Lower Partial Moment und Mean-Variance Ansatz. Eine Gegenüberstellung am Beispiel von sechs wirtschaftsdominanten Aktienindizes

Akademische Arbeit , 2020 , 34 Seiten , Note: 1,0

BWL - Bank, Börse, Versicherung

Die Seminararbeit befasst sich mit den Unterschieden zwischen dem Lower Partial Moment und dem Mean-Variance Ansatz. Dabei werden als Datengrundlage sechs wirtschaftsdominante Aktienindizes für eine zehnjährige Periode analysiert. Hierbei wird gezeigt, dass der LPM für den gesamten Bewertungszeitraum sowie der zwei untergliederten Perioden, dem MV-Ansatz, hinsichtlich dem Maß an Risiko sowie auch der erwarteten Rendite überlegen ist. Dies führt zum Entschluss, dass die Portfoliooptimierung beim LPM2 effizienter ist, da sie bei gleichem oder besserem Niveau der erwarteten Rendite weniger Risiko aufweisen als die Portfolios, die mit der Markowitz Theorie bestimmt werden.

Inhaltsverzeichnis

I. Abbildungsverzeichnis

II. Tabellenverzeichnis

III. Abstract

1. Einleitung

2. RisikomaRe
2.1. Mean-Variance Ansatz
2.2. Downside Risk Ansatz

3. Datengrundlage

4. Empirische Analyse
4.1. Mean-Variance Ansatz
4.2. Lower Partial Moment-Ansatz
4.2. Portfoliooptimierung
4.3. Periodenbetrachtung

5. Fazit

IV. Anhang

V. Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Effizienzlinie nach der Markowitz Theorie

Abb. 2: Stochastische Dominanz 1. bis 3. Ordnung

Abb. 3: Efficient Frontier fur variierende a

Abb. 4: (g , o)-Efficient Frontier vs. (g,LPM2,0)-Efficient Frontier

Tabellenverzeichnis

Tab. 1: Deskriptive Statistik der Aktienindizes

Tab. 2: LPM(a,T) mit steigenden Inputvariablen

Tab. 3: Differenzen der RisikomaBe anhand der einzelnen Aktienindizes

Tab. 4: Differenzen der RisikomaBe anhand der Portfolios

Tab. 5: Deskriptive Daten der Aktienindizes unterteilt in unterschiedliche Perioden

Tab. 6: Mean Variance vs. Lower Partial Moment - Periodenbetrachtung

III. Abstract

Die Seminararbeit befasst sich theoretisch wie auch empirisch mit den Unterschieden zwischen dem Lower Partial Moment und dem Mean-Variance Ansatz. Dabei werden als Datengrundlage sechs wirtschaftsdominanten Aktienindizes fur eine zehnjahrige Perioden analysiert. Hierbei wird gezeigt, dass der LPM fur den gesamten Bewertungszeitraum sowie der zwei untergliederten Perioden, dem MV-Ansatz, hinsichtlich dem MaB an Risiko sowie auch der erwarteten Rendite uberlegen ist. Dies fuhrt zum Entschluss, dass die Portfoliooptimierung beim LPM2 effizienter ist, da sie bei gleichem oder besserem Niveau der erwarteten Rendite weniger Risiko aufweisen als die Portfolien, die mit der Markowitz Theorie bestimmt werden.

1. Einleitung

Der Downside-Risiko-Ansatz fur Investitionsentscheidungen verwendet RisikomaBe, die sich auf Renditeverteilungen unterhalb einer bestimmten Zielrendite konzentrieren. Messungen des Downside-Risikos sind nicht nur attraktiv, weil sie mit der Risikovorstellung der Investors ubereinstimmen, sondern auch, weil die theoretischen Annahmen, die zur Rechtfertigung ihrer Verwendung erforderlich sind, sehr einfach sind. Ebenso wichtig ist, dass eine Reihe bekannter RisikomaBe, einschlieBlich der traditionellen Mean-Variance-Methode, Sonderfalle des Downside-Risiko-Ansatzes sind. Die Vermogensallokation im Rahmen des Downside-Risikos bestimmt daher eine Anlagemoglichkeit fur risikoaverse Investoren, die mindestens ebenso effizient ist wie die, die mit der Markowitz Theorie abgeleitet wird. Insbesondere fuhrt die Optimierung auf der Grundlage des Downside-MaBes zu Portfoliostrategien mit realisierten Ertragen, die einen geringeren Downside-Risiko-Exposure haben als jene, die mit Hilfe der Varianz bestimmt werden. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit der Ansatz des Downside-Risikos im Vergleich zum Mean-Variance-Ansatz von Markowitz theoretisch wie auch empirisch verglichen.

