In this paper basic concepts of C*-algebras are presented with accent on positive elements and approximate identities. After that, we investigate states of C*-algebras and representations of C*-algebras and prove theorems that illustrate their properties and mutual correspondences, among which are GNS construction and two Gelfand-Naimark theorems of special importance.
Sadr
zaj
1
Uvod
2
2
C*-algebre
4
2.1
Osnovni pojmovi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Spektralna analiza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Pozitivni elementi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4
Aproksimativne jedinice i koli
cni
cke
algebre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3
Stanja C*-algebre
20
4
Reprezentacije C*-algebre
28
4.1
Pojam reprezentacije C*-algebre
. . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2
Konsturisanje reprezentacija C*-algebre
. . . . . . . . . . . . 36
4.3
Egzistencija reprezentacija C*-algebre
. . . . . . . . . . . . . 42
4.4
Reprezentacije komutativne C*-algebre
. . . . . . . . . . . . 44
5
Primene teorije C*-algebri
48
5.1
Klasi
cna mehanika
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2
Kvantna mehanika
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6
Zaklju
cak
53
Literatura
54
Biografija
55
1
Glava 1
Uvod
Temelje algebri operatora postavio je D
zon fon Nojman po
cetkom dva-
desetog veka kada su fizi
cari, vode´
ci se potrebom da objasne nepravilnosti
na koje su naisli u eksperimentima, po
celi da otkrivaju kvantnu mehaniku.
Ta nova grana fizike je u malom vremenskom periodu dovela do mnogih
zapanjuju´
cih teorija koje su neki nau
cnici smatrali skandaloznim. Zato se
javila potreba da se razvije matemati
cki alat koji bi omogu´
cio da kvantna
fizika, koja je tada bila skup nagadanja, postane nau
cna teorija. Fon Noj-
man je prou
cavao specijalan slu
caj C*-algebri, koje su danas, njemu u
cast, poznate kao fon Nojmanove algebre, a njegov rad su uopstili Mark
Naimark, Izrael Geljfand i Irving Sigal
cija imena nosi GNS konstrukcija,
jedan od glavnih rezultata C*-algebri koji opisuje na
cin konstruisanja re-
prezentacije C*-algebre. Dve najzna
canije teoreme ovog rada, nazavne po
Geljfandu i Naimarku, predstavljaju na
cin na koji stanja i reprezentacije
C*-algebri pru
zaju mogu´
cnost prelaska sa topoloskih na algebarske struk-
ture i koris´
cenja rezultata poznatih u algebri za dokazivanje tvrdenja za
koja topoloska struktura nije pogodna.
U prvoj glavi ovog rada uvedeni su osnovni pojmovi C*-algebri i teoreme
koje opisuju njihova svojstva. Ona predstavlja svojevrsno uvodno izlaganje
aparature potrebne za prou
cavanje stanja i reprezentacija C*-algebri, stoga
je ve´
cina teorema iskazana bez dokaza, delom zbog trivijalnosti, a delom
da se ne bi fokus ovog rada preobimnim uvodom skrenuo sa teme.
U drugoj glavi definisan je pojam pozitivnog linearnog funkcionala
C*-algebre i izvedena su neka njegova svojstva neophodna za dalji rad, kao
sto su veza izmedu pozitivnog linearnog funkcionala i aproksimativnih je-
dinica C*-algebre. Ova glava, takode, sadr
zi definicije stanja i
cistog stanja
i teoreme koje opisuju strukturu skupa svih stanja C*-algebre i njegovog
odnosa sa skupom svih
cistih stanja C*-algebre.
2
Tre´
ca glava sadr
zi definiciju pojma reprezentacije C*-algebre, na
cin
konstruisanja stanja polaze´
ci od reprezentacije i obratno, kao i dokaz da je
za svaku C*-algebru mogu´
ce konstruisati
cisto stanje i reprezentaciju. Do-
kazana je i teorema koja predstavlja uopstenje Han-Banahove teoreme sa
ograni
cenih linearnih funkcionala normiranog prostora na stanja C*-algebre,
kao i dve Geljfand-Naimarkove teoreme od kojih jedna uspostavlja vezu
izmedu proizvoljne C*-algebre i algebre ograni
cenih linearnih operatora na
Hilbertovom prostoru, a druga izmedu komutativne C*-algebre i algebre
svih kompleksnih neprekidnih funkcija koje is
cezavaju u beskona
cnosti, de-
finisanih na lokalno kompaktnom Hausdorfovom prostoru.
Poslednja glava opsiuje neke od mnogobrojnih primena rezultata izve-
denih u ovom radu i njihovih posledica.
Zahvaljujem svom mentoru dr Draganu Dordevi´
cu na podrsci prilikom
odabira teme, kao i na svim sugestijama i pomo´
ci prilikom izrade ovog
rada.
3
Glava 2
C*-algebre
2.1.
Osnovni pojmovi
Svi vektorski prostori bi´
ce definisani nad poljem kompleksnih brojeva
C, osim ukoliko je druga
cije naglaseno.
Definicija 2.1.1. Neka je
A vektorski prostor nad C takav da je (A, +, ·)
prsten i da va
zi:
(a, b
A)( C) (ab) = (a)b = a(b).
Tada je
A (kompleksna) algebra. Podskup B skupa A koji je i sam algebra
u odnosu na operacije definisane na
A, naziva se podalgebra algebre A. Ako
je
A komutativni prsten, onda je A komutativna (Abelova) algebra. Ako
postoji
1 A takav da vazi:
(a
A) 1 · a = a · 1 = a,
onda se element
1 naziva jedinica algebre, a A je tada algebra sa jedinicom.
Definicija 2.1.2. Neka je
A algebra. Ako je A normiran prostor sa nor-
mom
· , u kome vazi osobina submultiplikativnosti:
(a, b
A) ab a b ,
onda je
A normirana algebra. Ako je pri tom A Banahov prostor, onda
je
A Banahova algebra.
Norma na vektorskom prostoru indukuje topologiju i, ukoliko nije druga
cije
naglaseno, nadalje ´
ce se svi topoloski pojmovi odnositi na tu topologiju.
Definicija 2.1.3. Neka je
A algebra. Involucja u A je preslikavanje a a
,
a
A takvo da za sve a, b A i svako C vazi:
4
(1) a
= a;
(2) (a + b)
= a
+ b
;
(3) (ab)
= b
a
;
(4) (a)
= a
.
Ukoliko na
A postoji ovakvo preslikavanje onda je A algebra sa involucijom
ili *-algebra. Ako je
A pri tom i Banahova algebra onda se ona naziva
Banahova *-algebra.
Definicija 2.1.4. Podskup X *-algebre
A je samoadjungovan ako za svako
x X va
zi x
X.
Definicija 2.1.5. C*-algebra je Banahova *-algebra
A za koju vazi uslov:
(a
A) a
2
= a
a .
Ukoliko je podalgebra
B C*-algebre A i sama C*-algebra onda se B naziva
C*-podalgebra algebre
A.
Neka je
A C*-algebra i neka je aA\{0}. Na osnovu uslova iz prethodne
definicije i submultiplikativnosti sledi da je a
2
= a
a a
a , odakle
sledi a a
. Ako isti postupak primenimo na a
do´
ci ´
cemo do va
znog
zaklju
cka, koji ´
cemo
cesto koristiti bez eksplicitnog naglasavanja:
a = a
.
Primer 2.1.1. Skup kompleksnih brojeva C sa operacijama sabiranja i
mno
zenja kompleksnih brojeva, konjugacijom kao involucijom i modulom
kompleksnog broja kao normom,
cini C*-algebru.
