Inhaltsverzeichnis
1. Einführung in die Thematik
1.1. Eingrenzung und Erklärung des Themengebietes
1.2. Die Geschichte der Analysis
1.3. Der Begriff des Grenzwertes
1.4. Herkunft der l’Hospitalschen Regeln
2. Herleitung und Beschreibung der l’Hospitalschen Regeln
2.1. Herleitung und Beweis der 1. l’Hospitalschen Regel
2.2. Weitere l’Hospital – Regeln
2.3. Die unbestimmten Ausdrücke
3. Anwendungen
3.1. Vergleich der l’Hospitalschen Regeln mit bekannten Regeln
3.2. Anwendung der l’Hospitalschen Regeln in der Analysis
4. Zusammenfassung
Quellenverzeichnis
Verzeichnis der Zitate und sinngemäßen Übernahmen
Erklärung
1. Einführung in die Thematik
1.1 Eingrenzung und Erklärung des Themengebietes
Die l’Hospitalschen Regeln sind Grenzwertregeln. Sie finden ihre Anwendung in der Analysis und werden verwendet, um Grenzwerte von Funktionen der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu bestimmen. Dies trifft insbesondere für gebrochen rationale Funktionen des Aussehens [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] o.ä. zu. Mit Hilfe der l’Hospitalschen Regeln können aber auch Grenzwerte von Funktionen anderen Aussehens bestimmt werden. Um also z.B. den Grenzwert einer ganz rationalen Funktion der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] o.ä. zu bestimmen, muss diese zunächst auf die oben schon erwähnte Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gebracht werden. Dies ist normalerweise für jede Funktion möglich.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die l’Hospitalschen Regeln lassen sich nicht auf diese Funktion anwenden. Sie lässt sich aber durch einfaches Umformen auf die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bringen. Erst jetzt kann man die l’Hospitalschen Regeln verwenden.
Die Analysis ist eine Sammelbezeichnung für ein mathematisches Teilgebiet. Dieses Gebiet beinhaltet unter anderen das der Infinitesimalrechnung, worunter man eine zusammenfassende Bezeichnung für Differentialrechnung und Integralrechnung versteht. Die l’Hospitalschen Regeln sind Teilgebiet der Differentialrechnung.
1.2. Die Geschichte der Analysis
Die ersten Beiträge zur Analysis lieferte bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. Archimedes (287-212 v.Chr.). Die Gedanken und Aussagen dieser “Alten”, zu denen Archimedes zählt, wurden nur ungeordnet und ohne erkennbar regelmäßig oder durchgehaltene Methode überliefert. Doch obwohl sie nicht weit gekommen sind, hatten sie nach Aussage von Vieta den richtigen Weg eingeschlagen.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] In den nächsten Jahrhunderten haben sich die meisten großen Mathematiker nur damit beschäftigt, die Vorlagen der “Alten” zu kommentieren und zu übersetzen. Erst René Descartes (1596-1650) wandte sich von diesen Gedanken ab und fing dort an, wo die “Alten” aufgehört hatten. Er beschäftigte sich hauptsächlich mit dem Lösen von Gleichungen. Kurven hingegen wurden untersucht von Blaise Pascal (1623-1662).[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Alle bisher kennengelernten Methoden wurden aber schließlich abgelöst durch die des Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Er und Isaac Newton (1643-1727) gelten im Allgemeinen zu den Entdeckern der Differentialrechnung.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Vielen Mathematikern Europas, unter ihnen auch de l’Hospital oder Johann Bernoulli (1667-1748), nutzten die Methoden des Leibniz um Schwierigkeiten überwinden zu können, die man vorher nie anzugehen gewagt hätte.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Auch Newton löste mit seinen Methoden, die er 1687 in seinem Buch “Philosophia naturalis principia Mathematica” veröffentlichte, viele Probleme der Differentialrechnung . Zwischen Leibniz und Newton kam es im 17. Jahrhundert zum sogenannten Prioritätsstreit, der aber aufgrund der Tatsache, dass sich schon lange vor ihrer Zeit Mathematiker mit der Differentialrechnung beschäftigt hatten, beendet.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
1.3. Der Begriff des Grenzwertes
Grenzwerte sind notwendig, um das Verhalten von Funktionen für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder aber für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ein bestimmter Zahlenwert sein soll, zu bestimmen, und um somit wichtige Erkenntnisse über die Form und das Aussehen der vorliegenden Funktion zu ziehen und diese schnell und entsprechend der Funktionvorschrift skizzieren zu können. Deswegen ist bei Kurvendiskussionen das sogenannte Verhalten im Unendlichen besonders erforderlich, weil dort zuletzt das exakte Skizzieren der Funktion verlangt wird.
