Diese Arbeit stellt eine Übersicht über die die Kreiszahl Pi dar.
Die Kreiszahl (Pi) ist eine der geheimnisvollsten und wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Sie ist wichtig, da sie in sehr vielen naturwissenschaftlichen Themen vorkommt und für die Naturwissenschaftler selbst in der heutigen Technologie unverzichtbar ist. Diese Konstante wird überall gebraucht, wo präzise Kreis- oder Kurvenberechnungen benötigt werden.
Schon die Babylonier gaben für diese Kreiszahl eine Größe an, welche sich im Praktischen nicht so sehr von der tatsächlichen Größe unterscheidet, wie man annehmen würde. In der folgenden Tabelle 1.1 sei eine Approximationshistorie dieser Kreiszahl dargestellt.
Heutzutage ist es mit der starken Rechenleistung von Supercomputern möglich, unvorstellbar viele Nachkommastellen zu berechnen. Den Rekord für die Berechnung der meisten Nachkommastellen behält Timothy Mullican, welcher 50 Billionen Nachkommastellen vorweisen kann. Dafür benutzte er einen Computer mit vier leistungsstarken Prozessoren, die jeweils 15 Kerne mit einer Grundtaktfrequenz von 2,5 GHz besitzen, wobei angemerkt werden muss, dass es selbst mit so einem leistungsstarken Computer ganze 303 Tage gedauert hat, bis diese 50 Billionen Nachkommastellen berechnet wurden. Die großen Berechnungen am Computer sind ebenfalls in der Tabelle 1.2 dargestellt.
Im Alltag sind meist ein paar Nachkommastellen ausreichend, jedoch sind zum Beispiel für Flugbahnberechnungen von Sonden um die 15 Nachkommastellen nötig. Wenn man den Umfang des Universums, welcher zurzeit einen Radius von ca. 46 Mrd. Lichtjahren besitzt, so präzise, wie den Durchmesser eines Wasserstoffatoms berechnen möchte, so bräuchte man 39 bis 40 Dezimalstellen der Kreiszahl.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Basler Problem
3. Archimedes Methode
4. Wallis - Produkt
5. Die Leibniz - Reihe und arctan(x)...
6. Die BBP - Formel
7. Irrationalitat der Kreiszahl n.. 66
8. Literaturverzeichnis
1. Einleitung
Die Kreiszahl n (Pi) ist eine der geheimnisvollsten und wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Sie ist wichtig, da sie in sehr vielen naturwissenschaftlichen Themen vorkommt und fur die Naturwissenschaftler selbst in der heutigen Technologie unverzichtbar ist. Diese Konstante wird uberall gebraucht, wo prazise Kreis- oder Kurvenberechnungen benotigt werden.
Diese irrationale, transzendente Konstante beschreibt das Verhaltnis zwischen dem Umfang und Durchmesser eines Kreises und besitzt die GroBe
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Schon die Babylonier gaben 2000 v. Chr. fur diese Kreiszahl eine GroBe an, welche sich im Praktischen nicht so sehr von der tatsachlichen GroBe unterscheidet, wie man annehmen wurde. In der folgenden Tabelle 1.1 sei eine Approximationshistorie 1 dieser Kreiszahl dargestellt.
Heutzutage ist es mit der starken Rechenleistung von Supercomputern moglich, unvorstellbar viele Nachkommastellen zu berechnen. Den Rekord fur die Berechnung der meisten Nachkommastellen behalt Timothy Mullican 2, welcher 50 Billionen Nachkommastellen vorweisen kann. Dafur benutzte er einen Computer mit vier leistungsstarken Prozessoren, die jeweils 15 Kerne mit einer Grundtaktfrequenz von 2,5 GHz besitzen, wobei angemerkt werden muss, dass es selbst mit so einem leistungsstarken Computer ganze 303 Tage gedauert hat, bis diese 50 Billionen Nachkommastellen berechnet wurden. Die groBen Berechnungen am Computer sind ebenfalls in der Tabelle 1.2 dargestellt.
