Im finanz- und versicherungswirtschaftlichem Umfeld spielt die Modellierung von Abhängigkeiten in diversen Anwendungsfällen eine zentrale Rolle. So kommt es beispielsweise in der Bankenpraxis dazu, Abhängigkeiten zwischen Risikofaktoren eines Portfolios zu modellieren.
Bei der Ermittlung des Gesamtrisikoprofils spielt die Frage nach der geeigneten Zusammenführung der Risikoarten ebenso eine zentrale Rolle wie die Korrelationen zwischen den einzelnen Teilrisiken. Dabei soll das Konzept der Copula helfen die einzelnen Risiken verteilungsspezifisch zu simulieren und zu einer gemeinsamen Verteilung zu verknüpfen.
Diese Arbeit, inhaltlich aus drei aufeinander aufbauenden Kapiteln bestehend, soll einführende und vertiefende Aspekte zur Copula-Theorie vermitteln. Dabei nimmt insbesondere die im vierten Hauptkapitel vorgestellte Simulationsstudie für Copula-Parameterschätzer eine zentrale Rolle in dieser Arbeit ein. Dementsprechend ist auch das Konzept so ausgerichtet, dass die Simulationsstudie sukzessive durch theoretische und beispielhafte Argumentationen vorbereitet und motiviert wird. Dabei wird zunächst im Kapitel 2 das Grundkonzept der Copula-Idee vorgestellt. Aufbauend auf der Konstruktion im bivariaten Modellkontext werden grafische und formale Eigenschaften dieses Konzepts vorgestellt ehe es anschließend auf den multivariaten Fall ausgeweitet wird. Die Quellenangaben werden jeweils im Text angegeben und es wird an entsprechenden Stellen auf weiterführende Aspekte oder tiefgründigere mathematische Aufarbeitungen hingewiesen.
Nachdem die Grundlagen gelegt wurden, werden im Kapitel 3 verschiedene Copula-Arten vorgestellt und näher charakterisiert. Dabei soll bei der Erläuterung der Besonderheiten der einzelnen Copula-Klassen ein ausgewogener Mix zwischen mathematischer Formulierung und grafischer, beispielorientierter Argumentation herrschen. Darüber hinaus werden jeweils Vor- und Nachteile dargestellt und es wird regelmäßig versucht einen praktischen Zusammenhang herzustellen.
Im abschließenden Kapitel 4 soll es im Rahmen einer Performance-Simulationsstudie darum gehen, wie gut sich Minimum-Distanz Schätzer (MD) im Vergleich zu Maximum-Likelihood Schätzern (ML) bei der Parameterbestimmung für Archimedische und Parametrische Copulas verhalten. Dabei werden zunächst die zwei Schätzverfahren vorgestellt, ehe diese anschließend mithilfe des Statistikprogramms R angewendet werden.
Inhaltsverzeichnis
- 1. Einleitung
- 2. Einführung in die Grundlagen der Copula-Theorie
- 2.1 Konstruktion und Eigenschaften bivariater Copula-Modelle
- 2.2 Der allgemeine Fall: Multivariate Copula
- 3. Klassifizierung von Copula-Modellen
- 3.1 Fundamental-Copulas
- 3.1.1 Kontramononotonie-Copula
- 3.1.2 Unabhängigkeitscopula
- 3.1.3 Komonotonie-Copula
- 3.2 Archimedische - Copulas
- 3.2.1 Gumbel-Copula
- 3.2.2 Clayton Copula
- 3.3 Parametrische Copulas
- 3.3.1 Gauß-Copula
- 3.3.2 t-Copula
- 4. Simulationsstudie: Parameterbestimmung bivariater Copulas - Vergleich von Maximum-Likelihood und Minimum-Distanz Schätzern
- 4.1 Schätzverfahren zur Parameterbestimmung
- 4.1.1 Maximum Likelihood Schätzer
- 4.1.2 Minimum Distanz Schätzer
- 4.2 Simulationsstudie
- 4.2.1 Design der Simulationsstudie
- 4.2.2 Resultat und Schlussfolgerung
- 5. Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit widmet sich der Einführung und Vertiefung der Copula-Theorie, mit dem Fokus auf die Modellierung von Abhängigkeiten im finanz- und versicherungswirtschaftlichen Kontext. Die Arbeit befasst sich mit der Konstruktion und den Eigenschaften von Copula-Modellen, unterscheidet zwischen verschiedenen Copula-Klassen und analysiert die Parameterbestimmung mithilfe einer Simulationsstudie.
