Verständnis der Zahlvorstellungen sowie Addition und Subtraktion bei Schüler*innen (Klasse 3, Mathematik)

Eine qualitativ angelegte Untersuchung am Beispiel von acht Einzelinterviews

Bachelorarbeit , 2020 , 89 Seiten , Note: 1,3

Mathematik - Allgemeines, Grundlagen

Die Basis der Arbeit ist die Annahme, dass ein gelungener Mathematik-Unterricht in der Grundschule gleichgewichtig inhaltsbezogene und prozessbezogene Kompetenzen fördern soll. Das heißt, er sollte auf der einen Seite Wissen und Fertigkeiten und auf der anderen Seite Verständnis und eine positive Einstellung vermitteln. So werden neben der „Sache Mathematik“ auch das Kind als „lernendes Subjekt“ und seine Lebenswelt in den Mittelpunkt gestellt. Und zusammengeführt bedeutet dies, dass prozessbezogene Kompetenzen nur in Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten und inhaltsbezogene Kompetenzen nur mit prozessbezogenen Fähigkeiten erworben werden können.

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung - Die Sache Mathematik und das Kind als lernendes Subjekt

2. Theoretische Vorüberlegungen: Begrifflichkeiten, Situationen, Strategien
2.1 Allgemeine (prozessbezogene) und inhaltliche mathematische Kompetenzen
2.2 Zahlbegriffsentwicklung, Zahlvorstellungen und Stellenwertsystem
2.3 Fokussierung auf Addition und Subtraktion als Rechenoperationen
2.4 Klassifikationstypen von Rechenarten: Handlungssituationen und Hauptstrategien beim Addieren und Subtrahieren

3. Durchführung der Studie - Kinder als Experten und Akteure
3.1 Forschungsmethode und Transkription
3.2 Präsentation der Aufgabenbereiche im leitfadengestützten Interview
3.3 Lern- und Entwicklungspotentiale, kritische Ansätze und mögliche Fehler
3.4 Praktische Umsetzung: Schule, Schulklasse, konkrete Gegebenheiten

4. Auswertung - Mathematische Kenntnisvermittlung und Persönlichkeitsbildung
4.1 Zur Anonymisierung des Datensatzes.
4.2 Aufgabenbezogene Auswertungen: Lernoptimierung und Förderung
4.3 Einbezug der mathematischen Kompetenzen in die Auswertung
4.4 Rückbezüge zu den theoretischen Vorüberlegungen

5. Fazit - Mathematische Inhalte als Werkzeug zur Welterschließung?

6. Anhang

7. Quellenverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Tab. 1 Übersicht allgemeine prozessbezogene mathematischen Kompetenzen

Tab. 2 Übersicht zu den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen

Tab. 3 Dreistufenmodell der Zahlvorstellungsentwicklung nach Jean Piaget (1972).

Tab. 4: Vielzahl unterschiedlicher Sachsituation im Bereich Addition - Beispiele A bis F

Tab. 5: Vielzahl unterschiedlicher Sachsituation im Bereich Addition - Beispiele A bis F

Tab. 6: Erprobungsaufgaben im Interviewerbogen

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 Klassifikation in vier Additionssituationen/Rechenarten

Abb. 2 Klassifikation in vier Substraktionssituationen/Rechenarten

Abb. 3. Unterscheidung Additions-Rechenstrategien

Abb. 4. Unterscheidung Subtraktions-Rechenstrategien

Abb. 5 Erprobungsaufgabe eins „Zahlenstrahl“. 21,

Abb. 6 Erprobungsaufgabe zwei „Vergleichen“. 21

Abb. 7 Erprobungsaufgabe vier „Sachaufgabe rechnen“.

Abb. 8 Erprobungsaufgabe vier „Rechengeschichte.

„Unsere Klasse hat Äpfel gepflückt. Wir haben 330 gepflückt. Wir essen 240 Äpfel. 90 bleiben übrig.“ Ein Kind im Interview zur Formulierung einer Rechengeschichte

1. Einleitung - Die Sache Mathematik und das Kind als lernendes Subjekt

Die Klasse, in der die Interviews durchgeführt wurden, wird von zwanzig Schülerinnen und Schülern besucht. Beim erfolgreichen Pflücken hätte also in der o.g. Rechengeschichte jedes Kind sechzehneinhalb Äpfel essen müssen. Da jedes Kind aber nur zwölfeinhalb Äpfel schafft, bleiben eben neunzig Äpfel übrig.¹

Natürlich regt die o.g. Rechengeschichte zum Schmunzeln an. Und es ist tatsächlich die Perspektive eines Kindes, die der Perspektive der Erwachsenen oft nicht entspricht. Aber auch bei allem Schmunzeln und aller Perspektive wird trotzdem deutlich, dass hier eine grundlegende Frage aufgeworfen wird, die in dieser Arbeit als Forschungsfrage etwas ausführlicher als das o.g. Beispiel behandelt werden soll: Wie sind das Verständnis der Zahlvorstellungen sowie der Operationen Addition und Subtraktion bei Schülerinnen und Schülern in der dritten Klassenstufe ausgeprägt? Konkret soll auch untersucht werden, wie ein tieferes Verständnis für Zahlen und vor allem wie der Bezug zur Lebenswelt der Kinder im Mathematikunterricht aussieht. Dazu wurden im Rahmen dieser Arbeit im Dezember 2019 acht leitfadengestützte Einzelinterviews mit Schülerinnen und Schülern der dritten Klasse der Staatlichen Grundschule Neudietendorf geführt, transkribiert und ausgewertet.

