Die Anwendung von Matrizen bei der Netzwerkanalyse

Inhaltsverzeichnis

0. Das Vorwort

1. Die Problemstellung

2. Die Grundlagen der Matrix
2.1 Die Definition und Allgemeine Anwendung
2.2 Die Formen von Matrizen
2.3 Die Rechenoperationen
2.3.1 Die Addition von Matrizen
2.3.2 Die Multiplikation von Matrizen
2.3.3 Das Lösen von Gleichungssystemen mithilfe der Einheitsmatrix
2.3.4 Das Lösen von Gleichungssystemen mithilfe von Determinanten

3. Die Anwendung von Matrizen in der Elektrotechnik
3.1 Die Elektrotechnik
3.2 Die Voraussetzungen 11-
3.3 Die Durchführung einer Netzwerkanalyse
3.4 Die Anwendung von Matrizen bei der Zweigstromanalyse

4. Das Experiment
4.1 Der Aufbau und die Durchführung
4.2 Die Netzwerkanalyse mit Anwendung von Matrizen

5. Das Fazit

6. Die Selbstständigkeitserklärung

7. Der Anhang

8. Das Quellen-und Literaturverzeichnis

0. Vorwort

Meine Seminararbeit schreibe ich in dem Seminarkurs Matrizen in dem Leitfach Mathematik. Ein Thema für diese Arbeit zu finden viel mir anfangs sehr schwer, da ich vorher so gut wie nichts über Matrizen wusste und erst einige Grundlagen geklärt werden mussten. Obwohl der Name Matrix bzw. Matrizen anfangs sich ziemlich kompliziert anhörte, hat man schnell bemerkt, dass Matrizen gar nicht so schwer zu verstehen sind wie sie zunähst erscheinen.

Ich habe mich für dieses Rahmenthema entschieden, da ich eher technisch interessiert bin und ich nicht nur die theoretische Seite eines Themas kennen lernen will, sondern auch wie es in der Praxis angewandt wird. Außerdem interessiere ich mich sehr für die Naturwissenschaften Mathematik und Physik. Matrizen als Thema für eine Seminararbeit fand ich daher sehr interessant. Unter anderem auch, weil man etwas Neues kennen lernt, wovon man überhaupt noch nichts wusste. Ich denke mit dieser Seminararbeit lerne ich sehr viel Neues kennen, nicht nur über Matrizen und ihre Anwendung, sondern auch wie man eine wissenschaftliche Arbeit anfertigt. Obwohl das Leitfach Mathematik ist, werde ich unter anderem lernen, wie man richtig zitiert, sich fachlich korrekt ausdrückt und gezielt nach einem Thema recherchiert. Mein Ziel ist es mit der Seminararbeit neue Erkenntnisse zu erlangen und eine wissenschaftliche Arbeit anzufertigen.

Meine Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Abschnitt beschäftigt sich mit dem Allgemeinerem und den Grundlagen zum Thema Matrizen und der zweite Teil mit der Netzwerkanalyse, welches ein Experiment beinhaltet.

1. Die Problemstellung

Am Anfang der Seminararbeit kam für mich die Frage auf „ Welche Anwendung finden Matrizen vorwiegend im technischen Bereich?“. Nach einigen Recherchen fand ich heraus, dass Matrizen vorwiegend bei linearen Gleichungssystemen und zum Beispiel in der Wirtschaft bei Marktanalyse und in der Elektrotechnik eine Rolle spielen. Da ich mich vor allem für technische Themen interessiere, habe ich beschlossen, mich mehr mit dem Thema: „Anwendung von Matrizen in der Elektrotechnik“ auseinander zu setzen.

