Dans cette ouvrage, différentes techniques ont été adoptées, comme par exemple, la méthode des inégalités de l’énergie, cette méthode appelée aussi méthode d’analyse fonctionnelle qui est basée sur les idées de J. Leray et L. Garding et présentée sous forme d’une méthode par A. A. Dezin pour l’étude des problèmes aux limites liés aux équations elliptiques, aussi bien par la méthode de formulation variationnelle des problèmes aux limites développée par Lax-Milgram et Stampaccia. Par contre la méthode de degré topologique de Leray-Schauder et la méthode de sous et sur solution permet également de résoudre des problèmes aux limites qui n’ont pas de formulation variationnelle.
Table des matières
1 Généralités et quelques rappels
7
1.1 Rappels d'analyses fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1 Espaces normés et espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.3 Les espaces de Sobolev
,
"
#
et
,
"
#
$
. . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Quelques Inégalités Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Inégalité de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Inégalité de Cauchy avec
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Des inégalités fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Le degré topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Quelques définitions importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Degré topologique de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Problème de valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Théorème d'existence et d'unicité de la solution pour les E.D.P. dans les espaces fonc-
tionnels
24
2.1 Plan de l'étude de l'équation
A 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Espace de Banach, espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Formulation variationnelle des problèmes aux limites
31
3.1 Lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Problèmes aux limites elliptiques avec les conditions de Dirichlet . . . . . . 34
3.2.2 Problèmes aux limites elliptiques avec les conditions de Neumann . . . . . . 37
1
!"*% $%1 +!2)90%1
4 Méthode énergétique
40
4.1 Notions générales, position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Solutions généralisées dans
,
Première inégalité de l'énergie . . . . . . . . . 42
4.3 Deuxième inégalité de l'énergie pour les opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . 47
5 Résultat d'existence des solutions des problèmes aux limites quasi-linéaires étudiées
par la théorie de degré topologique
55
5.1 Résultat principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Le cas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Résultat d'existence de solutions faibles positives d'un système elliptique
66
6.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Résultat d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
!*% $%1 +!2)90%1
Notations
Espace vectoriel normé.
La norme.
Le produit scalaire.
La distance.
Un ouvert borné dans
$
.
L'ensemble fermé de .
!
La limite.
La convergence forte.
La convergence faible.
L'espace des fonctions mesurables
A sur vérifiant
+
!A!
2D .
L'ensemble de toutes les fonctions indéfiniment dérivables.
L'ensemble des fonctions
A
à support compact.
L'espace des fonctions de carré intégrable.
L'espace des fonctions
A où A A
A
$
tel que
A
6 ;.
Un espace de Hilbert.
L'espace dual de
.
9
Une fonctionnelle linéaire.
Un opérateur linéaire.
Le domaine de définition de
.
L'adhérence de
.
L'adjoint de
.
Le domaine de définition de
.
La fermeture de
.
)
L'ensemble des valeurs
A pour tout A
Operateur différentiel.
L'operateur dual de
.
2
2D
La dérivée ordinaire par-rapport à
D.
!
A
La dérivée généralisée.
,
#
L'espace des fonctions
A
#
, tel que
!
A
#
où !8!
9
,
#
L'espace des fonctions
A ,
#
à suport compact dans
#
La norme dans l'espace
,
#
Le produit scalaire dans l'espace
,
1
La constante de Poincaré.
D
La dérivée partielle.
*
La frontière.
Le vecteur unitaire de l'extérieur à
L'élément de surface de
/
Une forme bilinéaire.
9
Une forme linéaire.
Le degré topologique.
?4; /
Le signe de l'élément
/
5 D @
Une fonction de Carathéodory.
D
Un homotopie.
-
Un espace de Banach.
-
L'espace dual de
-
+
Un opérateur de
- dans - .
Un ouvert borné dans
-
La boule unité fermée.
L'ensemble de toutes les fonctions continues.
L'injection canonique.
A
L'opérateur Laplacien.
%A
Le gradient de
A
Le crochet de dualité.
)
La boule ouvert de centre
et rayon ).
Une valeur propre.
La valeur propre principale.