Definition “Grenzwert”:
Eine Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hat in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einen Grenzwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in einer beliebig kleinen Umgebung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] liegt, falls nur [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in einer hinreichend kleinen Umgebung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] liegt, die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nicht zu enthalten braucht. Es kann auch sein, dass bei rechts- und linksseitiger Annäherung an [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verschiedene Grenzwerte entstehen. Die Funktion hat in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nur dann einen Grenzwert, wenn die Grenzwerte bei Annäherung von beiden Seiten gleich sind. Ist dieser Grenzwert außerdem noch gleich dem Funktionswert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dann heißt die Funktion in der Umgebung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stetig.
Vorraussetzung für die Existenz eines Grenzwertes ist, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in der Umgebung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] definiert ist ; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] muss nicht dem Definitionsbereich angehören: z.B. hat die Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Grenzwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] strebt – obwohl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nicht zu ihrem Definitionsbereich gehört.
Schreibweise: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (lim Abkürzung von Limes, lateinisch, übersetzt: Grenzwert)[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
1.4. Herkunft der l’Hospitalschen Regeln
Entstanden sind die l’Hospitalschen Regeln durch einen Entwurf des französischen Mathematikers Guillaume F. de l’Hospital (1661-1704), veröffentlicht ohne Angabe von Beweisen in seinem Buch „Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes“ (deutsch: „Analyse des unendlich Kleinen, für die Kurvendiskussion“) im Jahre 1696. Es erschien im Pariser Verlag „Imprimerie Royale“ und 1988 in einem unveränderten Nachdruck im Verlag „ACL-editions“, Paris. Dieses Buch ist historisch gesehen das erste Buch der Differentialrechnung. Die erläuterte Analysis aus diesem Werk unterscheidet sich von der gewöhnlichen Analysis, denn sie behandelt auch unendlich kleine Differenzen.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Die Entwürfe des de l’Hopsital beruhen hierbei auf den Methoden von Gottfried Wilhelm Leibniz, von dem de l’Hospital ein großer Anhänger war.
2. Herleitung und Beschreibung der l’Hospitalschen Regeln
2.1. Herleitung und Beweis der 1. l’Hospitalschen Regel
Die 1. l’Hospitalsche Regel lässt sich beweisen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, der folgendermaßen lautet:
Eine im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] differenzierbare Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hat im Innern des Intervalls mindestens eine Stelle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], für die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Man kann diesen Satz auch etwas verändert darstellen, indem man [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] setzt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Mit dieser veränderten Darstellung lässt sich nun die 1. l’Hospitalsche Regel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beweisen. Gegeben ist eine gebrochene Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Nun seien [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Zudem muss vorausgesetzt sein, dass die Funktion im Zähler sowie die Funktion im Nenner in einer gemeinsamen Umgebung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] differenzierbar sind und dass der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen der beiden Funktionen für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] existiert.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Beweis:
Wenn nun [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] läuft, kann man [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] setzen, indem man [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen 0 laufen lässt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lässt sich nun auf Zähler und Nenner anwenden: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Wegen obiger Voraussetzung erhält man: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; nun macht man den ersten Schritt des Beweises wieder rückgängig : [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wegen obiger Vorraussetzung gilt auch, dass dieser Grenzwert existiert. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] q.e.d.
Nun ergibt sich folgende Regel von l’Hospital: Wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dann gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] usw. Der Grenzwert ergibt sich also aus dem Quotienten der Ableitungen des Zählers und Nenners. Wenn jedoch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ebenfalls 0 sind, so ergibt sich der Grenzwert aus dem Quotienten der 2. Ableitungen des Zählers und des Nenners, usw.
