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4. Regressions- und Korrelationsanalyse
Betrachtung von Zusammenhängen, also von Ursache
Regression: Besteht überhaupt ein Zusammenhang (positiv oder negativ)? Korrelation: Wie stark ist der Zusammenhang?
Problem: Quantifizierung des kausalen Zusammenhangs (Differenzierung von Variablen)
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Modell: I = f(x) = f(Z, G, N)
Problem der Multikolliniarität, d.h. keine Abhängigkeit unter den unabhängigen Variablen sollte gegeben sein
a) einfache Regression: y = f(x)
b) multiple Regression: y = f(x 1 , x 2 , x 3 , … x n )
c) partielle Regression: y = f(x 1 | x 2 , x 3 , x 4 )
Einfaches lineares Regressionsmodell
y i = a + bx i
U1
U0
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Empirische Regressionsfunktion 15.11.00
Beispiel: Einkommen = y, Alter = x
a
Die Summe der Abweichungen (von der Geraden) muß gleich 0 sein d i = Abweichung; a = absolutes Glied; b = Steigung
Verteilung über jedem Alter = interne Streuung gesamte Verteilung = externe Streuung
Berechnung der Regressionsgeraden
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Regressionsgerade:
Bsp.: 6 Personen werden zu ihrem Alter und ihrem Einkommen befragt:
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressionskoeffizienten
− = 〈 − = − =
a 4) a bestimmen
Int.: Nimmt das Alter um 1 Jahr zu, steigt das ∅-liche Nettoeinkommen um ∅-lich 107,10 Bei einem Alter von 0 Jahren hat man Schulden von 1.606 DM !?, also gibt der a-Wert keinen Sinn
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Die Regressionsfunktion lautet: y = -1.606 + 107,1x
für die Zeichnung:
P (29 | 1500) als ( x y - Punkt)
2. Beispiel: Eine Firma hat ein neues Reinigungsmittel entwickelt. Bevor es auf
Zielgröße: Absatzquote in % = y
Instrumentvariable: Verkaufspreis / Packung = x
Absatzquote = f (Verkaufspreis)
Gesucht ist, wie stark der Verkaufspreis die Absatzquote beeinflusst!
Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressionskoeffizienten
5) Die Regressionsgerade/-funktion lautet: y = 117,38 - 0,34264x
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4.2 Der Korrelationskoeffizient
Frage: Wie "stark" ist der Zusammenhang zwischen den beobachteten Variablen ausgeprägt? Also die Intensität des Zusammenhangs?
Diesen Zusammenhang drückt der Korrelationskoeffizient r aus
0 ≤ r ≤ +1 bzw. -1 ≤ r ≤ 0 mit den verschiedenen Möglichkeiten:
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Zwei Streuungen (Abweichungen) sind zu betrachten:
1) interne Streuung (in der vertikalen Richtung), sollte möglichst klein sein 2) externe Streuung (in der horizontalen Richtung), möglichst groß
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4.2.1 Bravair - Pearson´scher Korrelationskoeffizient
Bsp.: Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressions-/Korrelationskoeffizienten
Bestimmungsmaß: ist ein relatives Maß für die Güte der Analyse. Es mißt die
2. Beispiel: vergl. Tabelle "Reinigungsmittel"
Frage:
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Arbeitstabelle
n
=
r
Interpretation: 82% der Absatzquote sind durch den Preis erklärt. Zwischen der
Rangkorrelation:
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Gegeben sind die Rangzahlen R (x i ) = x i * und R (y i ) = x i *
der Beobachtungen und die Rangdifferenzen d i = x i * - y i *, so gilt:
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Arbeitstabelle zur Berechnung der Rangkorrelationskoeffizienten
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5 Analyse von Zeitreihen
Zeitreihenanalyse a) Querschnittsanalyse b) Längsschnittanalyse
zu a)
zu b)
Modell:
Definition Zeitreihen: Unter einer Zeitreihe versteht man die Entwicklung eines bestimmten Merkmals, dessen Werte im Zeitablauf zu bestimmten Zeitpunkten erfaßt und dargestellt werden.
Komponenten einer Zeitreihe: y = f (T, Z, S, R)
1) Trend (T), langfristig
2) Konjunktur (Z), mittelfristig 3) saisonale Einflüsse (S), kurzfristig 4) Restkomponente (R), zufällig
Für bestimmte Zwecke werden nur die Trendkomponente und die Saisonkomponente erfaßt und berechnet. S(t) und R(t) werden aus dem Vergleich der Daten ermittelt.
