Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes (Mathematik)

Pre-University Paper , 2008 , 17 Pages

Mathematics - Miscellaneous

In meiner Hausarbeit möchte ich zu Beginn das Leben zweier bedeutender Mathematiker der Zeitgeschichte, den griechischen Mathematiker, Physiker und Ingenieur Archimedes von Syrakus und den französischen Mathematiker und Jurist Pierre de Fermat, die sie beide in unterschiedlichster Weise geprägt haben, vorstellen.

Da mein Thema die Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes krummlinig begrenzter Flächen ist, beschäftige ich mich im Wesentlichen in meiner Arbeit damit, wie Archimedes von Syrakus mit seiner „archimedischen Exhaustion“ und Pierre de Fermat mit seiner Berechnung des Integrals durch einen geschickten Ansatz Flächeninhalte bestimmen konnten.

Inhalt

1. Einleitung

2. Kurzbiographien
2.1. Archimedes von Syrakus
2.2. Pierre de Fermat

3. Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes
3.1. Die archimedische Exhaustion
3.2. Die FERMAT´sche Berechnung des Integrals

Literaturverzeichnis

1. Einleitung

In meiner Hausarbeit möchte ich zu Beginn das Leben zweier bedeutender Mathematiker der Zeitgeschichte, den griechischen Mathematiker, Physiker und Ingenieur Archimedes von Syrakus und den französischen Mathematiker und Jurist Pierre de Fermat, die sie beide in unterschiedlichster Weise geprägt haben, vorstellen.

Da mein Thema die Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes krummlinig begrenzter Flächen ist, beschäftige ich mich im Wesentlichen in meiner Arbeit damit, wie Archimedes von Syrakus mit seiner „archimedischen Exhaustion“ und Pierre de Fermat mit seiner Berechnung des Integrals durch einen geschickten Ansatz Flächeninhalte bestimmen konnten.

2. Kurzbiographien

2.1. Archimedes von Syrakus

Archimedes von Syrakus wurde um 287 vor Christi Geburt in der sizilianischen Hafenstadt Syrakus am ionischen Meer geboren, wo er auch aufwuchs und den größten Teil seines Lebens verbrachte.

Er war der Sohn des Astronomen Phidias und ein Freund des sizilianischen Königs und Despoten Hieron II., der ab 270 v. Chr. dort herrschte.

Archimedes reiste nach Ägypten und studierte am Museion in Alexandria, dem damaligen Zentrum der griechischen Kultur und Wissenschaft. Dort befand sich die große Bibliothek und lernte bei dem Nachfolger Euklids, der eine Generation früher seine Akademie gegründet hatte. Aus diesem Grund richteten sich auch seine späteren Briefe über mathematische Probleme an Naturwissenschaftler und Mathematiker der alexandrischen Schule, gearbeitet hat er jedoch weitgehend allein.

Archimedes war der berühmteste griechische Mathematiker, Physiker und Ingenieur der Antike. Er hat als erster die Mathematik und Physik miteinander verknüpft. Er ist der einzigste der alten Griechen, der bedeutende und bleibende Beiträge zur Mechanik geleistet hat. Er zeichnete sich sowohl durch seine mathematischen Abhandlungen wie durch seine praktischen Erfindungen und der nicht anekdotischen Beschreibung seiner Experimente aus.

Archimedes wissenschaftliche Arbeiten beschränken sich inhaltlich auf drei Bereiche:

- Die Einführung des Begriffs des Schwerpunktes und dessen Bestimmung für einfache Figuren und Körper
- Probleme der mathematischen Physik, wie zum Beispiel Gleichgewichtsuntersuchungen schwimmender Körper oder das Hebegesetz
- Die Ausarbeitung der Methode zur Bestimmung von Flächen- und Rauminhalten von mathematischen Figuren und Körpern

Mehrere seiner Bücher über die Mechanik sind verloren gegangen. So sind von ihm nur zwei physikalische Schriften über die Mechanik überliefert, die sich durch ihren systematischen Aufbau, ihre folgerichtigen Beweisführungen und mathematische Strenge auszeichnen.