Iako je prethodni primer najintuitivniji, motivacija za uvodenje pojma
C*-algebre je struktura Hilbertovih prostora, tj. skupa ograni
cenih linear-
nih operatora na njima. Izraz
"
C*-algebra" je prvi put upotrebio ameri
cki
matemati
car Irving Sigal 1946. godine u radu
"
Ireducibilne reprezentacije
algebri operatora" i to da opise algebru ograni
cenih linearnih operatora Hil-
bertovog prostora koja je zatvorena i samoadjungovana, sto i objasnjava
taj naziv-
"
C" ozna
cava zatvorenost (closed, eng.), a
"
*" samoadjungova-
nost. U slede´
cem primeru podseti´
cemo se ukratko pomenute strukture, a
zatim ´
cemo videti jos neke va
zne primere C*-algebri.
Primer 2.1.2. Operator A definisan na Hilbertovom prostoru H je ograni
cen
ako postoji M 0 takav da je:
(x H) Ax M x .
Normu na skupu svih ograni
cenih linearnih operatora na H mo
zemo defi-
nisati na slede´
ci na
cin:
A = sup{ Ax ; x H, x = 1}
5
Lako je dokazati jos jedan izuzetno va
zan rezultat, da za ograni
cen
linearan operator A na H va
zi:
(x H) Ax A
x .
Skup svih ograni
cenih linearnih operatora na H ozna
cavamo sa
B(H)
i ako na njemu definisemo operacije sabiranja i mno
zenja operatora na
uobi
cajen na
cin dobi´
cemo algebru, i to normiranu jer iz:
(x X) ABx = A(Bx) A
Bx A
B
x
sledi sup{ ABx ; x X, x
= 1}
A
B
pa zaklju
cujemo da va
zi
osobina submultiplikativnosti AB A
B . Zbog kompletnosti u od-
nosu na definisanu normu,
B(H) je Banahova algebra. Sa A
ozna
cavamo
adjungovan operator operatora A, koji je odreden sa:
(x, y H) (Ax, y) = (x, A
y).
Lako je dokazati da va
zi (A
)
= A, (A + B)
= A
+ B
, (BC)
= C
B
,
(A)
= A
, A
= A pa zaklju
cujemo da je adjungovanje operatora
involucija na H, tj.
B(H) je Banahova *-algebra. Dokazimo da je B(H)
C*-algebra:
A
2
= sup
x =1
Ax
2
= sup
x =1
(Ax, Ax) = sup
x =1
(x, A
Ax),
primenjuju´
ci nejednakost Kosi-
Svarca, po kojoj za proizvoljne elemente x, y
normiranog prostora X va
zi (x, y)
2
(x, x)(y, y), dobijamo:
A
2
sup
x =1
A
Ax
x = sup
x =1
A
Ax = A
A A
A = A
2
odakle zaklju
cujemo da va
zi:
A
2
= A
A = A
A .
Primer 2.1.3. Ako su X i Y normirani prostori i K : X Y linearno pre-
slikavanje onda je K kompaktan operator ako svaki ograni
cen podskup od X
preslikava u relativno kompaktan podskup od Y . Sa
K(X, Y ) oznacavamo
sve kompaktne operatore iz X u Y , tj. sa
K(X) ukoliko je Y = X. Za
Hilbertov prostor H,
K(H) je podprostor od B(H), pri tom je zatvoren
i samoadjungovan pa je
K(H) (sa uobicajenim operacijama sabiranja i
mno
zenja operatora, operatorskom normom i adjungovanjem operatora kao
involucijom) C*-algebra.
6
Primer 2.1.4. Neka je X lokalno kompaktan Hausdorfov prostor i neka je
C
0
(X) skup svih neprekidnih kompleksnih funkcija na X koje is
cezavaju u
beskona
cnosti, tj. za svako f iz ovog skupa i za svako > 0 postoji kompakt
K X takav da je (x X\K) |f (x)| < . Definisimo na C
0
(X) operacije
sabiranja vektora, mno
zenja vektora skalarom, mno
zenja vektora, normu i
involuciju, redom, sa:
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
(f )(x) = f (x),
(f g)(x) = f (x)g(x),
f = sup
xX
|f (x)|,
f
(x) = f (x),
gde su f, g C
0
(X), x X i C proizvoljni. Lako je dokazati da je
C
0
(X), sa ovako definisanim operacijama, komutativna C*-algebra.
Ako je µ mera na prostoru X onda je H = L
2
(X; µ), tj. prostor svih
kompleksnih funkcija definisanih na X koje su kvadratno integrabilne u
odnosu na µ, Hilbertov prostor sa skalarnim proizvodom definisanim sa:
(f, g) =
X
f ¯
gdµ,
za proizvoljne funkcije f, g H. U ovom slu
caju C
0
(X) je C*-podalgebra
od
B(H) koja sadrzi multiplikativne operatore na H, u smislu da se svako
f C
0
(X) mo
ze poistovetiti sa operatorom M
f
: H H definisanim sa
(g H) M
f
g = f g.
Primer 2.1.5. Ukoliko je u prethodnom primeru X kompaktan skup onda
´
ce za svako > 0 postojati kompakt K = X takav da je (x X\K) |f (x)| <
pa ´
ce sve funkcije is
cezavati u beskona
cnosti, a C*-algebra C
0
(X) ´
ce se sve-
sti na C*-algebru C(X) svih neprekidnih kompleksnih funkcija definisanih
na X.
Primer 2.1.6. Prostor M
n
(C) svih kompleksnih n × n matrica (koje se
mogu posmatrati kao linearni operatori prostora C
n
u odnosu na stan-
dardnu ortonormiranu bazu), sa operacijama mno
zenja matrica skalarom
i sabiranja i mno
zenja matrica definisanim na uobi
cajen na
cin je nekomu-
tativna algebra. Za normu mo
zemo uzeti operatorsku normu, a involuciju
definisati sa A
= [a
ji
], za matricu A = [a
ij
], i do´
ci ´
cemo do zaklju
cka da
je M
n
(C), sa ovako definisanim operacijama, C*-algebra.
7
Ukoliko C*-algebra
A ima jedinicu onda je ona jedinstvena. Zaista, ako
pretpostavimo da su
1 i 1 jedinice algebre A onda je 1 = 11 = 1 . Takode
va
zi
1
=
1 jer je za proizvoljno a A:
a
1
= (
1a
)
= (a
)
= a,
1
a = (a
1)
= (a
)
= a.
Kako je
1 = 1
1 = 1
2
to mora biti
1 = 1 ili 1 = 0. U daljem
radu ´
ce se pretpostavljati da je
1 = 1 jer pretpostavka da vazi 1 = 0
vodi do trivijalne algebre zbog:
(a
A) a = 1a 1 a = 0.
Algebra ne mora sadr
zati jedinicu, npr. za algebru
B(H) jedinica je
identi
cko preslikavanje koje jeste ograni
cen linearan operator, ali je kom-
paktan ako i samo ako je H kona
cno dimenzionalan pa
B(H) sadrzi jedi-
nicu, ali
K(H) ima jedinicu ako i samo ako je Hilbertov prostor H konacno
dimenzionalan. Za algebru C
0
(X), jedinica je konstantno preslikavanje koje
sve elemente slika u 1 i ono ´
ce is
cezavati u beskona
cnosti na X ako i samo
ako je X kompaktan. Nepostojanje jedinice algebre mo
ze znatno ote
zati
analiziranje te algebre, ali se mnoge potesko´
ce mogu prevazi´
ci na relativno
lak na
cin- prosirivanjem algebre jedinicom.
Neka je
A C*-algebra bez jedinice. Oznacimo ~
A={(, a); C, aA} i
na ovom skupu definisimo operacije sabiranja i mno
zenja vektora, mno
zenja
vektora skalarom i involucije, redom sa:
(, a) + (, b) = ( + , a + b),
(, a)(, b) = (, b + a + ab),
(, a) = (, a),
(, a)
= ( ¯
, a
),
gde su (, a), (, b) ~
A i C proizvoljni. Lako je proveriti da je ~
A
*-algebra u odnosu na navedene operacije. Nula ove algebre je (0, 0), a
jedinica je (1, 0). Definisimo normu na ~
A sa:
(, a) = sup{ b + ab ; b
A, b = 1}.