Le vecteur propre associé à la valeur propre
.
Introduction Générale
Les équations aux dérivées partielles de types elliptiques ont été soigneusement étudiées durant le
vingtième siècle. Ces études ont été surtout menées par Courant et Hilbert [13] et ses co-auteur
et d'autre chercheurs et savants comme Dirichlet, Neumann et J.L. Lions ([11, 12]). Un grand
nombre d'articles ont été publiés dans ce domaine et plusieurs livres ont vu le jour, nous citons
entre autres les ouvrages suivants ([1, 3, 5, 9, 13]).
Ce travail décrit quelques outils et méthodes pour l'étude des équations aux dérivées partielles de
types elliptiques. Ces outils sont utilisés pour obtenir des résultats d'existence et d'unicité.
Dans cette mémoire, différentes techniques ont été adoptées, comme par exemple, la méthode
des inégalités de l'énergie cette méthode, appelée aussi méthode d'analyse fonctionnelle, est ba-
sée sur les idées de J. Leray et L. Garding [7, 8] est présentée sou forme d'une méthode par A.
A. Dezin [4] pour l'étude des problèmes aux limites liés aux équations elliptiques, aussi bien par
la méthode de formulation variationnelle des problèmes aux limites développée par Lax-Milgram
et Stampaccia ([3]). Par contre la méthode de degré topologique de Leray-Schauder permet éga-
lement de résoudre des problemes aux limites qui n'ont pas de formulation variationnelle (voir
Otared Kavian[9]).
Ce travail comporte six chapitre.
Chapitre 1 :
Dans ce chapitre nous rappelons quelques notions d'analyses fonctionnelles qui concernent les
espaces de Sobolev, puis nous présentons quelques inégalités importantes, après ça nous donnons
un petit rappel sur le degré topologique.
Chapitre 2 et Chapitre 4 :
Dans ces deux chapitres nous étudions l'existence et l'unicité de la solution généralisée par la mé-
thode des inégalités de l'énergie. L'idée principale est celle utilisée dans les travaux de Petrovski,
Leray et Garding. Elle consiste à écrire le problème posé sous forme d'une équation opérationnelle
du type
A A
Où l'operateur
engendré par l'équation et les conditions aux limites est considéré d'une espace
de Banach
dans un espace de Hilbert convenablement choisi. On établit une estimation à
priori :
A
A
(*)
qui est obtenue en multipliant l'équation considérée par un opérateur
'A contenant la fonction
A ou ses dérivées. A partir de l'inégalité
, on déduit l'unicité de la solution si elle existe.
Chapitre 3 : Dans ce chapitre, nous s'intéressons à l'étude de l'existence et l'unicité de la solution
des problèmes aux limites par la méthode variationnelle.
Pour cela nous présentons le lemme de Lax-Milgram qui est la base de cette méthode. Ensuit, nous
étudions quelques problèmes linéaires elliptiques sous forme des applications pour compléter
cette méthode.
Chapitre 5 : Le but de ce chapitre est d'établir l'existence d'une solution faible pour le problème
quasi-linéaire
A D A D
5 D A D D
A
D
où
est un domaine borné non vide de frontière lipschitzienne
,
est un para-
mètre positive et
5
est une fonction de Carathéodory bornée.
L'étude est basée sur la méthode de dégrée topologique [5, 9].
Chapitre 6 : Dans ce chapitre on va étudier l'existence de la solution faible positive du système
%
%
#
%
%
!
A 3 B D
B 4 A D
A B
D
La technique utilisée est la méthode de sous et sur solution pour montrer que notre problème
admet au moins une solution.
Chapitre 1
Généralités et quelques rappels
1.1 Rappels d'analyses fonctionnelles
1.1.1 Espaces normés et espaces de Banach
Un espace vectoriel linéaire
est dite espace normée si pour chaque élément A il existe
un nombre réel noté par
A
norme de
A vérifiant les axiomes
a)
A
A
si et seulement si A
.
b)
A
! ! A
ou
c)
A B
A
B
inégalité triangulaire
Dans cet espace, on introduit la métrique
A B A B
(distance entre
A et B)
La convergence d'une suite
A
$ $
d'éléments de
vers A dans la norme de (convergence forte
(
1
)) est définie par
A
$
A
$
A
$
A.