Es sind die Schriften „Über das Gleichgewicht Ebener Flächen“ und „Über schwimmende Körper“. Um ein paar Beispiele des Inhalts seiner Schriften aufzuzeigen, bewies er in „Über das Gleichgewicht Ebener Flächen“ (Hebel, Keil, Rolle, Flaschenzug und schiefe Ebene) die Hebel- und Schwerpunktgesetze und in „Über schwimmende Körper“ (Dichte, Auftrieb und Schwerpunkt) ist sein berühmter Satz zur Hydrostatik zu lesen, in der er das so genannte Archimedische Prinzip behandelt. Dieses Prinzip erklärt, warum Körper schwimmen, und ist einer der grundlegenden Sätze der Hydrostatik.

Die Hebelgesetze waren allerdings bereits vor Archimedes bekannt, jedoch hat er alle Erkenntnisse in einen logischen Zusammenhang gebracht. In Bezug auf Theorie und Praxis ist e r über das bisher Bekannte weit hinausgegangen.

Er selbst entwickelte aus dem Hebelgesetz bereits die wissenschaftlichen Grundlagen der Statik für statisch bestimmte Systeme. Er schuf dadurch die theoretische Grundlage für die spätere Entwicklung der Mechanik und kann ihn daher als den Begründer der theoretischen Mechanik ansehen. Auch seine Abhandlungen über die Geometrie hat er in einem klaren und genauen Stil in sieben erhaltenen Schriften verfasst: „Die Quadratur der Parabel“, „Die Methodenlehre“, „Über Kugel und Zylinder“, „Über Spiralen“, „Über Konoide und Shpäroide“, „Die Kreismessung“ und der „Sandrechner“.

Die hier gewählte Reihenfolge ist aller Wahrscheinlichkeit nach die des Entstehens der Schriften. Während die Methodenlehre erst im Jahre 1906 aufgefunden wurde, sind die übrigen Schriften seit dem Beginn der Neuzeit bekannt. Auch hier möchte ich einige Beispiele nennen: in „ Kugeln und Zylinder“ entdeckte er die Formeln zur Volumen- und Oberflächenberechnung gekrümmter Körper. In seiner Schrift „Quadratur der Parabel“ bewies Archimedes, dass der Inhalt eines Parabelsegments 4/ 3 des Inhalts des einbeschriebenen Dreiecks beträgt und entdeckte somit die Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes, auf die ich in dieser Hausarbeit noch im folgendem ausführlich eingehen werde.

In „Der Sandrechner“, einem seiner letzten Werke, hätte er beinahe den Logarithmus erfunden und gebrauchte für große Zahlen eine wissenschaftliche Notation. So schätzte er, dass 10^63 das gesamte Universum ausfüllen würden.

Archimedes werden auch eine Reihe von praktischen Erfindungen zugeschrieben.

Die berühmteste ist zweifellos die archimedische Schraube, eine Wasserschnecke, die zur Be- und Entwässerung eingesetzt werden kann. Daneben ist er auch der Erfinder des Planetariums.

Archimedes schuf einen planetariumsähnlichen Apparat, der mechanisch die Bewegung der Himmelskörper darstellen konnte, und schien auch einen Diopter erfunden zu haben, ein Instrument zur Bestimmung des Sonnendurchmessers.

212 v. Chr. ist Archimedes im Alter von 75 Jahren bei der Eroberung von Syrakus durch die Römer von einem römischen Soldaten ermordet worden, da Archimedes im Zweiten Punischen Krieg an der Verteidigung von Syrakus gegen die römische Belagerung beteiligt war.

Nach seinem Tod ist Archimedes neben dem griechischen Mathematiker Euklid und den Vorsokratikern, also diejenigen antiken griechischen Philosophen, deren Leben und Werk überwiegend in die Zeit vor Sokrates (griechischer Philosoph, 469 – 399 v. Chr.) fällt, zum Vorbild für die naturwissenschaftliche Revolution des 17. Jahrhunderts geworden.

