Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken. Dazu sollen zunächst verschiedene Begriffe, auch der des konvexen Polyeders, welche mir als Grundlagen für meine weitere Arbeit dienen, definiert werden. Weiterhin werden verschiedenste Sätze der Polyedergeometrie verwendet, die ebenfalls in den Grundlagen aufgeführt werden. Über die Platonischen Körper, welche die wohl bekannteste Körperklasse darstellen, werde ich dann zu den konvexen Dreieckskörpern –oder auch Deltaedern -gelangen. Die Platonischen Körper werden auch häufig als reguläre konvexe Körper bezeichnet und verfügen insbesondere über zwei Eigenschaften: Sie bestehen zum einen aus regelmäßigen, kongruenten Vielecken und zum anderen ist jede Körperecke identisch aufgebaut. Weitere Körperklassen lassen sich nun durch Weglassen einer dieser Bedingungen finden. Indem man die Bedingung des gleichen Eckenaufbaus weglässt, gelangt man schließlich zu den konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken. Diese werde ich in dieser Arbeit mathematisch herleiten, bevor ich mittels Konstruktion mithilfe von Körperflächenmodellen einige mathematische Lösungen ausschließen oder bestätigen kann. Für die tatsächlich existierenden konvexen Dreieckskörper werde ich genauere Untersuchungen hinsichtlich ihres Aufbaus vornehmen und anschließend darstellen, wie man durch sukzessives Hinzufügen von Dreiecken von einem konvexen Dreieckskörper zum nächst größeren konvexen Deltaeder (was die Flächenanzahl betrifft) gelangen kann. Diese Untersuchungen und Ergebnisse werde ich vor allem mit Bildern von den Konstruktionen von Körperflächenmodellen darstellen, um sie anschaulich erklären zu können.
1 Einleitung
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit „konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken“. Dazu sollen zunächst verschiedene Begriffe, auch der des konvexen Polyeders, welche mir als Grundlagen für meine weitere Arbeit dienen, definiert werden. Weiterhin werden verschiedenste Sätze der Polyedergeometrie verwendet, die ebenfalls in den Grundlagen aufgeführt werden.
Über die Platonischen Körper, welche die wohl bekannteste Körperklasse darstellen sollten, möchte ich dann zu den Dreieckskörpern – oder auch Deltaedern - gelangen.
Die Platonischen Körper werden auch häufig reguläre konvexe Körper genannt und verfügen insbesondereüber zwei Eigenschaften: Sie bestehen zum einen aus regelmäßigen, kongruenten Vielecken und zum anderen ist jede Körperecke identisch aufgebaut. Weitere Körperklassen lassen sich nun durch Weglassen einer dieser Bedingungen finden. Indem man die Bedingung des gleichen Eckenaufbaus weglässt, gelangt man schließlich zu den konvexen Polyedern aus gleichseitigen Dreiecken.
Diese werde ich mathematisch herleiten, bevor ich mittels Konstruktion mithilfe von Körperflächenmodellen gegebenenfalls einige mathematische Lösungen ausschließen oder bestätigen kann. Für die tatsächlich existierenden konvexen Dreieckskörper werde ich genauere Untersuchungen hinsichtlich deren Aufbau vornehmen und anschließend darstellen, wie man durch sukzessives Hinzufügen von Dreiecken von einem konvexen Dreieckskörper zum nächst größeren (was die Flächenanzahl betrifft) gelangen kann. Diese Untersuchungen und Ergebnisse werde ich vor allem mit Bildern von den Konstruktionen von Körperflächenmodellen darstellen, um sie anschaulich erklären zu können.
2 Grundlagen
Die folgenden Definitionen, Sätze und Beweise werden im weiteren Verlauf dieser Arbeit vorausgesetzt:
Ein geometrischer Körper ist eine Punktmenge im dreidimensionalen Raum, die allseitig von einer Fläche oder von mehreren zusammenhängenden Flächen(stücken) begrenzt wird.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Beispiele für geometrische Körper.
Unterschieden wird nun hinsichtlich dieser Arbeit zwischen Polyedern und Nicht-Polyedern.