La suite
A
$ $
est dite suite de Cauchy si
A
A
'
quand =
( ( = (
A
A
'
Si pour toute suite de Cauchy
A
$ $
il existe un élément
A dans , on dit que est complet.
Si
A
$
A
$
on dit que est un espace de Banach.
1
Converge au sens de la norme.
7
(!.)20%
:,:0!*)2:1 %2 /3%*/3%1 0!..%*1
1.1.2 Espaces de Hilbert
Définition 1.1 Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire qui est complet
pour la norme associée.
Dans un Hilbert, on définit un produit scalaire
A B
où
A B , c'est un nombre réel qui
vérifiant les axiomes
a)
A B
B A
b)
A B
A B
c)
A B C
A C
B C
d)
A A
A A
si et seulement si A
Dans un Hilbert complexe, le produit scalaire est un nombre complexe vérifiant les axiomes
0 ,
1 et 2 mais / est sous la forme
A B
B A
Dans
on prend comme norme
A
3
A A
(i.e.)
A
A A
Pour chaque
A et B on a l'inégalité de Cauchy-Schwartz
! A B
!
A
B
En plus de la convergence forte dans
, on considère aussi la convergence faible de A
$ $
d'élément de
, on dit qu'elle converge faiblement (
2
) vers
A si
A
$
A B
quand ;
pour tout
B A
$
A .
Si
A
$ $
converge fortement vers
A, alors elle converge faiblement vers A. L'inverse n'est pas vrai
en général.
Cependant, si
A
$
A et A
$
A, alors dans ce cas A
$
A
Exemple 1.1 On peut définir l'espace de Hilbert
comme suite
A mesurable
-
!A!
2D
2
Converge au sens du produit scalaire.
!..%*1 $8!,!*61%1 -,#2)-,,%**%1
(!.)20%
:,:0!*)2:1 %2 /3%*/3%1 0!..%*1
La norme de
est
A
-
!A!
2D
, avec
(1.1)
si
A
-
A
2D
A B
-
AB2D
On peut considérer comme sous espaces dans
les espaces
a)
b) L'ensemble de tous les polynômes.
c)
Fonctionnelles linéaires
Une fonctionnelle linéaire
9 sur un Hilbert est une fonction linéaire numérique et continue
9
A 9 A
9 est linéaire veulent dire
9 A
A
9 A
9 A
A
A
sont des constants réels.
(1.2)
9 est continue veulent dire
A
$
A
9 A
$
9 A
(1.3)
9 est bornée veulent dire
!9 A !
1 A
A
Le théorème de Reisz affirme qu'on peut toujours représenter une fonctionnelle linéaire par un
produit scalaire
9 A A B
B
(1.4)
D'après l'inégalité de Cauchy la norme
9
B
Il est claire que
9
'%
*
!9 A !
A
est la plus petite des constantes
1 pour les quelles est
satisfaite.
Quelques propriétés d'opérateurs linéaires
I)-Opérateurs linéaires bornés
!..%*1 $8!,!*61%1 -,#2)-,,%**%1
(!.)20%
:,:0!*)2:1 %2 /3%*/3%1 0!..%*1
Un opérateur
défini sur un ensemble
fait aussi à chaque A un certain élément
B (i.e.)
A B
est linéaire si
A
A
A
A
A
A
(1.5)
est borné si
1
tel que A
1 A
A
(1.6)
peut être prolongé d'une manière continue sur la fermeture de (i.e.)
* Si
, reste toujours vraie pour tout A
* Si
, on peut prolonger en différentes manières à tout et reste toujours
valable.
Remarque 1.1 La norme de
est donner par
'%
*
A
A
Il y a plusieurs opérateurs bornées dans
qu'ils sont importantes, on s'intéresse maintenant d'une
classe des opérateurs
La classe d'opérateurs auto-adjoints
Un opérateur
est dit auto-adjoint si
A B on a A B
A B
(1.7)
le spectre de cet opérateur est réel et contenu dans
II)-Opérateurs linéaires non-bornés
Soit
un opérateur non-borné sur un Hilbert ce type des opérateurs ne sont pas
bornés (définis) sur tout
, (i.e.) dans la constante 1 peut ne pas exister.