Zu Beginn wird der theoretische Ansatz von Markowitz naher beleuchtet. Darauf aufbauend werden dessen Grundannahmen und mathematische Herleitung fur die optimale Gewichtung erlautert. AnschlieBend wird eine Downside-Risk Methode, der sogenannte Lower-Partial-Moment, theoretisch erklart und auf das Problem sowie die Losung der Portfoliooptimierung eingegangen. Im zweiten Abschnitt der Arbeit werden die zuvor erlauternden theoretischen Ansatze mit ausgewahlten empirischen Daten verglichen. Dabei erfolgen zuerst die Datengrundlage und die verwendete empirische Methode. Die empirische Analyse ist dabei in mehrere Teile untergliedert. Zuerst werden der Mean- Variance-Ansatz und der Lower-Partial-Moment mittels wirtschaftsdominanter Indizes einzeln betrachtet, um einen ersten Einblick fur beide Risikoansatze zu gewahrleisten. Im zweiten Teil werden mogliche Differenzen der beiden RisikomaBe anhand der Portfolioptimierung beider RisikomaBstabe detailliert erortert. Im Anschluss wird der komplette Analysezeitraum in zwei Perioden unterteilt und auf die Unterschiede der beiden RisikomaBe ausgewertet. AbschlieBend wird ein Fazit der theoretischen und empirischen Ergebnisse zusammengefasst und eine kritische Betrachtung der Ergebnisse abgegeben.

2. RisikomaBe

2.1. Mean-Variance Ansatz

Eine bahnbrechende Theorie des Portfolio Managements ist das Modell von Markowitz (1952), auch bekannt als Mean-Variance-Ansatz oder Moderne Portfolio Theorie (MPT). Hierbei wird nach effizienten Portfolien optimiert (vgl. Grootveld und Hallerbach 1998, 1f.). Die Theorie basiert auf der Pramisse, dass der Anleger bei der Aufteilung seines Vermogens auf verschiedene Vermogenswerte nicht nur die erwarteten Renditen (p) berucksichtigt, sondern auch das mit jedem dieser Bestande verbundene Risiko (o). Die Moderne Portfolio Theorie geht davon aus, dass der Investor den erwarteten Nutzen seines Portfolios, ausgedruckt als erwartete Rendite und Risiko, unter Berucksichtigung von bestimmten Annahmen maximiert. Der erwartete Ertrag wird durch den Mittelwert der Portfoliorenditen und das Risiko durch die Varianz, welches ein StreuungsmaB fur die Abweichung vom Mittelwert ist, der Verteilung gemessen. Bei einer hohen Varianz wird dabei von groBen Abweichungen von den zu erwarteten Renditen, sowohl positiver als auch negativer Art, ausgegangen. (vgl. Thompson 2014, 4)

Um den Mean-Variance-Ansatz anwenden zu konnen, mussen zunachst Grundannahmen zugrunde gelegt werden, bei dem die Anleger, bei der Auswahl des Portfolios ein rationales Risiko vermeiden. Die wichtigsten Modellannahmen der Markowitz Theorie sind (vgl. Beyhaghi und Hawley 2013, 21-24):

- Der Investor handelt rational und nutzenmaximierend (Homo Oeconomicus)
- Alle Investoren sind risikoavers, so dass sie bei gleicher Renditeerwartung p weniger Risiko c bevorzugen
- Investoren haben alle notigen Informationen uber die erwarteten Renditen, Abweichungen und Kovarianzen aller Vermogenswerte
- AuBerdem gibt es keine Begrenzung der Transaktionskosten oder Steuern
- Vollkommener Kapitalmarkt

Ein Portfolio ist effizient, wenn kein anderes Portfolio vorliegt, welches entweder bei gleicher Standardabweichung, eine hohere Rendite oder bei gleicher Rendite, eine niedrigere Standardabweichung aufweist. Dies impliziert, dass kein anderes Portfolio existiert, das nach dem g/o-Prinzip besser ist (Elton und Gruber 2011). Ein effizientes Portfolio liegt daher auf der optimalen Effizienzgrenze, wenn bei einem gegebenen Risikoniveau die Gewichtungen der verschiedenen Wertpapiere unter allen machbaren Portfolios die maximal erwartete Rendite erzielen. Die folgende Abbildung zeigt eine Effizienzlinie fur unterschiedliche Wertpapiere.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Effizienzlinie nach der Markowitz Theorie, Eigene Darstellung in Anlehnung an (Markowitz 1952)

Die Punkte innerhalb der Effizienzlinie sind einzelne Wertpapiere, welche eine bestimmte Rendite und Standardabweichung besitzen. Durch Diversifikation kann der Investor sein Risiko optimieren, indem er die Wertpapiere so gewichtet, dass das Portfolio auf der Effizienzlinie liegt.(vgl. Black und Litterman 1991, 8).