Die Matrix wird in der Elektrotechnik unter anderem bei der Netzwerkanalyse verwendet. Ich werde mich bei meiner Seminararbeit zuerst mit einigen Grundlagen von Matrizen beschäftigen, damit diese vorab geklärt sind. Die Seminararbeit soll auch für die Leser verständlich sein, die sich bisher noch nicht mit dem Thema beschäftigt haben. Dazu werden dann einige Beispielrechnungen zu den verschiedenen Rechenoperationen berechnet und erklärt. Vor allem aber will ich versuchen zu erklären, wie Matrizen Anwendungen in der Elektrotechnik finden und wie sie dort bei der Netzwerkanalyse zum Einsatz kommen. Dabei stellt sich die Frage: „Was ist eigentlich ein Netzwerk und wie kann man es analysieren?“. Außerdem muss noch geklärt werden, wie Matrizen in den Berechnungen verwendet werden können. Dazu müssen vorab bestimmte Begriffe und Regeln zur Elektrotechnik erklärt werden. Dann will ich mithilfe eines Experimentes ein selbst erstelltes Netzwerk analysieren. Diesbezüglich werden verschiedene Versuchsaufbauten erstellt. Daran werden Messungen getätigt. Die gemessenen Werte werden dann noch mal mit Matrizenrechnungen berechnet. Außerdem wird noch untersucht, wie sich Veränderungen in einem Netzwerk auf die Stromstärke auswirken. Im Folgendem werde ich zunächst erklären, was man unter einer Matrix versteht.

2. Die Grundlagen der Matrix

2.1 Die Definition und Allgemeine Anwendung

Eine Matrix ist ein rechteckiges in runde Klammern gesetztes Zahlenschema, dass aus Zeilen und Spalten besteht.

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

Es gilt m ε N und n ε N. aik bezeichnet die Komponente. ( i=1,...,m ; k=1,...,n)

Durch die Matrizenrechnung werden komplexe Gleichungssysteme strukturiert betrachtet. Des weiteren können sinnvolle Rechenoperationen verschiedenster Art angewandt werden. Dadurch komme eine bessere Übersichtlichkeit zustande und Gleichungssysteme werden effizienter und schneller gelöst.¹

Einer Matrix findet damit vorwiegend beim Lösen von linearen Gleichungssysteme seine Anwendung. Es bildet sich ein großer und vielseitiger Bereich in dem Matrizen verwendet werden können. Vor allem in Wirtschaft und in der Physik und damit auch in der Mathematik findet es seine praktische Verwendung. In der Wirtschaft ermöglicht es vereinfachte Berechnungen von Firmendaten und spielt in der Marktanalyse ein wichtige Rolle. Der Gebrauch von Matrizen kann unter anderen auch in dem Bereich Grafikdesign vor kommen. Hier können sie bei der Koordinierung und Entstehung von Konstruktionen und Modellen verwendet werden. Somit können Matrizen auch in der Informatik eine Rolle spielen. Außerdem kann mit Hilfe einer Matrix ein Verschlüsselungscode angewandt werden, welcher eine geheime Kommunikation ermöglicht.

Im physikalischen Bereich findet es unter anderem in der Elektrotechnik Anwendung. Hier kann es bei der Netzwerkanalyse eingesetzt werden. Dieses Thema wird im folgendem noch ausführlicher erklärt und erläutert.

Da Matrizen eine Vielzahl an Anwendungsmöglichkeiten haben, unterscheidet man verschiedene Formen. Es gibt viele Varianten von Matrizen und die allgemeinste ist die von dem Typ „m*n“, welche ich oben schon erwähnt habe. Im folgenden werde ich einige weiter Formen kurz erklären.

2.2 Die Formen von Matrizen

Eine einfache Form der Matrix ist die Einheitsmatrix. Dabei haben die Elemente in der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) den Wert 1 und die restlichen Elemente sind gleich 0. Diese Form von Matrizen wird unter anderem bei dem Lösen von Gleichungssystemen mit Matrizen angewandt. Die Einheitsmatrix ist vom Typ (m*n). Ein Beispiel wäre:

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

Die quadratische Matrix hat den Typ (m*m). Diese Matrix hat somit genauso viele Zeilen wie Spalten. Ein Beispiel wäre:

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

Bei eine Nullmatrix sind alle Elemente gleich Null. Es hat den Typ (m*n). Eine Multiplikation mit dieser Form habe als Ergebnis wieder eine Nullmatrix.² Ein Beispiel wäre:

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

Bei der Anwendung von Matrizen braucht man unter anderem auch mal die Determinante der Matrix. Da es keine explizite Form der Matrix ist, kann man es an dieser Stelle eigentlich nicht erwähnen, aber das Rechnen mit Determinanten brauche ich bei dem Berechnen von Gleichungssystemen und füge es bei dieser Passage doch mit hinzu. Die Determinante wird bei der quadratischen Matrix angewandt und ist eine Funktion, welche diese genau eine Zahl (Determinante) zuordnet. Man unterscheidet dabei die Determinante von eine (2*2), (3*3) und (m*m) Matrix. Ich werde aber nur auf die zweireihige und dreireihige Matrix eingehen, da ich nur diese für meine Arbeit benötige.