Soit
le domaine de définition de (i.e.)
)
3
ces opérateurs sont linéaires, ils vérifiant
A
B A
B A B et
nous allons en générales considérer les opérateurs ayant
.
!..%*1 $8!,!*61%1 -,#2)-,,%**%1
(!.)20%
:,:0!*)2:1 %2 /3%*/3%1 0!..%*1
Remarque 1.2 On s'intéresse aux opérateurs différentiels pour chaque expression différentielle cor-
respond plusieurs opérateurs définis en indiquent leurs domaines de définition.
Par exemple : Soit l'expression différentielle
A
2
A
2D
D
prenons
On peut associer à
A l'opérateur non-borné définie sur
A A
2
A
2D
à support compact dans l'intervalle
On peut encore associer à
A un autre opérateur non borné )
défini sur )
)
)
A )
A
2
A
2D
on a
)
et A )
A A dans ce cas on dit que )
est une extension de
4
Il est claire que le domaine de définition de l'opérateur
(opérateur associer à l'expression dif-
férentielle
A) peut être choisi d'une infinité de manière et chaque fois on obtient un opérateur
ayant de différant propriétés.
Les deux opérateurs
et )
ont des propriétés différentes, par exemple vérifie
A B
A B
A B
(1.8)
En effet
A B
-
2
A
2D
B 2D
-
A
2
B
2D
2D A B
Pour l'opérateur )
on a
)
A B
A )
B
2A
2D
B !
A
2B
2D
!
A B )
(1.9)
On remarque que
a la propriété de symétrie, par contre )
ne l'a pas.
Remarque 1.3 Les opérateurs symétriques possèdent un grand nombre des propriétés, et la théorie
des opérateurs symétriques a été extensivement développer et utiliser pour des classes spécifiques
d'opérateurs différentiels. L'une des plus importantes conceptions est celle d'opérateurs auto-adjoint.
4
L'opérateur
est dit extension de si
et !
!, !
!..%*1 $8!,!*61%1 -,#2)-,,%**%1
(!.)20%
:,:0!*)2:1 %2 /3%*/3%1 0!..%*1
Un opérateur non-borné
est dite auto-adjoint s'il est symétrique (i.e.)
A B
A B
A B
(1.10)
et si l'identité
A B
A C
(1.11)
où
B C sont fixées et A arbitraire implique que B et C B.
En d'autre terme,
est auto-adjoint si son adjoint a le même domaine de définition que et
sur
L'identité
définit le domaine de définition de ainsi que ces valeurs sur le domaine. Notam-
ment les éléments
B pour tout A constituant , avec B C
Remarque 1.4 Dans la plus part des cas des opérateurs différentiels, il est facile de vérifier la validité
ou non validité de
(à l'aide des intégrations par parties).
Remarque 1.5 La relation
est satisfaite pour non seulement pour A et B mais aussi
pour
A et B Cela montre que est plus large que La question que se
pose est que
peut être prolongé pour qu'il soit auto-adjoint ?
Il est possible de faire ça, et en une infinité de manières. La théorie des opérateurs donne le premier
pas pour une telle extension (c'est le principe de fermeture). On procède de la manière suivante :
Soit
un opérateur définit sur
. On ajoute à les éléments A qui sont limites des
suites
A
$ $
de
pour lequel A
$
converge vers un élément
B. On définit B A où est la
fermeture de
5
. L'ensemble
avec tous les éléments A, constituant .
Remarque 1.6 Il existe des opérateurs non-bornés que ne sont pas fermable (
6
) (par exemple les
opérateurs non-linéaires).
Il n'est pas difficile de montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que un opérateur non
borné admet une fermeture est que
soit dense dans .
Remarque 1.7 En générale la procédure de la fermeture des opérateurs différentiels n'est pas simple
(cas de E.D.P).