Die Basis der Arbeit war die Annahme, dass ein gelungener Mathematik-Unterricht in der Grundschule gleichgewichtig inhaltsbezogene und prozessbezogene Kompetenzen fördern soll. Das heißt, er sollte auf der einen Seite Wissen und Fertigkeiten und auf der anderen Seite Verständnis und eine positive Einstellung vermitteln. So werden neben der „Sache Mathematik“ auch das Kind als „lernendes Subjekt‘ und seine Lebenswelt in den Mittelpunkt gestellt (vgl. Schipper/Merschmeyer-Brüwer 2014, S. 482). Und zusammengeführt bedeutet dies, dass prozessbezogene Kompetenzen nur in Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten und inhaltsbezogene Kompetenzen nur mit prozessbezogenen Fähigkeiten erworben werden können (ebd.).

2. Theoretische Vorüberlegungen - Begrifflichkeiten, Situationen, Strategien

Schipper und Merschmeyer-Brüwer schreiben in der Einleitung zu ihrem Handbuchbeitrag „Mathematikunterricht in der Grundschule“, dass es heute keine „extremen Pendelausschläge“ mehr „zwischen formaler und materialer (mathematischer) Bildung“ gibt (Schipper/Mer- schweyer-Brüwer 2014, S. 480). Sie meinen damit, dass es geschichtlich gesehen lange Zeit einen Konflikt gab zwischen der Frage, ob Mathematikunterricht Bestandteil der materialen oder formalen Bildung ist: Formale (mathematische) Bildung als „Entwicklung der geistigen Kräfte“ (ebd.) und materiale (mathematische) Bildung als „Rechnen im Dienste der Bewältigung des privaten und beruflichen Lebens (...) und der rechnerischen Anforderungen“ (ebd.). Das im Folgenden beschriebene Kompetenzmodell soll auch zeigen, dass das Spannungsverhältnis zwar noch da ist, aber das versucht wird, beiden Ansprüchen (den formalen und den materialen) gerecht zu werden.

2.1 Allgemeine (prozessbezogene) und inhaltliche mathematische Kompetenzen

Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz sind als Kompetenzstandards formuliert. Nebenbei bemerkt sind daher auch die Aufgaben, die das prüfen sollen, als Kompetenztests bezeichnet (vgl. Kreitz 2009, S. 121). Was aber genau ist unter „Kompetenz“ eigentlich zu verstehen? Und wie kann der Begriff „Kompetenz“ für den Mathematikunterricht in der Grundschule dann angewendet und übertragen werden? Als die Bildungsstandards entwickelt wurden, hat der Leiter des Deutschen Instituts für Internationale Pädagogische Forschung (DIPF), Herr Professor Dr. Eckhard Klieme, eine Studie vorgestellt, in der er beschreibt, warum und inwiefern es Bildungsstandards geben kann/soll (BMBF 2007, S. 21). In diesem Gutachten bezieht sich Klieme eindeutig auf den Kompetenzbegriff nach Franz E. Weinert, der also in der vorliegenden Arbeit deshalb verwendet wird. Weinert definiert den Kompetenzbegriff wie folgt:

„Kompetenzen sind die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, wie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können“ (Weinert, 2001, S. 27)

Die Kultusministerkonferenz hat dann die Länder beauftragt, Bildungsstandards auch für den Mathematikunterricht zu entwerfen, die sich an denen der KMK orientieren. Schipper und Merschmeyer-Brüwer schreiben hierzu wieder, dass die Einteilung der Kompetenzen in „prozessbezogene“ und „inhaltsbezogene“ Kompetenzen wiederden Versuch darstellen, die Stoffauswahl und den Umgang mit Mathematik zu lehren (Schipper/Merschmeyer-Brüwer 2014, S. 481). Sie sprechen von „Sache“ und „Subjekt“, die beide eine Rolle in der Kompetenzvermittlung spielen sollen (ebd.). Und so unterscheidet also auch der Thüringer „Lehrplan für die Grundschule und für die Förderschule mit dem Bildungsgang Grundschule - Mathematik“ (2010) zwischen allgemeinen (oder prozessbezogene) mathematischen Kompetenzen und inhaltsbezogenen Kompetenzen. Diese gelten als zu erwerbendes Ziel für jeden Schüler/jede Schülerin im Mathematikunterricht. Die fünf allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind

Tabelle 1: Übersicht allgemeine (prozessbezogene) mathematische Kompetenzen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: TMBWK2010, S. 7-8

Die fünf inhaltsbezogenen Kompetenzen, die die KMK 2004 mit ihren Bildungsstandards festgelegt hat, sind in drei „Lernbereiche“ in den Thüringer Lehrplan eingegangen:

Tabelle 2: Übersicht zu den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: TMBWK 2010, S. 9-20 sowie Schipper/Merschmeyer-Brüwer 2014, S. 481

In der vorliegenden Arbeit wird Lernbereich 1 „Arithmetik - mit Zahlen und Symbolen umgehen“ des Thüringer Lehrplans für die Grundschule und für die Förderschule mit dem Bildungsgang Grundschule Mathematik behandelt. Hier geht es ganz konkret um Vorstellungen von Zahlen, Operationen, Kopfrechnen, mündliches und halbschriftliches Rechnen, schriftliches Rechnen und Rechnen in Kontexten (TMBWK2010, S. 10-13). Die Aufgaben, die im Rahmen der Interviews, gestellt wurden, bewegen sich in diesem Lernbereich 1. Sie behandeln unter Sachkompetenz die Zahlen in „strukturierten Veranschaulichungen“ wie Zahlenstrahl (Aufgabe A im Interview), Stellenwerttafel (Aufgabe B im Interview), das halbschriftliche Rechnen (Aufgabe C sowie eine Sachsituation rechnerisch beantworten bzw. zu einer Rechenaufgabe eine passende Sachsituation zuordnen (Aufgabe D) (vgl. ebd.). Diese Sachkompetenzen werden dann kombiniert mit Methoden-, Selbst- und Sozialkompetenz, in welche dann insgesamt die prozessbezogenen Kompetenzen nach Weinert und KMK einfließen: Hier sollten die Schülerinnen und Schüler ihre Vorgehensweisen und Überlegungen zu Eintragungen und Rechnungen kommunizieren und auf einem Zahlenstrahl Zahlen, in einem Stellenwertsystem Vergleiche darstellen (Kommunizieren und Darstellen, Aufgabe A, B und C). In Aufgabe D sollten die Schülerinnen und Schüler mathematisch modellieren, also aus einem Sachkontext Informationen filtern und zu einer Gleichung einen Sachkontext formulieren.

