Der Begriff des Nash-Gleichgewichts ist ein zentraler Begri¤ der mathematischen Spieltheorie. Es handelt sich dabei um ein Lösungskonzept von Spielen, das sich dadurch auszeichnet, dass die Spieler ihre Strategieentscheidungen nicht revidieren wollen, wenn ihnen die Lösung empfohlen wird. Dieses Lösungskonzept ist allgemein für nicht-kooperative Spiele akzeptiert und wird als Gleichgewicht bezeichnet.
Die Spieltheorie (engl. game theory) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Modellierung und Untersuchung von Gesellschaftsspielen, von im weitesten Sinn gesellschaftsspielähnlichen Interaktionssystemen sowie mit den in
solchen Systemen eingesetzten Strategien beschäftigt. Dabei ist die Spieltheorie weniger eine zusammenhängende Theorie als vielmehr ein Instrument zur Analyse von strategischen Entscheidungssituationen. Lösungen von Spielen, die sich dadurch auszeichnen, dass die Spieler ihre Strategieentscheidungen nicht revidieren wollen wenn ihnen die Lösung empfohlen wird, werden als Gleichgewicht bezeichnet. Im Rahmen dieser Arbeit soll insbesondere auf ein allgemein
akzeptiertes Konzept zur Lösung von nicht-kooperativen Spielen eingegangen werden, das Nash-Gleichgewicht. In einem weiteren Schritt wird genauer auf eine oft verwendete Art von Spielen, die sogenannten streng kompetitiven Spiele oder auch Nullsummenspiele, eingegangen und kurz angedeutet, wie die Theorie der nicht-kooperativen Spiele auf jene der kooperativen erweitert werden kann.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Terminologie und Definitionen
- Existenz eines Gleichgewichts
- Existenzbeweis unter Verwendung des Fixpunktsatzes von Brouwer
- Existenzbeweis unter Verwendung des Fixpunktsatzes von Kakutani
- Nash-Equilibrium in streng kompetitiven Spielen
- Einblick in kooperative Spiele
- Schlusswort und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit dem Nash-Gleichgewicht, einem zentralen Konzept der nicht-kooperativen Spieltheorie. Ziel ist es, dieses Konzept zu erläutern und seine Anwendung in verschiedenen Spieltypen zu veranschaulichen. Die Arbeit geht auf die Existenz des Gleichgewichts ein und behandelt spezielle Spielarten wie streng kompetitive Spiele. Abschließend wird ein kurzer Ausblick auf kooperative Spiele gegeben.
- Das Nash-Gleichgewicht als Lösungskonzept nicht-kooperativer Spiele
- Existenzbeweise des Nash-Gleichgewichts
- Anwendung des Nash-Gleichgewichts auf streng kompetitive Spiele
- Einführung in die Konzepte kooperativer Spiele
- Modellierung strategischer Entscheidungssituationen
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in das Thema der Spieltheorie ein und beschreibt sie als Instrument zur Analyse strategischer Entscheidungssituationen. Sie hebt das Nash-Gleichgewicht als ein allgemein akzeptiertes Lösungskonzept für nicht-kooperative Spiele hervor und kündigt die weitere Auseinandersetzung mit streng kompetitiven Spielen und einem Ausblick auf kooperative Spiele an. Der Fokus liegt auf der Erklärung der Bedeutung des Gleichgewichtskonzepts im Kontext strategischer Interaktionen.
Terminologie und Definitionen: Dieses Kapitel legt die grundlegenden Begriffe und Definitionen der Spieltheorie fest, die für das Verständnis der folgenden Kapitel unerlässlich sind. Es definiert ein strategisches n-Personen-Spiel formal als ein Tripel, bestehend aus der Anzahl der Spieler, ihren Strategiemengen und ihren Auszahlungsfunktionen. Der Begriff der gemischten Strategie wird eingeführt, welche eine Kombination aus reinen Strategien darstellt und die Analyse erweitert. Die Definitionen bilden die mathematische Grundlage für die spätere Betrachtung des Nash-Gleichgewichts und ermöglichen eine präzise und formale Analyse strategischer Interaktionen.
Schlüsselwörter
Nash-Gleichgewicht, Spieltheorie, nicht-kooperative Spiele, streng kompetitive Spiele, gemischte Strategien, Auszahlungsfunktionen, Existenzbeweis, Fixpunktsatz von Brouwer, Fixpunktsatz von Kakutani, kooperative Spiele.
Häufig gestellte Fragen zu: Nash-Gleichgewicht in nicht-kooperativen Spielen
Was ist der Inhalt dieser Arbeit?
Diese Arbeit behandelt das Nash-Gleichgewicht in der nicht-kooperativen Spieltheorie. Sie erklärt das Konzept, veranschaulicht seine Anwendung in verschiedenen Spieltypen, untersucht die Existenz des Gleichgewichts (mittels Brouwer und Kakutani Fixpunktsatz), fokussiert auf streng kompetitive Spiele und gibt einen Ausblick auf kooperative Spiele. Die Arbeit beinhaltet Einleitung, Terminologie, Existenzbeweise, Kapitelzusammenfassungen und Schlüsselwörter.
Welche Themen werden behandelt?
Die zentralen Themen sind das Nash-Gleichgewicht als Lösungskonzept nicht-kooperativer Spiele, Existenzbeweise dieses Gleichgewichts (unter Verwendung von Fixpunktsätzen), die Anwendung auf streng kompetitive Spiele und eine Einführung in kooperative Spiele. Die Modellierung strategischer Entscheidungssituationen bildet den übergreifenden Kontext.
Wie wird die Existenz des Nash-Gleichgewichts bewiesen?
Die Arbeit präsentiert Existenzbeweise des Nash-Gleichgewichts unter Verwendung des Fixpunktsatzes von Brouwer und des Fixpunktsatzes von Kakutani. Diese Beweise bilden einen zentralen Teil der mathematischen Fundierung des Konzepts.
Welche Arten von Spielen werden betrachtet?
Die Arbeit konzentriert sich auf nicht-kooperative Spiele, mit einem besonderen Fokus auf streng kompetitive Spiele. Kooperative Spiele werden lediglich im Ausblick kurz angesprochen.
Welche Schlüsselbegriffe sind relevant?
Wichtige Schlüsselbegriffe sind: Nash-Gleichgewicht, Spieltheorie, nicht-kooperative Spiele, streng kompetitive Spiele, gemischte Strategien, Auszahlungsfunktionen, Existenzbeweis, Fixpunktsatz von Brouwer, Fixpunktsatz von Kakutani, und kooperative Spiele.
Welche Kapitel umfasst die Arbeit?
Die Arbeit gliedert sich in Kapitel zu Einleitung, Terminologie und Definitionen, Existenz eines Gleichgewichts (inkl. Beweismethoden), Nash-Gleichgewicht in streng kompetitiven Spielen, Einblick in kooperative Spiele und Schlusswort/Ausblick.
Was ist das Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Erklärung des Nash-Gleichgewichts und die Veranschaulichung seiner Anwendung in verschiedenen Spieltypen. Es soll ein Verständnis für dieses zentrale Konzept der nicht-kooperativen Spieltheorie vermittelt werden.
Für wen ist diese Arbeit gedacht?
Diese Arbeit richtet sich an Personen, die sich akademisch mit der Spieltheorie und insbesondere dem Nash-Gleichgewicht auseinandersetzen möchten. Das erforderliche Vorwissen umfasst grundlegende mathematische Kenntnisse.
- Arbeit zitieren
- David Stadelmann (Autor:in), 2007, Nicht-kooperative Spiele und das Nash-Gleichgewicht, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/113636
