Este trabajo se trata de las ecuaciones de Maxwell, los parámetros que intervienen en la formulación, el significado físico y la forma integral.
ECUACIONES DE MAXWELL
- Las Ecuaciones de Maxwell surgen de la teoría electromagnética y son el resumen esta teoría desde un punto de vista macroscópico. Esas ecuaciones tienen la forma más general:
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PARAMETROS
Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Maxwell son los siguientes:
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SIGNIFICADO FISICO
Cuando Maxwell resumió la teoría electromagnética de su época en sus ecuaciones escribió las siguientes ecuaciones:
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Que no es nada más que la ley de Gauss, que se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales.
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que no tiene nombre y expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medio-imanes
SIGNIFICADO FISICO
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Que es la expresión diferencial de la ley de Faraday.
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Que es la ley de Ampère. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducían a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma
SIGNIFICADO FISICO
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Que ahora se conoce como ley de Ampère modificada. El término introducido recibe el nombre de corriente de desplazamiento.
PASAR DE LA FORMA INTEGRAL A LA DIFERENCIAL
Para pasar de la forma integral de las ecuaciones de Maxwell a la forma diferencial, es necesario aplicar los teoremas de la divergencia y del rotacional.
Teorema de la divergencia:
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En donde V es el volumen encerrado por la superficie s. es una función vectorial (campo vectorial).
Teorema del rotacional:
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En donde s es la superficie limitada por la curva c. es una función vectorial (campo vectorial).
LEY DE GAUSS
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Aplicando el teorema de la divergencia.
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De la densidad de carga volumetrica se tiene,
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LEY DE GAUSS
Por lo tanto la ley de Gauss toma la forma,
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Como solo habra divergencia de campo electrico donde haya presencia de carga electrica se pueden igualar V y V' concluyendose que,
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que es la ley del campo de Gauss eléctrico en forma diferencial.
LEY DE FARADAY
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Aplicando el teorema del rotacional,
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De la definición de flujo se tiene,
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LEY DE FARADAY
Por lo tanto la ley de Faraday-Henry toma la forma,
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que es la ley de Faraday-Henry en forma diferencial.
LEY DE AMPERE
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Aplicando el teorema del rotacional,
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De la definición de flujo se tiene,
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LEY DE AMPERE
De la definition de densidad de corriente electrica.
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en donde es el versor normal a la superficie que es atravesada por la carga electrica,
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LEY DE AMPERE
y por lo tanto la ley de Ampere-Maxwell toma la forma,
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que es la ley de Faraday-Henry en forma diferencial.
EXPERIMENTO DE HERTZ
HEINRICH HERTZ (1857-1894), profesörde la Escuela Politècnica de Karlsruhe, en Alemania, se interesó en la teoría electromagnética propuesta por Maxwell. La reformuló matemáticamente logrando que las ecuaciones fueran más sencillas, y simétricas. Desde 1884 Hertz pensó en la manera de generar y detectar en un laboratorio las ondas electromagnéticas que Maxwell había predicho. Después de mucho trabajo y de experiencias sin éxito, en 1887 construyó un dispositivo con el que logró su fin. El experimento que realizó fue a la vez genial y sencillo.
EXPERIMENTO DE HERTZ
Utilizó un carrete o bobina de Ruhmkorff; que es un transformador que produce un voltaje muy alto. En seguida conectó el carrete a un dispositivo formado por dos varillas de cobre ; en uno de los extremos de cada varilla añadió una esfera grande y en el otro una pequeña. Cada una de las esferas grandes servía como condensador para almacenar carga eléctrica. Una vez hecha la conexión, en cierto instante el voltaje entre las esferas chicas era lo suficientemente grande para que saltara una chispa entre ellas. Hertz razonó que al saltar estas chispas se produciría un campo eléctrico variable en la región vecina a las esferas chicas, que según Maxwell debería inducir un campo magnético, también variable. Estos campos serían una perturbación que se debería propagar, es decir, debería producirse una onda electromagnetica. De esta forma, Hertz construyó un radiador de ondas electromagnéticas. Efectivamente, al conectar el carrete de Ruhmkorff a su dispositivo, Hertz observó que saltaban chispas entre las esferas chicas de manera intermitente. Así logró construir un generador de ondas electromagnéticas.