Um zu verdeutlichen, inwiefern die Arithmetik für den Mathematikunterricht bedeutsam ist, sollen einige grundlegende Überlegungen in den folgenden beiden Unterkapiteln formuliert werden.

2.2 Zahlbegriffsentwicklung, Zahlvorstellung und Stellenwertsystem

Der Begriff der „Zahl“ ist grundlegend (Hahn 2019a, 00:33). Zahlen sind aus dem ganz praktischen Bedürfnis des Menschen entstanden, Gegenstände und Dinge zu zählen (Hahn 2019a, 02:42). Die erste grundlegende Überlegung ist: Wann kann davon gesprochen werden, dass Kinder eine ausgeprägte Zahlvorstellung verinnerlicht oder einen Zahlbegriff entwickelt haben? Die Entwicklung des Zahlbegriffs bei Schülerinnen und Schülern ist ein Prozess, bei dem „interne Veränderungen des Individuums und externe Einflüsse“ Zusammenwirken. Interne Veränderungen, die weitgehend ohne äußere Einwirkung stattfinden, werden „Reifung“ genannt. Beim Lernen dagegen löst die „Interaktion des Individuums mit seiner externen Umgebung die Verhaltensänderung“ aus (vgl. umfassend Hasemann/Gasteiger2014, S. 4).

Wer Erkenntnisse über den Erwerb eines Zahlbegriffs bei Schülerinnen und Schülern erlangen will, stößt dann unweigerlich auf die psychologischen Untersuchungen von Jean Piaget (vgl. Schipper 2009, S. 69ff., Lauter 1991, S. 13, aber auch Hahn 2019a, 06:50).² Dem Erwerb des Zahlenbegriffs bei Kindern sind laut Piaget drei Aspekte grundlegend: Invarianz, Seriation und Klassifikation:

Tabelle 3: Dreistufenmodell der Zahlvorstellungsentwicklung nach Jean Piaget (1972)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigene Darstellung in Anlehnung an Hasemann/Gasteiger 2014, Piaget/Szeminksa 1972 und Hahn 2019b, Folie 4

Nach Piaget entwickeln sich die Stadien/Phasen zwischen dem sechsten und siebten Lebensjahr, und sie sind eine „notwendige Bedingung“, sich den Zahlbegriff in der Grundschule weiter anzueignen (Hahn 2019a, 10:27). Piagetwurde aber auch kritisiert, dass die Zählkompetenz, simultane Zahlauffassung und die Entwicklung der Zählfähigkeit in seinen Bedingungen keine Rolle gespielt hat (Hahn 2019a, 11:13). Warum dies wichtig zu wissen ist, ist, weil in jeder Klasse die Vorkenntnisse jedes Kindes detailliert zu ermitteln sind (vgl. Schipper 2009, S. 69) - und Studien zeigen, dass die Kinder eher unterschätzt werden (Hahn 2019b, Folie 6). Nicht nur die Anfangsfeststellung des Lernstandes, sondern auch die kontinuierliche Feststellung ist wichtig (Hahn 2019b, Folie 15). Sind die Grundlagen eines Zahlenverständnisses gegeben, dann können neue Zahlenräume erschlossen und Zahlreiche aufgefüllt werden.

In jedem Schuljahr gibt es eine Zahlbereichserweiterung. Im ersten Schritt wird dabei an Vorkenntnisse angeknüpft (Wiederholung). Im zweiten Schritt werden Ankerpunkte geschaffen (Erschließen in dezimalen Abschnitten). Im dritten Schritt wird der Zahlbereich aufgefüllt. In jeder dieser Phase spielt auch die Stellenwertschreibweise eine große Rolle (wie auch später in den Interviews) (vgl. Hahn 2019c, Foliensatz 3.1 sowie im Video, 03:12). Denn die Stellung einer Ziffer innerhalb des Zahlwortes gibt die „Mächtigkeit“ des zugehörigen Bündels an. Die Bündelung ist ein „entscheidendes Charakteristikum der heutigen Zahlschrift“ (Padberg 2005, S. 55-56).

Das Darstellen von Zahlen in einem Stellenwertsystem ist grundlegend für das heutige Dezimale Zahlsystem. Hierbei wird die Art der Zahldarstellung in den Fokus genommen. Nach Padberg und Büchter werden zwei Prinzipien der Stellenwertsysteme gekennzeichnet (vgl. Padberg/Büchter 2015, S. 34, Krauthausen 2018, S.54): Danach werden das Prinzip der fortgesetzten Bündelung und das Stellenwertprinzip unterschieden. Das Bündeln beim Stellenwertsystem besagt, dass die Elemente einer vorgegebenen Menge zu gleich großen Gruppierung zusammenzufassen sind. Z.B. wären zehn Einerblättchen zu einem Zehnerblätchen zusammenzufassen.

Das Stellenwertprinzip besagt, dass jede Zahl nicht nur einen Anzahlaspekt (also zwei Äpfel sind auch zwei Äpfel) hat, sondern auch einen Stellenwert. Je nachdem, wo die Zahl ihre Position hat, gibt diese den Aufschluss über den Wert dieser Zahl. Die Zahl 5 steht allein gesehen als ein Einer da. Die Zahl 5 hat in den Zahlen 50 oder 1576 jeweils einen anderen Wert. Sie nimmt hier im ersten Beispiel (50) die Zehner und im zweiten Beispiel (1576) die Hunderterposition im Stellenwertsystem ein (vgl. auch andere Beispiele in Krauthausen 2018, S. 55). Zusammengefasst sind Zahlbegriffsentwicklung, Zahlvorstellung und Stellenwertsystem deshalb so wichtig zu betrachten, weil es die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist, die Schülerinnen und Schülern dabei zu unterstützen, den ihnen vertrauten Zahlenraum immer weiter auszudehnen (vgl. auch Verboom 2009, S. 40-43). Und dabei kommt den entwicklungspsychologischen Grundlagen, den Zahlvorstellungen und Stellenwertsystemen eine Rolle bei der Eingangsdiagnostik (Ermittlung der Vorkenntnisse) und auch der kontinuierlichen Lernstandserfassung zu.

