unterschiedlichen Ergebnisse derselben Fermi-Aufgabe.⁹³ Mit der Zeit verschob sich allerdings die Aufmerksamkeit der SuS weg von dem tatsächlichen Ergebnis, hin zum jeweiligen Lösungsweg. Die Kinder wollten nun wissen, wie die einzelnen Gruppen zu ihren Lösungen gelangten, wodurch sie mehr und mehr zu verstehen begannen, auf welche Weise die unterschiedlichen Ergebnisse zustande kamen und welcher Zusammenhang zum Lö­sungsweg der jeweiligen Gruppe besteht.⁹⁴

Klapp fasst die Bearbeitung einer Fermi-Aufgabe etwas knapper in folgende Phasen zusammen: begonnen wird beim Verstehen der Aufgabe, woraufhin es zum Ausdenken und Umsetzen eines Plans kommt, welchem das Festhalten, sowie die Präsentation der Lösung folgt.⁹⁵ Im Großen und Ganzen wird bei beiden Ansätzen ein ähnlicher Ablauf empfohlen, ebenso wie Kaufmann, Schmitt-Ferreira und auch Klapp die Bedeutung des Präsentierens der Lösung, sowie deren Reflexion und Diskussion betonen. Da jede Fermi-Aufgabe etwas unterschiedliche Anforderungen an die SuS stellt und verschiedene Handlungen zur Lösung erforderlich sind, sieht die konkrete Bearbeitung von Fall zu Fall etwas anders aus. Im All­gemeinen lässt sie sich jedoch in die soeben vorgestellten Muster einordnen.

Boesten beobachtet, über solche Bearbeitungsschritte hinaus, wiederkehrende ma­thematische Handlungen, welche bei der Auseinandersetzung mit Fermi-Aufgaben durch­laufen werden. Genannt wird unter anderem das Schätzen von Anzahlen und Größen, das Umrechnen und Hochrechnen von Größen, sowie das In-Beziehung-Setzen von gegebenen Daten und die Kombination von Schätzwerten mit vorhandenen Informationen.⁹⁶ An einige dieser mathematischen Handlungen sind gewisse Qualifikationen gebunden, welche die SuS beherrschen sollten, bevor sie der Herausforderung gegenüber gestellt werden, eine Fermi- Aufgabe zu bearbeiten. Ebendiese Grundlagen zur Bearbeitung von Fermi-Aufgaben werden im folgenden Abschnitt betrachtet.

V.3 Voraussetzungen für das Bearbeiten von Fermi-Aufgaben

Auch Grassmann verweist darauf, dass Fermi-Aufgaben nicht voraussetzungslos einzuset­zen sind, sondern es einer sorgfältigen Vorbereitung bedarf, da SuS einige Teilqualifikatio­nen beherrschen sollten, bevor der Einsatz dieses Aufgabenformats als sinnvoll erscheint.⁹⁷ Die vorauszusetzenden Kompetenzen sollten schrittweise erlernt werden.⁹⁸ Eine allgemeine Bedingung für das erfolgreiche Lösen von Fermi-Aufgaben ist ein Verständnis der Grund­rechenarten, deren Operationen routiniert ausgeführt werden können sollten.⁹⁹ Außerdem ist es notwendig, diese in Sachkontexten anwenden zu können, was eine Vertrautheit mit dem Lösen von Sachaufgaben miteinschließt.¹⁰⁰ Darüber hinaus ist es sinnvoll im Vorhinein mit den SuS Gruppenarbeit zu trainieren, damit diese eine solche Unterrichtsform schon ken- nen.¹⁰¹ Vor allem im Blick auf die letzten Schritte der Bearbeitung von Fermi-Aufgaben sollten SuS es außerdem gewöhnt sein, eigene Lösungswege so darzustellen und zu präsen­tieren, dass ihre Mitschüler diese nachvollziehen können.¹⁰² Des Weiteren ist es hilfreich, die Reflexion und Beurteilung von Lösungswegen im Vorhinein geübt zu haben,¹⁰³ ebenso wie die heuristische Strategie des Formulierens von Hilfsfragen.¹⁰⁴ Eine weitere sehr wich­tige Grundlage für Fermi-Aufgaben ist die Fähigkeit verschiedene Möglichkeiten der Infor­mationsbeschaffung zu kennen, wie beispielsweise Messen, Wiegen, Informationen in Le­xika nachschlagen oder im Internet zu recherchieren.¹⁰⁵ Demnach sollten die SuS im Suchen und Finden von fehlenden Daten schon geübt sein.¹⁰⁶ Miteinbezogen werden kann in diese Informationsbeschaffung auch das Schätzen, für das eine gewisse Größen- und Stützpunkt­vorstellung seitens der SuS vorhanden sein sollte,¹⁰⁷ damit sie unter anderem abschätzen können in welcher Größenordnung das Ergebnis ungefähr liegen muss.¹⁰⁸ Damit zusammen­hängend sollten SuS Größen um- und hochrechnen können,¹⁰⁹ ebenso wie sie im Runden routiniert sein sollten. Die Fähigkeit zu Runden trägt bei Fermi-Aufgaben eine besondere Bedeutung, da viele Werte von den SuS selbst ermittelt werden, wodurch häufig Komma­zahlen, beziehungsweise Zahlen entstehen, mit denen nur schwer gerechnet werden kann.¹¹⁰ Versuchen sie mit solchen Zahlen weiterzuarbeiten, stoßen Grundschulkinder oftmals an die Grenzen ihrer Rechenfertigkeiten, weswegen diese Zahlen zu leichter handhabbaren Zahlen gerundet werden müssen. Da Kinder jedoch meist mit genauen Zahlen rechnen wollen, muss eine starke Ermutigung seitens der Lehrkraft hin zum Runden ungeschickter Zahlen stattfin- den.¹¹¹