Das Minimum Variance Portfolio (MVP) ist ein bedeutender Punkt auf der Effizienzlinie und ordnet den Vermogenswerten die Gewichte so zu, dass das Risiko im Portfolio optimal minimiert wird. Somit hat das Minimum Varianz Portfolio, das geringste Risiko von allen Mean-Variance effizienten Portfolios. Aufgrund des Diversifikationseffekts besteht das MVP nicht aus einer einzigen Aktie mit der geringsten Varianz, sondern aus der Kombination von unterschiedlichen Wertpapieren (vgl. Markowitz 1952, 84 - 89).

Bei dem Mean-Variance Ansatz erhalt man das effiziente Portfolio, indem man das Risiko aller zugrundeliegender Wertpapiere minimiert. Die daraus resultierenden Rendite- erwartungen berechnen das sogenannte Minimum-Varianz-Portfolio. Die fur das Modell zur Portfolio Optimierung erforderlichen Variablen sind die erwarteten Renditen fur jeden Vermogenswert, die Varianz der Vermogenswerte und die Kovarianzen zwischen den Vermogensgegenstanden (Markowitz 1952, 81). Die erwartete Rendite (E(rp)) des Portfolios entspricht hierbei dem Anteil am Portfolio der gewichteten Summe und der erwarteten Renditen der einzelnen in ihm enthaltenen Wertpapiere:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

N ist dabei die Anzahl der Vermogenswerte im Portfolio. Xi ist die prozentuale Gewichtung und ri die erwartete Rendite der einzelnen Vermogenswerte. Fur das Portfoliorisiko, gemessen an der Varianz op2 bzw. Standardabweichung op, gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Otj ist hierbei die Kovarianz zwischen den Renditen von Anlagevermogen i und Anlagevermogen j; Die Kovarianz veranschaulicht, den Zusammenhang der Vermogens- gegenstande i und j.

Das grundlegende Modell zur Optimierung der mittleren Varianz schlieBt die Minimierung der Varianz des Portfolios unter fundamentalen Einschrankungen ein. Die Summe des Anteils des Finanzvermogens, der sich im Portfolio befindet, muss gleich "1" sein, und der Anteil der Vermogenswerte darf nicht negativ sein, da Leerverkaufe ausgeschlossen sind. Unter den oben genannten Bedingungen kann die Gleichung festgelegt werden (Markowitz 1952, 81 ff.):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nebenbedingung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine wichtige Kritik an der Mean-Variance-Methode betrifft die Interpretation der Standardabweichung als angemessenes Risiko, da die Standardabweichung nicht nur das Risiko, sondern auch die Chance auf eine positive Veranderung erfasst.

Daruber hinaus erfordert Markowitz' Mean-Variance-Portfolio-Auswahl quadratische Nutzenfunktionen oder normalverteilte Vermogensrenditen. Bertsimas und Sim (2004) kritisieren die nachteilige Eigenschaft der Sattigung der quadratischen Nutzenfunktionen, d.h. eine Zunahme des Wohlstands fuhrt zu einer Abnahme des Nutzens an einem bestimmten Punkt. Sie weisen auch darauf hin, dass die Vermogensrenditeverteilungen nicht immer elliptisch symmetrisch sind, da in der Praxis haufig auftretende asymmetrische Verteilungen ausgeschlossen werden. Diese asymmetrische Verteilung ist gemessen an seiner Schiefe, nicht an seiner Varianz. Harlow (1991) und (Unser 2000) halten es fur unvereinbar mit der menschlichen Wahrnehmung von Risiko. Diese kritisierte Eigenschaft kann durch die Einfuhrung eines geeigneten RisikomaBes korrigiert werden, die nur die Abweichungen unterhalb des Mittelwertes erfassen.

2.2. Downside Risk Ansatz

Im Gegensatz zu dem Mean-Variance Ansatz von Markowitz, betrachten die Downside- Risk-Methoden lediglich den unteren bzw. linken Teil einer Risikoverteilung. Der rechte Teil der Renditeverteilung wird aus Investorensicht als Chance gesehen. Downside-Risiken haben zudem den Vorteil, dass sie nicht nur die Risikoneigung der Investoren besser widerspiegeln, sondern auch die erforderlichen theoretischen Annahmen leicht zu erfullen sind (vgl. Harlow 1991, 1).

