Individuelle Unterschiede in der mentalen Repräsentation des Umgangs mit Kalkülen

Inhaltsverzeichnis

1. EINLEITUNG

2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
2.1 Die Theorie in Analogie zur mathematischen Logik
2.2 Prädikative versus funktionale kognitive Struktur
2.3 Resonanzthese: Resonanz zwischen äußerer Repräsentation und mentaler Repräsentation
2.4 Mathematische Grundlagen: Kalküle

3. EXPERIMENTELLE DURCHFÜHRUNG
3.1 Ziel der Untersuchung
3.2 Auswahl der Versuchspersonen
3.3 Beschreibung des Versuchsablaufs
3.4 Zur Versuchsanleitung
3.5 Hilfestellungen
3.6 Untersuchungsmaterial
3.7 Das Programm
3.7.1 Implementierung der Aufgaben
3.7.2 Bildschirmaufbau und Bedienung des Programms
3.7.3 Protokollierung
3.8 Einsatz von Datenbanken

4. AUFGABEN
4.1 Musterergänzungsaufgaben
4.2 Objektsprachliche Aufgaben
4.2.1 Aufgabe mit prädikativem und funktionalem Lösungsweg
4.2.2 Aufgabe mit Vorteilen für einen Denktyp
4.2.3 „Darstellungs“-Aufgabe
4.2.4 Beweisaufgabe
4.3 Metasprachliche Aufgaben
4.3.1 Umgang mit metasprachlichen Regeln
4.3.2 Verschiedene „Schwierigkeitsstufen“ von metasprachlichen Regeln
4.4 Zur Konstruktion der Termumformungsaufgaben

5. QUALITATIVE AUSWERTUNG
5.1 Auswertung der Musterergänzungsaufgaben
5.1.1 Diagnosebeispiel 1
5.1.2 Diagnosebeispiel 2
5.1.3 Diagnosebeispiel 3
5.1.4 Bevorzugte kognitive Strukturen der Versuchspersonen
5.2 Analyse einer objektsprachlichen Aufgabe
5.2.1 Anlaß
5.2.2 Mögliche Lösungswege
5.2.3 Idee der Aufgabe
5.2.4 Transkripte von Julia und Lara
5.2.5 Beschreibung und Analyse der Vorgehensweise
5.2.6 Ergebnis
5.3 Beweisaufgabe
5.4 „Darstellungs“-Aufgabe
5.5 Analyse einer metasprachlichen Aufgabe
5.5.1 Anlaß
5.5.2 Möglicher Lösungsweg
5.5.3 Idee der Aufgabe
5.5.4 Schwierigkeit der Aufgabe
5.5.5 Transkripte von Christina und Gaby
5.5.6 Beschreibung und Analyse der Vorgehensweise
5.5.7 Ergebnis
5.6 Vorlieben der Versuchspersonen

6. QUANTITATIVE AUSWERTUNG
6.1 Häufigkeit der Benutzung prädikativer und funktionaler Regeln
6.2 Lösungszeiten der objekt- und metasprachlichen Aufgaben

7. SCHLUßBEMERKUNG

8. LITERATURVERZEICHNIS

9. ABBILDUNGS- UND TRANSKRIPTVERZEICHNIS
9.1 Abbildungsverzeichnis
9.2 Transkriptverzeichnis

ANHANG A: VERSUCHSANLEITUNG

ANHANG B: HILFESTELLUNGEN

ANHANG C: DIE UNTERSUCHUNGSAUFGABEN IM ÜBERBLICK

1. Einleitung

In der (Schul-)Algebra ist die zentrale mathematische Technik der Termumformung immer wieder Ursprung zahlreicher Schülerschwierigkeiten und -fehler. In der vorliegenden Arbeit „Individuelle Unterschiede in der mentalen Repräsentation des Umgangs mit Kalkülen“ sollen die mentalen Prozesse, die bei Termumformungen ablaufen, untersucht werden. Unter dem Aspekt der mathematischen Grundlagenforschung soll analysiert werden, wie sich Unter- schiede in den von Schwank postulierten kognitiven Strukturen in Unterschieden mentaler Repräsentationen (statisch versus prozeßorientiert) von Formelmanipulationen niederschla- gen. Die dazu durchgeführte Untersuchung ist eine Pilotstudie im Rahmen des DFG-Projektes „Individuelle Unterschiede in der mentalen Repräsentation von Termumformungen (IRT)“.

Wie bereits erwähnt, wird in dieser Arbeit auf die Theorie von Schwank Bezug genommen, in der zwischen einer prädikativen und funktionalen kognitiven Struktur unterschieden wird; diese Theorie wird im zweiten Kapitel ausführlich erläutert werden. Im Unterabschnitt „Ma- thematische Grundlagen“ werden die objekt- und metasprachlichen Kalküle, die den Untersu- chungsaufgaben zugrunde liegen, vorgestellt und vom mathematischen Standpunkt aus be- trachtet werden.

Im dritten Kapitel werde ich die experimentelle Durchführung der Untersuchung beschreiben. Ausgenommen davon ist die Vorstellung des Untersuchungsmaterials, dem im vierten Kapitel „Aufgaben“ gesondert Platz eingeräumt werden wird. Wegen des explorativen Charakters der Untersuchung wurde viel Wert auf die Analyse der Untersuchungsaufgaben gelegt. Die in dieser Studie gewonnenen Erfahrungen und Erkenntnisse hinsichtlich der Konstruktion und Wirkung von Untersuchungsaufgaben sollen in weitere Untersuchungen und in die Hauptuntersuchung gewinnbringend eingebracht werden können.

Die Auswertung der Untersuchung wird in einen qualitativen und einen quantitativen Teil unterschieden werden. Im fünften Kapitel sollen qualitativ, anhand der verbalen Äußerungen und der Vorgehensweise der Versuchspersonen bei der Lösungsfindung, die individuellen Unterschiede in der mentalen Repräsentation aufgezeigt werden. Das sechste Kapitel wird sich mit der quantitativen Auswertung der Untersuchung beschäftigen. Dort wird berichtet werden, inwiefern Lösungszeiten einzelner Aufgaben sowie Art und Häufigkeit der benutzten Formeln sich als Indikator für die kognitive Struktur der Versuchsperson eignen.

Im siebten Kapitel soll ein kurzes Fazit der Untersuchung gezogen und zukünftige Entwicklungsrichtungen aufgezeigt werden.

2. Theoretische Grundlagen

Die Arbeitsgruppe „Mathematische und psychologische Grundlagen“ in der Mathematikdi- daktik der Universität Osnabrück und das „Forschungsinstitut für Mathematikdidaktik e.V. (FMD)“ beschäftigen sich schon seit vielen Jahren mit den mathematischen und psychologi- schen Grundlagen des Begriffserwerbs und des Problemlösens. Ein wesentliches Forschungs- gebiet ist dabei die Untersuchung unterschiedlicher kognitiver Strukturen und Strategien. Ar- beiten zu diesem Gebiet sind dabei einerseits der psychologischen Grundlagenforschung im Bereich der Kognitionswissenschaft zuzuordnen, andererseits handelt es sich auch um die Erforschung mathematischer Denk- und Lernprozesse als Teil der Mathematikdidaktik.

Kern all dieser Arbeiten ist die von Schwank¹ entwickelte Theorie der prädikativen versus funktionalen kognitiven Strukturen. Sie ist ein theoretisches Erklärungsmodell für kognitive Mechanismen bei der Begriffsbildung und beim Denken. Schwank postuliert die Existenz zweier unterschiedlicher Denkstrukturen, „ der pr ä dikativ arbeitenden Struktur, die sich in einem Denken ä u ß ert, welches vorrangig Beziehungen und Urteile erkennt und verbindet, und der funktionalen Struktur, die sich in einem Denken ä u ß ert, welches Handlungsfolgen und Wirkungsweisen erkennt und verkettet “.²

Berücksichtigt werden auch die Wechselwirkungen zwischen äußerer und innerer Repräsentation, die Schwank innerhalb ihrer Theorie durch die Resonanzthese³ erklärt.

Die Untersuchung und Analyse der von Problemlösern benutzten kognitiven Strategie führte zur Einführung des Begriffspaares „begrifflich / sequentiell“ durch Cohors-Fresenborg & Kaune⁴. Dabei wird zwischen zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen, „ dem vorab- strukturierenden begrifflichen Vorgehen und dem interaktiven, sich im Flu ß des Dialoges mit der Umgebung [...] entwickelnden sequentiellen Vorgehen “ ⁵, unterschieden . Anfänglich um- faßte die Merkmalsklassifizierung der kognitiven Strategien auch Elemente der kognitiven Strukturen.⁶ Daß die beiden Ebenen zu trennen sind und unabhängig voneinander existieren hat Schwank postuliert: “ The prefered internal cognitive structure must be distinguished from the prefered cognitive strategy in the sense of Cohors-Fresenborg and Kaune [...]. This level of cognitive strategy is working on the cognitive structure. “ ⁷

Die Theorie der prädikativen versus funktionalen kognitiven Struktur ist Grundlage meiner Untersuchung und soll deswegen ausführlich und umfassend dargestellt werden. Mit den kognitiven Strategien beschäftigt sich diese Untersuchung nicht, deswegen wird auf eine weiterführende Erläuterung verzichtet.

