"Wer gut essen will, kauft Aktien; wer gut schlafen will, kauft Anleihen.“
Andre Kostolany (1906-1999)
Der ungarisch-amerikanische Finanz- und Börsenexperte Andre Kostolany drückt mit dieser Aussage die unterschiedliche Risikobereitschaft der einzelnen Anleger aus. Aktien erzielen grundsätzlich eine höhere Rendite als Anleihen, stellen jedoch aufgrund ihrer gleichzeitig höheren Volatilität auch die risikoreichere Anlagemöglichkeit dar. Um ein Portfolio, mit gutem Risiko-Rendite-Profil zu erhalten, sollten die verschiedenen Anlageformen gemischt werden. Hierfür ist ein umfangreicher Entscheidungsprozess notwendig, der für institutionelle Investoren in gleichem Maße wie auch in der privaten Anlageberatung eine zentrale Rolle spielt. Grundlage für jede Entscheidung ist eine genaue Analyse des Anlegerprofils bezüglich seiner Risikobereitschaft, seiner persönlichen Anlageziele und des Zeithorizontes, in welchem das Vermögen profitabel angelegt werden soll. In der strategischen Asset Allocation geht es um die Struktur des Portfolios und die Verteilung des anzulegenden Kapitals auf die verschiedenen Assetklassen innerhalb des zur Verfügung stehenden Anlageuniversums. Als Anlageuniversum wird das gesamte Spektrum der Investitionsmöglichkeiten bezeichnet, die grundsätzlich in das zu verwaltende Portfolio aufgenommen werden können. Die einzelnen Assetklassen beinhalten beispielsweise verschiedene Anlagekategorien (z.B. Aktien, Renten), verschiedene Märkte (z.B. Deutschland, USA) oder auch Anlagewährungen (z.B. EUR,YEN).
Die vorliegende Diplomarbeit hat zum Ziel, ein Tool zu entwickeln, dass Fondsmanager bei der strategischen Asset Allocation für die von ihm zu gestaltenden Fonds unterstützt. Basierend auf einem quadratischen Optimierungsprozess soll das Tool dem Fondsmanager ermöglichen, verschiedene Strategien zu testen und ein für den Anleger optimales Portfolio zu finden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Statistische Grundlagen
2.1 Zufallsvariablen
2.2 Erwartungswert
2.3 Varianz
2.4 Korrelation
3 Finanzwirtschaftliche Grundlagen
3.1 Problemstellung
3.2 Portfoliotheorie nach Harry M. Markowitz
3.3 CAPM
3.4 Sharpe Ratio
4 Optimierung
4.1 Optimierungsproblem
4.2 Lösungsansatz
4.3 Optimierungsverfahren
4.4 Active-Set-Methode
4.4.1 Idee des Verfahrens
4.4.2 Beschreibung des Algorithmus
4.4.3 Algorithmus
4.5 Umsetzung in MATLAB
5 Die Intranetanwendung STRAAL
5.1 Anwendungsbereich bei einem Finanzdienstleister
5.2 Funktionalitäten
5.2.1 Auswahl der Indizes
5.2.2 Kennziffern - historische Werte
5.2.3 Portfolio-Optimierung
5.3 Implementierung
5.3.1 Softwareumgebung
5.3.2 Datenbank
5.3.3 Umsetzung in PHP
6 Zusammenfassung
Abbildungsverzeichnis
2.1 Kursentwicklung des DAX 1990 - 2005 (Quelle: Bloomberg)
2.2 Kursentwicklung des REXP 1990 - 2005 (Quelle: Bloomberg)
3.1 Effizienzkurve (Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an: Stei- ner/Bruhns, Wertpapiermanagement, 2000, S.9)
3.2 Kapitalmarktlinie und Effizienzkurve (Quelle:Eigene Darstellung in Anlehnung an: Vgl. Steiner/Bruhns, Wertpapiermanagement, 2000 S.22)
3.3 Veranschaulichung der Sharpe Ratio (Quelle: Eigene Darstellung, in Anlehnung an: Fischer, Performanceanalyse in der Praxis, S.272) . . .