Doka
zimo da ovako definisano preslikavanje jeste norma na ~
A. Za proi-
zvoljne (, a), (, b) ~
A i C je:
(, a) = sup
b =1
b + ab 0;
(, a) = (, a) = sup
b =1
b + ab = || (, a) ;
8
(, a) + (, b) = ( + , a + b) sup
c =1
( c + ac + c + bc )
sup
c =1
c + ac + sup
c =1
c + bc
= (, a) + (, b) .
Preostalo je jos da se poka
ze da je (, a) = 0 (, a) = (0, 0). Dokaz
jednog smera ove ekvivalencije je trivijalan, pa ´
cemo pokazati samo da va
zi
smer sa leva na desno. Kako je (0, a) = a to, za = 0, iz (, a) = 0
sledi da je a = 0. Ako = 0 i (, a) = 0 onda uo
cimo da je b + ab = 0 za
sve b
A, jer ´ce za elemente b = 0 za koje je b = 1 vaziti
1
b
(b + ab) = 0.
Zato ´
ce za sve b
A biti
a
b + b = 0, tj. b = -
a
b odakle zaklju
cujemo
da je -
a
leva jedinica algebre
A, a ocigledno je da je tada (-
a
)
desna
jedinica u
A. Sada iz -
a
= -
a
(-
a
)
= (-
a
)
mo
zemo zaklju
citi da je
-
a
jedinica u
A sto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom da A ne
sadr
zi jedinicu. Dakle, ukoliko va
zi (, a) = 0 onda mora biti = 0, a
ove dve jednakosti povla
ce i a = 0.
Submultiplikativnost sledi iz:
(, a)(, b) = (, b + a + ab)
= sup
c =1
c + (b + a + ab)c
= sup
c =1
(c + ac)(c + bc)
sup
c =1
c + ac
sup
c =1
c + bc
= (, a)
(, b)
Iz kompletnosti skupova
A i C sledi kompletnost skupa ~
A, sto je lako
dokazati. Dakle, ~
A je Banahova *-algebra.
Kako je za proizvoljno a
A:
(, a)
2
= sup
b =1
b + ab
2
= sup
b =1
(b + ab)
(b + ab)
= sup
b =1
b
(, a)
(, a)b
(, a)
(, a) (, a)
(, a)
to je
(, a) (, a)
. Primenjuju´
ci isti postupak na element (, a)
uo
ci´
cemo da va
zi i obrnuti smer nejednakosti, a samim tim va
zi i jednakost
(, a) = (, a)
pa mo
zemo zaklju
citi da je
A C*-algebra jer:
(, a)
2
(, a)
(, a) (, a)
(, a) = (, a)
2
.
9
Skup
A se moze poistovetiti sa podskupom {(0, a); a A} pa za-
klju
cujemo da je
A C*-podalgebra svog prosirenja jedinicom, ~
A. Elemente
dobijene algebre, umesto sa (, a), ozna
cava´
cemo sa
1+a, a samu algebru
sa ~
A = C1 + A.
Definicija 2.1.6. Podalgebra
I algebre A je levi ideal te algebre ako je
{ai; a
A, i I} = A · I I, a desni ideal ako je I · A I. I se naziva ideal
algebre
A ako je on njen levi ideal ili desni ideal, a ukoliko je istovremeno
levi i desni ideal onda se naziva dvostrani ideal.
Ukoliko je
A komutativna algebra svi ideali su dvostrani. Ukoliko je A
*-algebra i
I njen samoadjungovani ideal onda on mora biti dvostrani ideal.
Zaista, ako je
I levi ideal i i I onda je i
I pa je i i
a
I, za svako
a
A, odakle sledi ai = (i
a
)
I.
Primer 2.1.7. Algebra
K(H) je dvostrani ideal u algebri B(H) jer je
proizvod ograni
cenog i kompaktnog operatora kompaktan operator.
Primer 2.1.8. Neka je X lokalno kompaktan Hausdorfov prostor, Y njegov
zatvoren podskup i
A skup svih elemenata komutativne C*-algebre C
0
(X)
koji su jednaki nuli na Y . Tada je
A ocigledno zatvoren dvostrani ideal u
C
0
(X).
Primer 2.1.9. Ako je
A C*-algebra bez jedinice onda je ona zatvoren
dvostrani ideal svog prosirenja jedinicom ~
A.
10
2.2.
Spektralna analiza
Definicija 2.2.1. Neka je
A algebra sa jedinicom 1. Element a A je
invertibilan ako postoji a
-1
A takav da vazi
aa
-1
= a
-1
a =
1.
U tom slu
caju element a
-1
nazivamo inverz elementa a. Skup svih inver-
tibilnih elemenata algebre
A oznacava´cemo sa A
-1
.
Za proizvoljne elemente a, b
A
-1
lako se mo
ze dokazati da va
ze slede´
ca
tvrdenja:
(1) Inverz a
-1
elementa a je jedinstven.
(2) Element ab je invertibilan i (ab)
-1
= b
-1
a
-1
.
(3) Za C\{0} element a je invertibilan i (a)
-1
=
1
a
-1
.
(4) Ako je
A *-algebra onda je a
A
-1
i (a
)
-1
= (a
-1
)
.
Definicija 2.2.2. Neka je
A algebra sa jedinicom 1. Spektar elementa
a
A je skup:
A
(a) = { C; 1 - a /
A
-1
}.
Komplement ovog skupa naziva se rezolventni skup elementa a i ozna
cava
se sa
A
(a).
Ukoliko
A ne sadrzi jedinicu, spektar i rezolventni skup elementa se
definisu kao spektar i rezolventni skup tog elementa u algebri ~
A koja je
dobijena prosirivanjem
A jedinicom.
Primer 2.2.1. Za matricu A algebre M
n
(C) je spektar skup svih sopstve-
nih vrednosti te matrice, tj. svih C takvih da je det(I - A) = 0, gde
je I jedini
cna n × n matrica.
Teorema 2.2.1. U Banahovoj algebri
A sa jedinicom je, za svaki element
a
A, skup
A
(a) neprazan, kompaktan podskup skupa C.
Spektar elementa a je, kao kompakt, ograni
cen i to diskom u C sa
centrom u 0 i polupre
cnikom a , tj.
A
(a) D(0, a ).
Teorema 2.2.2. Neka je
A *-algebra sa jedinicom. Za svako a A i C
je:
(1)
A
(
1 - a) = -
A
(a);
(2)
A
(a
) = {;
A
(a)};
(3)
A
(a
-1
) = {
1
;
A
(a)}.
11
Definicija 2.2.3. Spektralni radijus elementa a algebre
A sa jedinicom je
r(a) = sup{||;
A
(a)}.
Teorema 2.2.3. Za element a Banahove algebre
A sa jedinicom je
r(a) = lim
n
a
n 1/n
= inf
nN
a
n 1/n
a .
Definicija 2.2.4. Element a *-algebre
A sa jedinicom je:
(1) normalan ako je a
a = aa
;
(2) samoadjungovan ako je a = a
;
(3) unitaran ako je a
a = aa
=
1.
Proizvoljan element a C*-algebre
A ima jedinstvenu dekompoziciju na
samoadjungovane elemente:
a = a
1
+ ia
2
, gde je a
1
=
a + a
2
, a
2
=
a - a
2i
.
Elementi a
1
i a
2
nazivaju se, redom, realni deo i imaginarni deo elementa
a. Dakle, za mnoge zaklju
cke je dovoljno analizirati svojstva samoadjungo-
vanih elemenata jer se, zbog ove dekompozicije, ona mogu prosiriti na sve
elemente algebre.
Teorema 2.2.4. Neka je
A C*-algebra sa jedinicom.
(1) Ako je a
A normalan ili samoadjungovan onda je r(a) = a .