Im Alltag sind meist ein paar Nachkommastellen ausreichend, jedoch sind zum Beispiel fur Flugbahnberechnungen von Sonden um die 15 Nachkommastellen notig. Wenn man den Umfang des Universums, welcher zurzeit einen Radius von ca. 46 Mrd. Lichtjahren besitzt, so prazise, wie den Durchmesser eines Wasserstoffatoms berechnen mochte, so brauchte man 39 bis 40 Dezimalstellen der Kreiszahl 3.
Tabelle 1.1: Historische Approximation der Kreiszahl n
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 1.2: GroBe Berechnungen fur die Approximation der Kreiszahl n
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Neben der Definition dieser Kreiszahl und der Anzahl der Nachkommastellen, die berechnet wurden, ist auch die Methodik der Approximation interessant. Viele Mathematiker besaBen ihre eigenen Methoden diese Zahl zu berechnen. Einige Formeln und die Anzahl der berechneten Nachkommastellen, welche in der Tabelle 1.1 dargestellt sind, sind im Folgenden aufgelistet 4, 5.
Nilakantha (*1444, f1544):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Francois Viete (*1540, f1603):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
William Brouncker (*1620, f1684):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Sir Isaac Newton (*1643, f1727):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
David Gregory (*1659, f1708):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Takebe Katahiro (*1664, f1739):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
John Machin (*1680, f1752):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Formeln von Leonhard Euler (*1707, f1783):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Johann Dase (*1824, f1861):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Srinivasa Ramanujan (*1887, f1920):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dario Castellanos (*1937):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Jonathan Borwein (*1951, f2016) und Peter Borwein (*1953, f2020):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Beziehung von mit der Eulerschen Gammafunktion r(n + 1) := n! :
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zu den Formeln sei gesagt, dass viele Approximationswege und ihre zugehorigen Reihen auch unterschiedliche Konvergenzgeschwindigkeiten besitzen. Im Hauptteil dieser wissenschaftlichen Arbeit werden diese Geschwindigkeiten von einigen weiteren Formeln miteinander verglichen, nachdem diese hergeleitet und bewiesen wurden.
Zu Beginn wird das Basler Problem physikalisch beschrieben bzw. hergeleitet. AnschlieBend wird auf die Methode von Archimedes eingegangen, indem diese zunachst graphisch und mathematisch in Schritten erlautert wird. Spater wird eine Produktdarstellung von n kennengelernt, die man als Wallis - Produkt bezeichnet. Danach wird der Zusammenhang zwischen der Leibniz - Reihe und des Arkustangens gezeigt. Hiernach geht es im vorletzten Kapitel um eine numerische Methode der Approximation, genannt die „BBP - Reihe“. Zu guter Letzt wird die Irrationalitat von n bewiesen.
2. Basler Problem
Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, welches Pietro Mengoli im Jahr 1664 und Jakob I Bernoulli im Jahr 1689 versuchten zu losen. Beide blieben erfolglos. Im Jahr 1726 begann sich Leonard Euler mit dem Problem zu beschaftigen, bis er im Jahr 1735 die Losung entdeckte 6.
Das Problem beschreibt die Summe der reziproken Quadratzahlen bis ins unendliche, welche — entspricht:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Anders als Eulers Veroffentlichung der Losung in seinem Werk „De Summis Serierum Recoiprocarum“, stelle ich eine alternative Variante des Beweises der Losung 7,8 vor, welche zunachst auf physikalische Grundlagen zuruckzufuhren ist und diese als Ansatz benutzt wird.
Man stelle sich vor, eine Person stunde auf einem Zahlenstrahl. Als Nachstes platziere man Leuchtturme auf jeder naturlichen Zahl dieses Strahles.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.1: Sich auf dem Zahlenstrahl befindende Leuchtturme
Nehmen wir an, dass die Helligkeit des Lichtes vom Leuchtturm, welche wir wahrnehmen, die Intensitat 1 besitzt, so besitzt die Helligkeit des Leuchtturmes auf der Zahl 2 die Intensitat - , die des Leuchtturmes auf der Zahl 3 die Intensitat - etc.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.2: Die Intensitaten der Lichtstrahlen ausgehend von den Positionen
Es ist zu erkennen, dass die Helligkeit des Lichtes ausgehend von allen Leuchtturmen, welche das Auge wahrnimmt, genau die Summe deren ist. Dies gibt uns eine physikalische Bedeutung fur das Basler Problem. Zu zeigen ist also, dass die summierte Helligkeit genau das — - fache von der des ersten Leuchtturmes ist.
