„Schon wieder eines dieser unverständlichen Traktate über Versicherungsmathematik!“ werden Sie denken. Ganz so unrecht ist das sicher nicht, und zusätzlich wird das Thema meist als lästige Pflicht bei der Ausbildung angesehen, später in der Praxis selten in der dozierten Form benötigt und das praktische Rechnen durch den Computer abgelöst.
Aber versuchen wir, der Sache Gerechtigkeit widerfahren zu lassen. Genauso wie ein Händler auf dem Markt seine Eier gewinnbringend zu verkaufen versucht, genauso ist es legitim für eine Lebensversicherung, ihre Produkte gewinnbringend und im Rahmen der gesetzlichen Möglichkeiten an die Frau oder den Mann zu bringen. Zudem ist es bekannt, dass sich das Risiko mit dem Abschluss eines Versicherungsvertrages ändern kann, der Appetit auf Eier beim Kauf von Eier eher selten.
Die damit zusammenhängenden Probleme versucht die Versicherungsmathematik zu lösen. Welche Aufgaben die Mathematik in diesem Zusammenhang hat, das soll hier dargestellt werden. Das juristische und betriebswirtschaftliche Umfeld möchten wir hierbei nicht ganz unerwähnt lassen. Dabei werden wir dem Leser viele lieb gewordene Definitionen, auf die die „klassischen“ Versicherungsmathematiker soviel Wert legen, nicht ersparen können. Aber die Gründe, wieso und weshalb gerade die Formel so und nicht anders ist und teilweise auch die betriebswirtschaftlichen Hintergründe, werden ausführlich erläutert.
Sie werden solche Begriffe wie „Kommutationswert“, „Versicherungsbarwert“ und „Rentenbarwert“ kennen lernen, nicht ohne zu zeigen, dass es auch völlig ohne diese geht. Die Bekanntschaft mit „diskontierten Lebenden“ und „diskontierten Toten“ müssen Sie (leider) machen. Außerdem gehen wir auf das grundlegende „Äquivalenzprinzip“ und die „Überschüsse“ ausführlich ein.
Wenn Sie einen Überblick über die Tarifkalkulation in der Lebensversicherung und deren Grundlagen erhalten und es vielleicht nach der Lektüre möglich ist, Verständnis für so manche „aktuarielle“ Entscheidung zu haben, ist das Ziel erreicht.
Inhalt
0 Rechtfertigung
1 Etwas über das „Risiko“
1.1 Der Begriff des „Risikos“
1.2 Versicherbare Risiken in der Lebensversicherung
1.3 Deckung des Risikos und Produktgestaltung
2 Wer betreibt Versicherungsmathematik?
2.1 Vom Versicherungsmathematiker zum Aktuar
2.2 Der „Verantwortliche Aktuar“
2.3 Die Aufgaben des Versicherungsmathematikers
3 Rechnungsgrundlagen
3.1 Geschichtliche Entwicklung der mathematischen Grundlagen
3.2 Wahrscheinlichkeit und Zins Einführung
3.3 Einführungsbeispiele
3.4 Kosten
3.5 Die Ordnung von Rechnungsgrundlagen
4 Prämien und Deckungskapital
4.1 Das Äquivalenzprinzip
4.2 Barwerte
4.3 Prämienkalkulation mit Barwerten
4.4 Deckungskapital und Deckungsrückstellung
4.5 Wahrscheinlichkeit und Zins Fortführung
Exkurs: Über die BU/EU-Risiken
5 Gewinn und Überschuss
5.1 Garantiewerte
5.2 Gewinnentstehung
5.3 Gewinnverwendung
6 Besondere Themen
6.1 Preferred Lifes
6.2 Modellrechnungen (Leistungsdarstellung)
6.3 Über die "Rendite" eines Vertrages
7 Nachlese
Literaturverzeichnis
Index
Grundwerte Sterbetafel DAV 1994TM
Fragen und Lösungen
0 Rechtfertigung
„Schon wieder eines dieser unverständlichen Traktate über Versicherungsmathematik !“ werden Sie denken. Ganz so unrecht ist das sicher nicht, und zusätzlich wird das Thema meist als lästige Pflicht bei der Ausbildung angesehen, später in der Praxis selten in der dozierten Form benötigt und das praktische Rechnen durch den Computer abgelöst. Wie oft ärgert man sich, daß dies und jenes aus „aktuariellen Gründen“ nicht geht, müssen Tabellen so akzeptiert werden, weil das „die Mathematik so vorgegeben hat“, dauert das alles viel zu lange, weil noch etwas „nachgewiesen werden muß“ - und das, obwohl es „kein BAV mehr gibt“.
Es drängt sich der Verdacht auf, daß die Mathematiker in einem Elfenbeinturm leben und unverständliche Entscheidungen herbeiführen, deren Richtigkeit sie akribisch und in ihrer eigenen Sprache beweisen und begründen.