(2) Ako je a
A unitaran onda je
A
(a) { C; || = 1}.
(3) Ako je a
A samoadjungovan onda je
A
(a) [- a , a ].
(4) Za a
A i polinom p je
A
(p(a)) = p(
A
(a)).
Spektar proizvoljnog elementa a
A zavisi samo od algebarske strukture
algebre
A, a na osnovu prethodne teoreme i cinjenice da je a
a samoadjun-
govan element va
zi a
2
= a
a = r(a
a), pa vidimo da norma na
A mora
biti jedinstvena, tj. da va
zi slede´
ca teorema.
Teorema 2.2.5. Ako je
A C*-algebra i ako su · i ·
1
dve norme defi-
nisane na
A onda je (a A) a = a
1
.
Ukoliko je
B podalgebra algebre A, spektar elementa a B u odnosu na
algebru
B i spektar istog elementa u odnosu na A ne moraju biti jednaki,
va
zi´
ce samo
A
(a)
B
(a). Medutim, u slu
caju C
-algebri va
zi slede´
ci
rezultat:
Teorema 2.2.6. Neka je
B C*-podalgebra C*-algebre A. Tada za svako
a
B vazi
B
(a) =
A
(a).
Nadalje ne´
cemo isticati u indeksu na koju se algebru odnosi spektar,
ukoliko se radi sa C
-algebrama i ukoliko nema opasnosti od zabune.
12
2.3.
Pozitivni elementi
Pozitivni elementi su zna
cajni jer nam omogu´
cavaju uvodenje relacije
poretka na algebri, a samim tim i kvantitativno uporedivanje njenih eleme-
nata.
Definicija 2.3.1. Samoadjungovani element a C*-algebre
A je pozitivan
ako je (a) [0, ). Skup svih pozitivnih elemenata algebre
A oznacava´cemo
sa
A
+
.
Lema 2.3.1. Ako je
A C*-algebra sa jedinicom i a A
+
onda za svako
a va
zi
1 - a .
Teorema 2.3.2. Neka je
A C*-algebra. Element a A je pozitivan ako i
samo ako je a = b
b, za neko b
A.
Teorema 2.3.3. Neka je
A C*-algebra. Samoadjungovan element a A
je pozitivan ako i samo ako postoji b
A za koji je a = b
2
.
Stavi
se, ako
je a pozitivan postoja´
ce jedinstven pozitivan element b koji zadovoljava taj
uslov.
Definicija 2.3.2. Neka je a pozitivan element C*-algebre
A. Element
b
A
+
za koji je a = b
2
nazivamo kvadratni koren elementa a i ozna
cavamo
sa
a ili a
1/2
. Ukoliko je a samoadjungovan onda se njegov modul definise
kao element |a| algebre
A za koji vazi |a| =
a
2
.
Teorema 2.3.4. Skup
A
+
je konveksan konus, tj. za proizvoljne a, b
A
+
i > 0 su a, a + b
A
+
, i va
zi
A
+
(-
A
+
) = {0}.
Ovaj rezultat je va
zan jer nam omogu´
cava da na skupu
A
S
svih sa-
moadjungovanih elemenata algebre
A uvedemo parcijalno uredenje na
slede´
ci na
cin:
a b a - b
A
+
,
a, b
A
S
.
Ukoliko je a b i a = b koristi se zapis a > b.
Teorema 2.3.5. Neka su a i b elementi C*-algebre
A. Tada vaze slede´ce
implikacije:
(1) a b 0 a b ;
(2) a 0 a a a
2
(3) a b 0 (c
A) c
ac c
bc 0;
(4) ako je
1 A i > 0 onda a b 0 (b + 1)
-1
(a +
1)
-1
.
Teorema 2.3.6. Ako je a samoadjungovan element C*-algebre
A onda su:
a
+
=
1
2
(|a| + a),
a
-
=
1
2
(|a| - a)
jedini elementi algebre
A za koje vazi: a
+
, a
-
A
+
, a = a
+
- a
-
, a
+
a
-
= 0.
13
Dakle, svaki samoadjungovani element algebre
A mogu´ce je predstaviti
kao razliku dva pozitivna elementa te algebre, sto mo
ze zna
cajno olaksati
dokazivanje nekih osobina samoadjungovanih elemenata. Slede´
ca teorema
je pogodna za dokazivanje osobina proizvoljnog elementa C*-algebre, uko-
liko je ve´
c dokazano da ta osobina va
zi za njene unitarne elemente.
Teorema 2.3.7. Neka je
A C*-algebra sa jedinicom. Za svako a A
postoje unitarni elemente u
1
, u
2
, u
3
, u
4
A takvi da je:
a =
1
u
1
+
2
u
2
+
3
u
3
+
4
u
4
,
pri
cemu
i
C zadovoljavaju uslove |
i
|
a
2
, i = 1, 4.
14
2.4.
Aproksimativne jedinice i koli
cni
cke
algebre
Prosirivanje algebre jedinicom je jedan na
cin prevazila
zenja potesko´
ca
koje nastaju pri razmatranju algebre koja ne sadr
zi jedinicu. Medutim, u
nekim situacijama ovaj metod nije odgovaraju´
ci, npr. ukoliko se posmatra
ideal koji ne sadr
zi jedinicu onda njegovo prosirenje jedinicom ne mora biti
ideal algebre
cak ni kada algebra sadr
zi jedinicu. Ponekad je korisnije uo
citi
elemente algebre koji ´
ce se na neki na
cin ponasati sli
cno jedinici algebre.
Zato je korisno dokazati da svaki ideal sadr
zi niz elemenata za koje se mo
ze
re´
ci da aproksimiraju jedinicu, u smislu da se u grani
cnom slu
caju ponasaju
kao jedinica algebre.
Skup U je usmeren ako na njemu postoji parcijalno uredenje za koje
va
zi da za svaki par , µ U postoji U takvo da je i µ .
Preslikavanje f : U X, gde je U usmeren skup, a X topoloski prostor,
naziva se mre
za u X. Mre
za je uopstenje pojma niza, pa se shodno tome
cesto ozna
cava sa (x
)
U
ili kra´
ce (x
)
ukoliko ne postoji opasnost od
zabune, pri
cemu se podrazumeva da je f () = x
.
Definicija 2.4.1. Ako je
I desni ideal C*-algebre A onda se moze defini-
sati aproksimativna jedinica ideala
I kao mreza (e
)
pozitivnih elemenata
ideala
I za koju vazi:
(1)
e
1;
(2) µ e
e
µ
;
(3) (a
I) lim
e
a - a = 0.
Ukoliko je
I levi ideal, aproksimativnu jedinicu definisemo na isti nacin
kao u slu
caju desnog ideala, s tim sto se umesto uslova (3) zahteva da va
zi
(a
I) lim
ae
- a = 0.
Teorema 2.4.1. Svaki desni ideal
I C*-algebre A sadrzi aproksimativnu
jedinicu.
Dokaz. Ukoliko
A nema jedinicu onda se posmatra ~
A. Neka je U familija
svih kona
cnih podskupova ideala
I, uredena relacijom skupovne inkluzije.
Za fiksirano = {a
1
, a
2
, ..., a
n
} U moze se definisati element algebre
A:
f
=
n
i=1
a
i
a
i
za koji je o
cigledno da je pozitivan. Zbog toga, -n /
(f
) odakle sledi da
postoji (
-1
n
1 - f
)
-1
, a onda postoji i (
1 + nf
)
-1
pa se mo
ze definisati:
e
= nf
(
1 + nf
)
-1
.
