Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich- Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, dass der erste Philosoph, - wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von Milet (etwa 625 - 547 v. Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr. richtig vorhersagte.
Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, von der Schule her so bekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien durch reine Überlegung schon der „Quantennatur der Geometrie“ auf die Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende Euklid, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige mathematische Werk verfasste, nach dessen Geometrie noch heute alle Schüler unterrichtet werden, - nur das Beweisen scheint heute an den Schulen außer Mode gekommen zu sein; Archimedes von Syrakus (287? - 212), der nicht nur die Kreiszahl π, sonder beispielsweise auch äußerst elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen anderen, wie etwa der Erdvermesser Eratosthenes von Kyrene (284-202) oder Diophantos.
Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser abstrakten Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von Samos (320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus, dessen geozentrisches Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis 1543 Kopernikus und dann ab 1605 Kepler und schließlich Galilei (der 1633 wegen der Inquisition widerrufen musste) uns endgültig eines besseren belehren sollten.
Allerdings geriet das gesamte griechische Wissen für ein Jahrtausend in völlige Vergessenheit und ist uns nur über den Umweg muselmanischer Übersetzungen überhaupt erhalten geblieben. Die Mörder HYPATIAs scheinen nicht nur eine Mathematikerin, sondern mit ihr zugleich die gesamte Mathematik ermodert zu haben! Das römische Imperium konnte zwar nicht ohne Kriege, wohl aber ohne Mathematiker bestehen, und das auch noch länger als jedes andere der Welt!
Inhaltsverzeichnis
ERSTES KAPITEL: Kreisvierecke
Kreisvierecke
Sehnen- und Tangentenvierecke
Der Drachen-Wehrle
Rechtwinklige Drachen
Radienprodukt für Kreistrapeze
Rationale Vierecke mit natürlichen Seiten
Kapitel II: Pyramiden
Das Analogon zum rechtwinkligen Dreieck:
Der dreidimensionale Pythagoras
Die Entfernung der Zentren
Die Fehringer-Formel
Kapitel: n- und unendliche Dimensionalität
Die Inhyperkugelmitte
Satz des Pythagoras im n-Dimensionalen
Das allereinfachste Gebilde, genannt SIMPLEX
Volumen der unendlich-dimensionalen Kugeln
Schlussfolgerung
Zielsetzung und Themen der Arbeit
Die vorliegende Arbeit setzt sich zum Ziel, tiefgreifende geometrische Zusammenhänge bei Dreiecken, Vierecken und Pyramiden aufzuzeigen und diese Erkenntnisse in den n-dimensionalen Raum zu extrapolieren. Der Autor untersucht dabei insbesondere die rationalen Eigenschaften geometrischer Gebilde und die mathematischen Bedingungen für deren Existenz sowie deren Um- und Inkreisradien.
- Geometrie und rationale Eigenschaften von Kreisvierecken und Trapezen.
- Erweiterung geometrischer Konzepte auf den dreidimensionalen Raum durch Pyramiden.
- Analyse von In- und Umkugelradien mittels der Fehringer-Formel.
- Extrapolation geometrischer Sätze auf n-dimensionale und unendlich-dimensionale Räume.
Auszug aus dem Buch
Kreisvierecke
Das Radienprodukt für Kreisvierecke ist schon etwas komplizeirter als die Wehrle-Formel für Dreiecke des ersten Buchs der Vorletzten Geheimnisse: 2rR = √ [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / (a+b+c+d ). Aber nicht jedes Viereck hat einen alle Seiten berührenden Inkreis, wie etwa die Raute oder der Drachen, und/oder einen durch alle Ecken verlaufenden Umkreis, wie das Achsentrapez oder das Rechteck. Man nehme ein Rechteck, schneide es längs der Diagonalen auf und setze es umgedreht wieder zusammen, und schon hat man ein Viereck mit In- und Umkreis!
Vierecke mit einem Inkreis heißen Tangentenvierecke. Für sie ist w* = 8w, während für Vierecke mit einem Umkreis ist w* = [(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)] / 2(a+b+c+d) = 16A²/ (2u) ist, und somit wird A² = wu = abcd.
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel II: Pyramiden: Dieses Kapitel überträgt die zweidimensionale Geometrie des Dreiecks auf den dreidimensionalen Raum und leitet den dreidimensionalen Satz des Pythagoras für Pyramiden her.
Kapitel: n- und unendliche Dimensionalität: Der Autor vollzieht den Sprung in den n-dimensionalen Raum und untersucht die mathematischen Auswirkungen auf Volumina und geometrische Eigenschaften bei steigender Dimension.
Schlüsselwörter
Geometrie, Kreisviereck, Pyramide, n-dimensionale Sphäre, Satz des Pythagoras, Umkugelradius, Inkugelradius, Fehringer-Formel, Simplex, rationale Geometrie, unendlich-dimensionaler Raum, Tangentenviereck, Sehnenviereck, Wehrle-Formel, Raumdiagonale.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit den geometrischen Geheimnissen von Dreiecken, Vierecken und Pyramiden und erweitert diese Erkenntnisse mathematisch bis in den n-dimensionalen Raum.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentral sind die Eigenschaften von Kreisvierecken, Tangenten- und Sehnenvierecken sowie die Berechnung von Um- und Inkugeln bei Pyramiden.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die systematische Untersuchung und Beschreibung von Radienverhältnissen und Flächeninhalten bei verschiedenen geometrischen Körpern.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Der Autor nutzt algebraische Ansätze, Formeln zur Kreis- und Kugelgeometrie sowie die Vektorrechnung und Integralrechnung zur Herleitung der Ergebnisse.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil werden zunächst Vierecke in der Ebene, dann Pyramiden im 3D-Raum und schließlich n-dimensionale geometrische Objekte analysiert.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie Geometrie, Simplex, n-dimensionale Räume, Radienprodukt und die Wehrle-Formel charakterisiert.
Was besagt das "Werte-Paradoxon" im Kontext der Arbeit?
Es beschreibt den Widerspruch, dass moderne Technik zwar allgegenwärtig ist, der Stellenwert der zugrunde liegenden wissenschaftlichen Fächer wie Mathematik aber in der Gesellschaft schwindet.
Warum spielt das "n-Dimensionale" eine so große Rolle für den Autor?
Der Autor möchte durch die Verallgemeinerung euklidischer Konzepte aufzeigen, dass die Geometrie in extrem hohen Dimensionen ihre anschauliche Gültigkeit verliert.
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- Hugo Wehrle (Author), 2008, Die vorletzten Geheimnisse der Vierecke, Pyramiden und des Unendlichdimensionalen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/94471