2.2. Weitere l’Hospital – Regeln
Neben der in Abschnitt 2.1. hergeleiteten und bewiesenen 1. l’Hospitalschen Regel gibt es noch drei weitere Regeln, die sich nur in den Voraussetzungen und in den von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] angenommenen Werten von der 1.Regel unterscheiden. Bei allen vier Regeln wird vorausgesetzt, dass der Grenzwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] existiert.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Die erste und die dritte l’Hospitalsche Regel haben gemeinsam, dass mit ihnen der Grenzwert für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], d.h. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] läuft nur bis zu einem bestimmten Zahlenwert, bestimmt wird. Im Gegensatz zur ersten Regel, bei der die Funktionen des Zählers bzw. des Nenners für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] das Ergebnis 0 haben, wird bei der zweiten l’Hospitalschen Regel vorausgesetzt, dass die Nennerfunktion für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen unendlich strebt. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Diese unterschiedlichen Voraussetzungen haben auf die Form der Regel keinerlei Einfluss, d.h. die zweite l’Hospitalsche Regel hat genau wie die erste folgendes Aussehen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Bei den anderen beiden Regeln, der zweiten und der vierten l’Hospitalschen Regel, wird der Grenzwert für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt. Sie haben ebenfalls beide exakt das gleiche Aussehen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bei ihnen gelten die gleichen Unterschiede wie bei den vorigen Regeln: Bei der zweiten l’Hospitalschen Regel haben die Funktionen des Zählers und des Nenners für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] das Ergebnis 0; bei der vierten Regel soll die Nennerfunktion für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen unendich streben.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
2.3. Die unbestimmten Ausdrücke
Bei der Anwendung der l’Hospitalschen Regeln können häufig aus Funktionen für einen bestimmten Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgende sogenannte unbestimmte Ausdrücke entstehen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (für Funktion der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bei den zuletzt genannten Ausdrücken muss zunächst jeweils durch Umformung einer der beiden zuerst genannten Ausdrücke [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erreicht werden. Diese Formen sind sinnlos, sie ergeben sich, wenn man mit dem Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Funktionswert ausrechnet. Um nun den Grenzwert solcher Funktionen zu bestimmen, bildet man getrennt für Zähler und Nenner die 1. Ableitung und setzt für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erneut den Zahlenwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ein und errechnet wiederum den Funktionswert. Diese Methode wiederholt sich bis ein Zahlenwert gefunden wird oder bis keine Ableitung mehr gebildet werden kann.
Beispiele:
1. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; durch einsetzen von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich der Ausdruck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
2. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen 0 läuft, erhält man den Ausdruck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
3. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen 0 läuft, ergibt sich die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Durch Umformen kann man den Ausdruck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhalten:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
4. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen o läuft ergibt sich die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Durch Umformen lässt es sich auf die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kommen:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
3. Anwendungen
3.1. Vergleich der l’Hospitalschen Regeln mit bekannten Regeln
Aus dem 11. Schuljahr ist bereits eine Regel zur Bestimmung von Grenzwerten für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bekannt. Diese Regel wird in drei Fälle unterteilt:
(I) Der Rang des Zählers ist größer als der Rang des Nenners: Es lässt sich kein Wert als Grenzwert bestimmen, der Grenzwert liegt im positiven oder negativen Unendlichen und die Funktion nähert sich einer Asymptote.
(II) Der Rang des Zählers ist gleich dem Rang des Nenners: Der Grenzwert ist der Quotient der Koeffizienten der ranghöchsten Zähler- und Nennerterme.
(III) Der Rang des Zählers ist kleiner als der Rang des Nenners: Der Grenzwert ist 0. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Diese Gesetze sind nicht anzuwenden, wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen einen bestimmten Zahlenwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] läuft, sondern nur für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Bei den folgenden Beispielen soll jeweils der Grenzwert der Funktion für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt werden:
(I) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Der Rang des Zählers ist größer als der Rang des Nenners:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Es kann kein Grenzwert bestimmt werden.
nach l’Hospital:
Bei dieser Funktion darf keine der vier l’Hospitalschen Regel angewandt werden, da weder die Voraussetzung der 2. Regel ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) noch die Voraussetzung der 4. Regel ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) erfüllt werden, und dieses überhaupt die einzigen beiden Regeln sind, die angewandt werden könnten, weil der Grenzwert für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt werden soll.