Beim Einsatz von Fermi-Aufgaben bedarf es nicht nur der hier genannten Voraus­setzungen, um für die Bearbeitung solcher Aufgaben vorbereitet zu sein, es ist außerdem eine besondere Rolle sowohl von Seiten der Lehrkraft als auch von den SuS einzunehmen. Diesen Rollen wird sich im folgenden Unterkapitel zugewandt.

V.4 Die Rolle von Lehrkraft und SuS

Fermi-Aufgaben stellen, Kaufmann folgend, sowohl an die Lehrkraft, als auch an die SuS andere Anforderungen als sonst üblicher Mathematikunterricht.¹¹² Die Kinder sollen sich selbstständig mit der Aufgabe auseinandersetzen,¹¹³ weswegen sie eine rezipierende und re­produzierende Rolle verlassen müssen, um die Verantwortung für ihr eigenes Arbeitsverhal­ten zu übernehmen, dieses selbst zu planen und zu gestalten.¹¹⁴ Aus diesem Grund gilt eine gewisse Zurückhaltung seitens der Lehrkraft als angebracht, deren Verhalten außerdem durch sorgfältige Beobachtung des Lösungsprozesses und durch Zurverfügungstellen aller benötigter Materialien geprägt sein sollte.¹¹⁵ Der Lehrende sollte während der Bearbeitungs­zeit Irrwege und Fehler einzelner Gruppen zulassen, ebenso wie er lieber auf Informations­quellen verweisen sollte, als selbst zu viele Informationen weiterzugeben.¹¹⁶ Außerdem kann dieser, bei schwer zu ermittelnden Fakten, Tipps und Denkanstöße geben, sollte aber nicht vorschnell eingreifen, da SuS mit ein wenig Überlegung die Hilfestellung eventuell gar nicht benötigen.¹¹⁷ Rasch vertritt die Meinung, die Lehrkraft könne den Lösungsprozess der SuS vor allem unterstützen, indem sie eine vorbereitete Lernumgebung schafft und die Darstel­lung des Vorgehens durch ein vorgegebenes Arbeitsblatt strukturiert.¹¹⁸ Schmitt-Ferreira setzt dem entgegen, dass das schriftliche Festhalten der Vorgehensweise am effektivsten mit einem leeren Blatt ist und einzelne SuS nur bei gering ausgeprägter Modellierungs- und Problemlösekompetenz durch ein vorgefertigtes Arbeitsblatt unterstützt werden sollten.¹¹⁹

Da nun die Möglichkeiten der unterrichtlichen Umsetzung von Fermi-Aufgaben anhand deren Einsatzmöglichkeiten, den Bearbeitungsschritten und der Rolle von Lehrkraft und SuS aufgezeigt wurden, wird sich im nächsten Kapitel auf Grundlage dieser Möglich­keiten der Frage zugewandt, ob es sich bei Fermi-Aufgaben um ein für die Grundschule geeignete Aufgabenformat handelt.