2.1 Die Theorie in Ana logie zur mathematischen Logik

Schwank möchte ihre Hypothese „ als ein theoretisches Erkl ä rungsmodell “ ⁸ im Sinne von Cohors-Fresenborg verstanden wissen, das heißt nicht als behaviouristisches Modell, „ wel ches den Schüler [...] als Black-Box ansieht “ ⁹, sondern als ein Modell, das „ von seiner Sprachstrukturüberhaupt die M ö glichkeit zu einem intensionalen Verstehen und nicht nur zu einer extensionalen Vorhersage erm ö glicht “.¹⁰

Sie sieht ihr Modell in Analogie zur formalen Logik, wo es „ für eine Reihe von grundlegen- den Begriffen [...] unterschiedliche Axiomatisierungen gibt “.¹¹ Dies meint „ bei der Konstruk- tion einer formalen Sprache [hat man] die Wahl, ob man Ausdrucksmittel für Eigenschaften und Beziehungen (Pr ä dikate), Operationen und Handlungen (Funktionen) unmittelbar zur Verfügung haben will, oder ob man sich für eine der beiden als Grundbegriffe entscheidet und das andere durch Nominaldefinition einführt. “ ¹² Schwanks erste Untersuchungen be- schäftigten sich konkret mit dem algorithmischen Denken; dabei wählte Schwank als Beispiel den Funktionsbegriff, um ihre Position zu verdeutlichen. In einem Axiomensystem können die Grundbegriffe letztendlich nicht erklärt werden, sondern müssen evident sein. „Ü blicher- weise enth ä lt eine Pr ä dikatenlogik Funktionsbezeichnungen als Grundbegriff; es gibt aber auch die M ö glichkeit, den Funktionsbegriff als abgeleiteten Begriffüber den Begriff der Rela- tion (einem n-stelligen Pr ä dikat) einzuführen. “ ¹³ Für eine mathematische Theorie wären zwei - aus mathematischer Sicht - äquivalente Axiomensysteme denkbar: mit dem Funktions- begriff als Grundbegriff in einer „funktionalen Welt“, oder als abgeleitetem Begriff in einer ebenbürtigen „prädikativen Welt“. In beiden Welten können dann inhaltlich mathematische Überlegungen errichtet werden.¹⁴ Ein Nachdenken darüber, welche Sichtweise vom mathema- tischen Standpunkt aus die Wesentliche ist, führt laut Schwank zu keiner Erkenntnis. Grund- sätzlich läßt sich die eine Welt in der anderen simulieren, wobei unter Umständen unter- schiedlicher Aufwand erforderlich ist. Beispiel: Hat man den Funktionsbegriff unmittelbar zur Verfügung, dann ist zum Beispiel auch die Vorstellung der Verkettung von Funktionen ein leichtes; ist der Funktionsbegriff jedoch nur als abgeleiteter Begriff vorhanden, dann wird sich die Verkettung von Funktionen um einiges schwieriger gestalten.¹⁵ Nehmen wir eine ko- gnitionspsychologische Untersuchung mit einem mathematischen Sachgegenstand, so ist der beschriebene Aufwandsunterschied für die Interpretation im Rahmen einer vorhandenen oder zu entwickelnden Theorie nicht unerheblich.¹⁶

In Analogie zu dem hier beschriebenen in der Mathematik existentem Dualismus von Prädikaten und Funktionen sieht Schwank einen Dualismus in der kognitiven Struktur eines Menschen.¹⁷ Sie unterscheidet zwischen einer prädikativen kognitiven Struktur, bei der die Eigenschaften und Beziehungen zentral sind, und einer funktionalen kognitiven Struktur, bei der die Prozesse und Wirkungsweisen im Mittelpunkt stehen. Die Eigenschaften prädikativ bzw. funktional sind dabei innerhalb ihrer Theorie als Grundbegriffe zu verstehen. Sie können sich „ auf einzelne Begriffsbildungen [z. B. den Funktionsbegriff] oder einzelne mentale Modelle beziehen, sie k ö nnen aber auch ein grunds ä tzliches Charakteristikum der mentalen Modellbildung eines Menschen sein “.¹⁸ In diesem Fall spricht Schwank von einer Präferenz für eine kognitive Struktur. Sind die Eigenschaften prädikativ bzw. funktional Grundbegriffe innerhalb eines die Theorie darstellenden Axiomensystems, so entspricht das Konstruieren eines Experimentes, welches der Bestätigung der Theorie dient, einer Interpretation der Experimentes, welches der Bestätigung der Theorie dient, einer Interpretation der Grundbeg- riffe.¹⁹

Wie eben bereits beschrieben gibt es unterschiedliche Möglichkeiten einen mathematischen Begriff oder ein mathematisches Objekt darzustellen. Eine solche Darstellung bezeichnet Schwank als äußere Repräsentationsform. Die individuellen Vorstellungen, die man sich unter Einflußnahme der eigenen kognitiven Struktur von einem Begriff oder Objekt macht, bezeichnet sie hingegen als innere Repräsentationsform oder als mentales Modell.

2.2 Prädikative versus funktionale kognitive Struktur

Schwank postuliert die Existenz zweier unterschiedlicher Denkstrukturen. Sie unterscheidet zwischen einer prädikativen und einer funktionalen kognitiven Struktur²⁰ und geht davon aus, daß bei jedem Individuum eine Präferenz für eine der beiden Strukturen vorhanden ist oder vielmehr sich im Laufe der Zeit entwickelt hat . „ Bei der Anwendung einer pr ä dikativen kog- nitiven Struktur “ spricht Schwank „ von einem pr ä dikativem Denken, dieses ist ein Denken in Beziehungen und Urteilen, bei Anwendung einer funktionalen kognitiven Struktur [spricht sie] von einem funktionalen Denken, dieses ist ein Denken in Handlungsfolgen und Wir- kungsweisen “.²¹ Dabei geht es um die Frage, in welcher Art und Weise ein Problem kognitiv erfaßt wird. Bei der Unterscheidung zwischen prädikativ und funktional geht es nicht „ um einen Unterschied in der Sache, sondern um einen Unterschied in den individuellen Vorstel- lungen, welche von einer Sache erzeugt werden “.²² Man könnte es als zwei unterschiedliche Sichtweisen ein und derselben Sache beschreiben.

Ein gutes Beispiel, wie man dieselbe Sache unterschiedlich sehen kann, gibt Schwank mit dem Vergleich zweier Textstücke von Fontane und Goethe.²³ Bei beiden Schriftstellern beschreibt eine Person den Raum, den sie betritt.

Fontane:

„Dies war ein hübscher, hoher Raum, die Jalousien herabgelassen, die Fenster nach innen auf, vor deren ei- nem eine Blumenestrade mit Goldlack und Hyazinthen stand. Auf dem Sofatische präsentierte sich gleichzei- tig eine Glasschale mit Apfelsinen, und die Porträts der Eltern des Professors, des Rechnungsrats Schmidt aus der Heroldskammer und seiner Frau, geb. Schwerin, sahen auf die Glasschale hernieder - der alte Rech- nungsrat in Frack und rotem Adlerorden, die geborene Schwerin mit starken Backenknochen und Stubsnase, was, trotz einer ausgesprochenen Bürgerlichkeit, immer noch mehr auf die pommersch / uckermärkischen Träger des Namens, als auf die spätere, oder, wenn man will, auch viel frühere posensche Linie hindeute- te.“²⁴

Goethe:

„Zum erstenmal in meinem Leben erregte mir der Eintritt in ein Haus Bewunderung. Ich hatte wohl oft von des Oheims Geschmack, von seinem italienischen Baumeister, von seinen Sammlungen und seiner Biblio- thek reden hören; ich verglich aber das alles mit dem, was ich schon gesehen hatte, und machte mir ein sehr buntes Bild davon in Gedanken. Wie verwundert war ich daher über den ernsten und harmonischen Eindruck, den ich beim Eintritt in das Haus empfand, und der sich in jedem Saal und Zimmer verstärkte! Hatte Pracht und Zierat mich sonst nur zerstreut, so fühlte ich mich hier gesammelt und auf mich selbst zurückgeführt.“²⁵

Fontane beschreibt sehr detailliert mit zahlreichen Adjektiven die Einrichtungsgegenstände des Zimmers, Goethe hingegen die Gefühle und Gedanken, welche die Person beim Betreten des Raumes hat. „ Bei Fontane scheint uns das Interesse zu sein, bei dem Leser eine Vorstel- lung darüber aufzubauen, wie der Raum aussieht, bei Goethe eher, wie der Raum wirkt. “ ²⁶ Schwank gibt noch zwei weitere Beispiele für prädikative und funktionale Vorstellungen.²⁷ Dieser kleine Ausflug in die Literatur sollte dazu dienen, beim Leser eine Evidenzbasis für die beiden Begriffe prädikativ und funktional zu erzeugen. Da laut Schwank jeder eine Präfe- renz für die eine oder andere kognitive Struktur hat, ist ihrer Meinung nach ein Verständnis für beide Sichtweisen nicht von vornherein gegeben. Dieses Problem wird demnach auch nicht dadurch aufgelöst, daß man Beispiele für eine prädikative oder funktionale Darstellung eines (mathematischen) Begriffes oder Problems findet. Ganz im Gegenteil, könne man auf- grund der prinzipiellen Äquivalenz beider Darstellungsformen niemanden daran hindern, die gegebene Darstellung in seine Sichtweise umzud euten.²⁸

Nach dieser eher intuitiven Annäherung an die Thematik werden in der folgenden Abbildung die beiden kognitiven Strukturen schematisch gegenüber gestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Funktion der prädikativen versus funktionalen kognitiven Struktur²⁹