2.3 Fokussierung auf Addition und Subtraktion als Rechenoperationen

Die allgemeinen Annahmen zur Entwicklung eines Zahlbegriffs und zum ersten Umgang mit Zahlen sind die Grundlage dafür, dass Schülerinnen und Schüler Rechenoperationen durchführen können. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler der Primarstufe in den ersten beiden Schuljahren die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie sollen dabei ein grundlegendes Verständnis aufbauen und dieses Verständnis in routiniertes Rechnen und Anwenden umwandeln. In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich die beiden Grundrechenarten Addition und Subtraktion thematisiert.

Werden die Zahlen als Kardinalszahlen (Kardinalszahlen sind Zahlen, die die Anzahl einer Menge angeben und liefern die Antwort auf die Frage „Wie viele“) aufgefasst, so lässt sich die Addition definieren durch Rückgriff auf die Vereinigung von Mengen und die Subtraktion und die Subtraktion durch Restmengenbildung, indem von einer gegebenen Menge eine Anzahl von Elementen weggenommen wird. In diesem Sinne entsteht eine Beziehung zwischen der Addition von Zahlen und der Handlung des Hinzufügens (Zusammenfügens) von Objekten sowie zwischen der Subtraktion von Zahlen und der Handlung des Wegnehmens (Entfernens) von Objekten (Hasemann/Gasteiger2014, S. 118).

2.4 Klassifikationstypen von Rechenarten: Handlungssituationen und Hauptstrategien beim Addieren und Subtrahieren

Ausgehend von verschiedenen, den Kindern vertrauten Sachsituationen (teils realer, teils in Form von Geschichten, teils in Bildform) kann eine systematische Erarbeitung der Addition und Subtraktion erfolgen (Padberg 2005, S.84). Mit einer sinnvollen Typisierung von Sachsituationen (vgl. Tab. 3) kann der Unterricht abwechslungsreich gestaltet werden.

Um die Klassifikationstypen für Addition und Subtraktion zu verdeutlichen werden zunächst grundlegende Beispiele A bis F aufgeführt:

Tabelle 4: Vielzahl unterschiedlicher Sachsituation im Bereich Addition - Beispiele A bis F

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigenes Beispiel in Anlehnung an Padberg 2015, S. 85-86.

In diesen Beispielen lassen sich also folgende Unterschiede beobachten. Es gibt dynamische und statische Situationen in Rechnungen (Tab. 3). Bei den dynamischen Rechensituationen erfolgt eine Handlung. In den Beispielen B, C, D und E werden Murmeln hinzugefügt. Bei statischen Rechensituationen erfolgt diese Handlung nicht. Beispiele hierfür sind A und F. Dort erfolgt keine Handlung, die Situation ist rein statisch. Aus den statischen und den dynamischen Rechensituationen können dann wie folgt die Klassifikationstypen in der Addition dargestellt werden:

Abbildung 1: Klassifikation in vierAdditionssituationen/Rechenarten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigene Darstellung in Anlehnung an Padberg 2015, S. 86

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Subtraktion lassen sich ähnliche Beispiele finden:

Tabelle 5: Vielzahl unterschiedlicher Sachsituation im Bereich Addition - Beispiele A bis F

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigenes Beispiel in Anlehnung an Padberg 2005, S. 105-106.

Genau wie bei der Addition können wir auch bei der Subtraktion Unterschiede zwischen dynamischen und statischen Rechensituationen feststellen (Padberg 2005, S. 105-106). Beispiele (A), (B), (C)und (D) können klar den dynamischen Situationen zugeteilt werden. Hier geschieht eine aktive Handlung (Murmeln werden verteilt). Die Beispiele (E) und (F) sind dagegen statisch. Es geschieht keine Handlung in dieser Situation. Aus diesen Beispielen lassen sich, wie bei der Addition, die Klassifikationstypen für die Subtraktion ableiten:

Abbildung 2: Klassifikation in vier Subtraktionssituationen/Rechenarten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigene Darstellung in Anlehnung an Padberg 2005, S. 86

Beispielefür das Abziehen sind (A), (B) und (C). Hier wird eine aktive Handlung, nämlich das abziehen einer Menge A von einer Menge B durchgeführt. Ein Beispiel für das Ergänzen ist (D). Hier wurde zu einer bestimmten Menge an Murmeln eine unbekannte Menge an Murmeln hinzugefügt. Beispiel (E) ist hier Vergleichen und Beispiel (F) ist hier Vereinigen.

Beim Abziehen liegt praktisch nur das Subtrahieren nahen, während beim Ergänzen (bei der Addition Ausgleichen genannt), Vergleichen und Vereinigen sowohl addiert als auch subtrahiert werden kann. Die Beispiele belegen den engen Zusammenhang von Addition und Subtraktion (Padberg 2005, S.106).

In den vergangenen Jahrzehnten wurde eine deutliche Abkehr von „Normalverfahren“ deutlich. Das heißt, es wird nicht mehr so viel Wert daraufgelegt, dass es eine Rechenstrategie gibt, die zwingend gilt. Sondern es soll Flexibilität beim Rechnen entwickelt werden (Schip- per/Mermeyer-Brüwer2015, S. 490). Daher ist auch das für diese Arbeit dominante halbschriftliche Rechnen als „flexibles“ Rechnen benannt (Hahn 2019c, Folie 3). Deutlich wird hier festgestellt: „Wege zur Lösung einer Aufgabe sind nicht normiert“ (ebd.).

