Informativ, übersichtlich, kompakt – die Reihe Mathematik-Bausteine fasst Grundlagenwissen zu den wichtigsten Themen aus dem Schulfach Mathematik zusammen. Unsere erfahrene GRIN-Redaktion wählt Erklärungen, Zusammenfassungen und Übersichtsdarstellungen aus, die Sie im Homeschooling und bei der Online-Nachhilfe unterstützen. So bietet GRIN mit den Mathematik-Bausteinen eine hilfreiche Ergänzung zu herkömmlichen Schulbüchern und dem Unterricht in der Schule.
Aus dem Inhalt:
- lineare Gleichungssysteme;
- Gleichungen;
- Variablen;
- Unbekannte;
- Geometrisches Lösungsverfahren;
- Algebraisches Lösungsverfahren
Inhaltsverzeichnis
Lineare Gleichungssysteme
Allgemeine Definition
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – historisch betrachtet
Lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen
Lösungsverfahren für LGS mit zwei Variablen
Geometrische Lösungsverfahren
Algebraische Lösungsverfahren
Literaturverzeichnis (inklusive weiterführender Literatur)
Lineare Gleichungssysteme
Allgemeine Definition
Die Notwendigkeit, Gleichungen aufzustellen – und natürlich zu lösen-, die mehr als eine Unbekannte enthalten, ergibt sich in der Praxis recht häufig1. „(…)weil es manchmal vorkommt, dass man Beziehungen zwischen zwei oder mehr Größen hat und aus diesen Beziehungen die Werte der Größen berechnen muss.“2 In solchen Fällen enthält eine Gleichung statt einer, mehrere von einander abhängiger Variablen.
Lineare Gleichungen mit n Variablen (x1,…, xn) werden in der Form
a 1 x 1 + a 2x 2 + …. + a n x n = b
dargestellt, wobei a und b konstante, reelle Zahlen sind.
Wenn die Variablen (x1,…, xn) gleichzeitig mehrere Gleichungen erfüllen sollen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Allgemein lässt sich ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten immer in die folgende Form bringen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Koeffizienten azs haben zwei Indizes. Der erste Index bezieht sich auf die Gleichung (Spalte), während der Zweite die Variable (Zeile) bezeichnet.
Die n-Tupel (x1,…, xn), welche alle Gleichungen erfüllen, bilden die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Zur eindeutigen Bestimmung der n Variablen eines LGS sind genau n linear unabhängigen Gleichungen erforderlich, die einander nicht widersprechen dürfen.3
Lineare Gleichungssysteme besitzen nicht nur in verschiedenen Bereichen der Mathematik, sondern auch im Hinblick auf außermathematische Anwendungen, einen zentralen Stellenwert.4 Im Folgenden soll dieses Thema anhand von linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen näher betrachtet werden.
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – historisch betrachtet
Im Vergleich zu anderen mathematischen Themenbereichen, wie der Geschichte der Analysis, ist die Entstehung der „Linearen Algebra“ bisher relativ wenig erforscht worden. Die Herkunft bzw. die Entstehung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten muss hauptsächlich über Umwege aus konkreten Zahlenbeispielen erschlossen werden, da nur wenige Informationen aus der Literatur hervorgehen. Folglich muss auf Sekundärliteratur zurückgegriffen und die Gesamtdarstellung der Mathematik als weitere Hilfestellung mit einbezogen werden.
Heutzutage wird für die Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Variablen das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren genutzt.
Allerdings reicht das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten weit in die Zeit zurück, denn bereits um 1700 v. Chr. konnten die Unbekannten der zwei Gleichungen von den Babyloniern entschlüsselt werden.5
Weiter ist bekannt, dass die Griechen 300 n. Chr. bestimmte Symbole für die unterschiedlichen Rechenoperationen zur Hilfe nahmen, um bei linearen Gleichungssystemen zu einem Ergebnis zu gelangen.6
Es besteht durchaus die Möglichkeit, dass schon in anderen Kulturen vor dieser Zeit lineare Gleichungssysteme gelöst werden konnten. Dennoch ist es durch wenige bzw. vielleicht auch unverständliche Überlieferungen immer noch praktisch unmöglich dieses herauszufinden.7
Lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen
Mathematisch lässt sich die lineare Gleichung mit zwei Variablen stets in der Form
ax + by =c
darstellen. Dabei bedeuten a, b und c beliebige, aber feste Zahlen, während x und y die beiden Variablen bezeichnen, für die innerhalb eines bestimmten Definitionsbereiches beliebige Werte eingesetzt werden dürfen.