Aber halt - versuchen wir, der Sache Gerechtigkeit widerfahren zu lassen. Wie auch immer, der Händler auf dem Markt versucht, seine Eier möglichst gewinnbringend zu verkaufen - das ist in einer Marktwirtschaft eine Binsenweisheit. Genauso legitim ist es für eine Lebensversicherung, ihre Produkte gewinnbringend und im Rahmen der gesetzlichen Möglichkeiten an die Frau oder den Mann zu bringen. Der Unterschied von Eiern zu Lebensversicherungen liegt unter anderem darin, daß Lebensversicherung ein imaginäres Produkt ist, das erst im Leistungsfall konkret wird, und dessen Preis überdies noch mit statistischen Methoden und nicht aus Einkaufspreislisten für Eier bestimmt werden muß. Zudem ist die Tatsache wohl bekannt, daß sich das Risiko (wir werden diesen Begriff noch ausführlich behandeln) mit dem Abschluß einer Versicherung verändern kann - beim Eiereinkauf ändert sich der Appetit auf Eier eher selten.
Die damit zusammenhängenden Probleme versucht die Versicherungsmathematik zu lösen. Welche Aufgaben die Mathematik in diesem Zusammenhang hat -das soll hier dargestellt werden. Das juristische und betriebswirtschaftliche Umfeld möchten wir hierbei nicht ganz unerwähnt lassen. Dabei werden wir dem Leser viele lieb gewonnene Formeln und Definitionen - auf die die "klassischen" Versicherungsmathematiker soviel Wert legen - nicht ersparen können. Aber die Gründe wieso und weshalb gerade die Formel so und nicht anders istund teilweise auch diebetriebswirtschaftliche n Hintergründe werdenausführlicher erläutert.
Sie werden solche Begriffe wie „Kommutationswert“, „Versicherungsbarwert“ und „Rentenbarwert“ kennenlernen - nicht ohne zu zeigen, daß es auch völlig ohne diese geht(!) Die Bekanntschaft mit „diskontierten Lebenden“ und „diskontierten Toten“ müssen Sie - leider - machen. Außerdem gehen wir auf das grundlegende „Äquivalenzprinzip“ und die "Überschüsse" ausführlich ein.
Wenn Sie einen Überblick über die Tarifkalkulation in der Lebensversicherung und deren Grundlagen erhalten und es Ihnen vielleicht nach der Lektüre möglich ist, Verständnis für so manche „aktuarielle“ Entscheidung zu haben, ist das Ziel dieses Traktates erreicht.
Viel Erfolg !
Bemerkung: Wir verwenden die Begriffe "Versicherungsmathematiker" und "Aktuar" synonym, wohl wissend, daß es Unterschiede gibt. Das ehemalige Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen wird mit BAV bezeichnet - soweit der sachliche Hintergrund historisch ihm zugerechnet wird. Ansonsten wird es mit BAFin (Bundesaufsichtsamt für das Finanzwesen) bezeichnet.
1 Etwas über das Risiko
1.1 Der Begriff des „Risikos“
„Menschliches Handeln und Entscheiden ist in aller Regel zielgerichtet, ist zweckorientiert, selbst wenn Ziele und Zwecke häufig nicht bewußt oder gar rational ausgewählt werden.“ - so die Aussage von Helten in [14]. Diese offensichtlich sehr normative Feststellung über den Menschen wird als „Finalität der Zielorientierung“ bezeichnet. Als Voraussetzung bei der Definition des Risikos vereinfacht sie den Mathematikern so manches versicherungstechnische Grundlagenproblem (es gibt zum Beispiel keine „Sponties“).
Aufgrund der vielen fehlgeschlagenen allgemeinen Definitionsversuchen von „Risiko“ beschränkt sich der Mathematiker eher auf eine zweckorientierte und subjektive Definition. In diesem Sinne wird jedes menschliche Handeln und Entscheiden in zwei Kategorien unterteilt, die da sind:
(1) deterministische Vorgänge und Entscheidungen
alle möglichen Ausgänge des Vorgangs und Folgerungen aus der Entscheidung können anhand der Voraussetzungen definiert, abgegrenzt, wohlunterschieden und aufgezählt werden; die Frage, welcher Endzustand zutrifft oder was aus der Entscheidung folgt, kann genau, eindeutig und ohne Zweifel vorausgesagt werden;
(2) stochastische Vorgänge und Entscheidungen
im Unterschied zu (1) ist der Endzustand des Handelns bzw. die aus der Entscheidung folgenden Tatsachen nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit voraussagbar; oft sind die Zustände nicht genau abzugrenzen.
Die meisten Vorgänge, Handlungen und Endscheidungen in unserem Leben sind eine Mischung aus deterministisch und stochastisch (und das macht das Leben erst interessant).