Zeitgleich mit Markowitz veroffentlichte Roy (1952) einen Artikel uber einen auf Downside-Risk basierenden Ansatz zur Portfolio Optimierung. Roy war davon uberzeugt, dass ein Anleger ein Portfolio mit der geringsten Ausfallwahrscheinlichkeit aufbaut und dabei eine minimal akzeptable Rendite, welche auch als Zielrendite oder Desaster Level bekannt ist, erhalten will Roy (1952). Es gibt eine Vielzahl von unterschiedlichen Methoden zur Bewertung des Downside-Risikos, wobei in dieser Arbeit der Fokus auf den „Lower Partial Moment“ (LPM) gelegt wird. Der LPM geht auf die Arbeit von Bawa und Lindenberg (1977) zuruck und hat gezeigt, dass die Messung des Downside-Risikos eine viel allgemeinere Alternative zur traditionellen Mean-Variance Analyse bietet.

Der LPM basiert auf einer Verteilung der Nutzenfunktion, die durch Bawa (1975) dargelegt wurde. Dabei konnen Auspragungen von Zufallsvariablen durch Verteilungsfunktionen veranschaulicht werden. Durch stochastische Momente konnen Informationen uber die Verteilung erzielt werden und dienen somit zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeits- verteilungen. Dabei ist die optimale Wahl eines Investors ein Portfolio, welches den erwarteten Nutzen der Rendite seines Portfolios maximiert. Die Klassifizierungen von Nutzenfunktionen, die als bedeutende Darstellungen des wirtschaftlichen Verhaltens definiert wurden, werden wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Stochastische Dominanz 1. bis 3. Ordnung, Quelle: (Bawa und Lindenberg 1977)

Wobei u(y) die i-te Ableitung der Nutzenfunktion und R den Bereich der Zufallsvariablen bezeichnet. (vgl. Bawa und Lindenberg 1977, 3) Die Klassifizierung „U1“ enthalt alle Nutzenfunktionen mit positivem Grenznutzen. Dies bedeutet, dass ein hoherer Ruckfluss einem niedrigeren Ruckfluss vorgezogen wird. Ein Investor mit dieser Nutzenfunktion kann dabei risikofreudig, -neutral oder -avers sein. Hierbei spricht man auch von der stochastischen Dominanz erster Ordnung (First Order Stochastic Dominance = FSD). Die Klassifizierung „U2“ umfasst die Nutzenfunktionen mit positivem und fallendem Grenznutzen. Diese Einstufung spiegelt eine Risikoaversion wider, dabei kann die Risikoaversion mit dem Ruckfluss wachsen, fallen oder konstant sein (Second Order Stochastic Dominace = SSD). Die Klassifizierung „U3“ umfasst nur die Nutzenfunktionen risikoaverser Anleger mit zusatzlich positiver dritter Ableitung (Third Order Stochastic Dominace = TSD). (vgl. Bawa und Lindenberg 1977, 3)

Die Wahl des optimalen Portfolios eines Investors kann auf Basis der oben genannten Nutzenfunktionen gebildet werden. Theoretisch bestimmt die Ordnung (a) des LPMa- MaBes die Art der Nutzenfunktion u(y), die mit dem RisikomaB des Investors konsistent ist. Dabei kann der LPM durch folgende Formel dargestellt werden (vgl. Grootveld und Hallerbach 1998, 3),

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei F(R) die kumulative Verteilungsfunktion der Investitionsrendite R ist. Der Zielparameter t in Gleichung (4a), ist in der Praxis eine Benchmark-Rendite, ein kurzfristiger Zinssatz oder eine erforderliche Rendite, die auch als minimale akzeptable Rendite, Schwellenwert oder Threshold bezeichnet wird. (vgl. Grootveld und Hallerbach 1998, 3)

Der angegebene Parameter „a“, auch Order genannt, erfasst die Risikopraferenzen eines Investors. Mit ansteigendem a, steigt auch die Risikoaversion des Anlegers, da der Investor hohere negative Abweichungen starker gewichtet. Dabei kann der Parameter nicht nur ganzzahlige Zahlen annehmen, sondern jeden beliebigen Wert bzw. Risikopraferenz des Anlegers darstellen.