4.1 affine Veränderung (Quelle:Kecman/Vogt, Active-Set Method for Sup- port Vector Machines, 2003, S.3)
5.1 STRAAL - Auswahl der Indizes
5.2 STRAAL - Portfolio Optimierung
5.3 Datenbankschema mit Beziehungen der Schlüssel F K −→ P K (Quel- le: Eigene Darstellung)
5.4 Stammdaten der Indizes in PM
5.5 tägliche Indexkurse in PM
5.6 Basis-Tabellen in RIO
5.7 Matching-Tabellen in RIO
5.8 Aktivitätsdiagramm der Benutzeroberfläche von STRAAL
1 Einleitung
”Wergutessenwill,kauftAktien;wergutschlafenwill,kauftAnleihen.“ Andre Kostolany (1906-1999)
Der ungarisch-amerikanische Finanz- und Börsenexperte Andre Kostolany drückt mit dieser Aussage die unterschiedliche Risikobereitschaft der einzelnen Anleger aus. Aktien erzielen grundsätzlich eine höhere Rendite als Anleihen, stellen jedoch auf- grund ihrer gleichzeitig höheren Volatilität auch die risikoreichere Anlagemöglich- keit dar. Um ein Portfolio, mit gutem Risiko-Rendite-Profil zu erhalten, sollten die verschiedenen Anlageformen gemischt werden. Hierfür ist ein umfangreicher Ent- scheidungsprozess notwendig, der für institutionelle Investoren in gleichem Maße wie auch in der privaten Anlageberatung eine zentrale Rolle spielt. Grundlage für jede Entscheidung ist eine genaue Analyse des Anlegerprofils bezüglich seiner Risiko- bereitschaft, seiner persönlichen Anlageziele und des Zeithorizontes, in welchem das Vermögen profitabel angelegt werden soll. In der strategischen Asset Allocation geht es um die Struktur des Portfolios und die Verteilung des anzulegenden Kapitals auf die verschiedenen Assetklassen innerhalb des zur Verfügung stehenden Anlageuni- versums. Als Anlageuniversum wird das gesamte Spektrum der Investitionsmöglich- keiten bezeichnet, die grundsätzlich in das zu verwaltende Portfolio aufgenommen werden können. Die einzelnen Assetklassen beinhalten beispielsweise verschiedene Anlagekategorien (z.B. Aktien, Renten), verschiedene Märkte (z.B. Deutschland, USA) oder auch Anlagewährungen (z.B. EUR,YEN).
Die vorliegende Diplomarbeit hat zum Ziel, ein Tool zu entwickeln, dass Fondsmanager bei der strategischen Asset Allocation für die von ihm zu gestaltenden Fonds unterstützt. Basierend auf einem quadratischen Optimierungsprozess soll das Tool dem Fondsmanager ermöglichen, verschiedene Strategien zu testen und ein für den Anleger optimales Portfolio zu finden.
Eine strategische Planung ist immer langfristig ausgelegt, weshalb bei der Zusammensetzung eines Portfolios in der Regel von Zeithorizonten zwischen 5 und 30 Jahren gesprochen werden kann. Asset Allocation ist aus dem Englischen übertragen und kann mit Verteilung bzw. Zuordnung von Anlagen übersetzt werden.2 Da grundsätzlich von einer Risikoaversion3[6]bei Investoren ausgegangen wird, die je nach Anleger höher oder niedriger ausfällt, kann unter strategischer Asset Allocation auch die systematische Reduzierung des Risikos durch Verteilung des Vermögens auf verschiedene Anlagemöglichkeiten verstanden werden.
Die strategische Asset Allocation dient dazu, die Auswahl und Gewichtung der verschiedenen Assetklassen zu finden, die den Präferenzen des Anlegers langfristig gesehen am besten entsprechen und sich mit der aktuellen und erwarteten Marktsituation vereinbaren lassen.
Sowohl die Renditevorstellungen des Anlegers als auch seine Risikobereitschaft beeinflussen die Struktur des Portfolios maßgeblich.4Das Risiko einer Anlage wird im Allgemeinen durch ihre Volatilität gemessen. Daher sind die Kennzahlen Rendite, Volatilität und Korrelation im Hinblick auf die einzelnen Assetklassen zu untersuchen. Sie gelten als entscheidende Inputparameter für den Portfoliomanager zur Aufstellung des für den Anleger optimalen Portfolios.