Es gelten vielmehr vier Hauptstrategien des Addierens:

Abbildung 3: Unterscheidung Additions-Rechenstrategien

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung

Wie für das Addieren gibt es auch für das halbschriftliche Subtrahieren Strategien:

Abbildung 4: Unterscheidung Subtraktions-Rechenstrategien

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung

3. Durchführung der Studie - Kinder als Experten und Akteure

Auch wenn es selbstverständlich erscheint, so ist die Befragung von Kindern eine „relativ neue Entwicklung“ (Vogl 2015,S. 11). Sie ist deshalb eine neue Methode, weil das Kind nicht mehr nur als werdender Erwachsener, sondern als eigenständiges Subjekt mit seiner eigenen „Wirklichkeit“ gesehen wird (ebd.). Sie gelten als „Experten ihrer Lebenswelt“ und „soziale Akteure“ (Trautmann 2010, S. 46). Sie teilen sich mit und gestalten die Interviewsituation aktiv. Trotzdem sind bei Interviews mit Kindern einige Dinge zu beachten, die der Planung und Durchführung dienen. So spielen die Interviewanbahnung und die organisatorische Vorbereitung eine große Rolle, ebenso wie die eigentliche Gestaltung der Interviewsituation, die (zurückhaltende) Gesprächsführung und die Rolle des Interviewenden. Im Folgenden wird deshalb auf das leitfadengestützte Interview und hier auf die Besonderheiten von Interviews mit Kindern eingegangen. Die Anforderungen an die Gesprächsführung werden betrachtet sowie die Teilaufgaben im Interviewleitfaden dargestellt. Neben den Daten zur Schule, zur Klasse und zu den Gegebenheiten sollen auch noch einmal die Potenziale beleuchtet werden, die das Problemlosen (mit den Erprobungsaufgaben) bietet. Und es wird auf mögliche Kritik und Fehler eingegangen.

3.1 Forschungsmethode und Transkription

Vom Verfahren her handelt es sich um eine Kombination aus qualitativen und quantitativen Daten. Nach Kuckartz (2014) werden „(...) als quantitative Daten (...) numerische Daten, also Zahlen, bezeichnet. Qualitative Daten sind demgegenüber vielfältiger, es kann sich um Texte, aber auch um Bilder, Filme, Audio-Aufzeichnungen, kulturelle Artefakte und anderes handeln“ (Kuckartz 2014, S. 14).

In dieser Arbeit wurden sowohl die Transkriptionen alsTexte interpretiert als auch Häufigkeiten ausgezählt (Bernard/Ryan 2010, S. 4). Beides fand im Rahmen einer Inhaltsanalyse statt, die von einer Forschungsfrage ausging und ein Kategoriensystem zusammenstellte. Grundsätzlich ist die Forschungsmethode, welche als Grundlage für diese Bachelorarbeit dient, das Einzelinterview. Ganz allgemein nach Döring und Bortz (2015) wird das Interview wie folgt definiert:

Unter einer wissenschaftlichen mündlichen Befragung bzw. einem wissenschaftlichen Interview (research interview/ scientific interview) verstehen wir die zielgerichtete, systematische und regelgeleitete Generierung und Erfassung von verbalen Äußerungen einer Befragungsperson (Einzelbefragung) oder mehrerer Befragungspersonen (Paar- oder Gruppenbefragung) zu ausgewählten Aspekten ihres Wissens, Erlebens und Verhaltens in mündlicher Form. [...] Die dem Interview zugrundeliegenden verbalen Fragen werden den Befragungspersonen („interviewees“, „respondents“) in einer Interaktion jeweils von einer Interviewerin oder einem Interviewer („interviewer“) gestellt. Die Antworten werden dokumentiert und systematisch analysiert. Die vier zentralen Elemente der mündlichen Befragung sind a) die Befragungsperson, b) die Interviewerin bzw. der Interviewer, c) die Interviewsituation und d) die Interviewfragen (Döring/ Bortz 2015, S. 356).

Interviews mit Kindern stellen aber eine Besonderheit dar. Wenn Kinder als „Informantinnen und Informanten“ dienen, dann rückt der Interviewer selbst sehr stark in den Hintergrund. Kinder können subjektive Eindrücke, Bedürfnisse und Gedanken am besten selbst äußern. Den Eltern, den Lehrerinnen und Lehrern bleiben diese kindlichen Lebensbereiche in der Regel verschlossen (vgl. auch Vogl 2015). Deshalb sollte auch diese Arbeit keine Stellvertreterinterviews führen, sondern die Kinder selbst zu Wort kommen lassen. Weder sind Kinder kleinen Erwachsene, noch sind sie gänzlich verschieden. Es sind beide Ansichten anzuwenden: Kinder und Erwachsene mögen sich hier und da ähnlich sein, aber sie haben unterschiedliche Perspektiven und Kompetenzen.

Es existiert ein umfangreicher Methodenkanon, der oft für Erwachsene ausgelegt ist. Mit Kindern sind soziale, kognitive und verbale Besonderheiten gegeben, die die Gestaltung und Methodenwahl auch einschränken können. Zentral ist die Fähigkeit des Interviewers, sich auf die Perspektive des Kindes einlassen zu können. Und auch, dass die Unterschiede zwischen den Kindern berücksichtigt werden, die nicht immer altersabhängig sind. Selbstauskünfte von Kindern werden auch kritisiert, da unterstellt wird, Kindern fehlten die verbalen Fähigkeiten, sich zu äußern. Auch, wenn der Interviewer viel älter ist oder eine gewisse Autorität ausstrahlt, dann kann das das Kind hemmen oder ihn dazu bringen, scheinbar erwünschte Antworten zu geben (vgl. hierzu vor allem Graebel 2019 und auch Vogl 2015, Trautmann 2010).