Beispiele
Rechne 1+1 in unserem Zahlensystem. Das deterministische Ergebnis ist 2. Dieses Ergebnis ist immer wieder erzeugbar, egal ob mit Computer, auf dem Papier mit dem Bleistift oder im Kopf, ob in Deutschland, Frankreich oder in China.
Werfen Sie einen Würfel. Welche Zahl liegt oben ? Die möglichen Ergebnisse des stochastischen Vorgangs sind 1...6.
Ein weniger triviales Beispiel für einen stochastischen Vorgang ist die Fahrt mit dem Auto von Mannheim nach Heidelberg. Ob Sie das Ziel erreichen, hängt von Ihren Fahrkünsten, dem Wetter, den anderen Fahrern und u. a. den Wegverhältnissen ab.
Gerade das letzte Beispiel verdeutlicht, woher stochastische Vorgänge eigentlich kommen - aus einem Informationsdefizit, einer gewissen Ungewißheit, Unbestimmtheit der äußeren Umstände und einer Unsicherheit über die Menge der möglichen Einflußfaktoren.
Kurze Anmerkung aus der Sicht des Aktuars:
Ein versicherungsmathematisches Beispiel für einen deterministischen Vorgang ist bei einer Terme-Fix-Versicherung der feste Auszahlungszeitpunkt. Aber auch die Tatsache, daß ein Versicherungsnehmer die vereinbarte Prämie zu Beginn eines Jahres zahlen muß ist ein deterministischer Vorgang - ansonsten kommt "Versicherung" gar nicht zustande. Ein stochastischer Vorgang ist demgegenüber zum Beispiel die Leistung aufgrund von Tod bei einer Risikoversicherung.
Als „Risiko“ wollen wir im Sinne der oben zitierten Finalität des menschlichen Handelns eine mögliche negative Abweichung vom Ziel eines Menschen bezeichnen. Unmittelbar einsichtig ist damit, daß es bei deterministischen Vorgängen kein Risiko gibt, daß das Risiko erst mit einem Informationsdefizit entsteht und mit steigendem Informationsdefizit immer größer wird.
1.2 Versicherbare Risiken in der Lebensversicherung
Um ein Risiko zu beschreiben, haben sich in der Versicherungsbranche die folgenden vier Dimensionen herauskristallisiert:
(1) Gefahr
damit ist in der Lebensversicherung z. B. der Tod, die
Heirat, die Berufsunfähigkeit gemeint;
(2) Objekt
damit ist in der Lebensversicherung immer eine Person
gemeint die versichert werden soll (bei KFZ z. B. ein
Auto);
(3) Schaden
damit ist der tatsächlich eingetretene Schadenfall gemeint
- bei der KFZ-Versicherung etwa die Reparaturkosten nach
einem Unfall, bei der Lebensversicherung ist das etwas
schwer zu bestimmen;
(4) Entschädigung
die Leistung, die ein Versicherungsunternehmen im
Schadenfall erbringt, bei der Lebensversicherung im
Todesfall etwa die Todesfallsumme.
Der Versicherungsmathematiker betrachtet nun "Versicherung" als einen Tausch des durch die Parameter beschriebenen (stochastischen) Risikos gegen die (deterministische) Prämie. Damit ist der Versicherungsnehmer zumindest von den finanziellen Folgen des Risikos entbunden. Er hat das Risiko an das Versicherungsunternehmen weitergegeben. Vordergründig ist damit zunächst nichts gewonnen. Das Versicherungsunternehmen allerdings hat - im Gegensatz zum einzelnen Versicherungsnehmer - die Möglichkeit und das Ziel viele gleichartige Risikenan sich zu binden und zu einem sogenannten Kollektivzusammenzufassen. "Gleichartig" wird hierbei an den 4 Dimensionen des Risikos gemessen (wir werden diesen Begriff noch genauer betrachten ...). Von jedem Kollektivmitglied wird eine Preis für sein Risiko verlangt (Risikoprämie), um im Schadenfall eine Leistung zahlen zu können. Wir spechen dann von einem homogenen Kollektiv.
Damit eine solche Kollektivbildung sinnvoll ist - ein Risiko ist dann versicherbar- ist es u. a. notwendig, daß ein Preis für jedes am Kollektiv beteiligte Risiko kalkuliert werden kann (d. h. die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit muß bekannt sein), und durch die Versicherungsnahme darf sich die tatsächliche Schadeneintrittswahrscheinlichkeit (ohne entsprechenden Aufpreis) nicht ändern (moralisches Risiko). Um es nochmals klar zu sagen, „homogen“ heißt, daß zwei Risiken in einem Kollektiv entweder gleich sind (gemessen an den Punkten (1) - (4)), oder für die Unterschiede muß ein entsprechender Preis verlangt werden (wenn sie in dem Kollektiv zusammengefaßt werden sollen).
