Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken. Dazu sollen zunächst verschiedene Begriffe, auch der des konvexen Polyeders, welche mir als Grundlagen für meine weitere Arbeit dienen, definiert werden. Weiterhin werden verschiedenste Sätze der Polyedergeometrie verwendet, die ebenfalls in den Grundlagen aufgeführt werden. Über die Platonischen Körper, welche die wohl bekannteste Körperklasse darstellen, werde ich dann zu den konvexen Dreieckskörpern –oder auch Deltaedern -gelangen. Die Platonischen Körper werden auch häufig als reguläre konvexe Körper bezeichnet und verfügen insbesondere über zwei Eigenschaften: Sie bestehen zum einen aus regelmäßigen, kongruenten Vielecken und zum anderen ist jede Körperecke identisch aufgebaut. Weitere Körperklassen lassen sich nun durch Weglassen einer dieser Bedingungen finden. Indem man die Bedingung des gleichen Eckenaufbaus weglässt, gelangt man schließlich zu den konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken. Diese werde ich in dieser Arbeit mathematisch herleiten, bevor ich mittels Konstruktion mithilfe von Körperflächenmodellen einige mathematische Lösungen ausschließen oder bestätigen kann. Für die tatsächlich existierenden konvexen Dreieckskörper werde ich genauere Untersuchungen hinsichtlich ihres Aufbaus vornehmen und anschließend darstellen, wie man durch sukzessives Hinzufügen von Dreiecken von einem konvexen Dreieckskörper zum nächst größeren konvexen Deltaeder (was die Flächenanzahl betrifft) gelangen kann. Diese Untersuchungen und Ergebnisse werde ich vor allem mit Bildern von den Konstruktionen von Körperflächenmodellen darstellen, um sie anschaulich erklären zu können.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Grundlagen
- Von den Platonischen Körper zu den konvexen Deltaedern
- Herleitung der konvexen Dreieckskörper
- Aufbau der konvexen Deltaeder
- Übergänge zwischen den konvexen Deltaedern
- Ausblick
- Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Bachelorarbeit befasst sich mit der Untersuchung von konvexen Polyedern, die ausschließlich aus gleichseitigen Dreiecken bestehen. Der Schwerpunkt liegt auf der mathematischen Herleitung und anschaulichen Darstellung dieser Deltaeder. Zunächst werden grundlegende Begriffe und Sätze der Polyedergeometrie definiert, bevor die Arbeit die Platonischen Körper als Ausgangspunkt nutzt, um zu den komplexeren konvexen Dreieckskörpern zu gelangen.
- Definition von Polyedern und konvexen Polyedern
- Mathematische Herleitung der konvexen Dreieckskörper
- Untersuchung des Aufbaus der konvexen Dreieckskörper
- Darstellung von Übergängen zwischen den Deltaedern
- Anschauliche Erklärung der Ergebnisse durch Körperflächenmodelle
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung
Die Einleitung gibt eine kurze Einführung in die Thematik der Bachelorarbeit und stellt die Zielsetzung und den Aufbau der Arbeit dar. Sie führt den Leser in die Welt der konvexen Polyeder aus gleichseitigen Dreiecken ein und erklärt die Relevanz der Platonischen Körper als Ausgangspunkt der Untersuchung.
Grundlagen
Dieses Kapitel definiert grundlegende Begriffe und Sätze der Polyedergeometrie, die für das Verständnis der weiteren Arbeit von Bedeutung sind. Es werden Definitionen von geometrischen Körpern, Polyedern, konvexen Polyedern und deren Eigenschaften erläutert. Außerdem werden wichtige Sätze wie der Polyedersatz von Euler vorgestellt.
Von den Platonischen Körper zu den konvexen Deltaedern
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Entwicklung von den bekannten Platonischen Körpern hin zu den konvexen Dreieckskörpern. Es erläutert die Eigenschaften der Platonischen Körper und wie man durch das Weglassen bestimmter Bedingungen zu neuen Körperklassen gelangt, darunter die konvexen Deltaeder.
Herleitung der konvexen Dreieckskörper
Dieses Kapitel konzentriert sich auf die mathematische Herleitung der konvexen Dreieckskörper. Es erklärt die Methoden, mit denen man diese Körper systematisch konstruieren kann. Es wird auch auf die Bedeutung von Konstruktionen mithilfe von Körperflächenmodellen eingegangen, die die mathematischen Lösungen bestätigen oder ausschließen können.
Aufbau der konvexen Deltaeder
Dieses Kapitel untersucht die Struktur und den Aufbau der konvexen Dreieckskörper. Es analysiert die Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken und zeigt, wie diese Eigenschaften die Form und die räumliche Anordnung der Körper beeinflussen. Es wird auch auf die verschiedenen Winkelarten in den Deltaedern eingegangen.
Übergänge zwischen den konvexen Deltaedern
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Übergängen zwischen den verschiedenen konvexen Dreieckskörpern. Es wird erläutert, wie man durch sukzessives Hinzufügen von Dreiecken von einem Deltaeder zum nächst größeren gelangen kann. Die Ergebnisse werden mit Bildern von Körperflächenmodellen anschaulich dargestellt.
Schlüsselwörter
Die Arbeit behandelt Schlüsselbegriffe wie konvexe Polyeder, Deltaeder, Platonische Körper, gleichseitige Dreiecke, Flächen, Kanten, Ecken, Valenz, Körperflächenmodelle und Polyedersatz von Euler. Sie untersucht die mathematischen Eigenschaften dieser Körper, ihre Konstruktion und ihre Übergänge zueinander. Die Arbeit verbindet theoretische Erkenntnisse mit anschaulichen Beispielen, um ein umfassendes Verständnis der konvexen Dreieckskörper zu vermitteln.
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- Magnus Düe (Autor), 2015, Konvexe Dreieckskörper in der Mathematik. Herleitung und Eigenschaften, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/429337