(II) 1. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Der Rang des Zählers ist gleich dem Rang des Nenners:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Der Grenzwert ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
nach l’Hospital:
Anwendung der vierten l’Hospitalschen Regel:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Grenzwert ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
2. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Der Rang des Zählers ist gleich dem Rang des Nenners:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Grenzwert ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
nach l’Hospital:
Anwendung der vierten l’Hospitalschen Regel:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Grenzwert ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
(III) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Der Rang des Zählers ist kleiner als der Rang des Nenners:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Der Grenzwert ist 0.
nach l’Hospital:
Anwendung der vierten l’Hospitalschen Regel:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Grenzwert ist 0.
3.2. Anwendung der l’Hospitalschen Regeln in der Analysis
Unterscheiden muss man zwischen zwei unterschiedlichen Fällen: Dem Grenzwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und dem Grenzwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Auf die Anwendung der vierten l’Hospitalschen Regel kann man in der Analysis weitgehend verzichten, weil der Grenzwert einer Funktion für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ,unter der Voraussetzung, dass der Nenner unendlich groß bzw. klein wird ,am einfachsten mit Hilfe der in Abschnitt 3.1. genannten Schulmethode zu bestimmen ist. Dabei ist der Grenzwert sofort abzulesen, unter Verwendung der vierten l’Hospitalschen Regel müsste man jedoch zuerst einige Rechenschritte durchführen, um das Ergebnis zu erhalten.
Die erste bzw. dritte l’Hospitalsche Regel lässt sich vor allem bei der Kurvendiskussion von gebrochen rationalen Funktionen nutzvoll verwenden. Wenn der Nenner einer solchen Funktion nämlich für einen oder mehrere Werte 0 wird, entsteht an dieser Stelle ein Pol. Nun kann die dritte l’Hospitalsche Regel (die Vorausetzung der ersten l’Hospitalschen Regel ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) wird meistens nicht erfüllt) angewandt werden, um das Verhalten der sich von links und von rechts an den Pol annähernden Funktion zu bestimmen.
Nun zu jeder l’Hospitalschen Regel hier noch ein Anwendungsbeispiel:
1. l’Hospitalsche Regel:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
2. l’Hospitalsche Regel:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
3. l’Hospitalsche Regel:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
4. l’Hospitalsche Regel:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
4. Zusammenfassung
Die l’Hospitalschen Regeln sind notwendig, um bestimmte Grenzwerte von Funktionen zu ermitteln, obwohl doch leichtere Methoden zur Bestimmung bekannt sind. Der Unterschied bei den l’Hospitalschen Regeln ist der, dass die Werte die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] annehmen kann, von Regel zu Regel unterschiedlich sind, d.h. der Definitionsbereich von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist entweder unbeschränkt und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] läuft bis ins Unendliche oder der Definitionsbereich ist durch einen bestimmten Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eingeschränkt und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kann nur Werte bis zu diesem Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] annehmen. Für den zuletzt genannten Fall waren bisher keine Methoden zur Bestimmung eines Grenzwertes bekannt, d.h. diese l’Hospitalschen Regeln von 1696 sind bis heute die einzige Methode zur Bestimmung solcher Grenzwerte.
Quellenverzeichnis
- Klett Schulbuchverlag: LS Mathematik – „Analysis“, Leistungskurs – Gesamtausgabe
- B.I.-Hochschultaschenbücher-Verlag: Detlef Laugwitz – „Ingenieurmathematik II“
- Verlag Moritz Diesterweg: Schröder-Uchtmann-Mathematik – „Einführung in die Mathematik“
- Verlag Weltbild Kolleg: „Abiturwissen Mathematik“
- Verlag Harri Deutsch: „Lehr- und Übungsbuch der Mathematik“, für Ingenieur- und Fachschulen – Band 3
- Bayerischer Schulbuch-Verlag: Wörle-Kratz-Keil – „Infinitesimalrechnung“
- Bertelsmann-Verlag: „Bertelsmann Universal Lexikon“ – Bände 1, 4, 7
- Duden-Verlag: Schülerduden – „Die Mathematik II“
- Mathematikheft MSS 11
- Internet: -www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hp3.htm -www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/intro.html -www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/hospital1/hospital1.html
Verzeichnis der Zitate und sinngemäßen Übernahmen
(gekennzeichnet durch Kursivschrift und Ziffern)
3 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sinngemäß aus „www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html“, S. 1
4 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sinngemäß aus „www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html“, S.