Das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Tool ST RAAL baut daher auf diesen Inputparametern auf. Es bietet dem Fondsmanager in einem ersten Schritt die Möglichkeit, Indizes auszuwählen, welche die verschiedenen, für das zu erstellende Portfolio interessanten Assetklassen repräsentieren (z.B. DAX für Aktien, REXP für Renten). Auf Basis historischer Daten werden für jeden Index die Rendite, die Volatilität und für alle Indizes ihre Korrelationen untereinander berechnet. Die so erhaltenen Werte gelten als Richtlinien für den Fondsmanager. Er kann jedoch anhand eigener Beurteilungen seine geschätzten Erwartungswerte für die künftige Entwicklung der jeweiligen Kennzahl pro Index eingeben.
In einem weiteren Schritt hat der Fondsmanager die Möglichkeit, für jeden Index bzw. für jede Assetklasse anlegerspezifische Restriktionen einzugeben. Zum Beispiel möchte der Anleger mindestens 30% Renten oder höchstens 80% Aktien in seinem Portfolio haben. Das Tool berechnet auf Basis dieser Daten das optimale Verhält- nis aus Risiko und Rendite und zeigt schließlich das daraus resultierende optimale Portfolio und die entsprechenden Gewichtungen der ausgewählten Assets an.
Die Arbeit ist folgendermaßen aufgegliedert. Kapitel 2 gibt eine kurze Einführung in die Bereiche der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, um die Begriffe der verwendeten Kennzahlen wie Rendite und Volatilität, Varianz und Korrelation zu erläutern. In Kapitel 3 wird dann das CAPM-Modell als Grundlage für die Problem- stellung des Fondsmanagers vorgestellt. Die optimale Auswahl und Gewichtung der Asset-Klassen ist ein quadratisches Optimierungsproblem, dessen Lösung in Kapitel 4 vorgestellt wird. Kapitel 5 beschreibt die Implementierung des Tools in PHP als eine Intranetanwendung für das Portfoliomanagement eines Finanzdienstleiters.
2 Statistische Grundlagen
Ein Asset oder eine Assetklasse hat eine mittlere Rendite und ein Risiko, mit der die tatsächliche Rendite von der mittleren Rendite abweicht. Mathematisch modelliert man die Rendite eines Assets mittels einer Zufallsvariablen, die um ihren Erwartungswert (mittlere Rendite) mit einer bestimmten Volatilität, dem Risiko, schwankt. Das folgende Kapitel definiert die Begriffe Zufallsvariable, Erwartungswert, Volatilität und Korrelation aus der Stochastik und stellt dar welche Schätzer aus der Statistik üblicherweise verwendet werden.
2.1 Zufallsvariablen
Als Zufallsvariable bezeichnet man eine mathematische Variable, die je nach dem Ergebnis eines als zufällig aufgefassten Experiments verschiedene Werte annehmen kann. Das Experiment kann eine Auslosung sein, die Berechnung einer Pseudozu- fallszahl oder die Messung einer statistisch verteilten oder mit Messfehler behafteten Grösse.1
Man nennt die Zufallsvariable diskret, wenn die Menge der möglichen Werte einer Zufallsvariablen endlich ist wie bei einem Würfel oder abzählbar unendlich. Wenn die Wertemenge überabzählbar ist, typischerweise also aus reellen Zahlen besteht, heißt die Zufallsvariable stetig. Als Beispiel aus der Praxis kann man hierfür Aktienkurse betrachten, die jeden möglichen reellen Wert annehmen können.
Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariable bilden eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln die Gesamtaugenzahl Z, mit Z = 1...12, zu erreichen, folgt zum Beispiel der Wahrscheinlichkeitsverteilung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2 Statistische Grundlagen
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen einer stetigen Zufallsvaria- blen können - im Gegensatz zum diskreten Fall - nicht angegeben werden. Streng genommen müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Ausprägung als 0 ge- setzt werden. Es lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, dass Ereignisse innerhalb eines Intervalles liegen. Die Wahrscheinlichkeit wird dabei mit Hilfe der sogenannten Dichtefunktion berechnet. Unter den stetigen Wahrscheinlichkeitsver- teilungen gilt als eine der wichtigsten Verteilungen die Normalverteilung.2
Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen in der Grenze [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] normalverteilt ist.
Die Normalverteilung ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
wobei σ die Standardabweichung und µ der Erwartungswert ist.3
Es wird allgemeinhin angenommen - und im besonderen als Grundlage dieser Arbeit - , dass Renditen aus Finanzanlagen normalverteilt sind.