Einen geometrischen Körper, der nur von Vielecken (Polygonen) begrenzt wird, nennt man Polyeder (vgl. Roman, 1968, S. 9). Beispiele hierfür sind der Quader und die Pyramide aus Abbildung 1 und viele weitere.
Polyeder kann man weiterhin unterteilen in konvexe und nicht konvexe Polyeder.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2: Beispiele für ein nicht konvexes und ein konvexes Polyeder.
Während bei konvexen Polyedern die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte des Polyeders stets innerhalb des Polyeders liegt, so ist dies bei nicht konvexen (konkaven) Polyedern nicht der Fall. Weiterhin gilt für konvexe Polyeder, dass die Figur „ ganz auf einer Seite der Ebene eines jeden der Polygone, aus denen sie zusammengesetzt ist “ (Alexandrow, 1958, S. 8) liegt. Diese Arbeit beschränkt sich folgend auf konvexe Polyeder.
Polyeder bestehen aus Seitenflächen (F), Seitenkanten (K) und Polyederecken (E) (siehe Abbildung 3). Die Seitenfläche F eines Polyeders ist eine endliche Menge von Punkten einer Ebene, welche durch genau einen Streckenzug begrenzt wird. Die Menge der gemeinsamen Punkte zweier Seitenflächen nennt man dann Seitenkante K des Polyeders. Eine Polyederecke E ist eine Figur, die aus mindestens drei der von E ausgehenden Halbgeraden (als Teile der Kanten) und aus den in E zusammentreffenden Winkelfeldern, die aus jeweils zwei benachbarten Kanten (als Teile der Flächen) gebildet werden, besteht (vgl. Roman, 1968, S. 6). Außerdem besitzt eine Polyederecke mindestens drei Flächen (vgl. Roman, 1968, S. 6).
„ Eine Polyederecke heißt konvex, wenn sie ganz auf einer Seite jeder der Ebenen liegt, zu denen man sich jede Seitenfläche fortgesetzt denkt. “ (Roman, 1968, S. 7)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3: Ecken, Kanten und Flächen sowie die drei Winkelarten im Tetraeder.
Weiterhin unterscheidet man bei Polyedern zwischen verschiedenen Winkelarten (siehe Abbildung 3): die Innenwinkel der Flächenstücke werden als ebene Winkel bezeichnet; die Winkel an einer Kante zwischen zwei Flächen werden als Flächenwinkel bezeichnet und der Winkel zwischen einer Kante einer Polyederecke und der anliegenden Fläche wird als räumlicher Winkel bezeichnet (vgl. Roman, 1968, S.6).
Ein wichtiger Satz bezüglich der ebenen Winkel eines konvexen Polyeders lautet:
„ Die Summe der ebenen Winkel in einer konvexen Polyederecke ist kleiner als 360°.“ (Roman, 1968, S. 8).
Entscheidend für viele weitere Ergebnisse der Polyedergeometrie war der Polyedersatz von EULER, welcher die Ecken, Kanten und Flächen ins Verhältnis setzte:
„ Hat ein konvexes Polyeder F Flächen, E Ecken und K Kanten, so gilt: F + E - K = 2.“ (Barth, 1997, S. 168).
Betrachtet man die Ecken eines oder verschiedener Polyeder, so erkennt man, dass diese unterschiedlich aufgebaut sein können. Die Valenz einer Ecke eines Polyeders beschreibt, wie viele Kanten oder Seitenflächen an dieser zusammen treffen. Da eine Polyederecke aus mindestens drei Seitenflächen gebildet wird, gilt für die Valenz einer Polyederecke, dass sie immer ≥ 3 ist. Man schreibt sie als Index, z.B. ist E4 eine Ecke, an der vier Flächen bzw. Kanten zusammen treffen. Die Gesamtzahl aller Ecken lässt sich als Summe der Ecken mit verschiedenen Valenzen schreiben: E = E3 + E4 + E5 + … (vgl. Roman, 1968, S. 11).