Unter diesen Voraussetzungen benutzt das Versicherungsunternehmen das "Gesetz der Großen Zahl", um die Anzahl und die Höhe der voraussichtlichen Schäden zu schätzen. Damit kann es zwar das finanzielle Risiko des Einzelnen nicht verhindern, aber durch geeignete Zu- und Abschläge auf die Prämie sein eigenes Ruinrisiko minimieren. Durch diesen Vorgang erhält der Versicherungsnehmer den sogenannten "Risikoschutz".
Wichtig ist es also, die vier Risikodimensionen für den "Risikoschutz" zu kennen. Betrachten wir die vier Dimensionen aus Lebensversicherungssicht, so ist (2) und (1) relativ leicht festzulegen (selbst dann, wenn bei (1) sich i. a. viele Geister vor Gericht streiten). Bei (3) und (4) liegt eine etwas schwierigere Situation vor, da in der Lebensversicherung der gesamte Schaden nicht in Geld gemessen werden kann (z. B. Imageverlust bei Berufunfähigkeitsversicherung) und damit die Entschädigungssumme nicht exakt definierbar ist. Grundsätzlich gilt - wie in allen anderen Versicherungssparten auch, daß die Lebensversicherung nicht den Schaden an sich übernimmt, sondern nur die finanziellen Auswirkungen desselben zu mindern versucht. Dies führt auf die Begriffe des „subjektiven“ und des „objektiven“ Risikos. In der Lebensversicherung versucht man, durch das subjektive Risikozu beschreiben, wie groß der Einfluß der versicherten Person auf den Eintritt des Versicherungsfalls ist (z. B. je höher eine eingeschlossene Berufsunfähigkeitsrente ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für die Berufsunfähigkeit). Objektives Risiko ist der Komplex der Schadenursachen, der nicht beeinflußbar ist, also etwa Alter, Geschlecht, Körpergröße und u. E. Familienstand.
Eng damit verknüpft ist das „moralische“ Risiko, durch das zum Ausdruck kommen soll, wie die Tatsache des Vertragsabschluß sich auf das versicherte Risiko selbst auswirkt. Lebt die versicherte Person leichtfertiger, wenn sie eine Lebensversicherung abgeschlossen hat? Wir werden auf den Begriff nochmals zurückkommen.
1.3 Deckung des Risikos und Produktgestaltung
In der Lebensversicherungsbranche hat sich bis heute die Deckung einiger weniger ausgewählter Risiken herauskristallisiert. Beispiel sind:
- Todesfallrisiko
- Erlebensfallrisiko
- Heiratsfallrisiko
- Unfalltodrisiko
- Berufsunfähigkeitsrisiko
- Erwerbsunfähigkeitsrisiko
usw.
Dem stehen eine mehr oder minder große Anzahl von Produkten gegenüber, die ein oder mehrere Risiken decken und so in entsprechendem Rahmen sich dem tatsächlichen Versicherungsbedarf anpassen lassen (Produktgestaltung). Wir beschränken unsere Aufzählung auf die landläufigen Produkte (bzw. Tarife / Risiken).
Versicherungen ausschließlich auf den Todesfall
- reine Risikoversicherung
Im Falle des Todes innerhalb des Versicherungszeitraumes wird eine bestimmte Summe gezahlt;
- Sterbegeldversicherung
Eine Summe wird bei Tod gezahlt, wobei die Versicherungsdauer lebenslang ist.
Versicherungen auf den Todes- und Erlebensfall
- kapitalbildende Lebensversicherung
Das Lebensversicherungsunternehmen zahlt eine bestimmte Summe bei Tod und eine bestimmte Summe zu festgelegten Terminen, i. a. wenn der Ablauf erreicht wird.
Mögliche Varianten sind:
(1) Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall 1 Leben
(2) Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall 2 Leben
(3) Versicherung mit festem Auszahlungszeitpunkt (Term-Fix)
(4) Aussteuerversicherung - Zahlung im Heiratsfall und bei Er-
leben des Ablaufs / Beitragsfreistellung bei Tod des
Versorgers und Beitragsrückgewähr bei Tod des Kindes
(5) Versicherung auf den Todesfall mit mehreren Erlebensfallei-
stungen
Versicherungen auf den Unfalltod
Zahlung einer Summe bei Tod durch einen Unfall
Berufsunfähigkeitsversicherung
- als Hauptversicherung
Zahlung einer Rente im Berufsunfähigkeitsfall bis zu einem vereinbarten Alter oder bis zur Reaktivierung. Die Versicherung ist rechtlich selbständig.
- als Zusatzversicherung
Entweder als eigenständige Rente wie als Hauptversicherung, aber an eine zusätzliche Versicherung gekoppelt oder als Beitragsbefreiung im Berufsunfähigkeitsfall für eine andere Versicherung.
