Mit dieser Arbeit soll ein Einblick in die Materie der Permutationsgruppen und der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten gegeben werden. Mit dessen Hilfe Studierende und Interessenten ihr Wissen über Permutationsgruppen erweitern bzw. verbessern können und günstige Darstellungsmethoden kennenlernen sollen. Diese sollen an bestimmten Beispielen verdeutlicht werden.
Im Rahmen einer Vorlesung wurden Grundlagen der Algebra erarbeitet. Unter anderen folgende Themen: algebraische Strukturen, Untergruppen, Faktorgruppen, Nebenklassen und Normalteiler. Sowie der Homomorphiesatz für Gruppen und Operationen von Gruppen auf Mengen.
Neben diesen Themen werden auch Permutationen und Permutationsgruppen näher beleuchtet.
Inhaltsverzeichnis
- 1. Einleitung.
- 2. Definitionen
- 2.1 Allgemein
- 2.2 Definition durch eine Gruppenoperation
- 2.3 Definition durch einen Gruppenhomomorphismus
- 2.4 Isomorphie als Permutationsgruppen
- 2.5 Semiregulär und regulär
- 3. Darstellung
- 3.1 Listenschreibweise
- 3.2 Zykelschreibweise
- 3.3 Permutationsmatrizen
- 3.4 Darstellung durch Transpositionen
- 4. Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit dem Thema Permutationsgruppen und ihren verschiedenen Darstellungsformen. Sie soll Studierenden und Interessierten ein tieferes Verständnis dieser mathematischen Strukturen vermitteln und ihnen dabei helfen, die verschiedenen Darstellungsmethoden besser zu verstehen und anzuwenden.
- Definition und Eigenschaften von Permutationsgruppen
- Darstellung von Permutationen durch Listen, Zyklen und Matrizen
- Die Bedeutung von Transpositionen bei der Darstellung von Permutationen
- Anwendungen von Permutationsgruppen in der Algebra
- Vertiefung des Themas im Rahmen der Gruppentheorie
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einleitung Dieses Kapitel führt den Leser in die Thematik der Permutationsgruppen ein und erläutert den Kontext innerhalb der Vorlesung "Einführung in die Algebra". Die Arbeit soll Studierenden und Interessierten ein tieferes Verständnis von Permutationsgruppen vermitteln und ihnen dabei helfen, verschiedene Darstellungsformen besser zu verstehen und anzuwenden.
- Kapitel 2: Definitionen In diesem Kapitel werden die grundlegenden Definitionen von Gruppen, Permutationen und Permutationsgruppen behandelt. Es wird gezeigt, wie Permutationen durch Gruppenoperationen, Gruppenhomomorphismen und als Isomorphismen definiert werden können. Es werden zudem die Begriffe Semiregulär und Regulär im Kontext von Permutationsgruppen erklärt.
- Kapitel 3: Darstellung Dieses Kapitel stellt die verschiedenen Darstellungsformen von Permutationen vor, darunter die Listenschreibweise, die Zykelschreibweise, die Darstellung durch Permutationsmatrizen und die Darstellung durch Transpositionen. Anhand von Beispielen werden die verschiedenen Formen veranschaulicht.
Schlüsselwörter
Permutation, Permutationsgruppe, Gruppentheorie, Darstellung, Listenschreibweise, Zykelschreibweise, Permutationsmatrix, Transposition, Homomorphismus, Isomorphie, Semiregulär, Regulär.
- Quote paper
- Ginette Fischer (Author), 2020, Permutationsgruppen und ihre Darstellungsmöglichkeiten, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/945050