Im Vorfeld wurden für die Interviewdurchführung Hinweise gegeben, die beachtet werden müssen (Vogl 2011, S. 302-323, Graebel 2019, Folie 17):

- Kinder haben eine kürzere Aufmerksamkeitsspanne.
- Das wörtliche Sprachverständnis kann entgegengesetzt zum unspezifischen Sprachgebrauch stehen.
- Kindern sind mitunter unsicher und schüchtern.
- Kinder haben manchmal Probleme in der zeitlichen Verödung von Ereignissen und wenn sie Häufigkeiten und Mengen angeben sollen.

Die Feldphase fand zwischen dem 13. und dem 17. Dezember 2019 statt. Beachtet wurden Schulferien und Feiertage. Die Dauer der Interviews wurde mit einer halben Stunde kalkuliert. Dies orientierte sich an bekannten Studien zur Aufmerksamkeitsspanne von Kindern. Es wurde bereits im Vorfeld organisiert, dass die Interviews in einem ruhigen Raum stattfinden konnten. Auch wurde stark darauf geachtet, dass die Kinder sich wohlfühlen. Es wurde deutlich, dass es sich doch - trotz des Bemühens, Vertrauen zu schaffen - irgendwie immer um ein „Lehrer-Schüler-Verhältnis“ handelte. Aber dieses „Autoritätsgefälle“ wurde in der Auswertung berücksichtigt. Es sollte absichtlich keine Prüfungssituation entstehen, darauf wurde intensiv geachtet. Das Kind durfte sprechen. Der Interviewer war in der Rolle des Zuhörenden (Spagat zwischen Offenheit und Strukturiertheit).

In der Gesprächssituation wurden außerdem folgende Empfehlungen bewusst eingehalten (vgl. auch Vogl 2011, S. 318):

- Schweigen als Nachfragen und das Aushalten von Pausen wurden umgesetzt.
- Gesagtes wurde wiederholt. Damit wurde das Kind zum Weitererzählen angeregt.
- Es wurde mit „Aha“ und „Erzähl1 mir mehr“ nachgefragt.
- Redeflüsse wurden nicht unterbrochen.
- Das Kind wurde nicht belehrt. Es wurde nicht gesagt, das ist richtig, das ist falsch.

Als Leitfaden diente ein Interviewerbogen mit vier Aufgabenbereichen A, B, C und D (vgl. auch Kapitel 3.2). Die Einwilligungen für die Interviews wurden eingeholt. Die Rahmenbedingungen der Videoaufnahme wurden eingehalten. Wichtig ist noch zu sagen, dass nach jedem Interview eine Gesprächsnotiz angefertigt wurde, die das Erlebte noch einmal reflektierte und auch Wichtige Sachen aufgeschrieben wurden, die vielleicht nur beobachtet wurden. Auch wurden hier Besonderheiten festgehalten. Hat das Kind etwas Besonderes gesagt? Gab es Störungen?

Von den insgesamt zehn durch den Studenten durchgeführten qualitativen Einzelinterviews wurden acht am Ende verwertet und transkribiert. Transkribieren kommt von den lateinischen Wörtern „trans“ was mit „hinüber“ und „scr/'öere“ was mit „schreiben“ übersetzt werden. Unter einem Transkript versteht man in diesem Zusammenhang „die Wiedergabe eines gesprochenen Diskurses in einem situativen Kontext mit Hilfe alphabetischer Schriftsätze und anderer, auf kommunikatives Verhalten verweisender Symbole (Dittmar 2009, S.52).

Hinsichtlich der Transkription wurde sich an Kuckartz (2014) orientiert. Es existieren zahlreiche Transkriptionssysteme. Es war die Frage, ob Betonungen, Lautstärke, Sprechpausen etc. eine Rolle spielen sollen. Es wurde letztlich die einfache Transkription gewählt - nach folgenden Regeln:

- Wörtliche Transkription ohne Lautsprache
- Annäherung ans Schriftdeutsch und Glättung
- Keine sonderliche Darstellung von Pausen
- Sprechbeiträge als Absatz-Transkriptionen
- Kenntlichmachen unverständlicher Wörter
- Anonymisierung aller Angaben mit Rückschlussmöglichkeit auf die Person (Kuckartz 2014, S. 132-140).³

3.2 Präsentation der Aufgabenbereiche im leitfadengestützten Interview

Die im Interview verwendeten Fragen für die Schülerinnen und Schüler der Staatlichen Grundschule Neudietendorf wurden dem Studenten von der Dozentin Elisabeth Mantel aus dem Fachbereich für Mathematikdidaktik der Universität Erfurt bereitgestellt. Es wurden ausschließlich Kinder der dritten Klasse befragt, sodass die Aufgaben der Klasse vier hier außer Betrachtung gelassen werden. Es handelte sich insgesamt um vier Aufgabenbereiche A, B, C und D, die sich wie folgt veranschaulichen lassen:

Tabelle 6: Erprobungsaufgaben im Interviewerbogen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigene Darstellung nach der Vorlage nach Frau Mantel

Aufgabe A war in zwei Teilbereiche aufgeteilt. Im ersten Teilbereich bekam der Schüler/die Schülerin von dem Studenten einen leeren Zettel. Die Kinder waren wie gesagt in der dritten Klasse und rechneten im Fach Mathematik in dem Zahlenraum bis 1000. Jetzt hatten sie die Aufgabe, sich zwei beliebige Zahlen im Zahlenraum bis 1000 auszudenken und dann auf dem leeren Zettel zu notieren. Die eine sollte eine gerade und die andere eine ungerade Zahl sein. Wenn die Kinder die Zahlen, die sie sich ausgedacht hatten, aufgeschrieben hatten, kam eine weiterführende Aufgabe. Sie sollten von ihren beiden Zahlen die benachbarten Zehner rechts und links sagen und aufschreiben.

