Quantitativer Flächeninhaltsvergleich mit willkürlich gewählten Einheitsmaßen. Können verschiedene Flächen den gleichen Flächeninhalt haben?

Inhaltsverzeichnis

1.Thema der Unterrichtseinheit

2. Lernziele der Unterrichtseinheit

3. Stellung der Stunde in der Unterrichtseinheit

4. Thema der Unterrichtsstunde

5. Lernziel der Unterrichtsstunde

6. Ausführung der Klassensituation

7. Inhaltliche Lernvoraussetzungen

8. Sachinformationen

9. Didaktische Begründungen

10. Methodische Begründungen

11. Verlaufsplanung

12. Literatur

13. Anhang

Dienstliche Versicherung

I. Unterrichtsentwurf für den Prüfungsunterricht im Fach Mathematik

Klasse : 3b (21 Schülerinnen und Schüler, davon 9 Mädchen und 12 Jungen)

Zeit : 8.40 – 9.25 Uhr (2. Stunde)

Fachlehrerin : Frau XXXX

Fachseminarleiterin : Frau XXXX

1.Thema der Unterrichtseinheit

Einführung in den geometrischen Größenbereich Flächeninhalt. – Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs durch qualitative und quantitative Größenvergleiche von Flächen.

2. Lernziele der Unterrichtseinheit

Übergeordnetes Lernziel der Unterrichtseinheit :

Durch das Gewinnen konkreter Erfahrungen zum qualitativen und quantitativen Vergleichen von Flächen sollen die Schülerinnen und Schüler eine konkrete Begriffsvorstellung vom Flächeninhalt ausbilden und so ihr räumliches Vorstellungsvermögen fördern.

Die Schülerinnen und Schüler sollen im Einzelnen...

- die Begriffe Linie, Fläche und Flächeninhalt sprachlich genau unterscheiden können.
- wissen, wie man verschiedene Flächen durch Zerschneiden, Zusammensetzen und Aufeinanderlegen bezüglich ihres Flächeninhaltes direkt miteinander vergleichen kann.
- durch den indirekten Vergleich von Flächen mit Hilfe nicht standardisierter Maßeinheiten die Individualität der Körpermaße erkennen und Einsicht in die Notwendigkeit standardisierter Maßeinheiten erlangen.
- lernen, eine Fläche in sinnvolle Teilfiguren (Einheitsquadrate) zerlegen zu können (Förderung der Figur-Grund-Diskrimination) und so den Flächeninhalt zu bestimmen.
- das Prinzip der Flächeninvarianz begreifen, indem sie lernen, dass verschieden begrenzte Flächen sowie Flächen mit unterschiedlichen Ausdehnungen den gleichen Flächeninhalt haben können.
- lernen, durch das Spannen von Gummiringen, die den Umriss einer Fläche bilden, verschiedene Flächen mit dem gleichen Flächeninhalt am Geobrett darzustellen.
- lernen, den Flächeninhalt in der ikonischen Darstellung vorgegebener Figuren mit Hilfe des Geobrettes bestimmen zu können.
- die verschiedenen Lernziele der Unterrichtseinheit nach individueller Schwerpunktbildung weiter ausbilden und festigen, so dass ihre visuelle Wahrnehmungsfähigkeit weiter geschult wird.

3. Stellung der Stunde in der Unterrichtseinheit

(1) Entwicklung von Vorstellungen zu den Begriffen „Fläche“ und „Flächeninhalt“.
(2) Qualitativer Flächeninhaltsvergleich durch Zerlegen und Zusammensetzen. – „Passt der Teppich in das Wohnzimmer?“
(3) Messen mit willkürlichen Maßeinheiten. - Quantitativer Flächeninhaltsvergleich von Alltagsgegenständen mit Hilfe der eigenen Körpermaße.
(4) Erste Wege zur mathematischen Berechnung des Flächeninhalts mit willkürlich gewählten Einheitsmaßen.
(5) Quantitativer Flächeninhaltsvergleich mit willkürlich gewählten Einheitsmaßen – „Können verschiedene Flächen den gleichen Flächeninhalt haben?“
(6) Einführung des Geobrettes
(7) Flächenvergleich am Geobrett
(8) Vielfältige Übungen zum quantitativen Flächeninhaltsvergleich von Figuren (Doppelstunde)

4. Thema der Unterrichtsstunde

Quantitativer Flächeninhaltsvergleich mit willkürlich gewählten Einheitsmaßen – „Können verschiedene Flächen den gleichen Flächeninhalt haben?“

5. Lernziel der Unterrichtsstunde

Die Schülerinnen und Schüler sollen über die Arbeit mit Maßeinheiten das Prinzip der Flächeninvarianz begreifen, indem sie lernen, dass verschieden begrenzte Flächen sowie Flächen mit unterschiedlichen Ausdehnungen den gleichen Flächeninhalt haben können.