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Die additive Verknüpfung der Komponenten
y = T(t) + Z(t) + S(t) + R(t)
Die multiplikative Verknüpfung der Komponenten
y = T(t) • Z(t) • S(t) • R(t)
5.2 Berechnung der Trendgeraden
1) Die Methode der gleitenden Durchschnitte
mathematisches Ausgleichsverfahren, das alle Schwankungen der Zeitreihe ausschaltet
Berechnung nach Formel:
+ + + + + +
T
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Beispiel: Der Umsatz entwickelte sich in den letzten 9 Jahren wie folgt:
Graphische Darstellung
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Nachteile:
1) Die ersten und letzten beiden Jahre der Zeitreihe werden in der Trendkomponente nicht berücksichtigt (= Informationsverlust) 2) eine völlige Ausschaltung der Schwankungen ist nicht möglich 3) Da die Trendwerte schon vor dem Ende der Zeitreihe abbrechen ist die Methode für Prognosezwecke ungünstig
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2) Die Methode der kleinsten Quadrate (vergl. Seite 2, Regressionsgerade)
Beispiel: Umsatzzahlen, quartalsweise
1) Berechnung der Trendfunktion T = a + bt T = y, t = x
T 1 = 1. Quartal des 1. Jahres, T 2 = 2. Quartal des 1. Jahres,…
〈 〈 − 〈
=
b
Arbeitstabelle
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Berechnung der Umsatztrendwerte (vergl. Tabelle S. 14 in rot)
mit I / 1996
II / 1996
II / 2000 x = 18 Trendwert = 201,4836 +(18 * 3,2941) = 260,77
Erstellen von Trendprognosen
III / 2000 x = 19
IV / 2000 x = 20
IV / 2001 x = 24 Trendwert = 201,4836 +(24 * 3,2941) = 280,542
(ist nur der Trend ohne Saisonkomponente)
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Statistik A - Internationales Management 16
Die Ermittlung des Saisoneinfluß
Der Saisonindex (Saisonquotient, ist die prozentuale Abweichung der ursprünglichen,
saisonbeeinflussten Werte einer Reihe von der saisonal unbeeinflussten Reihe)
Berechnungsschritte: 1) Ermittlung einer Vergleichsreihe
Reihe der Ursprungswerte
2) Vergleich von saisonbeeinflusster Zeitreihe (Ursprungszeitreihe) und saisonfreier Zeitreihe (Trendwerte)
=
S
ij
vergl. Arbeitstabelle (in blau)
Saisonindex (S 1,1 ) = 168 / 204,77
Saisonindex (S 2,1 ) = 210 / 208,07
Saisonindex (S 3,1 ) = 190 / 211,366 = 0,8989
Saisonindex (S 4,1 ) = 298 / 214,66
Interpretation (S 1 ):Der tatsächlich eingetretene Wert (Ursprungswert) ist
gegenüber dem saisonfreien Trendwert um 18% (1-0,82) abgeschwächt, d.h. im 1. Quartal 1996 liegt ein saison-schwächender Einfluß mit einer Wirkung von 18% vor.
oder: Wenn es keine saisonalen Schwankungen gegeben hätte, wäre der Umsatz in diesem Quartal um 21,89% höher gewesen (verminderte Basis von 0,82 !)
Interpretation (S 4 ):Im 4. Quartal 1996 liegt ein saisonverstärkender Einfluß von
ca. 39% vor
oder: Wenn keine saisonalen Einflüsse zur Wirkung gekommen wären, hätte der Umsatz im 4 Quartal 1996 um ____ % niedriger gelegen
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3) Ermittlung des Saisoneinfluß
+ + + +
=
S I
bedeutet: im Durchschnitt wurde der Umsatz in den ersten Quartalen saisonbedingt jeweils um 20% gemindert
+ + + +
=
S II
+ + +
=
S III
=
S IV
1,5
1,4 1,3
1,2
1,1 1
0,9 0,8
0,7
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Statistik A - Internationales Management 18
Prognose über die Entwicklung des Umsatzes
Der erwartete Umsatz y ˆ (y Dach = Schätzwerte) setzt sich aus den beiden
Komponenten "Trend" und "Saisoneinfluß" zusammen.
= Trendwert (Trendfunktion) • Saisoneinfluß (im Durchschnitt) y ˆ
6) Bsp.: Quartalsumsätze
-
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