Der Begriff ”Fraktal“ wurde in den 70er Jahren von Mandelbrot in seinem Buch ”The fractal geometry of nature“ geprägt. Obwohl es keine präzise Definition eines ”Fraktals“ gibt, hat es Einzug in unseren Sprachgebrauch gefunden. Erstes Interesse an den Eigenschaften von Prozessen auf Fraktalen kam von mathematischen Physikern auf, die sich fragten, wie sich beispielsweise Wärme oder eine Flüssigkeit auf Fraktalen ausbreitet.
Um diese Fragen zu beantworten, braucht man die Theorie der ”Analysis auf Fraktalen“. Die Ausbreitung von Wärme lässt sich durch die Wärmegleichung beschreiben. Ist der Definitionsbereich des Laplace-Operators allerdings ein Fraktal, ergibt sich z.B. das Problem, dass Kurven wie das Sierpinski Dreieck oder die KochKurve nicht glatt sind. Solche Schwierigkeiten zu beheben ist eine neue Herausforderung in der Mathematik, der sich die Analysis auf Fraktalen und insbesondere die Untersuchung stochastischer Prozesse auf selbstähnlichen Mengen widmet.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Das Sierpinski Dreieck
- Konstruktion einer Diffusion auf dem Sierpinski Dreieck
- Eigenschaften des Grenzprozesses
- Diffusionen auf anderen fraktalen Mengen
- Dirichlet Formen und Elektrische Netzwerke
- Halbgruppen und Resolvente
- Dirichlet Formen
- Spuren von Dirichlet Formen
- Elektrische Netzwerke
- Leitfähigkeit
- Elektrische Äquivalenz
- Reguläre f.r. Fraktale
- Similituden und selbstähnliche Strukturen
- Post-kritisch endliche selbstähnliche Mengen
- Maße auf p.c.f.s.s. Mengen
- Renormalisation auf f.r. Fraktalen
- Diffusion auf p.c.f.s.s. Mengen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Diplomarbeit widmet sich der Untersuchung von Diffusionen, d.h. stetigen starken Markov-Prozessen, auf selbstähnlichen Mengen. Das Hauptziel ist die Konstruktion und Analyse dieser Diffusionen, wobei insbesondere der Fokus auf deren Eigenschaften und der Frage liegt, ob vergleichbare Konstruktionen auch auf anderen Fraktalen anwendbar sind.
- Konstruktion und Analyse von Diffusionen auf selbstähnlichen Mengen
- Wahrscheinlichkeitstheoretische Annäherung an die Diffusion
- Analytische Herangehensweise mit Dirichlet Formen
- Elektrische Netzwerke als Hilfsmittel
- Eigenschaften von Diffusionen auf Fraktalen
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1 bietet eine Einführung in die Thematik von Fraktalen und Diffusionen, insbesondere auf selbstähnlichen Mengen. Hier wird die historische Entwicklung und die Bedeutung der Fraktalen für verschiedene Bereiche der Wissenschaft beleuchtet.
Kapitel 2 betrachtet das Sierpinski Dreieck als ein klassisches Beispiel für ein selbstähnliches Fraktal und konstruiert eine Diffusion auf diesem mittels einer Folge von random walks auf Graphen, die das Sierpinski Dreieck approximieren. Des Weiteren werden die Eigenschaften des Grenzprozesses untersucht und Fragen nach der Existenz anderer Diffusionen auf dem Sierpinski Dreieck und der Anwendbarkeit der Konstruktion auf andere Fraktale gestellt.
Kapitel 3 bereitet die analytische Konstruktion einer Diffusion auf endlich verzweigten (finitely ramified) oder post-kritischen selbstähnlichen Mengen mit Hilfe von Dirichlet Formen vor. Es werden grundlegende Konzepte wie Operatorhalbgruppen, Resolvente und Dirichlet Formen eingeführt. Darüber hinaus wird die enge Beziehung zwischen elektrischen Netzwerken und random walks erörtert und die Wichtigkeit von effektiven Widerständen, Leitfähigkeitsmatrizen und der elektrischen Äquivalenz von Netzwerken hervorgehoben.
Kapitel 4 beschäftigt sich mit der Definition und Analyse von regulären, endlich verzweigten Fraktalen, insbesondere mit Similituden, selbstähnlichen Strukturen, post-kritisch endlichen selbstähnlichen Mengen und den Maßen auf diesen Mengen.
Kapitel 5 widmet sich der Renormalisation auf endlich verzweigten Fraktalen.
Kapitel 6 untersucht die Diffusion auf post-kritisch endlichen, selbstähnlichen Mengen.
Schlüsselwörter
Die Arbeit behandelt die Themen Fraktale, selbstähnliche Mengen, Diffusion, stochastische Prozesse, Dirichlet Formen, elektrische Netzwerke, random walks, Wärmegleichung, Laplace-Operator, Brownsche Bewegung, Wärmekern, analytische Herangehensweise, wahrscheinlichkeitstheoretische Annäherung, endlich verzweigte Fraktale, post-kritisch endliche selbstähnliche Mengen.
- Quote paper
- Dr. Christine Aust (Author), 2007, Stochastische Prozesse auf selbstähnlichen Mengen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/418205