6. Ausführung der Klassensituation

Ich kenne die Klasse 2b seit Beginn meiner Ausbildung im Mai 2004. Seit Anfang des Schuljahres 2004/2005 unterrichte ich wöchentlich fünf Stunden eigenverantwortlich das Fach Mathematik. Die Lerngruppe setzt sich aus 9 Mädchen und 12 Jungen zusammen. Von diesen 21 Kindern sind 13 ausländischer Herkunft. In Bezug auf das Fach Mathematik kann ich diesbezüglich keine signifikanten Leistungsunterschiede zwischen Kindern deutscher und nicht deutscher Herkunft beobachten. Allerdings wirkt sich dieser Umstand sehr deutlich im sprachlichen Bereich aus. Das hat zur Folge, dass es bei der Bearbeitung von Aufgaben, die ein gewisses Textverständnis erfordern, teilweise zu erheblichen Differenzen im Lerntempo kommen kann. Aus diesem Grund erachte ich es für notwendig, bestimmte Arbeitsaufträge im Fach Mathematik zu visualisieren (vgl. 10.Methodische Begründungen). Gleichzeitig leite ich die Schüler aber dazu an, schrittweise ihre Kompetenzen in diesem Bereich weiter auszubilden.

Insgesamt beobachte ich in der Klasse eine motivierte Lern- und Arbeitsatmosphäre. Dem Fach Mathematik stehen die meisten Schüler aufgeschlossen und positiv gegenüber. Allerdings erlebe ich die Klasse als überaus lebhaft. Einigen Schülern fällt es schwer, sich an vereinbarte Gesprächsregeln zu halten, sodass sie unaufgefordert in die Klasse hineinreden (u.a. XXXX, XXXX). Andere Schüler wiederum haben Probleme sich in Gesprächsphasen zu konzentrieren und den Mitschülern schweigend und zuhörend zu folgen (u.a. XXXX, XXXX, XXXX). Insgesamt ist zu beobachten, dass die Schüler in Phasen der gemeinsamen Reflexion und Auswertung noch wenig Selbständigkeit zeigen, um ein gemeinsames konstruktives Gespräch führen zu können. Aus diesem Grund muss ich noch bewusst Impulse setzen und Unterrichtsgespräche lenkend führen (vgl. 10.Methodische Begründungen)

In den letzten Monaten habe ich gezielt in diesem Bereich mit den Schülern gearbeitet und einige Rituale eingeführt, um einen möglichst störungsfreien Unterricht durchzuführen. Außerdem habe ich gemeinsam mit den Schülern und Frau XXXX einen Klassenvertrag aufgestellt, der grundlegende Verhaltensregeln beinhaltet. Als eine intervenierende Maßnahme bei wiederholter Nichtbeachtung des Klassenvertrages schreibe ich den Namen des betroffenen Schüler an die Tafel. Zu Beginn der Woche hänge ich vier kleine Sterne an die Tafel. Sobald zwei Namen an der Tafel stehen, entferne ich einen Stern. Befinden sich am Ende der Woche noch Sterne an der Tafel, so erfolgt für die Klasse eine Belohnung in Form eines Kopfrechen-Spiels („Mathe-Fußball“). Dadurch hat sowohl das negative als auch das positive Handeln des Einzelnen eine direkte Auswirkung für die Gruppe.