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¹ Jan Boesten, Die Mathe-Knobel-Kartei: Fermi Aufgaben, Klasse 3-6: Offene Aufgaben in 3 Schwie­rigkeitsstufen mit Lösungshilfen, Kartei (Mülheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr, 2013). Weiterhin zitiert als: Jan Boesten, Kartei.

² Vgl. Sabine Kaufmann, „Fermi-Fragen - auch in der Grundschule! Plädoyer für ein anspruchsvol­les Aufgabenformat“, Mathematik differenziert 1 (2014): 12. Weiterhin zitiert als: Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat.

³ Vgl. Sabine Kaufmann, „Fermi-Aufgaben in der Grundschule“ in Mosaiksteine moderner Schul­mathematik, Jürgen Schönbeck (Heidelberg: Mattes Verlag, 2008), 41. Weiterhin zitiert als: Sabine Kaufmann, Fermi-Aufgaben in der Grundschule.

⁴ Vgl. ebd.

⁵ Vgl. Renate Rasch, „Von der Routineaufgabe bis zur Fermi-Aufgabe“, Grundschulzeitschrift 283/284 (2015): 31. Weiterhin zitiert als: Renate Rasch, Von der Routine Aufgabe bis zur Fermi-Aufgabe.

⁶ Vgl. ebd., 32.

⁷ Vgl. ebd.

⁸ Vgl. ebd.

⁹ Vgl. ebd.

¹⁰ Ebd.

¹¹ Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird für „Schülerinnen und Schüler“ die gängige Abkürzung SuS verwendet. Ist dies aufgrund des Satzbaus, beziehungsweise in diesem Fall aufgrund des zusammenge­setzten Wortes, nicht möglich, werden beide Formen ausgeschrieben.

¹² Vgl. ebd., 33.

¹³ Vgl. ebd., 35.

¹⁴ Vgl. ebd., 33.

¹⁵ Vgl. ebd.

¹⁶ Vgl. ebd.

¹⁷ Ebd.

¹⁸ Vgl. ebd.

¹⁹ Vgl. ebd., 35.

²⁰ Vgl. ebd., 33.

²¹ Vgl. ebd.

²² Ebd.

²³ Vgl. ebd.

²⁴ Vgl. ebd., 33f.

²⁵ Vgl. ebd., 34.

²⁶ Vgl. ebd.

²⁷ Vgl. ebd., 35.

²⁸ Vgl. ebd., 34.

²⁹ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, „Sachrechnen mit weiten Wegen: offene Sachaufgaben lösen.“, Grundschulzeitschrift 283/284 (2015): 50.

³⁰ Vgl. ebd.

³¹ Vgl. Andrea Peter-Koop, „Wie viele Autos stehen in einem 3-km-Stau? - Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen“ in Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Silke Ruwisch und Andrea Peter-Koop, 9. Auflage (Offenburg: Mildenberger Verlag, 2003), 114. Weiterhin zitiert als: Andrea Peter-Koop, Modellierungsprozesse.

³² Vgl. Sabine Kaufmann, „Umgang mit unvollständigen Aufgaben: Fermi-Aufgaben in der Grund­schule“, Grundschulzeitschrift 191 (2006): 16. Weiterhin zitiert als: Sabine Kaufmann, Umgang mit unvoll­ständigen Aufgaben.

³³ Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 12.

³⁴ Vgl. Sabine Kaufmann, Umgang mit unvollständigen Aufgaben, a.a.O., 16.

³⁵ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

³⁶ Vgl. Jan Boesten, Die Mathe-Knobel-Kartei: Fermi Aufgaben, Klasse 3-6: Offene Aufgaben in 3 Schwierigkeitsstufen mit Lösungshilfen, Begleitheft (Mülheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr, 2013), 7. Wei­terhin zitiert als: Jan Boesten, Begleitheft.

³⁷ Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

³⁸ Vgl. ebd.

³⁹ Vgl. ebd.

⁴⁰ Vgl. Andrea Peter-Koop, Modellbildungsprozesse, a.a.O., 114.

⁴¹ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

⁴² Vgl. Sabine Kaufmann, Fermi-Aufgaben in der Grundschule, a.a.O., 41.

⁴³ Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 12.

⁴⁴ Vgl. Sabine Kaufmann, Umgang mit unvollständigen Aufgaben, a.a.O., 16.