Fur a =0 (LPM0) gibt das RisikomaB die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung der Zielrendite bzw. der Downside-Wahrscheinlichkeit an. In diesem Fall spiegelt das RisikomaB die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung der Mindestrendite wider. Bei einem LPM erster Ordnung (LPM1) ist ein Anleger neutral gegenuber dem Risiko. Hierbei wird die Flache unter der oben angegebenen Verteilungsfunktion bis zur Zielrendite gemessen und wird auch als Expected Loss bezeichnet (vgl. Nawrocki 1999, 14).Der LPM zweiter Ordnung (LPM2) gibt die Downside-Varianz an. In diesem Fall ist der Investor von einer Risikoaversion gepragt. LPM2 ist insofern analog zur Varianz, da das RisikomaB eine Wahrscheinlichkeitsgewichtung der quadrierten Abweichungen darstellt. Wenn die Zielrendite der erwarteten Rendite entspricht, dann besteht der Sonderfall, dass die Downside-Varianz des LPMs der Semivarianz des Markowitz-Ansatzes entspricht (vgl. Nawrocki 1999, 14).

Obwohl das LPMa-RisikomaB eine Vielzahl an Vorteilen bietet, ist es wichtig, die wirtschaftliche Rechtfertigung fur seine Verwendung und die allgemeinen Bedingungen, unter denen es angemessen ist, zu berucksichtigen. Die Unterscheidung zwischen dieser Methode und dem des traditionellen Mean-Variance-Ansatzes liegt in den Annahmen bezuglich der Verteilungseigenschaften von Renditen und Anlegerpraferenzen (vgl. Harlow 1991, 31). Wie bereits oben erwahnt, erfordert die Verwendung der Varianz als Risikomessung eine restriktive Anzahl von Annahmen. Konkret mussen entweder die Renditen normal verteilt sein, oder Investoren zeigen ein Verhalten auf, dass durch eine quadratische Nutzenfunktion dargestellt werden kann. Innerhalb des LPMa-Ansatzes, konnen Verteilungen, die durch einen Mittelwert und Standardabweichung erklart werden konnen, definiert werden. Zusatzlich, benotigt das LPMa-Modell nur allgemeine Annahmen bezuglich der Nutzenfunktionen, wie zum Bespiel die Risikoaversion oder die Schiefe Praferenz der Renditen des Inventors (vgl. Harlow 1991, 31). Nawrocki (1991) wies bereits in seiner Arbeit auf die starke Korrelation des LPM und der Schiefe hin.

„LPM, by measuring below-target returns, is an approximate measure of skewness in the distribution. Since investors prefer positive skewness and dislikes negative skewness, LPM becomes a measure of risk. The higher the LPM value, the greater the degree of negative skewness and the greater the risk of the investment.”

Dabei ist der LPM eher ein MaB der Schiefe und weniger der Abweichung um den Mittelwert. Wie auch bei dem Mean-Variance Ansatz, werden beim LPM-Ansatz die erwarteten Renditen uber die Summe der gewichteten Renditen uber die Zeit bewertet. Im weiteren Verlauf unterscheiden sich die beiden Ansatze jedoch. Bawa und Lindenberg (1977) verwendeten den Lower Partial Moment zur Ableitung einer Downside Variante des Capital Asset Pricing Model (CAPM) (vgl. Miller und Reuer 1996, 6). Das Downside RisikomaB kann mit wie oben beschrieben in Gleichung (4a) fur historische Daten wie folgt dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei T die Anzahl der Renditebeobachtungen ist. Die Bildung der effizienten Portfolien unterliegt, wie bei dem Mean-Variance Ansatz, einem Minimierungskalkul. Hierbei wird unterstellt, dass der Anleger den Renditeerwartungswert und das RisikomaB als alleinige Entscheidungskriterien verfolgt. (vgl. Schmidt-von Rhein 1996, 421) Dieses Kalkul kann wie folgt dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine weitere Bedingung gilt dabei fur Gleichung (6). Der LPMa muss mindestens die Ordnung eins oder hoher annehmen, um eine Risikoaversion in der Entscheidungsfindung des Investors zu implementieren. Die resultierende Menge von effizienten Losungen zeichnet eine konvexe mittlere LPMa-Effizienzgrenze (bezeichnet MLPMa) ab, die das optimale Risiko/Rendite-Verhaltnis widerspiegelt. Das Risiko fur das gesamte Portfolio LPMp kann durch folgende Gleichung bestimmt werden (vgl. Nawrocki 1991, 466):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist zu beachten, dass LPMij eine Asymmetrie aufweist. Die Kalkulation der asymmetrischen Beziehung zwischen den Vermogensgegenstanden i und j kann durch folgende Formel dargestellt werden:

[...]

• Hochschule: Universität Passau
• Note: 1,0
• Erscheinungsjahr: 2020
• Seiten: 34
• Katalognummer: V1030206
• ISBN (eBook): 9783346454706
• Sprache: Deutsch
• Schlagworte: Mean Variance, Downside Risk, Markowitz, Downside Risk Measure, Portfolio Optimierung, Portfolio, Optimization, Variance