Zerfalls- und Wachstumsvorgänge. Computer im Mathematikunterricht

Elaboration , 2008 , 11 Pages

Mathematics - Miscellaneous

Komplexe Zusammenhänge und Wechselwirkungen konnten schon seit dem bestehen der Mathematik mit dieser erkannt werden. Die Mathematik bietet die Möglichkeit, Gegebenheiten der Realität zu beschreiben. Noch nie aber waren diese Möglichkeiten größer, als mit der Erfindung des Computers. So ist es also kaum verwunderlich, dass der Computereinsatz in mittlerweile allen neuen Lehr- und Bildungsplänen der Bundesländer vorgesehen ist und von den Baden – Württembergischen Schülerinnen und Schüler schon nach der ersten Klassenstufe der Realschule verlangt wird, dass diese Situationen mit Tabellenkalkulationsprogrammen angemessen modellieren können. In dieser Arbeit soll es um die Simulation von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen gehen.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Computer im Mathematikunterricht

2 Wachstumsvorgänge
2.1 Allgemeines
2.2 Darstellen von Wachstumsvorgängen

3 Zerfalls- und Wachstumsvorgänge 3.1 Gesetzmäßigkeiten
3.2 Grenzen der Simulation
3.3 Exponentielles Wachstum
3.4 Problemlösen mit dem Computer

4 Literatur
4.1 Primärliteratur
4.2 Online Quellen

1 Einleitung

1.1 Computer im Mathematikunterricht

Komplexe Zusammenhänge und Wechselwirkungen konnten schon seit dem bestehen der Mathematik mit dieser erkannt werden. Die Mathematik bietet die Möglichkeit, Gegebenheiten der Realität zu beschreiben. Noch nie aber waren diese Möglichkeiten größer, als mit der Erfindung des Computers. So ist es also kaum verwunderlich, dass der Computereinsatz in mittlerweile allen neuen Lehr- und Bildungsplänen der Bundesländer vorgesehen ist und von den Baden – Württembergischen Schülerinnen und Schüler schon nach der ersten Klassenstufe der Realschule verlangt wird, dass diese Situationen mit Tabellenkalkulationsprogrammen angemessen modellieren können.¹

Der Computer ist ein neues Werkzeug geworden, dessen sukzessive Integration in den Mathematikunterricht immer weiter fortschreiten wird und auch muss. Es geht aber nicht darum, fundamentale Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts zu verändern, sondern diese auf neuen Wegen zu erreichen, welche zu einem besseren Verständnis führen. Durch dieses Verfahren werden Schülerinnen und Schüler vom Durchführen algorithmischer Tätigkeiten entlastet und heuristische, sowie experimentelle Arbeitsweisen gewinnen an Bedeutung.² Die Verantwortung des Lehrers wird daher durch den Einsatz dieser neuen Technologie zunehmen und eine veränderte Relevanz erhalten.

2 Wachstumsvorgänge

2.1 Allgemeines

Wachstum wird häufig als zeitlicher Anstieg einer bestimmten Messgröße definiert.

Messgrößen wären hier zum Beispiel die klassischen Raumdimensionen Strecken, Flächen und Volumen. Aber auch andere Messgrößen, natürliche Größen, wie die Bevölkerungszahl sind denkbar. Als Gegenteil von Wachstum gilt logischerweise die Abnahme bzw. der Zerfall. Zerfallsvorgänge haben aber nichts mit dem häufig damit verwechselten Begriff Negativwachstum zu tun. Mathematisch können Wachstumsvorgänge als zeitliches Verhalten einer Messgröße in einem bestimmten System beschrieben werden, die auch häufig miteinander korreliert werden können. Um ein solches System zu erhalten, bestimmt man zu einem gewissen Zeitpunkt t1 den dazugehörigen Wert. Zu einem späteren Zeitpunkt t2 wird dann wiederum der dazugehörige Wert ermittelt. Ist der zweite Wert W2 größer als der erst Wert W1, spricht man von positivem Wachstum. Ist W2 jedoch kleiner als W1 spricht man von negativem Wachstum. Im Falle W1 = W2 spricht man von einem Nullwachstum.³

2.2 Darstellen von Wachstumsvorgängen

Haben wir eine genügende Anzahl von Messpunkten ermittelt, ist es möglich diese in einem Diagramm zur Veranschaulichung darzustellen. Dabei benutzt man der Überschaubarkeit halber die x- Achse des Koordinatensystems als Zeitachse, während die y- Achse als Größenachse für die jeweilige Messeinheit dient.