Einzelnen Schülern, wie zum Beispiel XXXX, XXXX, XXXX und XXXX fällt es gelegentlich schwer, sich kontinuierlich und konzentriert einer Aufgabe zu widmen. Sie fallen dann häufig durch Beschäftigung mit anderen Dingen auf und müssen von mir wiederholt an ihren Arbeitsauftrag erinnert werden. In handlungsorientierten und entdeckenden Phasen des Unterrichts kommt dieses nicht so stark zum Ausdruck (vgl. 9.Didaktische Begründungen). Außerdem beobachte ich in dieser Klasse eine starke Lehrerzentrierung. Dies äußerst sich in der Form, dass zahlreiche Schüler meine Hilfe einfordern, bevor sie sich selbständig Arbeitsaufträge erschließen bzw. ihren Tischnachbarn befragen. Um die Schüler zu mehr Selbständigkeit anzuleiten und mich in der Lehrerrolle zu entlasten, habe ich in der Klasse, das Klammersystem eingeführt. Dieses System ermöglicht mir, den Schülern strukturiert helfen zu können. Weitere Maßnahmen („Tisch des Monat“, „grüne und rote Punkte“ u.a.), die ich hier nicht detailliert aufführen kann, unterstützen einen effektiven und störungsarmen Mathematikunterricht.

Die Schüler sind mit den in der Stunde auftretenden Arbeits- und Sozialformen vertraut. Probleme haben die Schüler noch bei der selbständigen zeitlichen Planung ihrer Arbeitsschritte. Aus diesem Grund ist es notwendig, dass ich ihnen verschiedene akustische (Glocke) und symbolische (Symbolkarten) Orientierungs- Hilfen gebe (vgl. 10. Methodische Begründungen).

Das Leistungs- und Abstraktionsvermögen sowie das Arbeitstempo sind bei den Schülern sehr unterschiedlich ausgeprägt. Wobei sich dieses im Bereich der Geometrie in anderer Form äußert als im Bereich der Arithmetik. So gibt es Schüler, wie z.B. XXXX und XXXX, die in der Arithmetik erhebliche Lernschwierigkeiten haben, im Gegensatz dazu aber Inhalte aus der Geometrie überdurchschnittlich schnell aufnehmen können. In der Regel begegne ich diesen Unterschieden durch verschiedene qualitative und quantitative Differenzierungsmaßnahmen (vgl. 10.Methodische Begründungen). Eine besonders schnelle Auffassungsgabe in vielen mathematischen Bereichen haben XXXX, XXXX, XXXX und XXXX, die Zusammenhänge schnell erkennen und Bekanntes auf neue Inhalte übertragen können. Außerdem können sie dem Lernprozess der Klasse durch ihre differenzierten mündlichen Beiträge entscheidende Anstöße geben.

7. Inhaltliche Lernvoraussetzungen

Zu den thematischen Inhalten Flächen, Flächeninhalt sowie Flächeninvarianz bringen die Schüler bestimmte Lernvoraussetzungen mit, die für diese Stunde von Bedeutung sind:

Erlernte Kompetenzen aus vorangegangenen Unterrichtseinheiten:

a) Unterrichtseinheit „Tangram“ (Ende des 1.Schuljahres)
- Auslegen verschiedener Flächen mittels geometrischer Formen (vgl. 8.Sachanalyse) sowie Nachlegen im verkleinerten Maßstab dargestellter Figuren
- (Gedankliches) Zerlegen von Flächen in Teileinheiten (Figur-Grund-Diskrimination)
- Kennenlernen grundlegender Eigenschaften sowie begriffliche Zuordnung geometrischer Formen

b) Unterrichtseinheit mit dem Thema „Achsensymmetrie“ (Ende des 2.Schuljahres)
- Umgang mit geometrischen Plättchen
- Erstellen von zwei deckungsgleichen Flächen durch Falten, Schneiden, Legen, Spiegeln und Zeichnen (erste Erfahrung zum Prinzip der Flächeninvarianz)
- Ausbau mehrerer Elemente der visuellen Wahrnehmungsfähigkeit (vgl. 9.Didaktische Begründungen)
- Umgang mit Methoden des Vermutens und Schätzens

c) Unterrichtseinheit zum Thema Längen (Mitte des 2.Schuljahres)
- Umgang mit dem Lineal
Erlernte Kompetenzen aus dieser Unterrichtseinheit
- Sprachliches Unterscheiden der Begriffe Fläche und Flächeninhalt
- Fähigkeit, zwei unterschiedliche Flächen bezüglich ihres Inhalts qualitativ miteinander vergleichen zu können.
- Einsicht, zum Messen und Vergleichen des Flächeninhaltes ein einheitliches Maß verwenden zu müssen
- Fähigkeit, den Flächeninhalt geometrischer Flächen mit einem Einheitsquadrat bestimmen zu können.