Je nach zugrunde liegender kognitiver Struktur ergibt sich eine unterschiedliche Haltung beim Heramgehen an ein Problem³⁰, oder, wie Schwank es auch ausdrückt, es wird eine unter- schiedliche Brille aufgesetzt und bei der kognitiven Erfassung des Problems werden entspre- chend unterschiedliche Akzente gesetzt.³¹ „ Im pr ä dikativen Fall werden die das Problem konstituierenden Pr ä dikate kognitiv erfa ß t (als bildliche Metapher benutzen wir die Sichtwei- se der zusammenzufügenden Puzzlesteine); im funktionalen Fall werden die das Problem kon- stituierenden Funktionen kognitiv erfa ß t (als bildliche Metapher benutzen wir die Sichtweise des Ingang zu setzenden Zahnradgetriebes). “ ³² Diese Akzentuierung unterschiedlicher As- pekte eines Problems führt zu unterschiedlichen Vorstellungen darüber, wie das Problem an- zugehen und zu lösen ist und beeinflußt die Begriffsbildung. Wie in der Abbildung dargestellt entstehen von zentralen (mathematischen) Begriffen oder Ideen unterschiedliche mentale (o- der interne) Repräsentationen. Ein bevorzugtes Erfassen von Prädikaten und Relationen zw i- schen verschiedenen (mathematischen) Gegenständen, das heißt ein Denken in Beziehungen, führt zum Ausbau einer statisch greifenden mentalen Repräsentation der Begriffe. Ein bevo r- zugtes Erfassen von Funktionen und Operationen auf bzw. mit verschiedenen (mathemati- schen) Gegenständen, also ein Denken in Wirkungsweisen, führt hingegen zum Ausbau einer eher dynamischen mentalen Repräsentation der Begriffe. Schwank führt ihre Hypothese wei- ter aus:

„Der Unterschied von prädikativen und funktionalen mentalen Modellen [=mentalen Repräsentationen] kommt auch in den auf sie zugeschnittenen geistigen Operationen zum Ausdruck: Die prädikative Form der Begriffsbildung kennt zwischen- / innerbegriffliche Relationen, Unter- / Oberbegriffe, Abstraktion bei Beg- riffsbildung, logische Verknüpfungen. Bei funktionstypischen Begriffen wäre entsprechend […] die Anwen- dung von Funktionen, die Verkettung, (analoge) Verallgemeinerung von Werkzeuganwendung, die Umkeh- rung von Prozessen.“³³

Die obige Abbildung ist spiralförmig im Zeitverlauf zu lesen. Die Pfeile sollen bedeuten, daß eine bereits vorhandene interne begriffliche Repräsentation und die damit zur Verfügung ste- henden geistigen Werkzeuge (Fassen von Strukturen / Begriffen in Form von Prädikaten / Relationen bzw. Funktionen / Operationen) Einfluß nehmen auf das kognitive Erfassen eines Problems. Die Art und Weise wie ein Problem kognitiv erfaßt wird, hat wiederum Auswir- kung auf den weiteren Ausbau der internen begrifflichen Repräsentation.³⁴ Die Beobachtung, daß bei Versuchspersonen eine höhere Leistungsstärke in einer der beiden kognitiven Struktu- ren vorliegt, erklärt Schwank damit, daß „ nicht gleicherma ß en beide Arten zur Anwendung kamen und so ein unterschiedlicher Ausbau einer mehr statischen oder mehr dynamischen internen begrifflichen Repr ä sentation vorgenommen wurde, was dann wiederum gerade diese Art des Erfassens und Eingreifens st ä rkt “.³⁵ Man entwickelt eine Präferenz für eine der bei- den kognitiven Strukturen.

2.3 Resonanzthese: Resonanz zwischen äußerer Repräsentation und mentaler Repräsentation

Wie in Abschnitt 2.1 bereits erläutert, gibt es die Möglichkeit, ein und dieselbe Sache unter- schiedlich darzustellen, das heißt es existieren verschiedene - vom mathematischen Stand- punkt aus äquivalente - äußere Repräsentationsformen. Kaune hat in ihrer Untersuchung³⁶, bei der den Schülern freigestellt wurde, in welcher von drei Repräsentationsformen sie die Lö- sung konstruktiver Aufgaben angehen wollten, gezeigt, daß viele Versuchspersonen erkenn- bare und stabile Vorlieben für eine Repräsentationsform haben.³⁷ Marpaung konnte das bestä- tigen³⁸ und weiterhin zeigen, daß eine Präferenz so stark sein kann, daß sehr gute Leistungen in der einen Repräsentationsform vorhanden sein können, man sich in der anderen Welt je- doch überhaupt nicht zurechtfindet und dort versagt.³⁹ Schwank erklärt diese Phänomene mit ihrer Resonanzthese⁴⁰, die ich im folgenden kurz darstelle. In einer spezifischen Repräsentati- onsform gestellte Aufgaben scheinen „ in naheliegender Weise eine Struktur zu haben und natürliche Denkwerkzeuge zu ihrer L ö sung aufzurufen “.⁴¹ Zwischen der dem Schüler darge- botenen Aufgabe und seiner inneren kognitiven Struktur kommt es zu einer Art Resonanze f- fekt. Unterstützt die äußere Repräsentationsform die Bildung mentaler Repräsentationen, die zur bevorzugten kognitiven Struktur passen (positive Resonanz), so sind relativ gute Leistun- gen zu erwarten. Induziert die äußere Darstellung jedoch mentale Repräsentationen, die der eigenen kognitiven Struktur widersprechen (negative Resonanz), so muß erhöhter Aufwand zur Umdeutung in die eigene Welt betrieben werden und es ist mit relativ schlechten Leistun- gen bis hin zum Scheitern zu rechnen. Dieser Resonanze ffekt kann für Untersuchungen zur Unterscheidung prädikativer und funktionaler Denktypen ausgenutzt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, daß die bei prädikativen und funktionalen Aufgaben erbrachte Leistung relativ bewertet werden muß. Eine gute funktiona le Versuchsperson kann unter Umständen eine prä- dikative Aufgabe noch erfolgreich lösen, während eine prädikative, aber schwächere Ver- suchsperson diese Aufgabe schon nicht mehr löst.

2.4 Mathematische Grundlagen: Kalküle

Über mehrere Jahre hinweg befassen sich Schüler in der elementaren Algebra mit dem soge- nannten „Buchstabenrechnen“. Trotz großer Anstrengungen seitens Lehrer und Schüler und zahlreicher Übungsstunden sind die Schwierigkeiten der Schüler beim Durchführen von Termumformungen immens. Dabei handelt es sich laut Cohors-Fresenborg beim Termum- formen weniger um eine abstrakte Tätigkeit, als vielmehr um den konkreten, kombinatori- schen Umgang mit formalen Objekten.⁴² Beim Lösen von Gleichungen geht es im wesentli- chen darum, unter strategischen Gesichtspunkten einen Teilterm auszuwählen, der entspre- chend einer gültigen Regel ersetzt wird. Die Regel muß korrekt angewendet werden und es muß zielorientiert vorgegangen werden. Die Probleme und deren Ursachen, die in diesem Zusammenhang auftreten, sind vielfältig und werden zum Beispiel von Malle⁴³ und Vollrath⁴⁴ ausführlich erläutert. Beide Autoren befassen sich dabei mit den semantischen und syntakti- schen Aspekten der elementaren Algebra und präsentieren aus ihrer stoffdidaktischen Position heraus Unterrichtskonzepte.

Termumformungen, wie sie bei Schülern in der Sekundarstufe I an der Tagesordnung sind, lassen sich „ vom Grundlagenstandpunkt aus mit den Mitteln analysieren, wie sie unter dem Begriff Kalkül in unterschiedlichen Spezialformen vorhanden sind “.⁴⁵ Wie kompliziert ein solches Regelsystem schon allein für das Lösen einer linearen Gleichung sein muß, zeigt Co- hors-Fresenborg⁴⁶. Neben den beiden Kalkülen zur Erzeugung der Ziffern bzw. Terme, bedarf es eines zwölf Regeln umfassenden Kalküls, der die möglichen Umformungen festlegt. Von der Gleichung ((5× (x + 2)) - 7) = 13 bis hin zur Lösung (5 × x) = 10 sind mehr als 20 Regel- anwendungen durchzuführen. Dabei wurde sogar auf ein konsequentes „Seitentauschen“ ve r- zichtet, übliche Klammerersparnisregeln nicht berücksichtigt und die Division am Ende nicht mehr durchgeführt. Natürlich ist dies nur ein Beispiel, doch es wird klar, wie umfangreich das oft intuitiv angewandte Regelsystem ist.

Bei dem obigen Kalkül handelt es sich um einen Kanonischen Post-Kalkül. Spezialfälle dieser Kalküle sind die Semi-Thue-Systeme, bei denen bei einer Regelanwendung nur ein Teilwort ersetzt werden kann, sowie die Thue-Systeme, bei denen es zu jeder Regel auch die entsprechende inverse Regel gibt. Das zu ersetzende und das einzusetzende Teilwort werden direkt in der Objektsprache des Kalküls angegeben.⁴⁷ Innerhalb der Regeln werden also keine Variablen verwendet, sondern nur Grundzeichen des Kalküls, die für sich selbst stehen. Diesen Fall bezeichnen wir mit dem Adjektiv „objektsprachlich“.

Im folgenden gebe ich ein Beispiel für ein Thue-System.