Rentenversicherung
Zahlung einer Rente ab einem bestimmten Zeitpunkt bis zum Tod oder einem vereinbarten Termin (ggf. mit einer Ansparphase, Beitragsrückgewähr im Todesfall, Rentengarantiezeit etc.). Hier wird das Risiko versichert, länger zu leben, als feste Ersparnisse eine Rentenzahlung sichern könnten.
Auch als Zusatzversicherung zu einer anderen Versicherung, bei der die Zahlung einer Rente für eine zweite versicherte Person vereinbart wird, wenn die versicherte Person stirbt. Die Zahlung der Hinterbliebenenrente kann sofort bei Tod der ersten versicherten Person beginnen oder erst ab einem vereinbarten Zeitpunkt erfolgen.
Pflegerentenversicherung
Zahlung einer Rente im Pflegefall und ab einem gewissen erreichten Alter.
Dread Disease
Zahlung einer vereinbarten Summe, wenn genau definierte Krankheitsfälle (Herzinfarkt, Bypassoperation, Krebs etc.) eintreten.
In neuerer Zeit kommen auch die sogenannten Fondsprodukte (Kapital- / Rentenversicherung) oder die Riester-Rente verstärkt an den Markt.
Die Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Letztlich ist die Produktgestaltung eine unternehmenspolitische Frage und ist deshalb auch im Zusammenhang mit den Möglichkeiten der EDV und des Marketings zu sehen. Vor allem bei der Kombination der einzelnen Produktteile und bei den Kapitalanlagemöglichkeiten der Beiträge sind mannigfaltige Variationen noch denkbar und längst nicht alle Bedürfnisse abgedeckt.
2 Wer betreibt Versicherungsmathematik ?
2.1 Vom Versicherungsmathematikerzum Aktuar
Um unfruchtbaren Grundsatzdiskussionen zu entgehen, wollen wir an dieser Stelle die Deutsche Aktuarvereinigung (DAV) sprechen lassen. Der vorliegende Abschnitt ist im wesentlichen eine Zusammenfassung des Artikels „Das Berufsbild des Aktuars“ von M. Helbig in [4].
Der Aktuar (frühere Bezeichnung für Gerichtsschreiber) wird im deutschen Sprachgebiet als „Versicherungsmathematiker“ bezeichnet. Deshalb werden die beiden Begriffe oft synonym verwendet, obwohl sie nicht ganz deckungsgleich sind. Am ehesten können wir einen Unterschied darin sehen, daß der Versicherungsmathematiker sich fast ausschließlich mit den mathematischen Teilen der Versicherung beschäftigt, während der Aktuar auch die Anwendung und die Verbindung zu den „vielen wirtschaftlichen, steuerlichen und gesetzlichen Vorschriften und Methoden“ kennen und anwenden muß. Sein Aufgabenbereich geht also über die reine Technik weit hinaus.
Vom Aktuar wird erwartet, daß er Vorgaben selbständig weiterverarbeitet und einer Lösung zuführt. Im Rahmen seines Aufgabengebietes hat er die Bewertung und Preisermittlung vorzunehmen sowie Prognosen zu wirtschaftlichen und demographischen Daten zu erstellen. Im Sinne dieser Ausarbeitung stellt der Aktuar also den Anwender der mathematischen Ergebnisse früherer Mathematikergenerationen dar, und gleichzeitig verbindet er diese mit betriebswirtschaftlichen Überlegungen und gesetzlichen Vorschriften zur Planung und Steuerung der Tarifentwicklung im Lebensversicherungsunternehmen.
Der „Aktuar (DAV)“ ist ein Mitglied der Deutschen Aktuarvereinigung, der Standesvereinigung der Aktuare mit Sitz in Bonn (ungef. 1 705 Mitglieder / Ende 2001). Aktuar (DAV) ist ein Titel und keine Berufsbezeichnung.
2.2 Der „Verantwortliche Aktuar“
Im Gegensatz zu den Bezeichnungen in Abschnitt 2.1 ist der „Verwortliche Aktuar“ (VA) ein gesetzlich festgelegter Begriff, formuliert für Lebensversicherungsunternehmen in § 11 a VAG. Er muß zuverlässig und fachlich geeignet sein. Er wird durch das Unternehmen bestellt und vor seiner Bestellung der Aufsichtsbehörde benannt. „Fachlich geeignet“ heißt in diesem Zusammenhang eine mathematische Ausbildung an einer Universität, technischen Hochschule oder technischen Fachhochschule, ausreichendes aktuarielles Grundwissen (z. B. nachgewiesen durch das Aufnahmeverfahren in die DAV), eine lückenlose einschlägige Praxis als Aktuar, während der letzten drei Jahre und die Erbringung des Nachweises, daß die bisherige Tätigkeit die wesentlichen aktuariellen Funktionen im vergleichbaren Umfang abgedeckt hat.
Neben den Standesregeln für die Mitglieder in der DAV sollte der VA die Grundsätze der „Group Consultativ“ befolgen (näheres hierzu in [5]).