Der Definitionsbereich einer Gleichung mit mehreren Variablen ist für die, in der Gleichung auftretenden, Variablen jeweils getrennt festzulegen.
Die Lösungen dieser Gleichung sind alle Kombinationen konkreter x- und y-Werte, die die Lineare Gleichung ax + by = c zu einer wahren Aussage machen.
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen ist auch als Funktionsterm einer linearen Funktion interpretierbar. Da der Graf einer linearen Funktion immer eine Gerade ist, bieten alle Wertepaare (x;y), die für jedes der Punkte der von der Gleichung beschriebenen Gerade stehen, unendlich viele Lösungen dieser Gleichung.8
Um zwei Variablen eindeutig bestimmen zu können, reicht somit eine einzige Gleichung nicht aus. Die Bestimmung der Lösungsmenge erfolgt durch die Verbindung zweier Gleichungen mit den Variablen x und y zu einem Gleichungssystem:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die beiden senkrechten Striche, in die das Gleichungssystem eingeschlossen wurde, weisen darauf hin, dass die beiden Gleichungen als zusammengehörig betrachtet werden sollen und dass die gemeinsame Lösung der Gleichungen - das Paar (x/y), das beide Gleichungen erfüllt - zu bestimmen ist.
Im Allgemeinen hat ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen eine eindeutige Lösung. Es gibt jedoch zwei Sonderfälle:
- Sind die beiden Gleichungen im System linear voneinander abhängig, dann existieren unendlich viele Lösungen.
- Widersprechen die Gleichungen einander9, dann gibt es keine Lösung.
Lösungsverfahren für LGS mit zwei Variablen
Zur Ermittlung der Lösung eines LGS mit zwei Variablen werden üblicherweise vier Möglichkeiten betrachtet: ein geometrisches Verfahren durch graphische Darstellung und drei algebraische mittels Gleichungs- und Termumformungen.10
Geometrische Lösungsverfahren
Wie bereits dargestellt ist jede lineare Gleichung mit zwei Variablen als Funktionsterm einer linearen Funktion interpretierbar. Die „Übersetzung“ einer Geradengleichung erfolgt durch die Auflösung dieser nach y. Geometrisch bedeutet die Bestimmung der Lösung eines LGS mit zwei Variablen die Ermittlung der Schnittpunkte beider Geraden.11
Zunächst erfolgt die grafische Darstellung der beiden Geraden in einem geeigneten Koordinatensystem. Anschließend werden die Koordinaten der möglichen Schnittpunkte beider Graphen und somit die Lösung des LGS ermittelt.
Besitzen beide Geraden des Gleichungssystems verschiedene Steigungen, schneiden sie sich folglich in einem Punkt. In diesem besitzt das LGS genau eine Lösung. Die Lösungsmenge besteht aus einem einzigen Wertepaar (x/y).
Haben beide Graphen eine gleiche Steigung, aber unterschiedliche y- Achsenabschnitte, so beschreiben die Ausgangsgleichungen Geraden, die parallel zu einander verlaufen und somit keinen Schnittpunkt haben. Die Lösungsmenge eines solchen LGS ist dementsprechend leer.
Stimmen die Graphen sowohl in ihrer Steigung als auch im y-Achsenabschnitt überein, so „fallen diese Geraden quasi zusammen“. Die Gleichungen des LGS beschreiben in diesem Fall dieselbe Gerade und bieten somit unendlich viele Lösungen.