In der zweiten Teilaufgabe von Aufgabe A wurde dem Schüler/ der Schülerin ein Zettel mit einem Zahlenstrahl übergeben. Der Zahlenstrahl hatte einen Anfangspunkt 0 und einen Endpunkt 1000. Dazwischen war im hinteren Drittel eine Markierung mit einem Fragzeichen. Nun sollten sie ihre beiden Zahlen in diesem Zahlenstrahl markieren und begründen, wie sie auf die Lösung gekommen sind. Nach Fertigstellung dieser Aufgabe sollten sie sich die Markierung mit dem Fragezeichen ansehen. Jetzt mussten die Kinder sagen, was für eine Zahl für diese Markierung stehen könnte. Diese Lösung mussten sie wieder begründen. Hier wird neben der Sachkompetenz auch das Kommunizieren und Darstellen als allgemeine mathematische Kompetenz bei den Schülerinnen und Schülern erprobt.

Abbildung 5: Erprobungsaufgabe eins „Zahlenstrahl“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: übernommen aus den bereitgestellten Materialien von Elisabeth Mantel (2019), Moodle

Die zweite Erprobungsaufgabe war auch wieder in zwei Teilaufgaben unterteilt. In dem ersten Teil bekamen die Kinder von dem Studenten Zettel, auf denen mehrere Zahlen standen. Die Zahlen standen entweder als fertige Zahl (7635) oder als Aufgabe da. Die Kinder mussten also erst herausfinden, wie die Zahl richtig heißt. Dabei mussten Sie die Zahlen im Stellenwertsystem richtig nach Hunderter, Zehner und Einer ordnen. Am Ende waren immer rechts und links eine Zahl zu sehen. In der Mitte⁴ waren die Zahlen von einem kleinen grauen Kreis getrennt. In diesen mussten die Kinder das Zeichen für „größer als“, „kleiner als“ oder „gleich“ eintragen. Sie mussten also die Zahlen miteinander vergleichen. Die Lösung und den Lösungsweg haben sie dabei immer laut ausgesprochen.

Abbildung 6: Erprobungsaufgabe zwei „Vergleiche“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: übernommen aus den bereitgestellten Materialien von Elisabeth Mantel (2019), Moodle

Im zweiten Teil bekamen die Kinder einen leeren Zettel. Hier stellte der Student dem Schüler/ der Schülerin drei Fragen und sie sollten dabei nur die Lösungen aufschreiben (vgl. auch die bereitgestellten Materialien von Elisabeth Mantel (2019) auf Moodle). Die Aufgaben lauteten:

- Wie heißt der Vorgänger von 550?
- Wie heißt der Nachfolger von 899?
- Was ist das Zehnfache von 700?

Die Aufgaben wurden von dem Studenten immer zweimal vorgelesen, sodass der Schüler/ die Schülerin immer genügend Zeit hatte die Lösungen zu finden. Nach dem Aufschreiben erklärte das Kind dann, wie es auf die Lösung gekommen ist. Die Erprobungsaufgabe zwei hatte Kommunizieren und Darstellen als mathematische Kompetenz.

In der dritten Teilaufgabe bekam das Kind nacheinander ein Zettel mit einer Additionsaufgabe und ein Zettel mit einer Subtraktionsaufgabe (vgl. auch die bereitgestellten Materialien von Elisabeth Mantel (2019) auf Moodle). Das Kind sollte sich vorstellen, es wäre für eine Stunde der Lehrer. In dieser Unterrichtsstunde sollte es den anderen Kindern erst die Additionsaufgabe und dann die Subtraktionsaufgabe erklären. Das Kind sollte dabei erstmal die Aufgaben lösen und dann laut die Rechnung erklären. Die Zugrundeliegende Mathematische Kompetenz war hier das Kommunizieren. Die Aufgaben waren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Teilaufgabe vier gab es wieder zwei Teile. Im ersten Teil bekamen die Kinder eine Subtraktionsaufgabe im Hunderterbereich. Daneben standen zwei Rechengeschichten (Klassenlehrer äußerte, dass die Kinder diese Art der Mathematikaufgaben unter dem Begriff Rechengeschichte kennen). Die Kinder sollten als ersten die Gleichung und die beiden Rechengeschichten vorlesen. Danach sollten die Kinder entscheiden, ob eine der beiden Geschichten, beide Geschichten oder gar keine der beiden Rechengeschichten zu der Gleichung passen. Die Kinder hatten dafür nochmal Zeit zum Lesen und Überlegen. Zum Schluss sollten Sie ihre Lösung wieder erklären und einen passenden Antwortsatz unter die Aufgabe schreiben.

Abbildung 7; Erprobungsaufgabe vier„Sachaufgabe rechnen“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: übernommen aus den bereitgestellten Materialien von Elisabeth Mantel (2019), Moodle

Als zweite Teilaufgabe haben die Kinder einen Zettel mit einerweiteren Gleichung bekommen. Hier stellte der Student den Schülerinnen und Schülern die Aufgabe, sich zu dieser Gleichung zwei selbstausgedachte Rechengeschichten auszudenken. Die Handlung dieser Rechengeschichten war den Kindern völlig selbst überlassen. Sie sollte lediglich die Grundform wie die o.g. Rechengeschichten haben. Also eine kurze Handlung und am Ende eine Frage sodass eine mathematische Rechnung entsteht. Diese Teilaufgabe hatte modellieren und Kommunizieren als mathematische Kompetenz.