Das Alphabet sei: {[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]}

Der objektsprachliche Kalkül umfaßt folgende Regeln⁴⁸:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgabe: Zeigen Sie, daß aus dem Wort[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]das Wort[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]herleitbar ist.

1. Herleitung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Regel ist ein Thue-System nicht determiniert, das heißt es ist in einer Situation mehr als eine Regel anwendbar.

2. Herleitung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei dem Kalkül handelt es sich um ein Thue-System, das heißt die Regeln gelten in beiden Richtungen. Daher kann man die Regeln auch als Gleichung schreiben. Auch für die Aufgabenstellung kann die Gleichungsnotation verwendet werden. Bei jeder Herleitung eines Wortes aus einem anderen gelten alle Umformungsschritte auch in der entgegengesetzten Richtung und es gilt somit die Gleichheit der beiden Worte.

Die Regeln und die Aufgabenstellung haben dann folgende Gestalt:

Regeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgabe: Zeigen sie, daß die Gleichung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gilt.

An dieser Stelle ist deutlich zu erkennen, daß es sich um eine Aufgabe zur Termumformung handelt. Auch optisch entspricht diese Notation im wesentlichen einer objektsprachlichen Testaufgabe, deren Äußeres in Abschnitt 3.7.2 genauer vorgestellt werden wird.

Etwas kompliziertere Regeln ergeben sich für den Fall, daß man in den Kalkülregeln auch die Angabe von Prädikaten für Grundzeichen erlaubt. In unserem Beispiel sollen das Prädikate sein, die sich auf die Form (dreieckig, quadratisch) oder die Farbe (blau, rot) der Objektvari- ablen beziehen. Formuliert man die obigen objektsprachlichen Regeln mit Prädikaten, ergibt sich folgendes Bild:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein solcher metasprachlicher Kalkül scheint wesentlich komplizierter zu sein, entspricht aber faktisch dem objektsprachlichen. Die Buchstaben des Alphabets unterscheiden sich nur in Form und Farbe. Werden immer beide Prädikate angegeben, so ist das Objekt in Prämisse und Conclusio eindeutig festgelegt. Anders ist das im folgenden Fall. Die verallgemeinerte Regel 2* ist auf zwei unterschiedliche Worte anwendbar und hat auch unterschiedliche Wirkung (a bzw. b):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In einem weiteren Schritt kann man sich vorstellen, daß in Prämisse und Conclusio einer Regel nicht die gleichen Eigenschaftstypen angegeben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wendet man die Regel 2** zunächst in der Hinrichtung (a) und anschließend in der Rückrich- tung (b) an, kommt man - wenigstens in diesem Fall - nicht wieder zum Ausgangsobjekt. Trotzdem sind auch diese Art von Kalkülregeln in Form einer Gleichung notiert worden; sie stellen eine besondere Schwierigkeit dar. Außerdem werden in Regel 2* und 2** nicht immer beide Prädikate angegeben, das heißt Prämisse und Conclusio dieser Kalkülregeln können auf mehrere Buchstaben zutreffen. Ein aus solchen Regeln bestehender Kalkül ist kein Thue- System mehr und wird im folgenden als metasprachlicher Kalkül bezeichnet.

Die metasprachlichen Testaufgaben verwenden solche metasprachlichen Regeln. Hinzu kommt jedoch noch, daß für die Namen der Prädikate Abkürzungen verwendet werden. Psy- chologisch gesehen ist es ein Unterschied, ob eine Formel wie in (a) oder (b) notiert wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Fall b) muß Bedeutung gelernt und erinnert werden. (Man beachte, daß beide Worte mit dem Teilwort „gr“ beginnen und somit nicht automatisch klar ist, welches Wort mit „gr“ und welches mit „g“ abgekürzt wurde.) Daß die dazu benötigten kognitiven Fähigkeiten bei prädikativen und funktionalen Denktypen laut Schwanks Theorie unterschiedlich ausgeprägt sind, wird für die Untersuchung ausgenutzt.

Die unterschiedlichen Anforderungen an Abstraktion und Be griffsbildung bei objektsprachli- chen und metasprachlichen Kalkülen vergleichen Cohors-Fresenborg & Schwank⁴⁹ mit der Situation bei der Mengenbildung. Im Fall eines endlichen Alphabetes kann man eine meta- sprachliche Regel durch einfache objektsprachliche Regeln ersetzen, indem man jede mögli- che Anwendung explizit aufschreibt. Verglichen mit der Situation bei der Mengenbildung, entsprechen die objektsprachlichen Kalküle einer Mengenbildung durch explizites Aufzählen aller Elemente und die metasprachlichen Kalküle der Mengenbildung durch Komprehension mit Hilfe eines Prädikates.

3. Experimentelle Durchführung

3.1 Ziel der Untersuchung

Im Rahmen dieser Examensarbeit wurde eine Untersuchung durchgeführt, deren Ziel es war Erkenntnisse über den Einfluß der kognitiven Struktur auf die mentale Repräsentation von Termumformung zu gewinnen. Es wurden objekt- und metasprachliche Untersuchungsaufga- ben eingesetzt und getestet, die es mittels einer Analyse der Vorgehensweise des Schülers ermöglichen, Rückschlüsse auf seine bevorzugte kognitive Struktur zu ziehen. Die Einschä t- zung der Versuchspersonen geschieht aufgrund der verbalen Äußerungen, der Art der benutz- ten Regeln und der Lösungszeiten in Verbindung mit den gegebenen Hilfen.

3.2 Auswahl der Versuchspersonen

Es wurden acht Schüler einer 7. Klasse eines Osnabrücker Gymnasiums untersucht. Die Ver- suchsgruppe bestand aus drei Mädchen (Christina, Eva, Gaby) und fünf Jungen (Andre, Bas- tian, David, Felix, Henning)¹. Es wurde keine Vorauswahl bezüglich der Leistungsstärke oder der kognitiven Struktur getroffen. Die Auswahl der Schüler unterlag auch sonst keinerlei spe- zifischen Kriterien; lediglich die Bereitschaft der Schüler und ihrer Eltern, an der Untersu- chung teilzunehmen, galt als Voraussetzung. Um möglichst unvoreingeno mmen in die Unter- suchung gehen zu können, waren dem Versuchsleiter vorher fast gar keine Informationen über die Schüler bekannt. Ein anschließender Blick auf die Schulnoten der Versuchspersonen in den Hauptfächern ergab, daß sowohl Kinder mit starken als auch solche mit schwachen Schulleistungen teilgenommen hatten. Das Alter der Kinder variierte zwischen 11 und 14 Jah- ren. Zwei der teilnehmenden Kinder hatten nicht Deutsch als Muttersprache, waren jedoch beide der deutschen Sprache mächtig.

Zusätzlich zu dieser Untersuchung wurden mit dem gleichen Untersuchungsdesign und den gleichen Testaufgaben vier Schüler einer 8. Klasse eines anderen Osnabrücker Gymnasiums untersucht.² Dabei handelte es sich um einen Jungen (Karsten) und drei Mädchen (Inka, Julia, Lara) im Alter von 13 bis 14 Jahren, deren Schulleistungen durchweg gut waren.

3.3 Beschreibung des Versuchsablaufs

Die Schüler wurden einzeln in jeweils drei Sitzungen à 45 Minuten in Form von klinischen Interviews untersucht. Die Sitzungen fanden während der Unterrichtszeit, das heißt vormit- tags statt. In der ersten Sitzung wurden die objektsprachlichen Aufgaben bearbeitet, in der zweiten die metasprachlichen Aufgaben und in der dritten die Musterergänzungsaufgaben.³ Die objekt- und metasprachlichen Kalkülaufgaben wurden mittels eines speziell erstellten Programms am Computer bearbeitet. Kein Schüler hatte mehrere Sitzungen an einem Tag; soweit es möglich war, wurden die drei Stunden an aufeinanderfolgenden Tagen oder zumin- dest innerhalb des Zeitraums einer Woche absolviert. Da der Versuchsleiter mit der Untersu- chungsdurchführung ausgelastet war, wurden alle Untersuchungsstunden auf Videos aufge- zeichnet und auf CD-Roms archiviert. Diese dienten dann zusammen mit den Protokolldatei- en als Grundlage für die spätere Auswertung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Schülerin bearbeitet die Musterergänzungsaufgaben

3.4 Zur Versuchsanleitung

Für die Durchführung der Untersuchung wurde von mir eine Versuchsanleitung zusammengestellt (siehe Anhang A). Sie orient iert sich im wesentlichen an dem von Schnegelberger⁴ ausgearbeiteten Untersuchungsdesign. Die Versuchsanleitung wurde jedoch an die Aufgaben, das Programm und das Alter der Versuchspersonen angepaßt.

Die Anleitung soll zu einer möglichst objektiven Durchfü hrung und zur Standardisierung der Untersuchung beitragen. Dabei sollen zum einen die Unterschiede in der Versuchsdurchfüh- rung zwischen zwei verschiedenen Versuchsleitern minimiert werden und zum anderen soll verhindert werden, daß der jeweilige Versuchsle iter die bereits während der Untersuchung erkennbare kognitive Struktur der Versuchsperson unterstützt oder die Lösungsstrategie in irgendeiner Weise beeinflußt. Deswegen ist das Verhalten des Versuchsleiters weitgehend festgelegt, Fragen und aufgabenspezifische Hilfestellungen sind vorformuliert. Mit dem er- warteten Verhalten der Versuchsperson werden mögliche Antworten und Schwierigkeiten beschrieben. Insbesondere bei der Erlernung des Programms ist darauf zu achten, daß die Vorgabe genau eingehalten wird. Um den Erfolg der Untersuchung nicht zu gefährden, muß der Schüler nach der (den) Einführungsaufgabe(n) genau wissen, was er tun soll und wie er es tun kann. Später auftretende Unklarheiten oder Mißverständnisse beeinflussen die Auswert- barkeit der Aufgaben erheblich. Neben den oben bereits erwähnten aufgabenspezifischen Hil- festellungen gibt es auch „Standard“-Hilfestellungen, die im nächsten Abschnitt genauer be- leuchtet werden.