15
Nije tesko dokazati da je ovaj element samoadjungovan. Na osnovu:
1 - e
= (
1 + nf
)(
1 + nf
)
-1
- nf
(
1 + nf
)
-1
= (
1 + nf
- nf
)(
1 + nf
)
-1
= (
1 + nf
)
-1
i Teoreme
2.2.2
sledi da je 0 e
1, sto povlaci e
1, na osnovu
Teoreme
2.3.5
(1). Zbog na
cina na koji je definisan element e
, va
zi slede´
ce:
(e
a
i
- a
i
)(e
a
i
- a
i
)
n
i=1
(e
-
1)a
i
a
i
(e
-
1)
= (e
-
1)f
(e
-
1)
= (
1 + nf
)
-1
f
(
1 + nf
)
-1
= f
1/2
(
1 + nf
)
-2
f
1/2
.
Uo
cavaju´
ci da je (f
1/2
)
= f
1/2
i (
1 + nf
)
-2
(
1 + nf
)
-1
, primenom
Teoreme
2.3.5
(3) na prethodnu nejednakost zaklju
cuje se da je:
(e
a
i
- a
i
)(e
a
i
- a
i
)
f
1/2
(
1 + nf
)
-1
f
1/2
=
1
n
(
1 + nf
-
1)(1 + nf
)
-1
=
1
n
(
1 + nf
)(
1 + nf
)
-1
-
1
n
(
1 + nf
)
-1
=
1
n
(
1 - (1 + nf
)
-1
)
=
1
n
e
1
n
1.
Ponovnom primenom Teoreme
2.3.5
(1), dobija se:
e
a
i
- a
i
2
1
n
.
Zbog proizvoljnosti skupa iz prethodne nejednakosti sledi da za svako
a
I vazi lim
e
a - a = 0.
Za = {a
1
, a
2
, ..., a
n
} i µ = {b
1
, b
2
, ..., b
m
} iz U takve da je µ, tj.
{a
1
, a
2
, ..., a
n
} {b
1
, b
2
, ..., b
m
}, vazi nf
mf
µ
odakle, na osnovu Teoreme
2.3.5
(4), sledi (
1 + mf
µ
)
-1
(
1 + nf
)
-1
, sto povla
ci
1 - e
- (
1 - e
µ
) 0,
tj. e
µ
- e
0. Dakle, µ povlaci e
e
µ
.
Na sli
can na
cin se mo
ze dokazati da svaki levi ideal ima aproksimativnu
jedinicu.
Sada je lako videti da je svaki zatvoren dvostrani ideal
I C*-algebre A
samoadjungovan: za proizvoljno i
I je lim
i
e
- i
= lim
e
i - i = 0,
16
gde je (e
)
aproksimativna jedinica ideala
I. Kako je i
e
I i kako je I
zatvoren, to je i grani
cna vrednost i
sadr
zana u
I.
Od velike je koristi prou
citi koli
cni
cki prostor
A/I = {a + I; a A},
gde je
I zatvoren dvostrani ideal C*-algebre A. Elemente ovog prostora
´
cemo ozna
cavati sa ^
a = a +
I, za a A. Ako za proizvoljne ^a, ^b A/I i
C definisemo sabiranje vektora, mnozenje vektora skalarom, mnozenje
vektora i involuciju, redom, sa:
^
a + ^
b = a + b,
^
a = a,
^
a · ^
b = ab,
^
a
= a
,
vide´
cemo da to sto je
I dvostrani ideal, obezbeduje dobru definisanost
mno
zenja jer, za proizvoljne i
1
, i
2
I, je ai
2
, i
1
b, i
1
i
2
I odakle sledi:
(a + i
1
) · (b + i
2
) = ab + ai
2
+ i
1
b + i
1
i
2
ab +
I.
Lako je proveriti da je
A/I *-algebra, da je njena nula ^0 = 0 + I = I i da,
ukoliko
A sadrzi jedinicu 1, je ^1 = 1 + I jedinica algebre A/I. Prirodno,
A/I naziva se kolicnicka algebra.
Teorema 2.4.2. Neka je
A C*-algebre i neka je I njen zatvoren dvostrani
ideal. Tada je sa:
^
a = inf
i
I
a - i ,
a
A
definisana norma u odnosu na koju je
A/I normirana *-algebra.
Dokaz. Neka su a, b
A i C proizvoljni. Nenegativnost i apsolutnu
homogenost je lako dokazati:
^
a = inf
i
I
a - i 0,
^
a = a = inf
i
I
a - i = inf
i
I
|| a -
1
i = || inf
j
I
a - j = || ^
a .
Za doka
z nejednakosti trougla, primetimo da je za sve i, j
I:
^
a + ^
b = a + b a + b - (i + j) a - i + b - j ,
odakle sledi da nejednakost va
zi i za infimum po i, tj. po j:
^
a + ^
b inf
i
I
a - i + inf
j
I
b - j = ^
a + ^
b .
17
Dalje, ^
a = 0 ako i samo ako je inf
i
I
a - i = 0, tj. ako i samo ako je
rastojanje ta
cke a od skupa
I jednako nuli, a to vazi ako i samo ako je a
element zatvorenja,
I, skupa I. Kako je I po pretpostavci zatvoren skup to
se zaklju
cuje da je:
^
a = 0 a
I ^a = ^0.
Dakle, dokazano je da koli
cni
cka norma zaista jeste norma na
A/I, tako
da preostaje samo jos da se doka
ze da je
A/I normirana algebra, tj. da
va
zi submultiplikativnost. Iz definicije koli
cni
cke norme sledi da je za svako
> 0 mogu´
ce izabrati takve i, j
I da vazi:
a - i ^
a + ,
b - j ^
b + .
Kako su i, j
I to je ^i = ^j = ^0 pa na osnovu prethodnog sledi:
^
a^
b = (a - i) (b - j) = (a - i)(b - j)
(a - i)(b - j) (a - i)
(b - j)
( ^
a + )( ^
b + )
Prelaskom na grani
cnu vrednost kada
0 dobija se ^
a^
b = ^
a
^
b .
Lema 2.4.3. Neka je {e
}
aproksimativna jedinica zatvorenog dvostranog
ideala
I C*-algebre A. Tada je za svako ^a A/I:
^
a = lim
a - ae
.
Dokaz. Ukoliko
A nema jedinicu posmatra se njeno prosirenje jedinicom,
~
A. Neka je a A proizvoljno. Iz definicije norme kolicnickog prostora A/I
sledi da je a - ae
^
a . Za proizvoljno i
I je:
a - ae
= (a + i)(
1 - e
) + i(e
-
1) a + i 1 - e
+ ie
- i .
Kako su e
pozitivni elementi i e
1, to je prema Lemi
2.3.1
:
1 - e
1.
I je dvostrani ideal pa iz iI sledi lim
ie
-i = 0 sto, zajedno sa prethodne
dve nejednakosti, povla
ci:
lim
a - ae
a + i .
Za svako
> 0 mogu´
ce je izabrati i
I takvo da je ^a + a + i pa ´ce
za to i va
ziti:
lim
a - ae
- a + i - ^
a a - ae
.
Prelaskom na grani
cnu vrednost kada
0 dobija se trazeno.
18
Teorema 2.4.4. Ukoliko je
A C*-algebra i I njen zatvoren dvostrani ideal
onda je i
A/I C*-algebra.
Dokaz. Da doka
zemo da je
A/I kompletan skup u odnosu na kolicnicku
normu posmatrajmo proizvoljan Kosijev niz {^
a
n
}
n
iz
A/I. Kako iz ove
pretpostavke ne mora da sledi da je {a
n
}
n
Kosijev niz, to ´
cemo izabrati
podniz niza {^
a
n
}
n
za koji ´
ce pogodno izabrani elementi tih koseta formirati
Kosijev niz u
A. Za svako k N postoji n
k
N takav da je:
^
a
n
- ^
a
m
< 2
-k
,
za sve n, m n
k
i pri tom mo
zemo izabrati brojeve n
k
tako da va
zi n
1
< n
2
< ... . Podniz
koji ´
cemo izabrati je {^
a
n
k
}
k
i za njega ´
ce va
ziti:
^
a
n
k
- ^
a
n
k+1
< 2
-k
.