⁴⁵ Vgl. Timo Leuders, Qualität im Mathematikunterricht: in der Sekundarstufe I und II (Berlin: Cor­nelsen Verlag Scriptor GmbH & Co. KG, 2001), 105.

⁴⁶ Vgl. Renate Rasch, Von der Routineaufgabe bis zur Fermi-Aufgabe, a.a.O., 34.

⁴⁷ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

⁴⁸ Vgl. Renate Rasch, Von der Routineaufgabe bis zur Fermi-Aufgabe, a.a.O., 34.

⁴⁹ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

⁵⁰ Vgl. Renate Rasch, Von der Routineaufgabe bis zur Fermi-Aufgabe, a.a.O., 34.

⁵¹ Vgl. Marianne Grassmann, „Es geht auch ohne...: Anregungen zum Einsatz von Fermi-Aufga­ben“, Grundschule: ihre verlässliche Partnerin 40 (2008): 34. Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50. Vgl. Jan Boesten, Begleitheft, a.a.O., 6.

⁵² Vgl. ebd. Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

⁵³ Marianne Grassmann, a.a.O., 34.

⁵⁴ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

⁵⁵ Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 6.

⁵⁶ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

⁵⁷ Vgl. Holger Klapp, „So viel Kopierpapier.? Fermi-Aufgaben mit Bezug zur eigenen Schule“, Mathematik: Unterricht, Aufgaben, Materialien 5 bis 10 28 (2014): 6.

⁵⁸ Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat“, a.a.O., 12.

⁵⁹ Vgl. Jan Boesten, Begleitheft, a.a.O., 8.

⁶⁰ Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 34.

⁶¹ Vgl. ebd.

⁶² Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50f.

⁶³ Vgl. ebd., 51. Vgl. Renate Rasch, Von der Routineaufgabe bis zur Fermi-Aufgabe, a.a.O., 34.

⁶⁴ Vgl. Andrea Peter-Koop, Modellbildungsprozesse, a.a.O., 115.

⁶⁵ Vgl. Andrea Peter-Koop, „Grundschulkinder bearbeiten Fermi-Aufgaben in Kleingruppen: Empi­rische Befunde zu Interaktionsmustern“ in Wie rechnen Matheprofis? Ideen und Erfahrungen zum offenen Mathematikunterricht: Festschrift für Sybille Schütte zum 60. Geburtstag, Elisabeth Rathgeb-Schnierer und Udo Roos (München: Oldenbourg Schulbuchverlag, 2005), 47. Weiterhin zitiert als: Andrea Peter-Koop, Em­pirische Befunde zu Interaktionsmustern.

⁶⁶ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 51. Vgl. Jan Boesten, Begleitheft, a.a.O., 10.

⁶⁷ Vgl. Sabine Kaufmann, „Wie oft dreht sich ein Vorderrad, wenn du mit dem Fahrrad nach Heidel­berg fährst? Mathematisieren von Sachsituationen“ in Wie rechnen Matheprofis? Ideen und Erfahrungen zum offenen Mathematikunterricht: Festschrift für Sybille Schütte zum 60. Geburtstag, Elisabeth Rathgeb-Schnierer und Udo Roos (München: Oldenbourg Schulbuchverlag, 2005), 40. Weiterhin zitiert als: Sabine Kaufmann, Mathematisieren von Sachsituationen.

⁶⁸ Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 15.

⁶⁹ Die besagte Studie wurde in einer vierten Klasse durchgeführt (vgl. Andrea Peter-Koop, Modell­bildungsprozesse, a.a.O., 111), welche zur Bearbeitung von Fermi-Aufgaben in vier Gruppen mit jeweils vier bis fünf SuS aufgeteilt wurde (vgl. ebd., 118). Aufgrund des Hinweises der Klassenlehrerin, die Kinder wissen selbst mit wem sie gut zusammenarbeiten können, bildeten sich zwei leistungsheterogene Gruppen und zwei leistungshomogene, in welchen ausschließlich schwächere Kinder vorzufinden waren (vgl. ebd.). Die Bearbei­tung der Aufgaben wurde bei jeder Gruppe gefilmt und von jeweils zwei Studierenden betreut (vgl. ebd., 119).

⁷⁰ Vgl. ebd., 124.

⁷¹ Vgl. ebd.

⁷² Vgl. ebd., 124f.

⁷³ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 53.

⁷⁴ Vgl. Jan Boesten, Begleitheft, a.a.O., 11.

⁷⁵ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 53.