- Konstruktion und Eigenschaften von Copula-Modellen
- Klassifizierung von Copula-Modellen (Fundamental-Copulas, Archimedische Copulas, Parametrische Copulas)
- Parameterbestimmung bivariater Copulas
- Vergleich von Maximum-Likelihood und Minimum-Distanz Schätzern
- Simulation von Abhängigkeiten im Finanz- und Versicherungswesen
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel liefert eine Einführung in die Relevanz der Copula-Theorie im Kontext von Abhängigkeiten in der Finanz- und Versicherungswirtschaft. Es beleuchtet die Anwendung im Risikomanagement und die Anforderungen der BaFin. Kapitel 2 widmet sich den grundlegenden Konzepten der Copula-Theorie, wobei die Konstruktion und Eigenschaften bivariater Copula-Modelle sowie der multivariate Fall behandelt werden. Kapitel 3 klassifiziert verschiedene Copula-Modelle, darunter Fundamental-Copulas, Archimedische Copulas und Parametrische Copulas. Im Fokus stehen die Gumbel-Copula, die Clayton Copula, die Gauß-Copula und die t-Copula. Das vierte Kapitel befasst sich mit einer Simulationsstudie, in der verschiedene Schätzverfahren zur Parameterbestimmung bivariater Copulas verglichen werden, darunter der Maximum-Likelihood Schätzer und der Minimum-Distanz Schätzer.
Schlüsselwörter
Copula-Theorie, Abhängigkeitsmodellierung, Risikomanagement, Finanz- und Versicherungswirtschaft, Parameterbestimmung, Maximum-Likelihood Schätzer, Minimum-Distanz Schätzer, Simulationsstudie, Multivariate Verteilungsfunktionen, Randverteilungen, Fundamental-Copulas, Archimedische Copulas, Parametrische Copulas, Gumbel-Copula, Clayton Copula, Gauß-Copula, t-Copula.
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine Copula in der Statistik?
Eine Copula ist eine multivariate Verteilungsfunktion, die dazu dient, Abhängigkeitsstrukturen zwischen verschiedenen Zufallsvariablen unabhängig von deren Randverteilungen zu modellieren.
Warum sind Copulas im Risikomanagement wichtig?
Sie ermöglichen es Banken und Versicherungen, die Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Risikofaktoren (z.B. Markt- und Kreditrisiko) präziser zu simulieren und ein Gesamtrisikoprofil zu erstellen.
Was ist der Unterschied zwischen Maximum-Likelihood (ML) und Minimum-Distanz (MD) Schätzern?
ML-Schätzer maximieren die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten unter dem Modell, während MD-Schätzer die Distanz zwischen der empirischen und der theoretischen Verteilung minimieren.
Was sind Archimedische Copulas?
Es ist eine Klasse von Copulas (wie Clayton oder Gumbel), die durch eine Generatorfunktion charakterisiert werden und besonders einfach zu handhaben sind.
Welche Rolle spielt das Statistikprogramm R in der Copula-Theorie?
R wird in Simulationsstudien verwendet, um Parameter von Copula-Modellen zu schätzen und die Performance verschiedener statistischer Verfahren zu vergleichen.
- Citar trabajo
- Paul Passek (Autor), 2017, Maximum-Likelihood- und Minimum-Distanz-Schätzer von Copula-Funktionen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/448702