An nachstes sei erklart, was genau unter Helligkeit bzw. Intensitat des Lichtstrahles zu verstehen ist. Dazu stelle man sich erneut vor, dass vor einem Leuchtturm ein Auffangschirm gestellt wird, welches die aus der Quelle verlaufenden Lichtstrahlen des Leuchtturmes auffangt. Dieses empfangt nur einen Teil der Lichtstrahlen, und zwar genau diese die einen bestimmen Winkel k einschlieBen (siehe Abb. 2.3).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.3: Empfang der Lichtstrahlen des Auffangschirms
Im Raum dargestellt, sei dieser Fall gemaB der folgenden Abb. 2.4 visualisiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.4: 3D - Ansicht der Projektion auf das Auffangschirm
Es ist anzumerken, dass die raumlich ausgehenden Lichtstrahlen aus der Lichtquelle kugelformig verlaufen, sodass der Auffangschirm diese in einem bestimmten Raumwinkel empfangt. Diese Veranschaulichung wird genutzt, um die reziproken Quadratzahlen im Basler Problem naher zu verdeutlichen.
Nehmen wir nun an, dass die Lichtstrahlen den Schirm von einer Distanz der GroBe 1 treffen. Wenn man diese Distanz nun um eine ganze GroBe vergroBert, sodass sie nun die GroBe 2 besitzt, mussen die Kantenlangen des Schirms um eine ganze GroBe erhoht werden, damit dieser ebenfalls in der Lage ist, alle Lichtstrahlen zu empfangen. Der Grund dafur ist die lineare Steigung der Lichtstrahlen, welche unverandert bleiben. Der zweite, vergroBerte Schirm sei in der folgenden Abbildung 2.5 visualisiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.5: VergroBerung des Schirms bei doppeltem Abstand
Wenn also die Distanz 2 betragt, muss die Flache des Schirms viermal so grofc sein, um genau so viele Strahlen aufnehmen zu konnen, wie in der ursprunglichen Position. Infolgedessen kann jeder Teilschirm nur der Lichtstrahlen absorbieren. Aus diesem Grund erscheint fur den Schirm bzw. fur das Auge des Betrachters das Licht des Leuchtturms mit einer Distanz von 2 nur | - mal so hell, wie jenes mit einer Distanz von 1.
Analog ergeben sich fur den Fall bei einer Distanz von 3, neun Teilschirme, welche jeweils | des Lichtes empfangen.
Dieses Gesetz in Form des reziproken Quadrats taucht in allen moglichen physikalischen Gebieten auf, wie in Thermodynamik, Schallwellentheorie, elektrische Feldtheorie etc., in denen physikalische Grofcen von einer Quelle kugelformig ausgesendet werden.
Die unendliche Summe der Anzahl der Lichtstrahlen und die damit zusammenhangende Intensitat ihrer, welche der Betrachter wahrnimmt, ist das Ergebnis und somit eine physikalische Modellierung des Basler Problem.
Was wir nun versuchen, ist, die Aneinanderreihung dieser Lichtquellen so zu verandern, dass sich die wahrgenommene Helligkeit des Betrachters im Ursprung nicht andert. Als Ansatz erstelle man ein Koordinatensystem, in dem sich der Betrachter im Ursprung 0 und eine Lichtquelle P auf einer beliebigen Stelle befindet. Anschliefcend wird eine Ursprungsgerade ~OP, welche senkrecht zu einer zweiten Geraden AB liegt, wobei die Punkte A und B die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen darstellen, gesetzt.
Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck Aoab, welches zwei rechtwinklige Teildreiecke Aoap und Aopb mit den gegebenen Seiten a,b und c beinhaltet. Die Hohe des Dreiecks Aoab ist durch h gegeben.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.6: Koordinaten mit den bestimmten Positionen
Teilt man nun die Positionen der Lichtquelle P in zwei Positionen A und B auf, wobei diese dieselbe Leistung, wie P ausstrahlen, so entspricht die wahrgenommene Helligkeit des Punkts P der Summe der beider Helligkeiten von A und B.