Die einzelnen Punkte werden hier meist miteinander verbunden, so dass eine geschlossene Kurve entsteht. Das tatsächliche Verhalten des Systems ist aber nicht bekannt. Kann jedoch durch eine Mathematische Funktion näherungsweise bestimmt werden. Beim Darstellen von Wachstumsvorgängen wird die zentrale Rolle des Computers deutlich. Nur mit ihm ist es, unter geringem Zeitaufwand möglich, aussagekräftige Wachstumskurven graphisch zu erstellen und auszuwerten. Die Simulationsmöglichkeiten der realen Situation und das Variieren von Ausgangswerten erlauben es den Schülerinnen und Schülern zum Einen ein Verständnis der Eigenschaften der mathematischen Gesetzmäßigkeiten zu entwickeln, zum Zweiten den Sinn mathematischer Formeln hinsichtlich des realen Bezugs zu verstehen und zum Dritten ein besseres Verständnis der aktuellen Umweltsituation zu erlangen.⁴

3 Zerfalls- und Wachstumsvorgänge

3.1 Gesetzmäßigkeiten

In der Natur laufen viele Prozesse nach gewissen Gesetzmäßigkeiten ab. Beispiele hierfür wären zum Beispiel die Bevölkerungsentwicklung, die Teilung von Zellen, der radioaktive Zerfall, Bakterienkulturen, die Wachstumsperiode beim Menschen und viele Andere. Bei all diesen Beispielen ändert sich eine bestimmte Größe B so, dass sie nach jedem Zeitintervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltent um eine Änderung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenB zu- oder abnimmt. Genaue Betrachtungen zeigen, dass in sehr vielen Fällen die Änderung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenB proportional zur Größe B ist. Das heißt, die Änderung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenB nimmt im gleichen Verhältnis wie die Größe B zu.⁵

Es gilt also für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenB die Beziehung: wobei k eine Konstante ist und somit als Proportionalitätsfaktor gilt.

Der neue Wert Bneu von B (Balt) wird dann wie folgt berechnet:

Ist der Proportionalitätsfaktor k positiv, handelt es sich um einen Wachstumsvorgang, da Bneu > Balt ist.

Liegt k zwischen -1 und 0, so ist Bneu < Balt. Es handelt sich um einen Zerfallsvorgang. Kleiner als -1 kann der Proportionalitätsfaktor k jedoch nicht sein, da sonst Bneu schon beim ersten Schritt kleiner als Null wäre.⁶

Beispiel für einen Wachstumsvorgang:⁷

Eine Bakterienkultur bedeckt zum Zeitpunkt 0 eine Fläche von 5 mm[[2]]. Unter der Voraussetzung, dass genügend Platz und Nahrung vorhanden sind, nimmt die von der Bakterienkultur bedeckte Fläche täglich um die Hälfte zu. Nach dem ersten Tag bedeckt sie eine Fläche von

Nach dem zweiten Tag beträgt die bedeckte Fläche bereits

Allgemein gilt für den n -ten Tag die Beziehung

Nach jedem Tag beträgt die bedeckte Fläche das 1,5-fache der Fläche des Vortages. Es handelt sich um einen Wachstumsvorgang, da der Proportionalitätsfaktor k (k = 0,5) positiv ist.

Beispiel für einen Zerfallsvorgang:⁸

Bei dem radioaktiven Isotop Plutonium (241;94) zerfallen im Jahr etwa 5,192% der Atome in Americium (241;95). Von 100mg dieses Plutoniums sind also nach einem Jahr noch

Nach dem zweiten Jahr sind es noch

Allgemein gilt nach dem n -ten Jahr die Beziehung

Nach jedem Jahr ist noch das 0,94808-fache der Menge des Vorjahres vorhanden.

Es handelt sich um einen Zerfallsvorgang, da der Proportionalitätsfaktor k (k = -0,05192) negativ ist.

3.2 Grenzen der Simulation

Wie in den beiden oberen Beispielen deutlich wird, ist es möglich aus konkreten Daten Prognosen für zukünftige Entwicklungen abzuleiten, kennt man die Gesetzmäßigkeiten mit denen die Daten beschrieben werden können. Die Bedingung dafür ist aber, dass die erkannten Gesetzmäßigkeiten weiterhin als Gültig angesehen werden.⁹ Ressourcen die ein Wachstum ermöglichen, liegen aber nicht unbegrenzt vor und somit ist ein jedes Wachstum ein begrenztes Wachstum. Unbegrenztes Wachstum ist daher ein mathematisches Artefakt.

[...]

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¹ Vgl. Weigand 2002, S. 10

² Ebd. S. 31

³ Ebd., S. 21

⁴ Vgl. Weigand 2002, S. 147

⁵ Vgl. Dopfer/ Reimer 1995, S. 36

⁶ Vgl. Ebd. S. 37

⁷ Vgl. Ebd. S. 38

⁸ Vgl. Ebd. S. 39

⁹ Vgl. Weigand 2002, S. 145

• College: Karlsruhe University of Education
• Course: Computer im Mathematikunterricht
• Author: Martin Briol (Author)
• Publication Year: 2008
• Pages: 11
• Catalog Number: V1185606
• ISBN (PDF): 9783346615862
• Language: German
• Tags: Zerfall, Waschstum, Computer, Tabellenkalkulation, Excel, Problemlösen