2.2 Erwartungswert
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable je- ner Wert, von dem man erwartet, dass er sich bei einer oftmaligen Wiederholung des Experiments durchschnittlich ergibt. Bei einer diskreten Zufallsvariable errech- net er sich als die Summe der Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses des Experiments multipliziert mit dem W ert dieses Ergebnisses. Der Erwartungswert kann allerdings bei einem einzelnen Experiment eine sehr geringe Wahrscheinlich- keit besitzen oder sogar unmöglich sein. Beispiel hierfür ist ein Münzwurf, bei dem die Ergebnisse mit 0 und 1 definiert werden. Der Erwartungswert liegt bei 0,5 und wird nie erreicht.
Bei einer stetigen, integrierbaren Zufallsvariable wird der Erwartungswert durch Integration über die Dichtefunktion bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so ist der Erwartungswert
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir übertragen nun die mathematische Modellierung auf ein Asset, für das monatliche Renditen über einen Zeitraum von N Monaten gegeben sind. Aus dieser Anzahl von Messdaten versuchen wir nun Rückschlüsse auf die Kennzahlen der zugrunde liegenden Verteilung zu ziehen. Unter der Annahme der Normalverteilung reicht es aus, den Erwartungswert und die Varianz zu bestimmen.
Aus der Statistik ist nun bekannt, dass als sogenannter erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert der Mittelwert verwendet werden kann.4
Der Mittelwert bzw. empirische Erwartungswert über alle Renditen Ri mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist dann
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.3 Varianz
Die Varianz ist in der Stochastik ein Streuungsmaß. Dieses Maß stellt die Abweichung einer Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert E(X) dar.5
Definiert ist die Varianz als Erwartungswert der Abweichungsquadrate vom Er- wartungswert der Grundgesamtheit. Wenn µ = E(X) der Erwartungswert der qua- dratisch integrierbaren Zufallsvariablen X ist, dann wird die Varianz berechnet durch
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Üblicherweise verwendet man in der Praxis die sogenannte Standardabweichung, die als Quadratwurzel aus der Varianz definiert ist.
Der erwartungstreue Schätzer für die Varianz ist die Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert µ dividiert durch die Anzahl der Messdaten N − 1.6
Für die empirische Varianz s2gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
und somit für die empirische Standardabweichung s:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
In der Finanzmathematik findet häufig der Begriff V olatilität als ein Maß für das Gesamtrisiko einer Investitions- oder Finanzierungsmöglichkeit Verwendung. Das durch die Volatilität dargestellte erwartete Gesamtrisiko eines Investitionsobjekts besteht hierbei in der möglichen zukünftigen Schwankungsbreite (Streuung) einer Rendite um ihre erwartete mittlere Rendite.7
Die rechnerische Ermittlung der historischen Volatilität einer jeden Mittelverwendung basiert auf der Berechnung der statistischen Standardabweichung.
Als Volatilität wird die annualisierte Standardabweichung bezeichnet und für monatliche Renditen wie folgt berechnet:8
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ist die Standardabweichung aus täglichen oder wöchentlichen Renditen errechnet worden, so erhäl√man die ge√uchte historische Volatilität, indem man die Standard- abweichung mit 250 bzw. 52 multipliziert.
Bei der historischen Volatilität wird die Schwankung in Prozent pro Jahr angegeben. Bei einer Volatilität von beispielsweise 5% und einem Erwartungswert von 5% schwankt die jährliche Rendite unter der Annahme der Normalverteilung in etwa 2/3 aller Jahre zwischen 0% und 10%.
In den folgenden Abbildungen ist jeweils ein Beispiel für eine hohe Volatilität - der DAX - und eine niedrige Volatilität - der REXP - über einen Zeitraum von 15 Jahren zu sehen.
Abbildung 2.1: Kursentwicklung des DAX 1990 - 2005 (Quelle: Bloomberg)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.2: Kursentwicklung des REXP 1990 - 2005 (Quelle: Bloomberg)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.4 Korrelation
In der Analyse von Datenmaterial ist eines der Hauptziele der Statistik, eine Abhängigkeit bzw. einen Zusammenhang zwischen den Merkmalen zu erkennen. Die Korrelation ermittelt nun den Grad des Gleichlaufs von zwei Merkmalen.9
Bei Kapitalanlagen ist der Korrelationsbegriff von erheblicher Bedeutung. Das Gesamtrisiko des betrachteten Portfolios ist umso geringer, je weniger die einzelnen Anlagen bzw. Assets miteinander korrelieren.