Insgesamt konnte ich bisher beobachten, dass die Einsicht der Schüler in das Prinzip der Flächeninvarianz (vgl. 8.Sachanalyse) nur begrenzt ausgeprägt ist.

Im Rahmen der Unterrichtseinheit zum Thema Achsensymmetrie konnte ich eine relativ starke Heterogenität im Bereich des geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögen beobachten. Nach der Erkenntnistheorie Piagets (vgl. Lauter 1997) befinden sich jedoch alle Schüler zumindest auf oder über der Stufe des symbolisch-anschaulichen Denkens (vgl. 9.Didaktische Begründungen). Es gibt eine Reihe von Schülern, die sich bereits auf der Stufe des logisch konkreten Denkens befinden (u.a. XXXX, XXXX, XXXX, XXXX).

8. Sachinformationen

Im Zentrum dieser Stunde steht das Vergleichen unterschiedlicher Flächen über das Ausmessen ihres jeweiligen Flächeninhaltes. Durch verschiedene Übungen (vgl. 10.Methodische Begründungen) sollen die Schüler das Prinzip der Flächeninvarianz begreifen. Im Folgenden möchte ich diese drei mathematischen Begriffe näher definieren.

Unter Fläche versteht man ein beliebig gekrümmtes oder ebenes Gebilde im Raum, insbesondere jede Begrenzung (Oberfläche) einer räumlichen Figur (vgl. Meyer Großes Taschenlexikon, S. 108).

Flächeninhalte gehören wie Längen und Rauminhalte zu den geometrischen Größen.

„Der Flächeninhalt einer ebenen Figur wird durch die Anzahl der in ihr enthaltenen Einheitsquadrate bestimmt. Den Flächeninhalt einer Fläche F zu bestimmen, heißt, der Fläche F eine reelle Zahl m(F) zuzuordnen (Maßfunktion), die folgende Eigenschaften hat:

1. m(F) ist nicht negativ,
2. m(F1) = m(F2), falls F1 kongruent F2,
3. m(F) = m(F1) + m(F2), falls F aus F1 und F2 zusammengesetzt ist.

[...]Als Maßeinheit für die Flächenberechnung dient das Quadratmeter (Abkürzung qm oder m²). Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 m hat die Fläche 1 qm. Aus der Grundeinheit 1 qm werden abgeleitet: 1 km² [...]1 ha [...] 1a [...] 1 dm² [...] 1 cm² [...] 1 mm²[...]“ (Schülerduden 2004, S.256f).

Unter fachdidaktischem Aspekt (Prinzip der Isolation der Schwierigkeiten) sind Vergleiche mit standardisierten Maßeinheiten wie z.B. cm² oder dm² sowie das Berechnen eines Flächeninhaltes über formalisierte Gleichungen aber erst Aufgabe und Inhalt der Schuljahre in der Sekundarstufe I (vgl. Radatz/ Rickmeyer 1991, 70). Im Zentrum der Grundschule steht die Propädeutik der Flächenberechnung, indem Flächeninhalte direkt und indirekt miteinander verglichen werden (Radatz/ Schipper 1983, 154).

Das Prinzip der Flächeninvarianz beschreibt Franke wie folgt:

„Zwei Flächen haben dann den gleichen Flächeninhalt, wenn sie

a) deckungsgleich sind, d.h., sie können so übereinander gelegt werden, dass sie sich gegenseitig genau abdecken und von keiner Fläche etwas übersteht,
b) zerlegungsgleich sind, d.h., jede der Flächen kann in dieselben Teilfiguren zerlegt oder als Umkehrung dazu aus denselben Teilfiguren zusammengesetzt werden,
c) auslegungsgleich sind, d.h., jede Figur kann lückenlos und ohne Überlappen mit der gleichen Anzahl von Einheitsflächen (z.B. Quadraten, Dreiecken oder Sechsecken) ausgelegt werden.“ (Franke 2000, 246).

Im Rahmen dieser Unterrichtsstunde liegt der Schwerpunkt auf der Erkenntnis, dass zwei Flächen den gleichen Flächeninhalt haben, wenn sie auslegungsgleich sind.

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