⁷⁶ Vgl. Jan Boesten, Begleitheft, a.a.O., 11.

⁷⁷ Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 15.

⁷⁸ Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 50.

⁷⁹ Vgl. ebd., 53.

⁸⁰ Vgl. ebd., 52.

⁸¹ Vgl. ebd., 51.

⁸² Ebd.

⁸³ Vgl. Vgl. Timo Leuders, a.a.O., 104. Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 53.

⁸⁴ Vgl. ebd., 51.

⁸⁵ Vgl. ebd., 53.

⁸⁶ Vgl. ebd., 51.

⁸⁷ Vgl. ebd.

⁸⁸ Vgl. ebd., 53.

⁸⁹ Vgl. Timo Leuders, a.a.O., 104.

⁹⁰ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 51. 53.

⁹¹ Vgl. ebd., 53.

⁹² Vgl. ebd., 51.

⁹³ Vgl. Andrea Peter-Koop, Modellbildungsprozesse, a.a.O., 128.

⁹⁴ Vgl. ebd.

⁹⁵ Vgl. Holger Klapp, a.a.O., 6.

⁹⁶ Vgl. Jan Boesten, Begleitheft, a.a.O., 9.

⁹⁷ Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 34.

⁹⁸ Vgl. Timo Leuders, a.a.O., 104.

⁹⁹ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 52.

¹⁰⁰ Vgl. Julia Hülse und Bernd Neubert, „Putzt du in der Woche mehr als eine Stunde lang deine Zähne? Förderung des Kommunizierens mit Fermi-Aufgaben“Grundschulunterricht Mathematik 62 (2015): 29.

¹⁰¹ Vgl. ebd. Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 15.

¹⁰² Vgl. ebd. Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 15. Vgl. Julia Hülse u.a., a.a.O., 29. Vgl. Sabine Kaufmann, Umgang mit unvollständigen Aufgaben, a.a.O., 19.

¹⁰³ Vgl. ebd. Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 15.

¹⁰⁴ Vgl. Timo Leuders, a.a.O., 104.

¹⁰⁵ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 52. Vgl. Sabine Kaufmann, Umgang mit unvollständigen Aufgaben, a.a.O., 19.

¹⁰⁶ Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 15. Vgl. Mari­anne Grassmann, a.a.O., 34.

¹⁰⁷ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 52. Vgl. Julia Hülse u.a., a.a.O., 29.

¹⁰⁸ Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 34.

¹⁰⁹ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 52. Vgl. Timo Leuders, a.a.O., 104.

¹¹⁰ Vgl. ebd. Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 52.

¹¹¹ Vgl. ebd. Auch Leuders spricht bei seinen später noch näher erläuterten Qualitätsaspekten guter Aufgaben von einem Durchbrechen der Exaktheit, welches auf Schülerseiten stattfinden muss (vgl. Timo Leu- ders, a.a.O., 103).

¹¹² Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 14.

¹¹³ Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 35. Vgl. Sabine Kaufmann, Umgang mit unvollständigen Auf­gaben, a.a.O., 18.

¹¹⁴ Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein anspruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 14.

¹¹⁵ Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 35. Vgl. Jan Boesten, Begleitheft, a.a.O., 18. Vgl. Sabine Kauf­mann, Umgang mit unvollständigen Aufgaben, a.a.O., 18.

¹¹⁶ Vgl. ebd. Vgl. Marianne Grassmann, a.a.O., 35. Vgl. Sabine Kaufmann, Plädoyer für ein an­spruchsvolles Aufgabenformat, a.a.O., 14.

¹¹⁷ Vgl. Jan Boesten, a.a.O., 18.

¹¹⁸ Vgl. Renate Rasch, Von der Routineaufgabe bis zur Fermi-Aufgabe, a.a.O., 35.

¹¹⁹ Vgl. Mario Schmitt-Ferreira, a.a.O., 52.

• Hochschule: Pädagogische Hochschule Karlsruhe
• Note: 1,3
• Autor: Marleen Hinderer (Autor:in)
• Erscheinungsjahr: 2020
• Seiten: 55
• Katalognummer: V1190854
• ISBN (PDF): 9783346625816
• ISBN (Buch): 9783346625823
• Sprache: Deutsch
• Schlagworte: Fermi-Aufgaben, Grundschule, Sachrechnen, Sachaufgaben, natürliche Differenzierung, offene Aufgaben, Mathematikunterricht, Bachelorarbeit, Abschlussarbeit, Mathematik, Didaktik