Sada mo
zemo izabrati b
k
^
a
n
k
takve da je:
b
k
- b
k+1
< 2
-k
pa ´
ce niz {b
k
}
k
biti Kosijev niz u
A. Kako je A C*-algebra to ovaj niz
konvergira ka nekom elementu b
A. Zato, imaju´ci u vidu da je ^a
n
k
= ^
b
k
,
za svako
> 0:
^
a
n
k
- ^b =
^
b
k
- ^b b
k
- b < .
Dakle, Kosijev niz {^
a
n
}
n
ima podniz {^
a
n
k
}
k
koji konvergira ka ^
b pa i sam
niz {^
a
n
}
n
konvergira ka ^
b. Na osnovu ovoga i Teoreme
2.4.2
sledi da je
A/I
Banahova *-algebra.
Preostalo je jos da doka
zemo osobinu
^
a
2
= ^
a^
a
, a
A. Neka je
(e
)
aproksimativna jedinica u
A. Koriste´ci Lemu
2.4.3
dobijamo slede´
ce:
^
a
2
= lim
a - e
a
2
= lim
(a - e
a)(a - e
a)
= lim
(
1 - e
)aa
(
1 - e
)
lim
1 - e
aa
(
1 - e
)
lim
aa
(
1 - e
)
= aa
= ^
a ^
a
^
a
^
a
^
a
2
.
19
Glava 3
Stanja C*-algebre
Funkcional algebre
A je preslikavanje iz A u C. Dualni prostor algebre
A, tj. skup svih neprekidnih linearnih funkcionala na A, oznacava´cemo sa
A
i na njemu ´
cemo definisati normu f = sup{|f (a)|; a
A, a = 1}.
Definicija 3.1. Funkcional C*-algebre
A je pozitivan ako je:
(a
A) (a
a) 0.
Pozitivan linearan funkcional C*-algebre
A je stanje ako je = 1.
Skup svih stanja algebre
A naziva se prostor stanja te algebre, a oznacava
se sa S(
A).
Dakle, pozitivni funkcionali slikaju pozitivne elemente algebre u pozi-
tivne realne brojeve. Primetimo da za pozitivnost funkcionala nije zahte-
vana neprekidnost. To je zato sto u C
-algebrama pozitivnost linearnog
funkcionala povla
ci njegovu neprekidnost, a samim tim i ograni
cenost, sto
´
ce biti i dokazano. Pre toga ´
cemo dokazati jednu osobinu vezanu za skup
D
+
= {a
A
+
;
a 1}.
Lema 3.1. Neka je linearan funkcional C*-algebre
A. Ako postoji M 0
za koji va
zi |(a)| M , za svako a D
+
, onda je ograni
cen.
Dokaz. Posmatrajmo prvo slu
caj kada je a
A
S
i
a 1. Na osnovu
Teoreme
2.3.6
, postoje pozitivni elementi a
+
, a
-
za koje va
zi
a
+
1,
a
-
1 i a = a
+
- a
-
odakle sledi:
|(a)| = |(a
+
) - (a
-
)| |(a
+
)| + |(a
-
)| 2M.
Za proizvoljno a
A za koje je a 1, postoji dekompozicija na
samoadjungovane elemente, tj. postoje a
1
, a
2
A
S
takvi da je a
1
1,
20
a
2
1 i a = a
1
+ ia
2
, pa se primenom prethodnog razmatranja na ove
elemente dobija:
|(a)| = |(a
1
) + i(a
2
)| |(a
1
)| + |(a
2
)| 4M.
Dakle, za ograni
cenost linearnog funkcionala dovoljno je dokazati da
je taj funkcional ograni
cen na skupu svih pozitivnih elemenata algebre
sadr
zanih u zatvorenoj jedini
cnoj kugli, tj. na skupu D
+
.
Teorema 3.2. Svaki pozitivan linearan funkcional C*-algebre je ograni
cen.
Dokaz. Neka je
A C*-algebra i pozitivan linearan funkcional na njoj.
Ukoliko pretpostavimo suprotno, da nije ograni
cen, na osnovu prethodne
leme sledi´
ce da je sup
aD
+
|(a)| = +. Tada postoji niz (a
n
)
n
iz D
+
takav
da je (n N) 2
n
(a
n
). Neka je a =
n=1
a
n
2
n
, tada je a
A
+
. Kako je
1 (
a
n
2
n
), to je za svako N N:
N
N
n=1
(
a
n
2
n
) = (
N
n=1
a
n
2
n
) (a).
Dosli smo do zaklju
cka da je (a) gornja granica skupa prirodnih brojeva,
sto nije mogu´
ce. Dakle, mora biti ograni
cen funkcional.
Primer 3.1. Prostor stanja C*-algebre C
0
(X), gde je X lokalno kompak-
tan Hausdorfov prostor, se sastoji od mera verovatno´
ca. Zaista, teorema
Ris-Markov-Kakutanija tvrdi da za svaki pozitivan linearan funkcional
definisan na prostoru C
0
(X), gde je X lokalno kompaktan Hausdorfov pro-
stor, postoji -algebra
R i jedinstvena regularna pozitivna mera µ na R za
koju je (f ) =
X
f dµ, za svako f C
0
(X). Dakle, na osnovu ove teoreme,
svako stanje se mo
ze poistovetiti sa regularnom pozitivnom merom, a
kako je = 1 to su u pitanju mere verovatno´
ce.
Lema 3.3. Ako je pozitivan funkcional C*-algebre
A onda je, za proi-
zvoljne a, b
A:
(1) (a
b) = (b
a);
(2) |(a
b)|
2
(a
a)(b
b) - nejednakost Ko
si-
Svarca.
Dokaz. (1): Za proizvoljne a, b
A i C pozitivnost funkcionala
povla
ci ((a + b)
(a + b)) 0 odakle sledi:
||
2
(a
a) + (a
b) + (b
a) + (b
b) 0.
21
Kako su (b
b)0 i ||
2
(a
a)0, iz prethodnog izborom = 1 dobijamo
Im (a
b) = -Im (b
a) , a za = i dobijamo Re (a
b) = Re (b
a) .
Dakle, (a
b) = (b
a).
(2): Za dokaz drugog dela tvrdenja primetimo da, zbog pozitivnosti
funkcionala , va
zi ((a - b)
(a - b)) 0, sto povla
ci:
||
2
(a
a) - (a
b) - (b
a) + (b
b) 0.
Ako za uzmemo vrednost
(a
b)
(a
a)
, koriste´
ci dokazani deo teoreme dobi´
cemo:
-
1
(a
a)
|(a
b)|
2
+ (b
b) 0,
odakle sledi Kosi-
Svarcova nejednakost.
Teorema 3.4. Neka je ograni
cen linearan funkcional na C*-algebri
A.
Slede´
ca tvrdenja su ekvivalentna:
(1) je pozitivan funkcional.
(2) Za svaku aproksimativnu jedinicu (e
) iz
A je = lim
(e
).
(3) Za neku aproksimativnu jedinicu (e
) iz
A je = lim
(e
).
Dokaz. Bez gubljenja opstosti mo
zemo pretpostaviti da je = 1.
(1) (2): Neka je pozitivan linearan funkcional na
A i neka je (e
)
proizvoljna aproksimativna jedinica u
A. Tada je ((e
))
rastu´
ca mre
za u
R pa ona konvergira ka svom supremumu, koji ne mo
ze biti ve´
ci od norme
funkcionala odakle sledi lim
(e
) 1.
Neka je a
A proizvoljan element za koji je a 1. Koriste´ci Lemu
3.3
mo
zemo zaklju
citi da je:
|(e
a)|
2
(e
e
)(a
a) (e
2
) (e
),
odakle sledi |(a)|
2
lim
(e
). Zbog proizvoljnosti elementa a sledi da je
2
lim
(e
), tj. 1 lim
(e
).
