Ziel dieser Arbeit ist es, durch Analyse von stochastischen Paradoxien auf Denkfehler aufmerksam zu machen, deren Ursache zu finden und diese zu beseitigen.
Die Beschäftigung mit Paradoxien ist unterhaltsam und fordert das logische Denken heraus. Es geht jedoch nicht lediglich um ein intellektuelles Spiel, sondern um die Auseinandersetzung mit fundamentalen Problemen, da Paradoxien "auf Defekte in unseren Begriffsbildungen, Theorien oder Normen(-systemen)" hinweisen. Bei der Auseinandersetzung mit Paradoxien geht es also keineswegs nur um das bloße Aufzeigen von Irrtümern, sondern um zentrale Probleme in Theorien.
Gerade in der Mathematik, die als die "Königin der Wissenschaften" gilt, ist das Auftreten von Paradoxien - und damit von scheinbaren Widersprüchen - irritierend. Da sich jedoch Mathematiker bekanntlich mit Widersprüchen niemals abfinden, sondern hierin einen Anreiz sehen, das System gründlich zu überdenken und nach Verbesserungen zu suchen, ist diese Irritation sehr fruchtbar und hat zu weitreichenden Fortschritten in der Mathematik geführt: "Ohne Paradoxie wird ein Fehler vielleicht nie entdeckt. Und deshalb auch nicht beseitigt".
Die Tatsache, dass scheinbar selbstverständliche Wahrheiten außer Kraft gesetzt werden, zwingt nämlich dazu, die Definition von Begriffen und die Angemessenheit und logische Kohärenz von Theorien genau zu überprüfen und sie nach Feststellung eventueller Denkfehler zu ändern. Der Physiker John Archibald Wheeler meint sogar, ohne Paradoxien gebe es überhaupt keinen wissenschaftlichen Fortschritt.
Unter diesem Aspekt kann man die Geschichte der Mathematik auch als eine Geschichte der Paradoxa betrachten: "Die größten Entdeckungen sind meist jene, die die größten Paradoxa lösen (denken wir nur an Darwin oder an Einstein), und zugleich sind sie oft Quellen neuer Paradoxa". Insofern sind Paradoxien zwar manchmal lästig, aber dennoch zu begrüßen, da sie die Erkenntnis voranbringen und zur Auseinandersetzung mit bislang unerschlossenen Gebieten der Mathematik führen.
Im Rahmen dieser Arbeit kann nur ein Ausschnitt aus der nicht unerheblichen Zahl der Paradoxien behandelt werden. Dabei beziehe ich mich im Wesentlichen auf drei Paradoxien, die im Werk von Gábor Székely aufgeführt werden.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- 1 Paradoxien
- 1.1 Paradoxien - Ursachen und Lösungsstrategien
- 1.2 Paradoxien in der Stochastik.
- 2 Münzparadoxa
- 2.1 Das Paradoxon der Münzmuster
- Formulierung des Paradoxons
- Mathematische Grundlagen
- Mathematische Erklärung des Paradoxons
- Auflösung des Paradoxons
- Erwartungswerte bei n-gliedrigen Mustern
- Bemerkungen
- 2.2 Die Anwendung des Conway-Algorithmus' am Beispiel eines unfairen Spiels
- Das Paradoxon des scheinbar fairen Spiels
- Der Conway-Algorithmus.
- Ist das Spiel fair? - Auflösung des Paradoxons
- 2.1 Das Paradoxon der Münzmuster
- 3 Das Paradoxon des Auswählens - Das Sekretärinnenproblem
- 3.1 Formulierung des Problems.
- 3.2 Mathematische Grundlagen
- 3.3 Mathematische Lösung des Problems
- 3.4 Ausblick
- Fazit und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit befasst sich mit Paradoxien in der Stochastik. Sie zielt darauf ab, durch die Analyse von stochastischen Paradoxien auf Denkfehler aufmerksam zu machen, deren Ursachen zu finden und diese zu beseitigen. Die Arbeit soll zeigen, dass die Beschäftigung mit Paradoxien nicht nur unterhaltsam ist und das logische Denken herausfordert, sondern auch zu einer tieferen Auseinandersetzung mit fundamentalen Problemen führt.
- Definition und Abgrenzung des Paradoxie-Begriffs
- Ursachen und Lösungsstrategien für Paradoxien
- Paradoxien in der Stochastik und deren Relevanz für den wissenschaftlichen Fortschritt
- Mathematische Analyse und Auflösung von Münzparadoxien
- Das Paradoxon des Auswählens (Sekretärinnenproblem) und dessen mathematische Lösung
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einleitung führt in die Thematik der Paradoxien ein und beleuchtet deren Bedeutung für die Mathematik. Sie stellt die Ziele der Arbeit vor und gibt einen Überblick über die behandelten Themen.
Kapitel 1 definiert den Begriff Paradoxie und grenzt ihn von anderen Formen der Widersprüchlichkeit ab. Es werden Ursachen für das Auftreten von Paradoxien sowie Strategien zu deren Auflösung vorgestellt. Außerdem wird auf die Ursachen für das gehäufte Auftreten von Paradoxien in der Stochastik und deren Relevanz für den wissenschaftlichen Fortschritt eingegangen.
Kapitel 2 befasst sich mit zwei Münzparadoxien. Das erste Paradoxon behandelt das Auftreten von Münzwurfmustern unterschiedlicher Länge in Serien von Münzwürfen. Das zweite Paradoxon stellt ein scheinbar faires Spiel zweier Spieler um das erstmalige Auftreten eines selbstgewählten Musters in einer Münzwurfserie dar.
Kapitel 3 widmet sich dem Paradoxon des Auswählens, auch bekannt als das Sekretärinnenproblem. Hierbei geht es darum, aus einer Vielzahl von Bewerberinnen, die nacheinander beurteilt und sofort entweder gewählt oder abgelehnt werden müssen, mit hoher Wahrscheinlichkeit die Beste auszuwählen.
Schlüsselwörter
Die Arbeit behandelt zentrale Themen der Stochastik, insbesondere Paradoxien in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei werden wichtige Konzepte wie bedingte Erwartungswerte, der Satz vom totalen Erwartungswert und die Martingaltheorie behandelt. Die behandelten Paradoxien umfassen das Münzparadoxon, das Conway-Algorithmus, das Sekretärinnenproblem und andere. Die Arbeit zielt darauf ab, die mathematischen Grundlagen dieser Paradoxien zu beleuchten und ihre Ursachen und Auflösung zu erklären.
- Quote paper
- János Petró (Author), 2013, Paradoxien in der Stochastik. Ursachen und Lösungsstrategien, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/499049