Diese Einführung behandelt die von Bruno Buchberger begründeten und nach seinem Doktorvater Wolfgang Gröbner benannten Gröbnerbasen samt einer Einführung in die Theorie, Programmierung des Buchberger-Algorithmus und Erläuterung von Anwendungsbeispielen.
Gröbnerbasen sind Erzeugendensysteme von Idealen in mehrdimensionalen Polynomringen K[T1, ..., Tn], die besondere Eigenschaften haben. Mit deren Eigenschaften können bestimmte Probleme aus der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie gelöst werden. Zwei Beispiele für solche Probleme sind das Lösen von simultanen Nullstellengebilden oder das Idealzugehörigkeitsproblem.
In meiner Arbeit führe ich zunächst grundlegende Definitionen ein, erläutere die Division mit Rest von Polynomen in mehreren Veränderlichen und stelle wichtige Sätze, wie den Hilbert’schen Basissatz vor (mit Beweis). Damit können schließlich Gröbnerbasen definiert und näher beleuchtet werden. Anschließend nenne ich das Buchberger-Kriterium und zeige, wie man Gröbnerbasen berechnen kann: mit dem Buchberger-Algorithmus.
Die Implementierung der verallgemeinerten Polynomdivision und des Algorithmus von Buchberger sowie Anwendungsbeispiele runden die Arbeit schließlich ab.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Mathematische Grundlagen und das Idealzugehörigkeitsproblem
- Divison von Polynomen aus R[T1, ..., TË] mit Rest
- Monomordnungen
- Divisionsalgorithmus
- Gröbnerbasen und ihre Berechnung
- Monomideale
- Gröbnerbasen
- Der Algorithmus von Buchberger
- Reduzierte Gröbnerbasen
- Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieses Praktikum bietet eine Einführung in die Theorie der Gröbnerbasen, die von Bruno Buchberger begründet wurden. Der Schwerpunkt liegt auf der Erläuterung der mathematischen Grundlagen, der Programmierung des Buchberger-Algorithmus und der Darstellung von Anwendungsbeispielen. Gröbnerbasen sind spezielle Erzeugendensysteme von Idealen in Polynomringen, die zur Lösung von Problemen in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie eingesetzt werden können.
- Mathematische Grundlagen von Polynomringen und Idealen
- Das Idealzugehörigkeitsproblem und seine Bedeutung
- Die Division von Polynomen in mehreren Veränderlichen
- Definition und Eigenschaften von Gröbnerbasen
- Der Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Das Kapitel liefert eine Einführung in das Thema Gröbnerbasen und ihre Bedeutung in der Algebra und Geometrie. Es werden die wichtigsten Anwendungen und Ziele des Praktikums vorgestellt.
- Mathematische Grundlagen und das Idealzugehörigkeitsproblem: Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen für das Verständnis von Gröbnerbasen. Es behandelt Definitionen von Polynomringen, Idealen und dem Idealzugehörigkeitsproblem.
- Divison von Polynomen aus R[T₁, ..., T] mit Rest: Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Division von Polynomen in mehreren Variablen. Es werden wichtige Konzepte wie Monomordnungen und der Divisionsalgorithmus erläutert.
Schlüsselwörter
Gröbnerbasen, Polynomringe, Ideale, Idealzugehörigkeitsproblem, Division mit Rest, Monomordnungen, Buchberger-Algorithmus, Anwendungen der Algebra, algebraische Geometrie.
Häufig gestellte Fragen
Was sind Gröbnerbasen?
Gröbnerbasen sind spezielle Erzeugendensysteme von Idealen in mehrdimensionalen Polynomringen, die zur Lösung algebraischer und geometrischer Probleme genutzt werden.
Wer hat die Theorie der Gröbnerbasen begründet?
Die Theorie wurde von Bruno Buchberger begründet und nach seinem Doktorvater Wolfgang Gröbner benannt.
Welches Problem lässt sich mit Gröbnerbasen lösen?
Sie helfen unter anderem beim Lösen simultaner Nullstellengebilde und beim Idealzugehörigkeitsproblem.
Was ist der Buchberger-Algorithmus?
Es ist ein mathematisches Verfahren zur Berechnung einer Gröbnerbasis für ein gegebenes Ideal in einem Polynomring.
Warum ist die Monomordnung bei der Polynomdivision wichtig?
Da es bei mehreren Variablen keine natürliche Anordnung gibt, muss eine Monomordnung festgelegt werden, um den Divisionsalgorithmus mit Rest durchführen zu können.
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- Vanessa Buhrmester (Author), 2016, Einführung in Gröbnerbasen und Anwendungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/439322
