Die isoperimetrischen Ungleichung schätzt in der Ebene den Flächeninhalt einer Figur gegen ihren Umfang ab. Insbesondere wird hierbei eine Sonderstellung des Kreises deutlich, da allein beim Kreis die Gleichheit in der Ungleichung eintritt.
Ein zugehöriges Optimierungsproblem in der Landwirtschaft lässt sich wie folgt formulieren: Ein Bauer hat eine bestimmte Länge Zaun und möchte damit die größtmögliche Kuhweide einzäunen. Die Lösung dieses Problems lautet, dass die Weide kreisförmig sein sollte. Dies werde ich in den folgenden Kapiteln mathematisch zeigen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Das isoperimetrische Problem
- Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit dem Steinerschen Viergelenkverfahren
- Biographie von Steiner
- Beweis nach Steiner
- Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Fourier-Analysis (nach Hurwitz)
- Biographie von Hurwitz
- Beweis nach Hurwitz
- Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Hilfe des Satzes von Stokes (nach Knothe und Gromov)
- Verallgemeinerung der isoperimetrischen Ungleichung
- Satz: Isoperimetrische Ungleichung für beliebige Dimensionen
- Beweis nach Knothe und Gromov über den Satz von Stokes
- Schlussbetrachtung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Bachelor-Arbeit befasst sich mit der isoperimetrischen Ungleichung, welche in der Ebene den Flächeninhalt einer Figur gegen ihren Umfang abschätzt. Dabei wird die Sonderstellung des Kreises hervorgehoben, da nur beim Kreis die Gleichheit in der Ungleichung eintritt.
- Einführung des isoperimetrischen Problems und der isoperimetrischen Ungleichung
- Darstellung verschiedener Beweise der isoperimetrischen Ungleichung in der Ebene
- Verallgemeinerung der isoperimetrischen Ungleichung auf beliebige Dimensionen
- Zusammenfassung und Bewertung der Ergebnisse in der Schlussbetrachtung
- Historische Entwicklung der isoperimetrischen Ungleichung und die Beiträge verschiedener Mathematiker
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Einleitung in die Thematik der isoperimetrischen Ungleichung, Darstellung des Problems und der Bedeutung des Kreises, historischer Kontext und Überblick über die Arbeit.
- Das isoperimetrische Problem: Formulierung des isoperimetrischen Problems und Vorstellung der isoperimetrischen Ungleichung als Satz. Ein Beispiel verdeutlicht die Aussage des Satzes.
- Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit dem Steinerschen Viergelenkverfahren: Biographie von Jakob Steiner, Darstellung seines Viergelenkverfahrens zum Beweis der isoperimetrischen Ungleichung.
- Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Fourier-Analysis (nach Hurwitz): Biographie von Adolf Hurwitz, Darstellung seines Beweises der Ungleichung mit Hilfe der Fourier-Analysis.
- Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Hilfe des Satzes von Stokes (nach Knothe und Gromov): Darstellung des Beweises von Knothe und Gromov, welcher den Satz von Stokes verwendet.
Schlüsselwörter
Isoperimetrische Ungleichung, Kreis, Umfang, Flächeninhalt, Steinersches Viergelenkverfahren, Fourier-Analysis, Satz von Stokes, Knothe, Gromov, Hurwitz, Schwarz, Brunn-Minkowski Theorem.
Häufig gestellte Fragen
Was besagt die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene?
Die isoperimetrische Ungleichung schätzt den Flächeninhalt einer geometrischen Figur gegen ihren Umfang ab. Sie besagt mathematisch, dass bei festem Umfang der Kreis die maximale Fläche umschließt.
Warum nimmt der Kreis eine Sonderstellung ein?
Die Sonderstellung ergibt sich daraus, dass allein beim Kreis die Gleichheit in der Ungleichung eintritt, was ihn zur optimalen Figur für Flächenprobleme macht.
Welche mathematischen Beweisverfahren werden vorgestellt?
Die Arbeit präsentiert das Steinersche Viergelenkverfahren, den Beweis mittels Fourier-Analysis nach Hurwitz sowie den Beweis über den Satz von Stokes nach Knothe und Gromov.
Gibt es eine Verallgemeinerung für höhere Dimensionen?
Ja, die Arbeit behandelt auch die isoperimetrische Ungleichung für beliebige Dimensionen, basierend auf den Arbeiten von Knothe und Gromov.
Welches praktische Beispiel aus der Landwirtschaft wird genannt?
Ein Bauer, der mit einer festen Zaunlänge eine maximal große Kuhweide einzäunen möchte, sollte diese kreisförmig anlegen.
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- Bachelor of Arts Ina Barth (Author), 2007, Die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/85391