Das geometrische Lösungsverfahren ist fest in der Grundvorstellung dieser Thematik verankert. „Die geometrischen Betrachtungen dienen dazu, (…) ein Verständnis für die fundamentale Tatsache zu erzeugen, dass ein lineares Gleichungssystem stets entweder keine, genau eine oder aber unendlich viele Lösungen besitzt.“12 Kritisiert wird dieses Lösungsverfahren in der Fachliteratur im Bezug auf Ungenauigkeit. „Man muss jedoch berücksichtigen, dass geometrische Lösung eines Gleichungssystems meistens mit einer systembedingten Ungenauigkeit behaftet ist und deshalb nur eine „Notlösung“ darstellt.“13
Algebraische Lösungsverfahren
Üblicherweise unterscheidet man drei algebraische bzw. rechnerische Verfahren zur Lösung der LGS: das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.14
Im Wesentlichen bedienen sich alle drei Lösungsmethoden derselben Grundidee. Durch geschickte Umformungen soll eine der beiden Variablen eliminiert werden, um „statt der zwei Gleichungen mit zwei Variablen nur noch eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen, die sich dann nach bekannten Verfahren lösen lässt“15. Das gewonnene Ergebnis setzt man anschließend in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um so den fehlenden Wert der zweiten Unbekannten errechnen zu können. Zusammenfassend kann der Lösungsvorgang folgend dargestellt werden:16
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Vorgehensweise bei der Reduktion des LGS auf eine Gleichung mit einer Variablen stellt den entscheidenden Unterschied zwischen einzelnen Verfahren der rechnerischen Lösung dar.
Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Unbekannten bzw. demselben Term aufgelöst. So erhält man zwei Ausdrücke, die gleichgesetzt werden können. Rießinger (2007) erklärt diesen Schritt wie folgt:
„Ich habe nur beide Gleichungen nach y aufgelöst und dadurch zwei Gleichungen der Form y = dies und y = jenes erhalten. Da die beiden Ausdrücke „dies“ und „jenes“ das gleiche y meinten, konnte ich sie gleichsetzten und damit eine einzige lineare Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten.“17
Dieses Verfahren bietet sich insbesondere an, wenn die Variablen auf verschiedenen Seiten der Gleichung stehen und die Terme auf einer Seite beider Gleichungen Überstimmen. Zum Beispiel können bei der Gleichung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
die rechten Seiten sofort gleichgesetzt werden. Somit erhält man die Gleichung 3y–12=-8y+21, die nur ein Unbekannte erhält und kann nach dem für alle drei Lösungsverfahren gültigen Schema fortfahren.
Beim Einsetzungsverfahren erfolgt die Reduktion des LGS auf eine Gleichung mit einer Variablen, in dem zunächst eine der beiden Ausgangsgleichungen nach einer der Unbekannten aufgelöst wird. Der entstandene Ausdruck wird anschließend in der anderen Gleichung für diese Unbekannte eingesetzt.18
[...]
1 Vgl. Brück 2009, S. 162
2 Rießinger 2007, S. 263
3 Vgl. Kreul/Zierbach 2006, S.327
4 Vgl. Tietze/Klika/Wolpers 2000, S. 33
5 Vgl. v.d. Warerden 1956; S. 101ff
6 Vgl. Popp 1981
7 Um den Lesefluss zu gewährleisten, soll im Rahmen dieser Arbeit für „Lineare Gleichungssysteme“ die Abkürzung LGS verwendet werden.
8 Vgl. Scholl/Drews 2001, S. 202
9 In diesem Falle sind zwar zwei voneinander unabhängige Gleichungen gegeben, die Aussagen dieser widersprechen einander. Z. B. nach der ersten Gleichung soll 2x+3y=12 sein und nach der zweiten Gleichung 2x+3y=15, also ein Widerspruch (vgl. Kreul/Ziebart 2006, S. 321).
10 Vgl. Scholl/Drews 2001, S. 198
11 Vgl. ebd., S. 202
12 Proguntke 2004, S. 104
13 Scholl/Drews 2001, S. 202
14 Vgl. Rießinger 2007, S. 248
15 Kreul/Ziebarth 2006, S. 317
16 Vgl. bildliche Darstellung vom grundsätzlichen Lösungsverfahren Scholl/Drews 2001, S. 198
17 Rießinger 2007, S. 249
18 Vgl. Rießinger 2007, S. 253
- Citar trabajo
- Eva Veddeler (Autor), 2021, Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen. Definition und Lösungsverfahren im Mathematikunterricht, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1158472
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