Der VA hat
(1) sicherzustellen, daß bei der Berechnung der Prämien und der Deckungsrückstellungen die gesetzlichen Vorschriften und die dazu erlassenen Rechtsverordnungen eingehalten werden (wir werden auf diese noch genauer zurückkommen; vgl auch [30] und [31]),
(2) die Finanzlage des Unternehmens zu prüfen, ob die dauernde Erfüllbarkeit der sich aus den Versicherungen ergebenden Verpflichtungen jederzeit gewährleistet ist,
(3) unter der Bilanz zu bestätigen, daß die Deckungsrückstellung gemäß den gesetzlichen Grundlagen und der dazu erlassenen Rechtsverordnungen gebildet ist,
(4) dem Vorstand Vorschläge für eine angemessene Überschußbeteiligung zu machen.
Der VA kann ein Vorstandsmitglied sein oder auch eine externe Person. Er muß eine natürliche Person sein. Einen Stellvertreter gibt es nicht. Das BAFin wünscht, daß der Bestellung des VA's der Aufsichtsrat zustimmt.
Für ein tieferes Studium des VA's verweisen wir auf [5].
2.3 Die Aufgaben des Versicherungsmathematikers
Entsprechend dem in Abschnitt 2.1 gesagten können wir die Aufgaben des Versicherungsmathematikers wie folgt zusammenfassen:
- mathematische Beschreibung des Risikos (Formelwerk);
- Ableitung der statistischen Grundlagen;
- Tarifierung und Prämienkalkulation (d.h. welches Risiko wird wie gedeckt und zu welcher Prämie);
- alles was mit "Überschüssen" zu tun hat;
- Bilanzierung, externe / interne Statistik und Beitragszerlegung;
- Rückstellungsberechnung;
- Risikosteuerung und Kapitalanlagen;
- Absprachen mit der EDV;
- Rückversicherung;
- Beratung für Fachabteilungen, Marketing, Rechtsabteilung (AVB!!) usw...
Die Aufzählung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
Vor der Deregulierung waren die Aufgaben etwas leichter. Es gab die Vorabtarifgenehmigung durch das BAV (jetzt BAFin). Die Tarifgestaltung beschränkte sich auf die Gestaltung der Überschußbeteiligung. Auch für diese war weitgehend vom BAV der Rahmen vorgegeben. Niedergelegt war der Willen des BAV in sogenannten Mustergeschäftsplänen. Bevor ein neuer Tarif eingeführt werden konnte, mußte vom Versicherungsunternehmen ein Geschäftsplan konstruiert und zur Genehmigung dem BAV vorgelegt werden. Abweichungen zum Mustergeschäftplan waren zu begründen. Eine Innovation, wie wir sie etwa aus der Automobilbranche kennen, konnte damit nicht stattfinden. Insbesondere waren die einzurechnenden Kosten weitgehend vom BAV vorgegeben und das Versicherungsunternehmen von dahingehenden Überlegungen entbunden. Die Regulierung ging soweit, daß alle Unternehmen mit den gleichen Tafeln und Zinssätzen für verkaufsoffene Tarife kalkulierten. Im einzelnen enthielt ein Geschäftsplan die Angaben:
- Einführungszeitpunkt und welche Tarife ersetzt wurden
- Tarifformen und versicherte Leistungen
- Beitragszahlungsmöglichkeiten
- Zulässigkeit von Eintrittsaltern
- Zulässigkeit von Versicherungsdauern, Beitragszahlungsdauern,
Versicherungssummen und Beiträgen
- wann eine Gesundheitsprüfung zu erfolgen hatte
- Zulässigkeit von Zusatzversicherungen
- Versicherungsbedingungen
- welche Gebühren erhoben wurden
- Anpassung von Beiträgen und Versicherungsleistungen
- Ausscheideordnungen
- Rechnungszins
- Kostenzuschläge
- Behandlung von Mehrfachversicherungen
- Ratenzuschläge
- Formeln für Tarifbeiträge, Erhöhungssummen, Zuzahlungen,
Deckungskapital, Rückvergütungen, beitragsfreien
Versicherungssummen, Bilanzdeckungsrückstellung
- wie die Versicherungsnehmer unterrichtet wurden
- wie die Verträge am Überschuß beteiligt sind
- Besonderheiten
In der Anlage (möglich bzw. teilweise zwingend):
- sämtliche sonstige Formeln und Tabellen
- Beispiel zu jeder möglichen Rechnung und jeder Formel
- sämtliche Allgemeinen Versicherungsbedingungen,
Muster des Antrags, der Police, eines Policennachtrages
- besondere Nachweise und Beweise (mathematisch)
Für Verträge, die bis zur Deregulierung abgeschlossen wurden, gelten die Geschäftspläne und auch die gesamte Versicherungsaufsicht in vollem Umfang weiter (§ 11 c VAG). Diese werden als „Altbestand“ bezeichnet und sind in Artikel 16 § 2 3. Abs. Durchführungsgesetz EWG als „die bis zum 31. Dezember 1994 unter Verwendung vor dem 29. Juli 1994 genehmigter allgemeinen Versicherungsbedingungen abgeschlossene Lebensversicherungsverträge“ definiert. Auf diese sind die zugehörigen genehmigten Geschäftspläne anzuwenden.