3.5 Hilfestellungen

Ein Teilziel der Untersuchung ist es, aufgrund der erbrachten Leistung einer Versuchsperson bei den unterschiedlichen Aufgabentypen (objekt- / metasprachlich) bzw. bei einzelnen Auf- gaben Rückschlüsse auf die kognitive Struktur ziehen zu können. Für die Messung der Le is- tung kann nicht nur die benötigte Zeit zu Rate gezogen werden, sondern muß auch die Anzahl und Stärke der gegebenen Hilfen berücksichtigt werden. Um auch im Bereich der Hilfestel- lungen eine Standardisierung zu erreichen, wurde ein Katalog erstellt, der alle möglichen Hil- festellungen enthält und gewichtet.

Die Hilfen sind grob in die fünf folgenden Kategorien eingeteilt:

1. Aufforderung zum Sprechen, zum Überdenken / Weitermachen, Nachfragen, Beantwortung von Nachfragen
2. Aufmerksamkeit lenken auf konkrete Formeln, Hilfen zu Formeln und Formelanwendung
3. Hinweis zur Lösungsfindung / Erklärung durch den Versuchsleiter (VL)
4. Starker Hinweis / Hilfe zur Lösungsfindung
5. Vorgabe der Lösung

Die Stärke der Hilfestellungen ist von 1. bis 5. aufsteigend. Während zum Beispiel die Aufforderung zum Spreche n (Kategorie 1) eher keinen Einfluß auf die Wahl einer bestimmten Lösungsstrategie hat, stellen Hilfen der Kategorie 4 oder 5 einen immensen Einfluß dar. Die ausführliche Kategorisierung der Hilfestellungen ist im Anhang B zu finden. Die einzelnen Kategorien sind noch feiner unterteilt und mit Beispielen erläutert.

Da die Anzahl und Art der dem Schüler gegebenen Hilfen ein Maß für die erbrachte Leistung ist, kommt der Entscheidung des Versuchsleiters, wann eine Hilfe und welche Hilfe gegeben wird, eine wesentliche Bedeutung zu.⁵ Soweit möglich wurde in der Versuchsanleitung be- reits darauf eingegangen und die Hilfen wurden aufgabenspezifisch formuliert, sowie die Si- tuation in der sie eingesetzt werden sollen ist ersichtlich oder konkret angegeben. Im allge- meinen sollten die Hilfen in der Sprache des Schülers gegeben werden.⁶ Dabei ist insbesonde- re Wert darauf zu legen, daß sprachliche Formulierungen, die eine funktionale oder prädikati- ve Handlungsweise nahelegen, nicht vom Versuchsleiter neu eingebracht werden, sondern allenfalls vom Schüler übernommen werden. Der Versuchsleiter muß die Hilfen klar formu- lieren und dem Schüler ausreichend Zeit geben, sie zu verarbeiten, damit dieser auch von ih- nen profitieren kann. Es sollte die jeweils geringst mögliche Hilfe gegeben werden.

3.6 Untersuchungsmaterial

Wesentliche Aufgabe dieser Untersuchung war es, objekt- und metasprachliche Aufgaben zu entwickeln und zu testen. Deswegen werden die Aufgaben im vierten Kapitel eigenständig behandelt und eingehend diskutiert werden. Es wird idealtypisch beschrieben werden, wie Versuchspersonen mit einer Präferenz für eine prädikative oder funktionale kognitive Struktur mit den Aufgaben umgehen und welche Erwartungen an eine Auswertung bestehen. Ein Ü- berblick über die Aufgaben befindet sich im Anhang C.

Für die Untersuchung der kognitiven Struktur der Versuchspersonen wurden zusätzlich Mus- terergänzungsaufgaben eingesetzt, die dem Testheft A bzw. C von Schwank⁷ entnommen sind. Auch die Musterergänzungsaufgaben werden im nächsten Kapitel näher beschrieben werden.

3.7 Das Programm

Im mathematikdidaktischen Fachbereich der Universität Osnabrück wurde ein Computerpro- gramm entwickelt, das es ermöglicht, objekt- und metasprachliche Termumformungsaufgaben auf dem Bildschirm darzustellen und zu bearbeiten. Das Programm wurde in der objektorien- tierten Programmiersprache Java erstellt. Im Laufe erster Tests und Voruntersuchungen, aber

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Abbildung 3: Schüler bearbeitet am Computer eine objektsprachliche Aufgabe

auch während der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Untersuchung, wurden die Anfo r- derungen an das Programm immer deutlicher. Das Programm wurde kontinuierlich verbessert und den praktischen Anforderungen angepaßt. Kleinere Fehler wurden behoben und neu entstandene Ideen verwirklicht. Die Erfahrungen aus der Praxis konnten somit wesentlich zur Weiterentwicklung des Programms beitragen.

3.7.1 Implementierung der Aufgaben

Großer Wert wurde darauf gelegt, daß die Aufgaben einfach zu erstellen und zu verändern sind. Dies ist in der objektorientierten Umgebung Java sehr gut gelungen. Die einzelnen Symbole einer Aufgabe müssen als Grafikdateien im GIF-Format zur Verfügung gestellt werden. Sie können beliebig oft, also für die Konstruktion mehrerer Aufgaben verwendet werden. Die eigentliche Aufgabe wird in einer Textdatei formuliert. Bei Betrachtung nur einer Be i- spieldatei wird es dem Benutzer sofort möglich sein, eine eigene Aufgabe zu erstellen oder eine gegebene Aufgabe zu verändern.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Beispiel für eine Aufgabendatei⁸ mit Erläuterungen

3.7.2 Bildschirmaufbau und Bedienung des Programms

Für die Versuchsperson stellt sich der Bildschirm wie in der folgenden Abbildung dar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Bildschirmaufnahme mit Erläuterungen

In der vorliegenden Untersuchung werden den Schülern die Aufgaben als eine Art Zauberspiel nahegebracht. Die Beschriftung ist dementsprechend gewählt. Dadurch erhält die Untersuchung eine zusätzliche spielerische Komponente. Eventuelle negative Assoziationen in bezug auf den Umgang mit formaler Mathematik können so umgangen werden.⁹

Der Bildschirm ist in drei Bereiche unterteilt. Im oberen Teil wird den Versuchspersonen die Behauptung als ein „Zauberrätsel“ präsentiert. Es wird die Gleichheit von zwei Termen, wel- che aus einer Sequenz von graphischen Symbolen bestehen, behauptet. Im unteren Bild- schirmbereich stehen aufgabenspezifische (numerierte) Umformungsregeln, sogenannte „Zauberformeln“, zur Verfügung. Es handelt sich dabei um einen solchen objekt- oder meta- sprachlichen Kalkül, wie er bereits in Abschnitt 2.4 erläutert wurde. Aufgabe der Versuchs- person ist es nun, die Behauptung zu beweisen, das heißt den linken Term der Gleichung durch Anwendung der Umformungsregeln in den rechten Term zu überführen, oder wie es für die Versuchsperson formuliert wird, die linke Seite des Zauberrätsels mit Hilfe der Zauber- formeln so zu verzaubern, daß am Ende die rechte Seite herauskommt. Hierfür steht den Schülern der mittlere Bildschirmbereich zur Verfügung. Die Startsequenz (der linke Term der Behauptung) ist bereits vorgegeben; hiervon ausgehend kann der Schüler durch Auswahl ei- nes Teilterms und anschließend einer passenden Umformungsregel seine „Zauberschritte“ durchführen. Das Ergebnis der Umformung wird unter Angabe der verwendeten Regel auf dem Bildschirm dargestellt. Somit entsteht eine Gleichungskette, die den Beweis der Behaup- tung darstellt.

Die komplette Bedienung des Programms durch die Versuchsperson erfolgt mit der Maus. Für die Auswahl eines Teilterms können die Symbole durch Anklicken einzeln an- und abgewählt werden. Wird ein Symbol angewählt, so erscheint es anschließend schwarz eingerahmt. Fährt man mit der Maus auf die linke oder rechte Seite einer Umformungsregel, so erhält der jewei- lige Term ebenfalls einen schwarzen Rahmen und Anklicken bewirkt die Anwendung der Regel und anschließende Darstellung des Ergebnisses im mittleren Bereich. Der jeweils letzte Umformungsschritt kann vom Schüler durch Anklicken des davorstehenden Gleichheitsze i- chens rückgängig gemacht werden.

Die Bedienung des Programms durch den Versuchsleiter erfolgt hingegen über die Tastatur. Aufgabenwechsel, Ein- / Ausblendung der Formeln oder andere Eingaben können somit unauffällig geschehen.