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

2.3 Die Rechenoperationen

2.3.1 Die Addition von Matrizen

Eine Addition von Matrizen scheint zu Beginn sehr schwierig, ist aber einfacher als man denkt. Es werden nur die gleichen Komponenten, wie zum Beispiel a12, von beiden Matrizen addiert. Man rechnet also die jeweilige Komponente der i-Zeile und k-Spalte zusammen. Das Ergebnis wird dann in eine neue Matrix geschrieben. Die Voraussetzung dafür ist, dass die beiden Matrizen vom gleichen Typ sind.

Allgemein gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten1.

2.3.2 Die Multiplikation von Matrizen

Ähnlich wie bei der Addition werden auch bei der Multiplikation von Matrizen die Komponenten jeweils miteinander verrechnet. Wie es der Name schon sagt wird diesmal aber multipliziert. Außerdem muss die Spaltenzahl von Matrix 'A' mit der Zeilenzahl von Matrix 'B' übereinstimmen. Somit hat 'A' den Typ (m* p) und 'B' muss dann vom Typ (p *n) sein. Es ergibt sich dann das Produkt 'C' mit dem Typ (m*n). p

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

Es gelten weiterhin wie bei der normalen Multiplikation das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.

2.3.3 Das Lösen von Gleichungssystemen mithilfe der Einheitsmatrix

Mithilfe der Einheitsmatrix können Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungen und Variablen berechnet werden. Es ist ähnlich wie das Gaußverfahren. Mittels Matrizen werden am Ende die Arbeitsschritte, womit die einzelnen Unbekannten berechnet werden, eingespart. Wie man Gleichungssysteme mit Matrizen berechnen kann zeige ich in dem folgenden Beispiel.

Beispiel³: geg.:

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

2.3.4 Das Lösen von Gleichungssystemen mithilfe von Determinanten

Gleichungssysteme können mit unterschiedlichen Varianten gelöst werden. Ich habe schon die Möglichkeit mit der Einheitsmatrix vorgestellt und werde nun das Lösen von Gleichungssysteme mithilfe von Determinanten an einem Beispiel erläutern. Gegeben seien folgende Gleichungen:

Beispiel⁴:

Nun werden diese in die Matrixschreibweise umgeformt und anschließend wird die Hauptdeterminante gebildet. Zur Hilfe können die ersten zwei Spalten hinten angehängt werden.

Abbildung in dieer Leseprobe nicht enthalten

3. Die Anwendung von Matrizen in der Elektrotechnik

3.1 Die Elektrotechnik

Definition:

Die Elektrotechnik gehöre zu den Ingenieurwissenschaften, welche sich mit der Forschung, der Entwicklung und der Produktionstechnik von Elektrogeräten auseinandersetze. Zu diesem Bereich zähle man die Umwandlung von Energieformen, die elektrischen Maschinen und Bauelemente sowie Schaltungen für die Steuer-, Mess-, Regelungs-, Nachrichten- und Rechnertechnik und gehe bis hin zur technischen Informatik.⁵

[...]

¹ vgl. http://www.fvss.de/assets/media/jahresarbeiten/mathe/Matrizen.pdf 23.08.2016

² vgl. http://www.fvss.de/assets/media/jahresarbeiten/mathe/Matrizen.pdf 23.08.2016

³ Cornelsen (2015) Mathematik 2, Gymnasiale Oberstufe Brandenburg, Seite 19 Nummer 2c

⁴ Cornelsen (2015) Mathematik 2, Gymnasiale Oberstufe Brandenburg, Seite 19 Nummer 2d

⁵ vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrotechnik 31.08 2016