EXPERIMENTO DE HERTZ
El siguiente paso fue construir un detector de las ondas electromagnéticas que supuso eran emitidas por su dispositivo. Para este fin construyó varios detectores. Uno de ellos era simplemente otro dispositivo similar ál radiador; otro tipo fue una espira metálica en forma circular que tenía en sus extremos dos esferas, también conductoras, separadas una pequeña distancia. El argumento de Hertz fue el siguiente: si en efecto existen ondas electromagnéticas, al ser emitidas por el circuito se propagarán en todo el espacio circundante. Al llegar las ondas al detector, se inducirá en él un campo eléctrico (además del magnético) y por tanto, en las varillas conductoras o en la espira se inducirá una corriente eléctrica. Esto hará que a través de sus extremos se induzca un voltaje, que si llega a tener un valor suficientemente grande, dará lugar a que salte una chispa entre las esferas. Mientras mayor sea el valor de la amplitud de la corriente eléctrica en el circuito emisor, mayor será la magnitud del campo eléctrico inducido y por lo tanto, mayor será la diferencia de potencial entre los extremos de la espira del receptor. Esto es precisamente lo que encontró Hertz en su experimento.
EXPERIMENTO DE HERTZ
Con su detector situado a una distancia de alrededor de 30 m del radiador, observó que saltaba una chispa entre las esferas del detector, con lo que demostró que las ondas electromagnéticas ¡efectivamente existen! Mas tarde, el mismo Hertz pudo demostrar que estas ondas se reflejan, se refractan y se comportan como las ondas de luz (véase el capítulo XIV), hecho considerado por la teoría de Maxwell. Así lo reportó Hertz en 1888: "Es fascinante que los procesos que investigué representan, en una escala un millón de veces más amplia, los mismos fenómenos que se producen en la vecindad de un espejo de Fresnel, o entre las delgadas láminas para exhibir los anillos de Newton." Con esto, Hertz se refería a que la longitud de onda de las ondas que su aparato produjo eran un millón de veces la longitud de onda de la luz visible.
EXPERIMENTO DE HERTZ
De los valores que utilizó para los elementos del circuito, Hertz estimó que la frecuencia f de la onda era de alrededor de 3 x 107 Hz. Además Hertz determinó que la longitud de la onda I era de 10 m. Con estos valores determinó que la velocidad V de la onda es :
V = f I = (3 X 107 Hz) X (10 m) = 3 X 108 m/s = 300 000 km/s igual que el valor predicho por Maxwell, o sea, la velocidad de la luz.
EXPERIMENTO DE HERTZ
De esta manera se realizó en forma brillante la primera demostración experimental de la existencia de ondas electromagnéticas, generadas para una frecuencia (y por tanto, longitud de onda) particular. Recordemos que como hay una relación entre la frecuencia y la longitud de onda dada por la ecuación antes mencionada, si se conoce una se puede obtener la otra
EXPERIMENTO DE HERTZ
No había motivo por el cual no se pudiesen generar ondas con diferentes frecuencias, desde las más bajas hasta las más altas. Al conjunto de posibles valores de la frecuencia (o de la longitud de onda) se le llama el espectro electromagnético. Posteriormente, con diferentes tipos de técnicas electrónicas ha sido posible generar, detectar y analizar casi todo el dominio de valores de las ondas electromagnéticas.
EXPERIMENTO DE HERTZ
Dentro del espectro electromagnético hay una región, entre las longitudes de onda de 4 X 10-5 cm hasta 7 X 10-5 cm, que constituye la luz visible. La retina humana es sensible a ondas electromagnéticas dentro de este dominio. Al llegar ondas de estas longitudes de onda a nuestros ojos nos dan la sensación de luz. El ojo humano no ve las ondas electromagnéticas que están fuera de este dominio
EXPERIMENTO DE HERTZ
A cada longitud de onda le corresponde un color particular. Si por ejemplo, su valor es de 5.7 X 10-5 cm, entonces nuestros ojos perciben esta onda de color amarillo. Hay muchas tonalidades de amarillo, cada una con su longitud de onda particular. De hecho, los amarillos quedan comprendidos entre longitudes de onda de 5.56 X 10-5 cm. Algo analogo ocurre con los demás colores.
Nótese que las longitudes de onda de la radiación de la región visible son extremadamente pequeñas. Así, la de uno de los amarillos arriba mencionados es de 5.7 X 10-5 cm = 0.000057 cm. En el caso del experimento de Hertz, la longitud de onda fue de 10 m, que está fuera de la región visible, por lo que él no pudo verla con sus ojos. La pudo detectar con el receptor que ya describimos.
EXPERIMENTO DE HERTZ
El experimento de Hertz fue muy bien recibido y dio lugar a que se aceptara rápidamente el trabajo de Maxwell. La teoría se aplicó a una gran variedad de fenómenos, todos con gran éxito. De esta forma, a principios del siglo XX la teoría electromagnética de Maxwell ocupó una posición equivalente a la de la mecánica de Newton, como una parte de las leyes fundamentales de la física.
Además, con base en la teoría de Maxwell se iniciaron posteriormente aplicaciones prácticas espectaculares, como las comunicaciones inalámbricas, campo que se desarrolló a partir de fines del siglo pasado y que ha logrado extraordinarios avances y aplicaciones en nuestro siglo, convirtiéndose en una de las características de la civilización contemporánea. En los siguientes capítulos hablaremos de estos logros.