(2) (3): O
cigledno.
(3) (1): Neka je (e
)
aproksimativna jedinica algebre
A, takva da
va
zi 1 = = lim
(e
). Pretpostavimo da je a
A
S
takav da je a 1
i doka
zimo da je (a) R. Kako je funkcional, to postoje realni brojevi
x i y takvi da je (a) = x + iy. Pretpostavi´
cemo da je y 0 jer, ukoliko to
nije slu
caj, mo
zemo umesto a posmatrati -a. Za svako n N je:
a - ine
2
= (a + ine
)(a - ine
)
= a
2
+ n
2
e
2
- in(ae
- e
a)
1 + n
2
+ n ae
- e
a ,
22
odakle sledi |(a - ine
)|
2
2
a - ine
2
1 + n
2
+ n ae
- e
a .
Prelaskom na grani
cnu vrednost po u prethodnoj nejednakosti, na osnovu
slede´
ce dve jednakosti:
lim
(a - ine
) = (a) - in lim
(e
) = (a) - in
lim
ae
- e
a = lim
ae
- a - (e
a - a) = 0
sledi |x + iy - in|
2
= |(a) - in|
2
1 + n
2
. Dakle, x
2
+ y
2
- 2ny 1, za svako
n N, a kako je po pretpostavci y 0, to je ovo mogu´ce samo ukoliko je
y = 0.
Dokazali smo da, ukoliko je a samoadjungovan element norme ne ve´
ce
od 1, onda je (a) realan broj. Sada pretpostavimo da je a
A pozitivan
element za koji je
a 1 i doka
zimo da je (a) 0. Kako su e
- a
samoadjungovani elementi i e
- a 1 to je (e
- a)
e
- a 1
odakle sledi:
1 - (a) = lim
(e
) - (a) = lim
(e
- a) 1.
Dakle, (a) 0, za svako pozitivno a
A za koje je a 1.
Za proizvoljno pozitivno a
A je
a
a
pozitivan element jedini
cne norme
pa je
1
a
(a) 0 odakle sledi da je i (a) 0.
Posledica 3.5. Ako je (e
)
aproksimativna jedinica C*-algebre
A i ako je
pozitivan funkcional onda je = lim
(e
2
).
Dokaz. Za aproksimativnu jedinicu (e
)
je 0 e
2
e
1. Za µ je
e
e
µ
odakle sledi e
2
µ
-e
2
= (e
µ
-e
)e
µ
+ e
(e
µ
-e
) 0 pa je i e
2
e
2
µ
. Za
proizvoljno a
A je lim
ae
- a = 0, pa iz ae
2
- a = (ae
- a)e
+ (ae
- a)
sledi lim
ae
2
- a = 0. Na osnovu Teoreme
3.4
iz ovih zaklju
caka sledi
lim
(e
2
) = .
Posledica 3.6. Ukoliko je ograni
cen linearan funkcional definisan na
C*-algebri
A koja sadrzi jedinicu, onda je pozitivan ako i samo ako je
(
1) = .
Dokaz. Niz
ciji su svi elementi jednaki
1 je aproksimativna jedinica u A,
pa tvrdenje sledi direktnom primenom Teoreme
3.4
na taj niz.
Teorema 3.7. Ako je pozitivan lineran funcional C*-algebre
A onda je
za svako a, b
A:
23
1. (a
) = (a);
2. |(a)|
2
(a
a) ;
3. |(a
ba)| (a
a) b ;
4.
= sup{(a
a); a
A, a = 1}.
Dokaz. (1): Primenom Leme
3.3
(1) na proizvoljno a
A i aproksimativnu
jedinicu (e
)
dobijamo:
(a
e
) = (e
a) = (e
a).
Prelaskom na grani
cnu vrednost po dobijamo tra
zeno.
(2): Na osnovu Leme
3.3
(2) je:
|(e
a)|
2
(e
2
)(a
a) (e
)(a
a)
za proizvoljno a
A i aproksimativnu jedinicu (e
)
. Prelaskom na grani
cnu
vrednost po dobijamo |(a)|
2
(a
a) .
(3): Iz a
b
ba b
2
a
a i pretpostavke da je pozitivan linearan funk-
cional sledi (a
b
ba) b
2
(a
a).
(4): Na osnovu (2) je
sup
a =1
(a
a) sup
a =1
|(a)|
2
=
2
, odakle
sledi sup
a =1
(a
a) . Sa druge strane, po definiciji norme funkcionala
je = sup
a =1
|(a)| sup
a =1
(a
a).
Teorema 3.8. Ako su
1
i
2
pozitivni linearni funkcionali C*-algebre
A
onda je to i
1
+
2
i pri tom ´
ce va
ziti:
1
+
2
=
1
+
2
.
Stanja algebre
A formiraju konveksan podskup dualnog prostora A
.
Dokaz. Pozitivnost
1
+
2
sledi iz:
(a
A) (
1
+
2
)(a
a) =
1
(a
a) +
2
(a
a) 0,
a prema Teoremi
3.4
je, za proizvoljnu aproksimativnu jedinicu (e
)
:
1
+
2
= lim
(
1
+
2
)(e
) = lim
1
(e
) + lim
2
(e
) =
1
+
2
.
Za konveksnost skupa S(
A), dokazimo da za proizvoljna stanja
1
i
2
va
zi
da je i =
1
+ (1 - )
2
stanje, za svako [0, 1]. O
cigledno je da je
pozitivan lineran funkcional, a na osnovu dokazanog dela tvrdenja je:
=
1
+ (1 - )
2
= + 1 - = 1.
24
Ako je
A C*-algebra bez jedinice i ako je A = C1 + A njeno prosirenje
jedinicom onda svaki funkcional
A
ima ekstenziju
A
definisanu
sa:
(
1 + a) = + (a), C, a A.
Ova ekstenzija se naziva kanoni
cka ekstenzija funkcionala .
Teorema 3.9. Ako je
A C*-algebra bez jedinice i ako je pozitivan funk-
cional na
A onda je njegova kanonicka ekstenzija takode pozitivan funk-
cional i = . Ukoliko su
1
i
2
dva pozitivna funkcionala i
1
i
2
njihove kanoni
cke ekstenzije, onda je
1
+
2
=
1
+
2
.
Dokaz. Neka su a
A i C proizvoljni. Na osnovu Teoreme
3.7
(2) je:
((
1 + a)
(
1 + a)) = (||
2
1 + a + a
+ a
a)
= ||
2
+ (a) + (a
) + (a
a)
= ||
2
+ (a) + (a) + (a
a)
||
2
- 2|||(a)| + (a
a)
||
2
- 2||
1/2
(a
a)
1/2
+ (a
a)
= (||
1/2
- (a
a)
1/2
)
2
0
odakle sledi pozitivnost funkcionala . Kako
A sadrzi jedinicu to je, prema
Posledici
3.6
, = (
1) = .
Kona
cno, na osnovu Teoreme
3.8
je:
1
+
2
(
1 + a) =
1
+
2
+ (
1
+
2
)(a)
= (
1
+
2
) +
1
(a) +
2
(a)
=
1
(
1 + a) +
2
(
1 + a).
Dakle, ukoliko je
A algebra bez jedinice onda pozitivnan linearan funk-
cional mo
zemo sa
A prosiriti na A, pri tom ´ce i to prosirenje biti
pozitivan linearan funkcional i va
zi´
ce (
1) = = . Uocimo da je po-
zitivan linearan funkcional stanje ako i samo ako je (
1) = 1 ako algebra
sadr
zi jedinicu, tj. (
1) = 1 ako je ne sadrzi.
Kao kod pozitivnih elemenata C*-algebre, na skupu svih pozitivnih
linearnih funkcionala definisanih na
A uvodimo uredenje:
1
2
ako i
samo ako je
2
-
1
pozitivan linearan funkcional, pri tom mo
zemo pisati
i
2
-
1
0. Ako je
1
2
i
1
=
2
onda pisemo
1
<
2
.