Für die nach der Deregulierung abgeschlossenen Versicherungen (Neubestand) muß sich der Versicherungsmathematiker selbst auf die Suche nach den geeigneten Formeln und Rechnungsgrundlagen begeben.
3 Rechnungsgrundlagen
3.1 Die Entwicklung der mathematischen Grundlagen
Mit gutem Gewissen kann gesagt werden, daß es Versicherungsmathematik vor dem 15. Jahrhundert nicht gab. Die mathematischen Wissenschaften existierten zwar schon, aber sie waren nicht soweit entwickelt, daß sie im Bereich „Versicherung“ angewendet werden konnten. Die wissenschaftliche Forschung war ohnehin in Europa zwischen der Zeit des römischen Reiches und dem ausgehenden Mittelalter auf die Klöster konzentriert - die im Großen und Ganzen lediglich die Ergebnisse der alten Griechen konservierten, so gut sie konnten.
Erst im 15. Jahrhundert (mit der Aufklärung) nahm die Mathematik einen großen Aufschwung und mit ihr die Teile der Mathematik, die direkt mit Versicherung verbunden sind. Ausgehend von konkreten Problemen mit Spielen entwickelte sich der Wahrscheinlichkeitsbegriff. Das öfters in mathematischen Werken zitierte Problem des Chevalier de Méré bezüglich eines Glücksspiels mit Würfeln und der daraus folgende Briefwechsel zwischen Pascal (1623-1662) und Fermat (1601-1665) gilt als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie wir sie heute kennen. Der Begriff der „Wahrscheinlichkeit“ wurde aber von Jakob Bernoulli (1645-1705) formuliert und erst im 19. Jahrhundert in seiner endgültigen Form definiert. Die hier verwendete Wahrscheinlichkeitsdefinition stammt von Laplace (1749-1827). Die viel gebrauchte Sterbetafel wurde erstmalig von Hayley (1656-1742) in einer brauchbaren Form erzeugt. Er gewann sie durch Auswertung von Geburten- und Sterberegistern der Stadt Breslau, die von dem Pastor C. Neumann in den Jahren 1687-1691 ausgewertet wurden.
Systematische Zinseszinsrechnung wurde erstmalig von Stevin (1548-1620) durchgeführt. Er veröffentlichte die ersten Zinseszinstabellen und gab die dazu notwendigen Berechnungsformeln an.
In Deutschland bemühten sich besonders Süßmilch (1707-1767 / erste systematische Sterblichkeitsstatistik) und Gauß (1777-1855 / erste „Barwerte“ und die „Normalverteilung“) um die Weiterentwicklung einer Lebensversicherungsmathematik.
Die ersten in Deutschland im 18. und 19. Jahrhundert gegründeten Lebensversicherungsunternehmen hatten längeren Bestand als vergleichbare Unternehmen in England, da das Konzessionswesen sehr stark verbreitet war und die Unternehmen über eine große Kapitaldecke verfügen mußten. Aufgrund der Umstellung des Außendienstes von nebenberuflichen Vermittlern auf hauptberufliche Vermittler erfolgte ein Wechsel von laufender Provision zur einmaligen Provisionszahlung Mitte des 19. Jahrhunderts - und ein starker Aufschwung der Branche. Die sich daraus ergebenden finanziellen Probleme bei stark wachsenden Beständen wurden von Zillmer (das sog. Zillmerverfahren von 1863) aufgegriffen und zumindest bilanztechnisch gelöst. Nach seinem Vorschlag werden die Abschlußkosten der Deckungsrückstellung des Kollektivs entnommen und während der Laufzeit durch die Beitragszahlung getilgt. Die letzten hundert Jahre bis zur Deregulierung waren geprägt durch das Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BAV) und seine Vorläufer (seit 1901). Diese legte die Rechnungsgrundlagen und Formeln verbindlich für die gesamte Branche fest.
Seit der Deregulierung muss sich der Aktuar selbst auf den steinigen Weg machen, die Kalkulationsgrundlagen für seine Tarife zu finden. Die Formelzusammenstellung ist noch der einfachste Teil der ganzen Datensuche, denn hierüber haben sich viele Mathematiker schon Gedanken gemacht. Die gesetzlichen Grundlagen hierfür sind im wesentlichen im HGB [7], dem VAG [3], dem VVG [3] und den dazu erlassenen Rechtsverordnungen [8], [30] gegeben.