Auch Flächen haben Valenzen, welche anzeigen, wie viele Kanten die Fläche hat. Da in dieser Arbeit aber später nur Flächen mit der Valenz 3, also Dreiecksflächen, vorkommen werden, muss darauf nicht näher eingegangen werden.
Ein weiterer wichtiger Satz lautet:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Da beim Abzählenüber die Flächen bzw. Ecken jede Kante doppelt gezählt wird, ist die Anzahl der Flächen bzw. Ecken doppelt so groß, wie die der Kanten.
Eine Folgerung aus dem EULERschen Polyedersatz ist beispielsweise die Ungleichung 3E ≤ 2K, welche ich in dieser Arbeit noch verwenden werde. Dass diese gilt, soll kurz bewiesen werden:
Als Voraussetzungen sind zu nennen:
(1) Sei E die Anzahl der Ecken des Polyeders.
(2) Sei K die Anzahl der Kanten des Polyeders.
(3) Sei E3 die Anzahl der Ecken, an denen drei Flächen zusammen treffen, E4 die Anzahl der Ecken, an denen vier Flächen zusammen treffen etc.
(4) Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Anzahl aller Ecken des Polyeders.
(5) Für die Anzahl aller Kanten im Polyeder gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Nach (5) gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Eine Änderung der Faktoren auf der rechten Seite der Gleichung soll diese zur Ungleichung machen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Ausklammern erzeugt die Ungleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Nach Voraussetzung (4) gilt dann: 2K ≥ 3E und somit 3E ≤ 2K, was zu beweisen war.
Für die Ungleichung 3F ≤ 2K sieht der Beweisähnlich aus:
(1) Sei F die Anzahl der Flächen des Polyeders.
(2) Sei K die Anzahl der Kanten des Polyeders.
(3) Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Anzahl der Flächen mit drei Kanten, E4 die Anzahl der Flächen mit vier Kanten etc.
(4) Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Anzahl aller Flächen des Polyeders.
(5) Für die Anzahl aller Kanten im Polyeder gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Nach (5) gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Eine Änderung der Faktoren auf der rechten Seite der Gleichung soll diese zur Ungleichung machen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Ausklammern erzeugt die Ungleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Nach Voraussetzung (4) gilt dann: 2K ≥ 3F und somit 3F ≤ 2K, was zu beweisen war.
„ Als reguläres […] Polyeder wird ein Polyeder mit gleichen regulären Flächen und gleichen regulären Polyederecken bezeichnet.“ (Roman, 1968, S. 26).
Von diesen gibt es lediglich fünf, die Platonischen Körper.
3 Von den Platonischen Körper zu den konvexen Dreieckskörpern
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4: Die fünf Platonischen Körper.
Die fünf Platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder bestehen alle aus regelmäßigen, kongruenten Vielecken. Da an jeder Ecke mindestens drei Vielecke zusammenstoßen müssen, können aufgrund der Innenwinkelsumme an einer Polyederecke, welche <360° sein muss, nur gleichseitige Dreiecke (ebener Winkel = 60°), Quadrate (ebener Winkel = 90°) und regelmäßige Fünfecke (ebener Winkel = 108°) als Seitenflächen für Platonische Körper in Frage kommen (vgl. Barth, 1997). Ab dem Sechseck, welches einen ebenen Winkel von 120° hat, werden die Winkel zu groß, um eine konvexe Körperecke zu bilden. Weiterhin ist jede Ecke eines Platonischen Körpers gleich aufgebaut: Beim Tetraeder treffen stets drei gleichseitige Dreiecke an einer Ecke zusammen, beim Hexaeder drei Quadrate an jeder Ecke, beim Oktaeder vier gleichseitige Dreiecke, beim Dodekaeder drei regelmäßige Fünfecke und beim Ikosaeder fünf gleichseitige Dreiecke. Es handelt sich um eine regelmäßige, konvexe Körperklasse (vgl. Roman, 1968, S. 26).
Drei dieser Platonischen Körper, das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder bestehen aus gleichseitigen Dreiecken. Mehr Platonische Körper mit gleichseitigen Dreiecken existieren nicht, da zum Bilden einer Ecke mindestens drei Flächen zusammentreffen müssen und da die Innenwinkelsumme an einer konvexen Polyederecke nicht größer als 360° sein kann, da sie bei 360° schon zur Ebene wird. Eine konvexe Polyederecke aus sechs oder mehr Dreiecken ist somit auch nicht möglich.