Er übte somit großen Einfluss auf Wissenschaftler wie Isaac Newton, Galileo Galilei oder Pierre de Fermat aus, den ich im folgenden Kapitel vorstellen möchte.

2.2. Pierre de Fermat

Pierre de Fermat wurde am 17. August 1601 in Beaumont de Lomagne in Frankreich geboren.

Fermat war Sohn eines Lederhändlers, studierte nach Abschluss der bei den Franziskanern verbrachten Schulzeit an der Universität Orléans Rechtswissenschaften und wurde nach anwaltlicher Tätigkeit 1634 Rat am Toulouser Gerichtshof.

Dieses Amt führte er Zeit seines Lebens aus.

Was die Mathematik betrifft, so war Fermat Amateur und beschäftigte sich aus Freude an der Mathematik mit den Werken der großen griechischen Mathematiker, insbesondere mit Schriften von Euklid, Archimedes, Appollonios und Diophantos von Alexandrien.

Er entnahm aus ihnen Anregungen für arithmetische und analytische Probleme.

So auch aus den Werken von Pappos von Alexandria, einer der letzten bedeutenden Mathematiker der Antike, stammte die Anregung zur Extremwertregel, die Fermat zur Studie „ Über Maxima und Minima“ führte.

Desweiteren war er ein Autodidakt, d.h., er eignete sich im Selbststudium Wissen an.

Einer seiner Quellen war vor allem das Buch „ Arithmetika“ von Diophantos von Alexandria, in dem Probleme der Mathematik des Altertums aufgeführt waren.

Trotz des Amateurstatus gilt Fermat neben dem französischen Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler Descartes (1596-1650) als einer der größten Mathematiker seines Jahrhunderts. In den Bereichen, mit denen er sich intensiv beschäftigte, erzielte Fermat Ergebnisse, die über seine Vorläufer hinausgingen.

Das liegt an seinen Entdeckungen auf dem Gebiet der Optik, der Zahlentheorie und der analytischen Geometrie.

Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die er mit seinem Landsmann Blaise Pascal, ebenso ein französischer Mathematiker und Physiker, begründete, hat er wesentliches geleistet. Auch pflegte er Korrespondenz mit einer Gruppe von Experimentalwissenschaftlern und Naturphilosophen, darunter, neben Descartes, auch der niederländische Astronom, Mathematiker und Physiker Christiaan Huygens.

Durch das Studium der antiken Mathematik, vor allem der Schriften von Euklid und Apollonios, sowie die Rekonstruktionsversuche der verloren gegangenen Bücher der „Konika“ (Über Kegelschnitte) des Apollonios, wurde er auf die Behandlung geometrischer Örter (geometrische Ortskurve) geführt.

Als Ergebnis entstand 1636 die Schrift „ Ad locos planos et solidos isagoge“ (Einführung in die ebenen und räumlichen Örter). Es geht also um „ebene“ (Gerade, Kreis) und „räumliche“ (Kegelschnitte) geometrischer Ortskurven.

Hiermit entwickelte er wesentliche Gedanken der analytischen Geometrie.

Fermat hat auch bedeutende Beiträge zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung geleistet, auf die ich im weiteren Verlauf meiner Hausarbeit noch eingehen werde.

Er beschäftigte sich mit infinitesimalen Methoden in der Antike, wie der Integration von Potenzen mit ganzen und gebrochenen Exponenten.

Des Weiteren befasste er sich nach Kepler mit Extremalaufgaben und konnte damit eine Reihe von Tangentenproblemen, also die Integration von Kurven, das Finden von Maxima und Nullstellen und mehr lösen.

Auch baute er die Methode von Archimedes weiter aus. Fermat hat also in der Tat ein „ Exhaustionsverfahren“ zur Flächeninhaltsbestimmung entwickelt.

Dies gelang ihm, weil das Problem sich zurückführen ließ auf eine unendliche geometrische Reihe. Damit arbeitete er letztendlich wie Archimedes, nur hatte dieser sein Vorgehen noch umschreiben müssen, weil die Griechen sich weigerten, das Unendliche in ihr mathematisches System aufzunehmen.