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sinngemäß aus „Bertelsmann Universal Lexikon“ – Band 4, S. 299
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sinngemäß aus „www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html“, S. 2
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sinngemäß aus „Infinitesimalrechnung“, S. 185 – 187
5 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Zitat aus „Bertelsmann Universal Lexikon“ – Band 7, S. 131
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sinngemäß aus „www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html“, S. 1
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.
Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit über die l’Hospitalschen Regeln?
Diese Arbeit bietet eine umfassende Einführung in die l’Hospitalschen Regeln. Sie behandelt die Geschichte der Analysis und des Grenzwertbegriffs, die Herleitung und den Beweis der l’Hospitalschen Regeln, verschiedene Arten von Regeln und die Anwendung in der Analysis. Außerdem werden unbestimmte Ausdrücke und der Vergleich mit anderen Regeln zur Grenzwertbestimmung erläutert.
Was sind die l’Hospitalschen Regeln?
Die l’Hospitalschen Regeln sind Grenzwertregeln, die in der Analysis verwendet werden, um Grenzwerte von Funktionen der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu bestimmen. Sie werden insbesondere bei gebrochen rationalen Funktionen angewendet.
Wie lassen sich die l’Hospitalschen Regeln anwenden?
Die l’Hospitalschen Regeln können angewendet werden, wenn der Grenzwert eines Quotienten von zwei Funktionen berechnet werden soll und sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 oder unendlich streben. In diesen Fällen kann man die Ableitungen von Zähler und Nenner bilden und den Grenzwert des neuen Quotienten berechnen.
Was sind unbestimmte Ausdrücke und wie behandelt man sie im Zusammenhang mit den l’Hospitalschen Regeln?
Unbestimmte Ausdrücke entstehen, wenn man versucht, den Grenzwert einer Funktion zu berechnen und dabei Ausdrücke wie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält. Um den Grenzwert solcher Funktionen zu bestimmen, bildet man getrennt für Zähler und Nenner die 1. Ableitung und setzt erneut den Zahlenwert ein. Diese Methode wird wiederholt, bis ein Zahlenwert gefunden wird oder bis keine Ableitung mehr gebildet werden kann.
Welche verschiedenen l’Hospitalschen Regeln gibt es?
Es gibt vier l’Hospitalschen Regeln. Sie unterscheiden sich in ihren Voraussetzungen und den Werten, die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] annimmt. Die erste und dritte Regel bestimmen Grenzwerte für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], während die zweite und vierte Regel Grenzwerte für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmen.
Worin unterscheiden sich die l’Hospitalschen Regeln von anderen Regeln zur Grenzwertbestimmung?
Im 11. Schuljahr sind bereits Regeln zur Grenzwertbestimmung für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bekannt, die sich nach dem Rang von Zähler und Nenner richten. Die l’Hospitalschen Regeln sind jedoch besonders nützlich, wenn die Funktion für einen bestimmten Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einen unbestimmten Ausdruck ergibt oder wenn der Grenzwert für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt werden soll.
Wie lautet der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und wie hängt er mit den l'Hospitalschen Regeln zusammen?
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass es für eine im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] differenzierbare Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im Inneren des Intervalls mindestens eine Stelle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gibt, für die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Mittelwertsatz wird zum Beweis der 1. l'Hospitalschen Regel verwendet.
Was kann man tun, um die l’Hospitalschen Regeln besser zu verstehen?
Es ist hilfreich, sich mit der Geschichte der Analysis und des Grenzwertbegriffs vertraut zu machen. Außerdem ist es wichtig, die Herleitung und den Beweis der Regeln zu verstehen und verschiedene Anwendungsbeispiele durchzurechnen. Der Vergleich mit anderen Regeln zur Grenzwertbestimmung kann ebenfalls zum Verständnis beitragen.
Wo finde ich weitere Informationen über die l’Hospitalschen Regeln?
Eine Liste von Quellen mit Informationen über die l’Hospitalschen Regeln ist im Quellenverzeichnis am Ende der Arbeit aufgeführt.
- Quote paper
- Michael Schmitt (Author), 1999, Die l'Hospitalschen Regeln, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/96578