3.7.3 Protokollierung

Die computergestützte Versuchsanordnung erleichtert nicht nur die Aufgabenerstellung und -veränderung oder macht die Untersuchung für die Schüler interessanter, sondern sie bietet darüber hinaus die Möglichkeit einer automatischen Protokollierung. Das Programm zeichnet alle während der Untersuchung durchgeführten Aktionen auf. In einer separaten Textdatei werden sowohl Aktionen der Versuchsperson (Formelanwendungen, Symbolauswahl, Kontakt der Maus mit einem Symbol oder einer Formel, Rückgängigmachen eines Zauberschrittes), Aktionen des Versuchsleiters (Aufgabenwechsel, Formeleinblendung, ...) als auch Benachrichtigungen durch das Programm (Aufgabe erfolgreich gelöst, falsche Formelanwendung, ...) in Abhängigkeit von der Zeit notiert. Die Protokolldateien können in ein Datenbankprogramm, zum Beispiel nach MS Access, exportiert werden.

3.8 Einsatz von Datenbanken

Für die Auswertung dieser Untersuchung wurde das Datenbankprogramm MS Access ve r- wendet. Die Protokolldateien wurden in einer Datenbank zusammengefaßt. Es konnten dann ohne großen Aufwand und nach Bedarf diverse Abfragen zur Auswertung der Daten erstellt werden.¹⁰ Die Transkripte wurden mit dem an der Universität Osnabrück in der Fachgruppe Mathematikdidaktik entwickelten Mediaplayer erstellt. Vom Mediaplayer werden die Daten in einer Datenbank im Format dBASE IV gespeichert. Zur Weiterverarbeitung der Transkripte wurde ebenfalls Access verwendet.

Neben den oben erwähnten Datenbanken, bei denen Access als Werkzeug zum Importieren, Exportieren und Filtern von Daten verwendet wurde, wurde die Datenbank „IRT Untersu- chung“ angelegt, um alle wichtigen Daten der Untersuchung zu archivieren. Die Datenbank enthält Informationen über die Versuchspersonen, die Untersuchungen, die Speicherplätze der Daten, die gegebenen Hilfestellungen und die Einschätzung der Schwierigkeit der Aufgaben durch die Schüler. In der Tabelle „Dateiinhalt“ findet man eine Art Inhaltsangabe aller Unter- suchungen: Alle bearbeiteten Aufgaben werden dort mit Zeitangaben (Beginn, Ende, Dauer) und anderen wichtigen Informationen (Transkript vorhanden? etc.) aufgeführt. Das Datenfeld „Kommentar“, in dem die Szenen kurz kommentiert oder interessante Schüleräußerungen zitiert werden, ist nur sporadisch ausgefüllt. Die Tabellen der Datenbank stehen in Beziehung zueinander, so daß man zum Beispiel die Informationen zu allen Bearbeitungen einer Aufgabe durch funktionale Versuchspersonen abfragen kann. Man erhält so schnell Auskunft darüber, wo die gewünschten Szenen zu finden sind und muß nicht viele CD-Roms oder gar Video- bänder durchsuchen.

4. Aufgaben

Im folgenden sollen die für die Untersuchung verwendeten Aufgaben näher vorgestellt wer- den. Wegen des explorativen Charakters dieser Studie wird diesem Bereich ein eigenes Kapi- tel gewidmet. So versteht sich auch der letzte Abschnitt dieses Kapitels, „Zur Konstruktion von objekt- und metasprachlichen Aufgaben“, als Erfahrungsbericht der durchgeführten Un- tersuchung. Erkenntnisse, die bei der Entwicklung und dem ersten Testeinsatz von Aufgaben gewonnen wurden, sollen dokumentiert werden. Zuerst aber werden die aus anderen Untersu- chungen bekannten Musterergänzungsaufgaben vorgestellt. Dabei wird vorgemacht, wie ein prädikativer bzw. funktionaler Denker typischerweise an solche Aufgaben herangeht. Im Anschluß werden dann beispielhaft objektsprachliche und metasprachliche Aufgaben vorge- stellt und ihre Wirkung auf einen prädikativen bzw. funktionalen Denker diskutiert. Es soll erläutert werden, welche Erwartungen auch hinsichtlich einer Auswertung vorhanden sind.

4.1 Musterergänzungsaufgaben

Ursprünglich handelt es sich bei den Musterergänzungsaufgaben (Abbildung 6) um Aufgaben aus einem Intelligenztest, dem APM-Test (Advanced

Progressive Matrices) von Raven¹. Es wird ein Matrix- Muster vorgegeben, bei dem das letzte Element fehlt und von der Testperson eingesetzt werden soll. Dabei stehen verschiedene Lösungsmöglichkeiten zur Auswahl. Schwank hat die Verwendung dann dahingehend verän- dert, daß keine Lösungen mehr zur Auswahl gestellt werden, sondern allein aus den Vorgaben der Matrix das fehlende Element zu konstruieren ist. Dies erfordert laut Schwank² eine härtere Variante des Denkens, da es nicht

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Abbildung 6: Beispiel einer Musterer-gänzungsaufgabe, QuaDiPF C-14

mehr ausreicht, wahrnehmungsorientiert und mit Hilfe von Ausgrenzung zu entsche iden, welche Lösung paßt und eventuell die am wenigsten Stö- rende zu wählen. Statt eines solchen Entscheidungsverfahrens bedarf es hier vielmehr einer Erzeugungsprozedur. Die Lösung muß aus der vorgegebenen Matrix heraus konstruiert wer- den. Im folgenden möchte ich anhand der obigen Beispielaufgabe³ vorführen, wie man auf prädikative bzw. funktionale Art und Weise die Aufgabe angehen kann und zu einer passenden bzw. funktionierenden Lösung kommt.⁴

Prädikativer Lösungsweg:

Die Aufgabe wird statisch als Muster gesehen. Die Eigenschaften der Objekte werden analy- siert; dabei wird nach Gleichheiten und Unterschieden gesucht. Als erstes wird auffallen, daß eine Art dreizackiger Stern die Grundfigur darstellt. Bei einer zeilenweise Betrachtung fällt dann auf, daß der Punkt immer an der gleichen Stelle ist. Auch spaltenweise ist eine solche Ortsgleichheit zu finden. Hier bleibt der Kreis immer an der gleichen Stelle. Damit ist die Lösungsfigur vollständig bestimmt. Sie paßt in die Matrix aufgrund ihrer Merkmale.

Funktionaler Lösungsweg:

Bei einer funktionalen Sichtung des Problems wird vorrangig nach dynamischen Erzeugungs- prozeduren gesucht. Betrachtet man die erste bzw. zweite Zeile der Matrix, so fällt auf, daß sich der Kreis um den Stern herum bewegt. Dieser Wanderungsprozeß läßt sich auch spalten- weise für den Punkt feststellen. Der Prozeß, der aus den vollständigen Zeilen und Spalten gewonnen wurde, kann jetzt auch in der letzten Zeile bzw. Spalte angewendet und das fehlen- de Element produziert werden . „ Die Einzelelemente der Matrix werden als Kurzfilm gelesen, mental hintereinanderweg organisiert wie als Ausschnitt aus einem Daumenkino. “ ⁵ Die Grundlage, der dreizackige Stern, bleibt unverändert. Damit ist die Lösungsfigur vollständig erzeugt; sie ergibt sich aus der Anwendung der gesichteten Prozesse und man könnte sagen, daß sie funktioniert.

Es geht hier nicht mehr nur um richtig oder falsch. Schwank führt dazu aus:

„Es kommt uns weniger darauf an, welche Lösung produziert wird, sondern wi e sie zusammengebastelt wird. Die entscheidende Frage ist: Was wird in der Aufgabe gesehen und wie wird genau das zur Lösungsprodukti- on verwendet?“⁶

Um Zugriff auf das „was“ und „wie“ zu haben, werden die Schüler aufgefordert, zu erklären, warum ihre Lösung ihrer Meinung nach gut in das Gesamtbild passe. Insofern ist der von Schwank weiterentwickelte Test kein Intelligenztest mehr, bei dem die Anzahl der richtigen Lösungen als Maß für die Leistung gilt, sondern ein „Qua litatives Diagnoseinstrument für Prädikatives versus Funktionales Denken (QuaDiPF)“.⁷ Es wurden über die Jahre hinweg eine Vielzahl von Aufgaben entwickelt, und zwar insbesondere solche, die einem funktiona- len Denktyp gerecht werden.

Beschäftigt man sich intensiv mit Musterergänzungsaufgaben, das heißt löst man viele Aufgaben oder versucht sogar, selber welche zu konstruieren, so fällt einem auf, daß es typisch funktionale oder prädikative Aufgaben gibt. Neben der oben vorgestellten Aufgabe, die auf beide Arten sinnvoll und gut zu lösen ist, möchte ich jetzt zwei Aufgaben vorstellen, die in naheliegender Weise nur auf eine Art zu lösen sind.⁸

Prädikativ konstruierte Musterergä nzungsaufgabe:

Wie für eine prädikative Aufgabe typisch, läßt sich die rechtsstehende Aufgabe gut lösen durch Analysieren der charakterisierenden Eigenschaften der einzelnen Figu- ren. Hier wäre es sinnvoll, zwischen Wand-, Deckel- und Bodenart zu unterscheiden. Anhand der ersten bei- den Zeilen bzw. Spalten kann man festmachen, wie oft jede Eigenschaft vorkommen muß, und die Lösungsfi- gur im letzten Feld ergibt sich dann als Kombination der fehlenden Eigenschaften. Es handelt sich hierbei um eine Art Abzählen von Eigenscha ften.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: QuaDiPF C-27

Eine andere Lösungsmöglichkeit ist das Bilden von Mengen (Menge der Quadrate, Häuser und Trapeze). Die Mengen enthalten dabei nur gleiche Objekte oder unterscheiden sich in einer oder mehreren Eigenschaften in gleicher Weise (hier: Jede Menge enthält ein Element mit vorhandenem, teilweise vorhandenem und nicht vorhandenem Boden). Die Lösungsfigur ergibt sich daraus, daß von einer Menge noch ein Element mit einer bestimmten Eigenschaft fehlt. Ein gut funktionierender funktionaler Lösungsweg ist bei dieser Aufgabe nicht bekannt.