Diese Beschränkung war im Barock überwunden. Fermat hat aber seine Methode nur auf eine beschränkte Klasse von Funktionen angewendet und hat den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung nicht wie die Mathematiker Leibniz und Newton erkannt, sodass man Fermat nicht als Begründer, sondern als Wegbereiter der Analysis ansehen kann.

Auch hier sind weitere wichtige Werke seines Schaffens zu erwähnen.

So wurde zum Beispiel auch der „Große und Kleine Fermatsche Satz“ berühmt. Im ersteren behauptete er, dass es keine ganzzahlige (enthalten alle natürlichen Zahlen sowie deren negative Zahlen) Lösung ohne Nullwert für die allgemeine Gleichung xn + yn = zn gibt, wenn n ganzzahlig und größer als 2 in positiven Zahlen ist.

Fermat behauptete also, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenfür alle n > 2 keine positiv ganzzahlige Lösung hat.

Desweiteren behauptete er, einen wunderbaren Beweis für diese Ungleichung zu besitzen, schrieb diesen aber nie nieder. Seither ist die Behauptung Fermats als der „Große Fermatsche Satz“ in die Geschichte der Mathematik eingegangen.

Somit lieferte er nie Beweise, sondern forderte seine Zeitgenossen auf, diese zu suchen.

Dies ist wohl eines der berühmtesten Rätsel der Mathematik und konnte bis vor kurzem nicht bewiesen werden. Erst 1994 zeigte Dr. Andrew Wiles, Professor an der Cambridge Universität in England nach sieben Jahren Vorarbeit und einigen Problemen mit Hilfe mehrerer aktueller Beweise in der theoretischen Geometrie, dass die Behauptung Gültigkeit besitzt. So sind elliptische Kurven gleichzeitig modulare Formen.

Ebenfalls nach dem französischen Mathematiker ist der „Kleine Fermatsche Satz“ benannt, den er ebenfalls ohne Beweis angab. Auf diesem erstmals von Leonhard Euler bewiesenen Satz basiert der Fermatsch´e Primzahltest. Er besagt, dass für jede Primzahl p und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltengilt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Eine andere berühmte Behauptung von Fermat, dass 22r + 1 stets Primzahl ist (r nicht negative Zahl) wurde später von Euler widerlegt und führte auf das bis heute offene Problem der „Fermatsch´en Primzahlen“.

Fermat beschäftigte sich auch mit Spiralen. Es wurde eine Spirale nach ihm benannt, die „ FERMAT´sche Spirale“. Für die Astronomie war Fermat zusätzlich von Bedeutung, indem er formulierte, dass ein Lichtstrahl bei der Umlenkung durch Spiegel oder Prisma den Weg nimmt, der die kürzeste Zeit erfordert. Diese physikalische Eigenschaft wird „Fermatsches Prinzip“ genannt und erklärt die Refraktion, also die Berechung des Lichts in Medien.

Fermat nahm sich nicht die Zeit, seine auf den Gebieten der analytischen Geometrie, der Analysis und der Zahlentheorie gemachten Entdeckungen ausführlich niederzuschreiben und zu veröffentlichen.

Der Reichtum des FERMAT´schen mathematischen Schaffens wird erst aus den „Varia opera mathematica“ (Mannigfache mathematische Werke) deutlich, die sein Sohn Clement Samuel de Fermat im Jahre 1679 veröffentlichte. Diese Werke enthalten einige seiner Briefe und die Randnotizen in Büchern, wodurch auch der „G roße Fermatsche Satz“ bekannt wurde.

Pierre de Fermat starb am 12. Januar 1665 in Caustres bei Toulouse. Viele Mathematiker nach ihm versuchten, die allgemeine Form des letzten Satz Fermats zu beweisen oder zu widerlegen, so unter anderem die Mathematiker Gauß (1777-1855) und Euler (1707-1783).

[...]

• Publication Year: 2008
• Pages: 17
• Catalog Number: V998030
• ISBN (eBook): 9783346373489
• Language: German
• Tags: flächeninhaltsbestimmung, entdeckung, hauptsatzes, mathematik