Die beiden zentralen Begriffe der gesetzlichen Grundlagen sind die Prämieund die Deckungsrückstellung. In § 11 VAG ist die Berechnung der Prämie geregelt. Insbesondere wird festgestellt, daß bei der Berechnung der voraussichtlichen Leistungen angemessene Sicherheitszuschläge verwendet werden müssen, die Verwaltungskosten ausreichend zu berücksichtigen sind und daß beim Zins nicht beliebig hoch gegangen werden kann. Vor allem wird geregelt, daß alle Leistungen auf Dauer aus Prämienzahlungen bestritten werden müssen. In Absatz 2 ist der sogenannte „Gleichbehandlungsgrundsatz“ bei gleichen Voraussetzungen festgeschrieben. Er besagt im wesentlichen, daß innerhalb eines homogenen Kollektivs Prämien und Leistungen (incl. Überschußbeteiligung) nicht so berechnet werden dürfen, daß Teile bevorzugt oder benachteiligt werden. „Quersubventionen“ sind also verboten. Unter „gleichen Voraussetzungen“ versteht man in diesem Zusammenhang:
1. gleiches Risiko, d. h. Todesfallrisiko, Erlebensfallrisiko, Invalidisierungsrisiko;
2. gleiche objektive Unterscheidungsmerkmale, d. h. etwa Alter, Geschlecht, Raucher / Nichtraucher usw.;
3. objektive Kollektivzugehörigkeit, d. h. Einzelversicherung oder Kollektivversicherung mit/ohne eigene Vertragsabrechnung;
4. gleiche Methode der Risikoeinschätzung, d. h. etwa gleiche Risikoprüfung / Gesundheitsfragen;
5. gleiche Form der Kapitalanlage;
6. Zeitpunkt des Vertragsbeginns, d. h. bis zu einem bestimmten Termin wird die Versicherungsform verkauft.
Dem Aktuar obliegt es klarzustellen, wann gleiche Voraussetzungen bei einem Kollektiv vorliegen.
In § 11 VAG taucht auch schon der Begriff „Deckungsrückstellung“ auf. „Spare in der Zeit, so hast du in der Not“ lautet das Sprichwort. Genau diesem wird in § 341f des HGB Rechnung getragen und in § 11 VAG zurückgegriffen. Was hat es damit auf sich? Der Eierverkäufer ganz zu Beginn dieser Ausarbeitung weiß, daß er nicht alle Eier verkaufen kann. Eine gewisse Anzahl geht kaputt, ist qualitativ zu schlecht oder sei es auch nur, daß die Verkaufszahlen von Tag zu Tag schwanken. Es ist deshalb durchaus legitim, einen Zuschlag auf den Verkaufspreis zu erheben, der zurückgelegt wird und aus dem sowohl Einnahmeschwankungen ausgeglichen werden als auch Leistungen an Lieferanten und Kunden zu erbringen sind - soweit sie nicht aus dem Verkaufspreis gedeckt werden können. Genau das tut ein Lebensversicherungsunternehmen auch in Form der Deckungsrückstellung - nur in einem relativ großen Umfang, da das Hauptgeschäft auf Leistungszusagen für die Zukunft beruht. In § 341f HGB ist nur die Verpflichtung zur Stellung einer Deckungsrückstellung festgelegt. In § 11 VAG wird angeordnet, daß die dazu notwendigen Mittel aus Prämienzahlungen stammen müssen.
Zunächst ist die Berechnung der Deckungsrückstellung völlig unabhängig von der Prämienberechnung (ein in der Lebensversicherung gewöhnungsbedürftiger Umstand). Der Höchstzinssatz zur Berechnung wird in § 65 VAG (mit Verordnung) festgelegt. Hier befinden sich auch weitere Festlegungen, auf die wir in den folgenden Abschnitten zu sprechen kommen.
Übrigens: Der Begriff "Deckungsrückstellung" ist in § 341f HGB definiert und macht nur zu einem bestimmten Bilanzzeitpunkt für einen Bestand (oder auch Teilbestand) Sinn. Das "Deckungskapital" ist grundsätzlich einzelvertraglich, zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb der Versicherungsdauer und bestimmt mit den Formeln und Grundwerten die für den Aktuar zu diesem Zeitpunkt zwingend sind. Die beiden Begriffe haben also einen ganz verschiedenen Hintergrund, obwohl es - zufällig - sein kann, daß das einzelvertragliche Deckungskapital per 31.12. gleich der Deckungsrückstellung für einen Bestand ist, der gerade aus diesem einen Vertag besteht (vgl. hierzu [15]).
Die berechnete notwendige Deckungsrückstellung zur Deckung der zukünftigen Leistungsverpflichtungen muß natürlich mit einem entsprechenden Gegenwert bedeckt werden. Diese Kapitalmenge nennt man den Deckungsstock. Welche Kapitalanlageformen dazu verwendet werden dürfen und wie dabei zu verfahren ist, regelt § 66 VAG.
[...]
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