Einen funktionalen Denker erkennt man bei einer prädikativen Aufgabe daran, daß er wesentlich länger als ein vergleichbar intelligenter prädikativer Denker zur Lösung braucht und zwar insbesondere dann, wenn viele Figureigenscha ften zu berücksichtigen sind. Eventuell erkennt er in dem Muster Prozesse (wie zum Beispiel das Öffnen des Quadrates), die zu keiner befriedigenden logischen Erklärung fü hren.

Funktional konstruierte Musterergä nzungsaufgabe:

Bei einer funktionalen Lösung wird das Augenmerk auf Prozeßabläufe gerichtet. In diesem Zusammenhang stellen die Symbole der mittleren Zeile bzw. Spalte die Werkzeuge für die Arbeitsabläufe dar. Man kann sie als Operatoren verstehen, die etwas Bestimmtes bewirken, wenn man sie auf ein Symbol anwendet, so zum Be i- spiel in der ersten Zeile die Vergrößerung des Objektes und in der zweiten die Drehung des Objektes. In der dritten Zeile bzw. Spalte führt die Anwendung eines kombinierten Operators zur Lösungsfigur. Es ist kein

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Abbildung 8: QuaDiPF C-17

prädikativer Ansatz bekannt, der zu einer vollständigen Lösung führt. Einen prädikativen Denkansatz erkennt man bei einer solchen funktionalen „Operator“-Aufgabe zumeist daran, daß den Operatoren keine Bedeutung zugemessen wird. Sie werden für die Lösungsfindung zumeist ganz außer acht gelassen. Nur die Eckobjekte werden auf ihre Eigenschaften hin untersucht und eine fehlende Kombination ermittelt.

Es muß jedoch für eine typisch funktionale Aufgabe nicht unbedingt ein Operator in der Mittelzeile bzw. -spalte vorhanden sein. Es ist auch möglich, den Prozeß zeilen- bzw. spaltenweise durch je drei Momentaufnahmen darzustellen.

4.2 Objektsprachliche Aufgaben

Den objektsprachlichen Aufgaben liegt ein objektsprachliche r Kalkül zugrunde, wie er in Ab- schnitt 2.4 bereits erläutert wurde. Es handelt sich dabei um ein Thue-System, das in Gle i- chungsnotation angegeben wird . „ Die theoretische Repr ä sentation als System geeigneter Kal- külregeln “ soll laut Cohors-Fresenborg & Schwank deutlich machen , „ da ß auf das konkrete Operieren mit manipulierbaren Zeichenketten abgehoben wird “.⁹ Um den formalen Aspekt zu betonen und möglichst weit weg von „abstrakt“ zu bleiben, wurden für das Alphabet des Kalküls einfache Graphiksymbole ausgewählt.¹⁰ Die Symbole unterscheiden sich zumeist in Form (dreieckig, quadratisch, ...), Farbe (rot, grün, ...), Größe (groß, klein) und Füllung (leer, voll). Bei wenigen Aufgaben wurden auch nicht- geometrische Figuren wie zum Beispiel Kleckse verwendet. Diese lockerten das Gesamtbild auf und wurden von den Versuchsperso- nen zumeist phantasievoll interpretiert. Durch die Verwendung von Graphiksymbolen anstelle von Variablen, Zahlen und Rechenzeichen sehen die Schüler in der Regel keinen Bezug zur Gleichungslehre oder zu Termumformungen und können so kein konkretes Vorwissen ein- bringen. Ebenso, und das könnte unter Umständen noch wichtiger sein, werden dadurch keine mit Schulalgebra in Zusammenhang stehenden negativen Assoziationen aufgerufen.

Bei der bisherigen Be sprechung objektsprachlicher Aufgaben ging es darum, wie sie aussehen oder was sie (mathematisch gesehen) sind. Jetzt soll analysiert werden, wie sie wirken, wenn man unterschiedliche kognitive Strukturen zugrunde legt. Wie stellt sich der Prozeß der Kalkülregelanwendung für einen prädikativen versus funktionalen Denker dar?

Cohors-Fresenborg & Schwank führen dazu aus:

„Die entscheidende Frage bei der Suche nach einer geeigneten Kalkülregel besteht darin, was man von dem in den Zeichen Sehbaren bei seiner Orientierung benutzt. Wir hatten vermutet, daß beim Umgang mit symbolorientierten Kalkülregeln generell Menschen mit einer Präferenz für prädikative kognitive Strukturen im Vorteil sind: Es handelt sich anscheinend um den Fall, daß bei einer Regelanwendung ein vorgegebenes Symbolmuster mit spezifischer Struktur erkannt werden muß, für dieses ist eine strukturverändernde Regel zu suchen und dann syntaktisch korrekt anzuwenden.“¹¹

Es kommt also wesentlich darauf an, die kennzeichnenden Eigenschaften von Symbolen (Form, Farbe, ...) zu erfassen. Es handelt sich dabei um einstellige Prädikate. Die Unterschie- de in den Prädikaten werden auch in den Regeln festgestellt. Eine Regelanwendung bewirkt die Veränderung von Eigenschaften.

Es gibt aber auch eine andere Sicht weise der Dinge. Es ist möglich, zu einer Lösung zu gelangen, ohne sich über die unterschiedlichen Eigenschaften der Symbole im klaren zu sein. Cohors-Fresenborg & Schwank führen dazu weiter aus:

„Man sehe die Aufgabe weniger darin, die Symbole in ihren Prädikaten zu verändern, sondern eine Organisationsaufgabe des Verschiebens, Besorgens und Abänderns von Symbolen. Dazu denke man an Prozesse wie Vergrößern, Farbe Aufhellen, Spiegeln. Für den beabsichtigten Transport der Symbole muß man eine geeignete Regel nicht dadurch suchen, daß man an einem gewählten Teilterm alle Prädikate bewußt erfaßt und dann eine passende Regel sucht, sondern man kann die vorhandenen Regeln als Schablonen auffassen, die über das zu bearbeitende Wort z. B. von links nach rechts herübergezogen werden so lange, bis ein Teilmuster auf eine Prämisse einer in Frage stehenden Kalkülregel paßt.“¹²

Ob eine Regel anwendbar ist, kann durch ein Abgleichen von Symbolen festgestellt werden, also ohne ein Feststellen von Prädikaten.

Im folgenden werde ich vier verschiedene Typen von objektsprachlichen Aufgaben vorstellen, indem ich idealtypisch erläutere wie prädikative bzw. funktionale Denker mit ihnen umgehen und die Erwartungen benenne, die hinsichtlich einer Auswertung an sie gestellt werden.

4.2.1 Aufgabe mit prädikativem und funktionalem Lösungsweg

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 9: Objektsprachliche Aufgabe (Nr. 1) mit prädikativem und funktionalem Lösungsweg

Als Versuchsperson wird man bestrebt sein, sich von der Aufgabe eine me ntale Repräsentation zu machen, die zu der bevorzugten kognitiven Struktur paßt. Diese Aufgabe bietet sowohl prädikativen als auch funktionalen Denkern die Möglichkeit, dies zu tun.¹³

Eine Versuchsperson mit einer prädikativen kognitiven Struktur sieht hier die Aufgabe, die zwei Objekte des Ausgangsmusters so in ihren Eigenschaften zu verändern, daß das vorgegebene Zielmuster erreicht wird. Dafür müssen das erste und das zweite Objekt jeweils in Form und Farbe verändert werden. Es bieten sich die Regeln 2, 5, 6 und 7 an. Mit ihnen kann man jeweils eine Eigenschaft eines einzelnen Objektes ändern. Die Versuchsperson macht sich von der Aufgabe eine prä- dikative mentale Repräsentation. Eine entsprechende Bearbeitung der Aufgabe ist nebenstehend abgebildet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 10: Prädikativer Lösungsweg (zu Nr. 1)

Eine Versuchsperson mit einer funktionalen kognitiven Struktur sieht das Problem als Orga- nisations- und Bewegungsaufgabe. Entsprechend sucht sie bei dieser Aufgabe nach Regeln, die es ihr ermöglichen, die Reihenfolge der Objekte zu organisieren, also ein Verschieben oder Spiegeln erlauben. Dabei fällt die Regel 1 ins Auge, bei der Dreieck und Quadrat um einen grünen Punkt herum getauscht werden können. Dieses Hilfsobjekt „grüner Punkt“ kann man sich mit Regel 3 besorgen und mit Regel 4 auch wieder entfernen. Ähnlich den Operatoren bei Musterergänzungsaufgaben markiert der grüne Punkt einen Prozeß. Die Versuchsperson macht sich von der Aufgabe eine funktionale mentale Repräsentation. Über den Umweg des Hilfsobjektes regelt sie die Reihe nfolge der Objekte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 11: Funktionaler Lösungsweg (zu Nr. 1)

Diese Aufgabe ist gerade so konstruiert, daß sie sowohl prädikativen als auch funktionalen Denkern entge genkommt. Es werden sowohl statische Regeln (2, 5, 6, 7) angeboten, die ein sukzessives Ändern der Eigenschaften ermöglichen, als auch dynamische Regeln (1, 3, 4), die ein Vertauschen und Hinzufügen / Entfernen von Objekten erlauben. Beide Lösungswege sind in etwa gleich schwierig, da die Anzahl der zu überblickenden Formeln und die Länge des Lösungsweges vergleichbar sind. Für eine Auswertung dieser Aufgabe würde man daher fo l- gendes erwarten: Funktionale und prädikative Denktypen unterscheiden sich nicht in der Be- arbeitungszeit dieser Aufgabe, sondern in der Art der benutzten Formeln. Des weiteren unter- scheiden sie sich in ihren Äußerungen darüber, was bei der Aufgabe zu tun ist: Eine funktio- nale Vesuchsperson äußert sich eher über Prozesse und Wirkungsweisen; ein prädikativer Denktyp beschreibt bevorzugt die Eigenschaften der Objekte und wie sie zu verändern sind.