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
Se denomina espectro electromagnético a la distribución energètica del conjunto de las ondas electromagnéticas.
Referido a un objeto, el espectro electromagnético o simplemente espectro es la radiación electromagnética que emite (espectro de emisión) o absorbe (espectro de absorción) una sustancia cualquiera, ya sea en la Tierra o en el espacio estelar.
En este sentido, el espectro sirve para identificar cualquier sustancia. Es como una huella dactilar de un cuerpo cualquiera. Los espectros se pueden observar mediante espectroscopios, con los cuales, además , se pueden medir la longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la radiación.
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de onda (rayos gamma, rayos X), hasta las de mayor longitud de onda (ondas de radio).
Todas las radiaciones electromagnéticas se transmiten a la velocidad de la luz (300.000 km/segundo) y en forma de ondas.
Por lo cual, mientras más corta sea la longitud de onda, más alta es la frecuencia de la misma. Onda corta, significa alta frecuencia. Onda larga, baja frecuencia.
Desde un punto de vista teórico, el espectro electromagnético es infinito y continuo.
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
La energía electromagnética en una particular longitud de onda λ (en el vacío) tiene una frecuencia f asociada y una energía de fotón E. Por tanto, el espectro electromagnético puede ser expresado igualmente en cualquiera de esos términos.
Por lo tanto, las ondas electromagnéticas de alta frecuencia tienen una longitud de onda corta y mucha energía mientras que las ondas de baja frecuencia tienen grandes longitudes de onda y poca energía.
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
El espectro electromagnético cubre longitudes de onda muy variadas.
Aunque no están incluidas en el cuadro anterior, existen ondas que tienen frecuencias muy bajas: de 30 Hz y menores. Estas ondas tienen longitudes de onda superior a los 10 km y son relevantes en el estudio de ciertas nebulosas.
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
El espectro electromagnético de la luz visible, cubre el rango de 380 nanómetros a 780 nanómetros (3.800 a 7.800 Ångströms)
Mientras más corta es la longitud de onda de luz visible, el color está más cerca del ultravioleta.
A mayor longitud de onda, es decir menor frecuencia, el color se acerca al infrarrojo
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
Las ondas de radiofrecuencia, producidas por las emisoras de radio son de mayor longitud que las ondas de luz.
Los rayos X, los rayos gamma y los rayos cósmico tienen longitud de onda súper corta, es decir altísima frecuencia.
La unidad usual para expresar las longitudes de onda de luz es el Ångström. Los intervalos van desde los 8.000 Ångströms (rojo) hasta los 4.000 Ångströms (violeta), donde la onda más corta es la del color violeta.
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
Las ondas infrarrojas están entre el rango de 0,7 a 100 micrómetros. La radiación infrarroja se asocia generalmente con el calor. Estas son producidas por cuerpos que generen calor, aunque a veces pueden ser generadas por algunos diodos emisores de luzy algunos láseres.
Las señales infrarrojas son usadas para algunos sistemas especiales de comunicaciones, como en astronomía para detectar estrellas y otros cuerpos y para guías en armas, en los que se usan detectores de calor para descubrir cuerpos móviles en la oscuridad. También se usan en los controles remotos de los televisores, en los que un trasmisor de estas ondas envía una señal codificada al receptor de infrarrojos del televisor. En últimas fechas se ha estado implementando conexiones de área local LAN por medio de dispositivos que trabajan con infrarrojos.
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
Espectro visible
La luz puede usarse para diferentes tipos de comunicaciones. Las ondas de luz pueden modularse y transmitirse a través de fibras ópticas, lo cual representa una ventaja pues con su alta frecuencia es capaz de llevar más información.
Por otro lado, las ondas de luz pueden transmitirse en el espacio libre, usando un haz visible de láser.
Ultravioleta
La luz ultravioleta cubre el intervalo de 4 a 400 nanómetros. El Sol es una importante fuente emisora de rayos en esta frecuencia, los cuales causan cáncer de piel en exposiciones prolongadas. Este tipo de onda se usa en aplicaciones del campo de la medicina
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
Rayos X
La denominación rayos X designa a una radiación electromagnética, invisible, capaz de atravesar cuerpos opacos y de impresionar las películas fotográficas. La longitud de onda esta entre 10 a 0,1 nanometros, correspondiendo a frecuencias en el rango de 30 a 3.000 PHz (de 50 a 5.000 veces la frecuencia de la luz visible).
Rayos gamma
La radiación gamma es un tipo de radiación electromagnética producida generalmente! por elementos radioactivos o procesos subatómicos como la aniquilación de un par positrón-electrón. Este tipo de radiación se produce también en fenómenos astrofísicos de gran violencia.