En particulier,
défini par A
2
A
2D
admet une fermeture. La fermeture
admet comme domaine
de définition
,
Cette fermeture peut être achevée, si on ajoute à l'ensemble
5
Un opérateur
est dit fermé si pour tout suite ! , ! ! et ! alors ! et
.
6
Un opérateur
est dit fermable si pour tout suite ! , ! et ! alors
.
!..%*1 $8!,!*61%1 -,#2)-,,%**%1
(!.)20%
:,:0!*)2:1 %2 /3%*/3%1 0!..%*1
des fonctions continues différentiables
A D s'annulant en D
et D pour lesquelles
2A
2D
sont
absolument continues et s'annulant en
D
et D
2A
2D
donc
A A
2A
2D
, A !
,
A !
,
et
2A
2D
!
,
2A
2D
!
,
,
L'opérateur
défini sur ,
étant l'opérateur qui calcule les dérivées secondes généra-
lisées (
7
).
On va citer deux extensions de
A
2
A
2D
à
,
, la première extension est de la forme
A
2
A
2D
où
A A ,
A !
,
A !
,
une telle extension est connectée à ce qu'on appelle premier problème aux limite (
8
) pour
A
2
A
2D
.
C'est le problème de déterminer la solution
A D de l'équation
A
2
A
2D
3 D
(1.12)
avec les conditions aux limites
A
A
(1.13)
le problème
-
admet une solution unique A
pour tout 3
arbitraire.
Remarque 1.8 L'extension
de l'opérateur original , correspond au problème -
. Si on
n'a pas prolongé
on n'aura pas un bon théorème d'existence et d'unicité, et dans ce cas l'équation
A 3 peut ne pas avoir une solution dans pour 3
arbitraire.
Remarque 1.9 D'autres problèmes aux limites de l'équation
nécessitent d'autres extensions,
par exemple à l'équation
on associée les conditions aux limites
A !
,
2A
2D
!
,
(1.14)
Alors on doit prolonger l'opérateur
comme étant l'opérateur agissant sur ,
(
9
) vérifiant
les conditions
, cette extension est un opérateur auto-adjoint.
L'équation
A 3 est résoluble dans pour 3
où
A A ,
A !
,
2A
2D
!
,
7
On dit aussi sens faibles ou sens des distributions
8
En englais : first boundary value problem.
9
! !
!
!..%*1 $8!,!*61%1 -,#2)-,,%**%1
(!.)20%
:,:0!*)2:1 %2 /3%*/3%1 0!..%*1
Forme bilinéaire, continue et coercive
Définition 1.2 On dit que
/ est une forme bilinéaire si A B C
/ A
B C / A C
/ B C
/ C A
B / C A
/ C B
Définition 1.3
/ est dit continue s'il existe '
telle que
!/ A B !
' A
B
A B
(1.15)
Définition 1.4
/ est dit coercive (ou -elliptique), s'il existe
telle que
A / A A
A
(1.16)
Remarque 1.10 Lorsque la forme bilinéaire
/ est -elliptique et symétrique (i.e.)
A B / A B / B A
(1.17)
alors elle est un produit scalaire sur
et sa norme associée est
A / A A
(1.18)
Théorème 1.1 (Représentation de Riesz) Soit
un espace de Hilbert de produit scalaire noté
et son espace dual (
10
), alors pour tout
3 , il existe un élément unique A tel que
3 B
A B
B
3
A
(1.19)
montre qu'il existe un isomorphisme (
11
) de
sur , c'est-à-dire
tel que
A 3
A
A
(1.20)
1.1.3 Les espaces de Sobolev
,
et
,
Définition 1.5 (Dérivées généralisées) On appelle dérivée généralisée
!
D
!
D
!
D
!
$
d'une fonc-
tion
A D intégrable dans tout
la fonction
!
A si pour tout B
, on a l'égalité
10
L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'espace des formes linéaires sur E.
11
Un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure et dont
la réciproque préserve aussi la structure.
!..%*1 $8!,!*61%1 -,#2)-,,%**%1
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- Zaraï Abderrahmane (Author), 2018, Problèmes Elliptiques. Existence et Unicité, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/433892
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