Jedoch können durch Abschwächen der Bedingungen für Platonische Körper weitere konvexe Polyeder und somit eine weitere Körperklasse, die nichtregulären, konvexen Polyeder, gefunden werden. Schwächt man die Bedingung ab, dass alle Flächen kongruent sein müssen, es sind also verschiedene Vielecke als Seitenflächen eines Polyeders erlaubt, so entdeckt man die Archimedischen Körper. Schwächt man hingegen die Bedingung des gleichen Eckenaufbaus ab, behält aber bei, dass der Polyeder aus kongruenten Vielecken besteht, so findet man Körper, die nur aus gleichseitigen Dreiecken bestehen. Dadurch könnten sich theoretisch Körper mit Polyederecken der Sorte E3 und E4, Polyeder mit E3 und E5 Ecken, Polyeder mit E4 und E5 Ecken oder auch Polyeder aus E3, E4 und E5 Ecken ergeben, welche in dieser Arbeit untersucht werden sollen.
4 Herleitung der konvexen Dreieckskörper
Die Platonischen Körper Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder werden im Folgenden aufgrund der weiteren Überlegungen zu den konvexen Dreieckskörpern gezählt.
Die Oberfläche eines konvexen Dreieckskörpers – oder auch Deltaeders, wobei die Benennung nach dem griechischen Buchstaben Delta, welcher die Form eines solchen Dreiecks besitzt - besteht ausschließlich aus F gleichseitigen Dreiecken. Ein Dreieck hat bekanntlich drei Seiten oder in diesem Fall Kanten, die dann allerdings doppelt gezählt werden. Für K gilt somit:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Daraus lässt sich schon folgern, dass F eine gerade Zahl >2 sein muss, da 3F durch 2 teilbar ist. Konvexe Deltaeder haben also eine gerade Anzahl von Flächen. Da weiterhin bekannt ist, dass mindestens drei Flächen zum Bilden einer Polyederecke vorhanden sein müssen, bestehen konvexe Deltaeder aus mindestens vier Flächen. Das kleinste konvexe Deltaeder ist somit das Tetraeder mit F= 4 Flächen. Außerdem kann eine Polyederecke aus maximal fünf Dreiecken bestehen, da die Summe der Ebenen Winkel mit sechs Dreiecken an einer Ecke gleich 360° wäre und eine Ebene bilden würde. Somit ist das größte konvexe Deltaeder das Ikosaeder mit F= 20 Flächen.
Konvexe Deltaeder aus mehr als 20 Flächen kann es nicht geben, wie folgender Beweis zeigen soll:
Nehmen wir an, es gäbe konvexe Deltaeder mit mehr als F = 20 Flächen, welche aus E3, E4 und E5 Ecken bestehen, sodass gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Auch hier werden die Kanten wieder doppelt abgezählt, wodurch sich folgende Formeln ergeben:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Einsetzen ergibt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die EULERsche Polyederformel, gemeinsam mit (1) und (4) liefert die Gleichung:
E – + F = 2 (Für K wurde eingesetzt).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Erneut liefert die EULERsche Polyederformel, gemeinsam mit (2), (3), (4) und (5) den nächsten Schritt:
E – F + K = 2 wird mit 6 multipliziert, um die Gleichung auf die nächsten Schritte vorzubereiten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dies ist ein Widerspruch, da E3 und E4 nur gleich 0 oder natürliche Zahlen sein können.
Somit existiert kein konvexes Deltaeder mit mehr als 20 Flächen (vgl. Fehringer, 2008).
Alle weiteren konvexen Deltaeder bestehen also aus 4 bis 20 Flächen, wobei die Flächenanzahl gerade sein muss. Mögliche Fälle sind also F = 6, 8, 10, 12, 14, 16 und 18. Für die Eckenanzahl gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
und wenn man sämtliche Ecken in allen F Dreiecken zählt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
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