4.2.2 Aufgabe mit Vorteilen für einen Denktyp

Wie kann man nun erreichen, daß sich funktionale und prädikative Versuchspersonen auch in der Bearbeitungszeit einer Aufgabe unterscheiden? Eine Möglichkeit wäre, die angebotenen Lösungswege unterschiedlich schwer zu gestalten. Ein deutlicherer Unterschied in der Bear- beitungszeit ist jedoch zu erwarten, wenn man in der Konstruktion der Aufgabe und der Kal- külregeln nur einem Denktyp entgegenkommt und den Resonanzeffekt (siehe Abschnitt 2.3) ausnutzt. Angenommen, man möchte einen funktionalen Denker bei der Lösung einer Aufga- be behindern, dann gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten: Entweder der Kalkül enthält kei- nerlei Regeln, die in naheliegender Weise funktional zu deuten sind, oder er enthält nur solche funktionalen Regeln, die für die Lösungsfindung nicht hilfreich sind. Im ersten Fall zwingt man die Versuchsperson dazu, in einer ihr ungewohnten Denkweise vorzugehen oder die Re- geln mit großem Aufwand in eine funktionale mentale Repräsentation umzudeuten. Im zwei- ten Fall führt man sie bewußt in die Irre, das heißt leitet sie in eine „Sackgasse“, aus der he- rauszukommen es viel Zeit kostet. Eine solche Aufgabe soll an dieser Stelle vorgestellt wer- den.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 12: Objektsprachliche Aufgabe (Nr. 12) mit prädikativem Lösungsweg

Eine funktionale Versuc hsperson sieht bei der Betrachtung der Aufgabe den Lösungsansatz darin, die Objekte zu verschieben. Dafür scheinen, ähnlich wie bei der vorher beschriebenen Aufgabe, die Regeln 1, 4 und 5 geeignet zu sein. Nach Einfügen des Hilfsobjektes „gelber Punkt“ kann die ganze Sequenz umgedreht werden. Anschließend muß nur noch das Hilfsobjekt wieder entfernt werden. Die Sache hat nur einen kleinen Haken: Bei genauem Hinsehen erkennt man, daß mit Formel 5 die Sequenz nicht nur umgedreht, sondern auch leicht verändert wird. Insbeson- dere erhält man an erster Stelle ein 3 rotes Quadrat, das im Zielterm dort nicht verlangt wird. Es gibt keine Möglichkeit, mit der man es verändern oder von dort wieder wegbringen 3 könnte. Man befindet sich in einer Sackgasse.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 13: Lösungsweg (zu Aufgabe Nr. 12)

[...]

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¹ Schwank (1986, 1990a, 1993, 1996)

² Schwank (1990a), S. 33

³ Schwank (1990a), S. 45

⁴ Cohors-Fresenborg & Kaune (1984)

⁵ Schwank (1993), S. 16

⁶ Schwank (1990b), S. 14

⁷ Schwank (1986), S. 199

⁸ Schwank (1990a), S. 33

⁹ Cohors-Fresenborg (1983), S. 64

¹⁰ Cohors-Fresenborg (1983), S. 65

¹¹ Schwank (1990a), S. 32

¹² Schwank (1993), S. 15

¹³ Schwank (1996), S. 7

¹⁴ Schwank (1996), S. 7

¹⁵ Schwank (1990a), S. 32

¹⁶ Schwank (1990a), S. 32

¹⁷ Schwank (1996), S. 7

¹⁸ Schwank (1990a), S. 34

¹⁹ Schwank (1990a), S. 36

²⁰ Schwank (1996), S. 6

²¹ Schwank (1996), S. 6

²² Schwank (1990a), S. 34

²³ Schwank (1990a), S. 35

²⁴ Zitiert nach Schwank (1990a): Frau Jenny Treibel. In Th. Fontane (1959), Sämtliche Werke, Band VII, S. 8/9. München: Nymphenburger Verlagsbuchhandlung.

²⁵ Zitiert nach Schwank (1990a): Wilhelm Meisters Lehrjahre. In J.W.v. Goethe (1981¹⁰ ), Goethes Werke Band VII (Hamburger Ausgabe, S. 401-402) München: C.H. Beck’sche Verlagsbuchhandlung.

²⁶ Schwank (1990a), S. 35

²⁷ Schwank (1990a), S. 34 - 36

²⁸ Schwank (1990a), S. 34

²⁹ Cohors-Fresenborg & Schwank (1995), S. 151

³⁰ In diesem Zusammenhang meint Schwank nur solche Probleme, bei denen „die Lösung nicht (einfach) durch Anwendung eines erworbenen Schemas hergestellt werden kann.“, Schwank (1996), S. 6

³¹ Schwank (1996), S. 6

³² Schwank (1996), S. 6

³³ Schwank (1990a), S. 33

³⁴ Schwank (1994), S. 32 - 33

³⁵ Schwank (1996), S. 6

³⁶ Kaune (1985)

³⁷ Kaune (1985), S. 70 - 79

³⁸ Marpaung (1986)

³⁹ Marpaung (1986), S. 54

⁴⁰ Schwank (1990a), S. 45 - 46 und (1990b), S. 27 - 29

⁴¹ Schwank (1990b), S. 28

⁴² Cohors-Fresenborg (1979), S. 50

⁴³ Malle (1993), S. 160 - 214

⁴⁴ Vollrath (1995), S. 76 - 84

⁴⁵ Cohors-Fresenborg & Schwank (1993), S. 2

⁴⁶ Cohors-Fresenborg (1977), S. 78 - 79

⁴⁷ Cohors-Fresenborg & Schwank (1993), S. 2

⁴⁸ Bei einem Thue-System können die Regeln in beide Richtungen gelesen werden. Die Notation Regel 1‘ be- deutet im folgenden, daß die Regel 1von unten nach oben angewandt wurde.

⁴⁹ Vgl. Cohors-Fresenborg & Schwank (1993), S. 4

¹ Für die Untersuchung wurden „Codenamen“ in alphabetischer Reihenfolge (A bis L) ausgedacht.

² Die zusätzlichen Untersuchungen wurden von einer Mitarbeiterin der FG Mathematikdidaktik durchgeführt.

³ Fünf der 24 Untersuchungsstunden wurden nicht von mir, sondern einer Mitarbeiterin der FG Mathematikdi- daktik durchgeführt.

⁴ Schnegelberger (1994)

⁵ Da der Versuchsleiter während der Untersuchung ausgelastet ist, werden die der Versuchsperson gegebenen Hilfestellungen später anhand der Videoaufzeichnungen erfaßt und in eine der fünf Kategorien eingeteilt, ob- wohl das Programm eine simultane Eingabe der Hilfen unterstützt. In der vorliegenden Untersuchung wurde die Erfassung der gegebenen Hilfestellungen von einer Mitarbeiterin der FG Mathematikdidaktik durchge- führt.

⁶ Beispiel: - Benennt ein Schüler ein quadratisches Objekt mit „Kasten“, sollte man den Ausdruck übernehmen und nicht den mathematisch akkuraten Begriff „Quadrat“ einführen.

⁷ Schwank (1998)

⁸ Es handelt sich um den Aufgabentext zu der in der nächsten Abbildung dargestellten Aufgabe.

⁹ Cohors-Fresenborg & Schwank (1993), S. 1

¹⁰ Es ist sicher möglich die komplette Auswertung zu automatisieren; dafür bedarf es aber eines gekonnten Um- gangs mit Access, Excel und Visual Basic.

¹ Raven (1965)

² Schwank (1996), S. 17

³ Alle in dieser Arbeit erwähnten Musterergänzungsaufgaben sind dem Testheft A bzw. C von Schwank (1998) entnommen.

⁴ Vgl. Schwank (1996), S. 16 - 17

⁵ Schwank (1996), S. 17

⁶ Schwank (1996), S. 16

⁷ Schwank (1998)

⁸ Vgl. Schwank (e-book)

⁹ Cohors-Fresenborg & Schwank (1993), S. 3

¹⁰ Cohors-Fresenborg (1999)

¹¹ Cohors-Fresenborg & Schwank (1993), S. 6 - 7

¹² Cohors-Fresenborg & Schwank (1993), S. 7

¹³ Für die folgende Beschreibung einer prädikativen bzw. funktionalen Vorgehensweise vergleiche Cohors- Fresenborg & Schwank (1993), S. 8 - 9