Abbildung 8: Erprobungsaufgabe vier „Rechengeschichte“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: übernommen aus den bereitgestellten Materialien von Elisabeth Mantel (2019), Moodle

3.3 Lern- und Entwicklungspotentiale, kritische Ansätze und mögliche Fehler

Das Problemlösen im Mathematikunterricht eröffnet eine Reihe an „Lernpotenzialen“ (vgl. ausführlich Käpnick 2011, S. 112). So befähigen mathematische Kompetenzen nicht nur dazu, selbst mathematische Sachverhalten zu analysieren. Sondern es können mathematische Zusammenhänge auch zu anderen Themenbereichen (mathematisch, nicht-mathematisch) hergestellt werden. Das Kind entwickelt Lösungsansätze, indem es „heuristische“ Strategien anwendet, also komplexe Situationen reduziert. Mit Hilfe der Rechenstrategien kann es trainieren, Gedanken umzukehren. Es kann ein adäquates Grundverständnis für mathematisches Tun entwickeln, das auch in andere Gebiete übertragen werden kann (ebd.). Neben der Entwicklung mathematischer Kompetenzen liegen im Mathematikunterricht auch Potenziale zur Entwicklung „allgemeiner Kompetenzen“ für Grundschulkinder (ebd.). So fördert das Problemlosen „allgemeine Denkkompetenzen“ (analytisches, flexibles, vernetztes, strategisches Denken). Es fördert „allgemeine Persönlichkeitsqualitäten“. Und⁵ es trägt dazu bei, Selbstbestimmung, Selbständigkeit, Anstrengungsbereitschaft, Ausdauer, soziale Kompetenz, Kreativität und einiges mehr zu entwickeln (vgl. umfassend Käpnick 2011, S. 112-113).

Als problematisch oder kritisch wird gesehen, dass die Problemlöseaufgaben, vor allem die Textaufgaben, mitunter „keine echten Realitätsbezüge“ haben (vgl. Ott 2016, S. 96). Es sind dann künstliche Problemstellungen, die im außerschulischen Bereich nicht zu finden sind. Ein weiteres Problem ist eine „mathematische und inhaltliche Anspruchslosigkeit“ von Textaufgaben (ebd., S. 97). Weil wohl letztlich die Textaufgaben doch nur die formalen Kenntnisse vermitteln sollen und dadurch stark reduziert sind. Die „fiktiven Alltagsprobleme“ gelten dann als „trivial“, „langweilig“. Und letztens ist auch noch bemängelt, dass Kinder die „semantische Ebene“, also den Inhalt der Sachaufgabe gar nicht verstehen wollen, sondern sich anhand von Signalwörtern nur an der Rechenoperation entlang suchen (ebd., S. 98). Als die Kinder sich in den durchgeführten Interviews in Aufgabenbereich D eine Rechengeschichte ausdenken sollten, hatten sie starke Schwierigkeiten mit der Bewältigung dieser Aufgabe. Dies könnte auch - laut Klassenlehrer-daran liegen, dass die Schülerinnen und Schüler die Rechengeschichten in Mathematik in der ersten Klasse das letzte Mal behandelt hatten: Zur Einführung von Zahlen und einfachen Additionsaufgaben.

Als Exkurs soll an dieser Stelle auch auf mögliche Fehler bei den Aufgabenbereichen im Interviewleitfaden eingegangen werden: So könnten in der ersten Aufgabe die Schülerinnen und Schüler die ersten Fehler bei den ungeraden und geraden Zahlen machen. Manche Kinder wissen, dass 5 eine ungerade Zahl ist und schließen somit darauf, dass 50 auch eine ungerade Zahl ist. Ein weiterer Fehler könnte hier sein, dass die Kinder mit dem Begriff „Benachbarter Zehner“ nichts anfangen können. Bei einer frei erfundenen Zahl wie z.B. 349 könnten also die Kinder die Zahlen 359 und 339 als benachbarte Zehner nennen. Bei dem Zahlenstrahl könnte eine richtige Einteilung der Strecke problematisch werden. Eventuell wissen die Kinder nicht, wie Sie die Strecke einteilen, um auf ihre Zahlen zu kommen. Dieser Fehlerführt dazu, dass die Schülerinnen/die Schüler weder ihre ausgedachte geraden und ungeraden Zahlen eintragen, noch den unbekannten Punktauf dem Zahlenstrahl bestimmen können.

In der zweiten Erprobungsaufgabe könnte ein erster möglicher Fehler sein, dass die Kinder die Zeichen für „größer als“, „kleiner als“ oder „gleich“ falsch setzten. Dies könnte bei der zweiten Aufgabe (7E 3H 5Z) dadurch passieren, weil die Kinder die Ziffern nicht nach ihren Stellenwert sortieren (357), sondern einfach nur nach ihrer dort stehenden Reihenfolge. Bei der Aufgabe mit der Zahl 3H 16Z 8E müssen die Kinder die 16Z in einen Hunderter und sechs Zehner entbündeln. Ein möglicher Fehler wäre hier, dass die Schüler/ die Schülerinnen hier entweder sagen, dass diese Aufgabe nicht lösbar sein, weil es keine 16Z gibt oder sie die Zahlen einfach hintereinander weg, also als 3168, lesen.

Bei der dritten Erprobungsaufgabe könnten die Kinder bei der Subtraktionsaufgabe mit dem halbschriftlichen Rechnen ihre Schwierigkeiten haben.

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¹ Kind 1 schrieb diese Rechengeschichte auf, als Bestandteil von Teilaufgabe D.

² Es soll aber auch darauf hingewiesen werden, dass Lauter (1991) in seinem Buch „Fundament der Grundschulmathematik“ noch auf Jéröme Brunner und Robert Gagné eingeht. Auch hier geht es um die psychologischen Aspekte des Mathematiklernens. Sie werden aus Platzgründen in dieser Arbeit aber nicht behandelt.

³ Von diesem Buch gibt es viele Auflagen, hier wurde - weil alles vergriffen war - die 2. Auflage verwendet.

⁴ Siehe Anhang Transkripte

⁵ Siehe Anhang Transkripte

• Hochschule: Universität Erfurt (Mathematikdidaktik)
• Note: 1,3
• Autor: Dominik Hofmann (Autor:in)
• Erscheinungsjahr: 2020
• Seiten: 89
• Katalognummer: V995013
• ISBN (eBook): 9783346365996
• ISBN (Buch): 9783346366009
• Sprache: Deutsch
• Schlagworte: Subtraktion, Addition, Zahlvorstellung, Dritte Klassen, Grundschule, Mathematik, Mathematikunterricht, qualitativ, Zahlverständnis, Mathematikdidaktik, Interview