Beispiel für positive Korrelation: Je kälter der Winter, umso höher ist der Energie- verbrauch für die Heizung. Bei Finanzanlagen besteht häufig eine hohe Korrelation zwischen verschiedenen Aktienanlagen, während die Korrelation zwischen Aktien und Renten (Anleihen) üblicherweise sehr viel niedriger und oftmals sogar negativ ist.
Eine weitere Kennzahl um die Enge des Zusammenhangs zweier verschiedener Wertpapiere X und Y anhand ihrer Kursverläufe zu ermitteln, ist die Kovarianz, die sich folgendermaßen definiert:10
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die empirische Kovarianz einer Stichprobe berechnet sich als
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Um den linearen Zusammenhang zweier Variablen X und Y zu bestimmen ist die Kovarianz nicht aussagekräftig genug, da ihr absoluter Wert abhängig von der Skalierung der Variablen ist. Die Korrelation ist ein normiertes Maß für den linearen Zusammenhang zweier Variablen. Es gilt:11
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3 Finanzwirtschaftliche Grundlagen
3.1 Problemstellung
Jeder Anleger möchte von Natur aus sein Kapital mit größtmöglicher Rendite und höchstmöglicher Sicherheit investieren. Doch eine gleichzeitige Maximierung die- ser Grössen ist bei keiner Anlageform möglich, denn je höher die Sicherheit einer Investition, umso geringer ist auch ihre erwartete Rendite. Dieses Problem formu- lierte schon 1738 der Schweizer Mathematiker Bernoulli in seiner neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen, dem sogenannten Bernoulli − P rinzip: ”Das Bernoulli-Prinzip ist ein Entscheidungsgrundsatz, der aufbauend auf der kardinalen Meßbarkeit des Nutzens die subjektive Einstellung des Entscheidenden zum Risiko berücksichtigt. (...) Die Bernoulli-Funktion U(G), die der Entscheidungsträger indi- viduell festlegt, wird implizit von zwei Kriterien bestimmt. Zum einen wird die Höhe des Geldbetrages, um die sich die Entscheidung dreht von Interesse sein, während zum anderen jeder Mensch eine unterschiedliche Einstellung zum Risiko, also eine Risikopräferenz, haben wird.“1
3.2 Portfoliotheorie nach Harry M. Markowitz
In den 50erJahren des 20.Jahrhundert hat sich Harry M. Markowitz mit den Begriffen Erwartungswert, Risiko und Nutzen beschäftigt: Mithilfe seiner PortfolioSelection-Theory erbrachte Markowitz einen wissenschaftlichen Nachweis über die positive Auswirkung von Diversifikation.2Diversifikation bedeutet eine breite Streuung des zu investierenden Betrages auf mehrere verschiedene risikobehaftete Anlageformen, um so das Gesamtrisiko zu verringern.
Markowitz erkannte: ”The adequacy of diversification is not thought by investors to depend solely on the number of different securities held.
[...]
1Kachel, Aktienanlage: Nervenstärke lohnt sich, in: Informationen für Kapitalanleger, hrsg. v. Deutschem Aktieninstitut, 2005, S. 12
2Vgl. o.V. http://dict.tu-chemnitz.de/
3Vgl. Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 1999, S.252
4Vgl. dies und Folgendes in: Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 1999, S.280ff.
1Vgl. dies und Folgendes in: Kredler, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.19 ff.
2Vgl. Kredler, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.138
3Vgl. Kredler, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.29
4Vgl. Kredler, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.126
5Vgl. Schmid, Vorlesungsskript Wahrscheinlichkeitsrechnung, 2003, S. 28
6Vgl. Kredler, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.130
7Vgl. Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 1999, S.282
8Vgl. Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 1999, S.328
9Vgl. Kredler, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.152
10Vgl. Kredler, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.58
11Vgl. Steiner/Bruhns, Wertpapiermanagement, 2000, S.10
1Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 1999, S.112
2Vgl. Markowitz, Portfolio Selection, in: The Journal of Finance, 1952, S.89
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