Preguntas frecuentes
¿Qué son las ecuaciones de Maxwell?
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen el comportamiento de los campos eléctrico y magnético y su interacción. Surgen de la teoría electromagnética y la resumen desde un punto de vista macroscópico.
¿Cuáles son los parámetros que intervienen en las ecuaciones de Maxwell?
Los parámetros incluyen la permitividad eléctrica (ε), la permeabilidad magnética (μ), la densidad de carga (ρ) y la densidad de corriente (J).
¿Cuál es el significado físico de la ley de Gauss para el campo eléctrico?
La ley de Gauss para el campo eléctrico relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada por esa superficie. Esencialmente, se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales.
¿Cuál es el significado físico de la ley de Gauss para el campo magnético?
La ley de Gauss para el campo magnético establece que no existen monopolos magnéticos en la naturaleza. Esto explica por qué al romper un imán siempre se obtienen dos imanes más pequeños, y no dos "medio-imanes".
¿Cuál es el significado físico de la ley de Faraday?
La ley de Faraday describe cómo un campo magnético variable en el tiempo induce un campo eléctrico (y viceversa). Es la base del funcionamiento de los transformadores y generadores eléctricos.
¿Cuál es el significado físico de la ley de Ampère-Maxwell?
La ley de Ampère-Maxwell relaciona el campo magnético con la corriente eléctrica y la variación temporal del campo eléctrico (corriente de desplazamiento). Es una generalización de la ley de Ampère que es consistente con la conservación de la carga.
¿Cómo se pasa de la forma integral a la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell?
Para pasar de la forma integral a la forma diferencial, se aplican los teoremas de la divergencia y del rotacional del cálculo vectorial.
¿Qué establece el teorema de la divergencia?
El teorema de la divergencia relaciona la integral de la divergencia de un campo vectorial sobre un volumen con la integral del flujo del campo vectorial a través de la superficie que encierra ese volumen.
¿Qué establece el teorema del rotacional (o de Stokes)?
El teorema del rotacional relaciona la integral del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie con la integral de línea del campo vectorial a lo largo de la curva que limita esa superficie.
¿Cómo se deduce la forma diferencial de la ley de Gauss a partir de su forma integral?
Aplicando el teorema de la divergencia a la forma integral de la ley de Gauss, se obtiene la relación entre la divergencia del campo eléctrico y la densidad de carga volumétrica.
¿Cómo se deduce la forma diferencial de la ley de Faraday a partir de su forma integral?
Aplicando el teorema del rotacional a la forma integral de la ley de Faraday, se obtiene la relación entre el rotacional del campo eléctrico y la derivada temporal del campo magnético.
¿Cómo se deduce la forma diferencial de la ley de Ampère-Maxwell a partir de su forma integral?
Aplicando el teorema del rotacional a la forma integral de la ley de Ampère-Maxwell, se obtiene la relación entre el rotacional del campo magnético y la suma de la densidad de corriente eléctrica y la derivada temporal del campo eléctrico.
¿Cuál fue la importancia del experimento de Hertz?
El experimento de Hertz demostró experimentalmente la existencia de las ondas electromagnéticas predichas por Maxwell. También mostró que estas ondas se reflejan, se refractan y se comportan como las ondas de luz.
¿Cómo realizó Hertz su experimento?
Hertz utilizó un carrete de Ruhmkorff para generar chispas entre dos esferas, produciendo así ondas electromagnéticas. Luego, utilizó un detector similar para detectar estas ondas a cierta distancia.
¿Qué es el espectro electromagnético?
El espectro electromagnético es la distribución energética del conjunto de las ondas electromagnéticas, que abarca desde las ondas de radio hasta los rayos gamma.
¿Cuál es la relación entre la longitud de onda y la frecuencia en el espectro electromagnético?
La longitud de onda y la frecuencia son inversamente proporcionales. A mayor longitud de onda, menor frecuencia, y viceversa. Todas las radiaciones electromagnéticas se transmiten a la velocidad de la luz.
¿Cuáles son las diferentes regiones del espectro electromagnético?
Las regiones del espectro electromagnético incluyen ondas de radio, microondas, infrarrojo, luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma.
¿Qué es el espectro visible?
El espectro visible es la parte del espectro electromagnético a la que es sensible el ojo humano. Abarca las longitudes de onda entre 380 nanómetros (violeta) y 780 nanómetros (rojo).
¿Qué aplicaciones tienen las diferentes regiones del espectro electromagnético?
Cada región del espectro electromagnético tiene diversas aplicaciones, incluyendo comunicaciones, medicina, astronomía, y seguridad, entre otras.
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- Leyder Jose Ledesma Prado (Autor), 2018, Ecuaciones de Maxwel. Ondas electromagnéticas, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/420423