Der Beweis hierfur erfolgt recht schnell:
Die Flache des Dreiecks Aoab ist definiert durch
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Starke der Intensitat des Lichtes ist, wie zu Beginn dargestellt, durch das reziproke Quadrat des Abstandes von den Lichtquellen A, B und P zum Betrachter 0 definiert.
Bildet man nun die Summe der reziproken Quadrate von a und b, so ergibt sich durch Einsetzen von (2.2) und Verwendung des Satzes des Pythagoras:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
sodass die Gleichung (2.3) den umgekehrten Satz des Pythagoras fur das Dreieck Aoab beschreibt.
Als Ziel nehmen wir uns vor, das Licht in einer unendlich vielen Anzahl an Lichtern aufzuteilen, sodass eine Lichterkette entsteht und wir die Helligkeiten dieser summieren konnen.
Sei nun ein Kreis (siehe Abb. 2.7) durch den Ursprung in der oberen Halbebene mit dem Umfang U = 2 gegeben und eine Lichtquelle befindet sich am oberen Ende dieses Kreises, sodass die Distanz zwischen dem oberen und unteren Ende d betragt. Fur die Helligkeit H der Lichtquelle gilt also:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Fur den Durchmesser gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
sodass sich fur die Helligkeit H durch Einsetzen von (2.5) in (2.4)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
ergibt.
Wir beginnen nun damit den Kreis zu verformen. Dazu erstellen wir einen zweiten Kreis, der ebenfalls in Abb. 2.7 vertreten ist, welcher den doppelten Umfang besitzt. Die beiden unteren Enden befinden sich an der identischen Stelle im Ursprung.
AnschlieBend legen wir eine Tangente am oberen Ende des ersten Kreises an und lassen diese mit dem zweiten Kreis schneiden, sodass die Schnittpunkte I2 und I3 entstehen und wir den Lichtpunkt I in diesen beiden Lichtpunkten aufteilen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.7: Kreis mit Umfang U± (links) und U2 (rechts) in der oberen Halbebene
GemaB dem umgekehrten Satz des Pythagoras gilt, dass
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Jetzt legen wir einen dritten Kreis an (siehe Abb. 2.8), welcher den Umfang U3 = 8, also den doppelten Umfang von U2 besitzt und sich ebenfalls in der oberen Halbebene befindet. Dabei wird erneut eine Gerade angelegt, welche den oberen Endpunkt des zweiten Kreises mit I2 und somit auch den dritten Kreis an zwei neuen Punkten schneidet, welche die neuen, durch I2 aufgeteilten Lichtquellenpositionen I3 und /4 sind. Die Helligkeit H2 von I2 ist genauso hoch, wie die Summe der Helligkeiten h3 + H4 von I3 und /4, da der Ursprung P mit I3 und /4 das rechtwinklige Dreieck ^0/3/4 bildet, in dem der umgekehrte Satz des Pythagoras ebenfalls mit
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
gilt.
Analog gilt fur die Helligkeit H4 am Punkt /4
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
sodass die Gesamthelligkeit H = ■ durch die Summe von H3, H4, H$ und H6 erhalten bleibt. Diese Erhaltung gilt folglich fur unendlich viele Aufteilungen der Lichtpunkte.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.8: Aufteilung der Positionen I2 (links) und (rechts)
Da die Sekanten /3/4 und I$I6 senkrecht zueinander sind, besitzen die Kreissegmente des dritten Kreises mit dem Umfang ^3 folgende UmfangsgroBen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wenn wir dieses Verfahren erneut mit einem vierten Kreis, welcher den doppelten Umfang des dritten Kreises: U4 = 16 besitzt, durchfuhren, so erhalten wir nun acht Lichtquellen, wie in der Abbildung 2.9 dargestellt. Alle vier Sekanten schneiden das obere Ende des dritten Kreises und diese benachbarten Sekanten schlieBen einen Winkel von 45° ein. Fur die Lange der Kreissegmente bedeutet das, dass ausgenommen von UPl7 und UPI11, welche die Lange 1 besitzen, alle eine Lange von 2 besitzen.
[...]
-
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X.