Ukoliko su
1
i
2
stanja na
A onda je i =
1
+ (1 - )
2
stanje na
A
za bilo koje [0, 1] i va
zi
1
i (1-)
2
. Na osnovu Teoreme
3.8
,
lako je uo
citi da ´
ce za
1
,
2
, ...,
n
S(
A) i
1
,
2
, ...,
n
[0, 1] funkcional
25
=
n
k=1
k
k
biti stanje ako je
n
k=1
k
= 1. Stanja koja se ne mogu predstaviti
na ovaj na
cin imaju va
znu ulogu kako u matematici, tako i u fizici, pa
postoji potreba da se uvede slede´
ca definicija.
Definicija 3.2. Stanje C*-algebre
A je cisto stanje ako za svaki pozitivan
linearan funkcional na
A iz sledi = , za neko [0, 1]. Skup
svih
cistih stanja na
A oznacava se sa P (A).
Definicija 3.3. Neka je X vektorski prostor i K njegov konveksan pod-
skup. Element x K je ekstremna ta
cka skupa K ako za njega va
zi da
x = y + (1 - )z, za (0, 1), y, z K, povla
ci x = y = z.
Na dualnom prostoru
A
mo
zemo posmatrati uobi
cajenu topologiju in-
dukovanu normom, koja je okarakterisana konvergencijom:
lim
= lim
- = 0.
Medutim, ponekad je korisnije posmatrati slabu*-topologiju koju karak-
terise slaba*-konvergencija:
lim
= (a
A) lim
(a) - (a) = 0,
jer je u tom slu
caju mogu´
ce dokazati interesantne rezultate, kao sto ´
cemo
videti nakon sto se podsetimo jedne teoreme potrebne za dalji rad.
Teorema 3.10 (Krein-Milman). Ako je X lokalno konveksan normiran
prostor i K njegov kompaktan, konveksan podskup onda postoji bar jedna
ekstremna ta
cka skupa K i K je zatvoren konveksan omota
c svojih ekstrem-
nih ta
caka.
Konveksan omota
c skupa E je najmanji konveksan skup koji sadr
zi E
i u normiranim prostorima zatvorenje konveksnog omota
ca je ekvivalen-
tan pojmu zatvorenog konveksnog omota
ca koji se definise kao presek svih
zatvorenih konveksnih skupova koji sadr
ze E. Pojam
"
skup ekstremnih
ta
caka" obi
cno navodi na misao o skupu koji nema mnogo elemenata, ako
ih uopste ima, medutim vidimo da kompaktan, konveksan skup K iz pret-
hodne teoreme, ne samo da ima ekstremne ta
cke, ve´
c one
cine skup koji je
relativno veliki u odnosu na K i koji zapravo generise skup K.
Teorema 3.11. Neka je
A C*-algebra i neka je F
1
skup svih linearnih
pozitivnih funkcionala na
A cija norma nije ve´ca od 1. Tada je F
1
kon-
veksan, slabo*-kompaktan podskup od
A
cije su jedine ekstremne ta
cke 0 i
cista stanja. F
1
je slabo*-zatvoren konveksan omota
c skupa svojih ekstrem-
nih ta
caka. Ukoliko
A sadrzi jedinicu, onda je skup S(A) svih stanja na
A slabo*-kompaktan skup cije su ekstremne tacke cista stanja i S(A) je
slabo*-zatvoren konveksan omota
c skupa P (
A).
26
Dokaz. Skup F
1
je o
cigledno konveksan, slabo*-zatvoren podskup skupa
A
1
= {
A
;
1}, a kako je skup
A
1
prema teoremi Banah-Alaoglu
slabo*-kompaktan, to je i F
1
slabo*-kompaktan.
Ukoliko pretpostavimo da je 0 =
1
+ (1 - )
2
za neke (0, 1),
1
,
2
F
1
onda je, za svako a
A, 0 =
1
(a
a) + (1 - )
2
(a
a) odakle
sledi 0 (1 - )
2
(a
a) = -
1
(a
a) 0. Dakle, za svako a
A je
1
(a
a) =
2
(a
a) = 0 odakle, primenom nejednakosti Kosi-
Svarca, dobijamo
1
=
2
= 0 odakle sledi da je 0 ekstremna ta
cka skupa F
1
.
Ako pretpostavimo da je P (
A) i da je =
1
+ (1 - )
2
za neke
(0, 1),
1
,
2
F
1
, onda iz
1
, (1 - )
2
sledi da postoje
, µ [0, 1] takvi da je
1
= i (1 - )
2
= µ. Kako je stanje
to je 1 = =
1
+ (1 - )
2
odakle sledi + µ = 1, sto povla
ci
=
1
1 i
1-
1-
=
2
1 pa zakljucujemo da je = , tj.
1
=
2
= .
Dakle, svako
cisto stanje je ekstremna ta
cka skupa F
1
.
Da doka
zemo da F
1
nema ekstremnih ta
caka koji nisu
cista stanja ili 0
pretpostavi´
cemo da je F
1
\{0} ekstremna tacka tog skupa i dokazati da
onda mora
cisto stanje. Pre svega mora biti = 1 jer bi u suprotnom
va
zilo =
+ (1 - )0, pri cemu su 0,
F
1
pa ne bi bio
ekstremna ta
cka. Ako je pozitivan linearan funkcional za koji je ,
pri
cemu mo
zemo bez gubljenja opstosti pretpostaviti da je 1, onda
je =
+ (1 - )
-
-
jer je - = 1 -
prema Teoremi
3.8
, pri
cemu su
,
-
-
F
1
. Medutim, onda je =
sto dokazuje
da je
cisto stanje.
Na osnovu Krein-Milmanove teoreme mo
zemo zaklju
citi da je F
1
slabo*-
zatvoren konveksan omota
c svojih ekstremnih ta
caka, tj. skupa P (
A){0}.
Pretpostavimo da
A sadrzi jedinicu 1. Na osnovu Teoreme
3.8
znamo da
je S(
A) konveksan skup. Neka je (
n
)
n
niz u S(
A) koji slabo*-konvergira
ka . O
cigledno je pozitivan linearan funkcional na
A, a na osnovu
Posledice
3.6
je = (
1) = lim
n
n
(
1) = 1 pa je stanje. Dakle, S(A) je
slabo*-zatvoren podskup slabo*-kompaktnog skupa
A
1
= {
A
;
1} pa je i sam slabo*-kompaktan. Na osnovu Krein-Milmanove teoreme
zaklju
cujemo da je S(
A) slabo*-zatvoren konveksan omotac skupa svojih
ekstremnih ta
caka. Kako je P (
A) S(A) F
1
i 0 /
S(
A), to sledi da je
P (
A) skup ekstremnih tacaka skupa S(A).
27
Glava 4
Reprezentacije C*-algebre
U prvoj glavi je dokazano da je prostor
B(H) svih linearnih ogranicenih
operatora Hilbertovog prostora H C*-algebra, a u ovoj glavi ´
ce biti doka-
zano tvrdenje koje se mo
ze smatrati obratom, a to je da je svaka C*-algebra
*-izomorfna sa nekom C*-podalgebrom od
B(H). Za dokaz ovog rezultata
neophodno je prou
citi reprezentacije C*-algebre i njihovu povezanost sa
stanjima C*-algebre.
4.1.
Pojam reprezentacije C*-algebre
Definicija 4.1.1. Neka su
A i B dve C*-algebre. Linearno preslikavanje
:
A B je *-homomorfizam ako:
(1) (a, b
A) (ab) = (a)(b);
(2) (a
A) (a
) = (a)
.
Bijektivni *-homomorfizam naziva se *-izomorfizam. Za dve C
-algebre
ka
zemo da su *-izomorfne ukoliko postoji *-izomorfizam izmedu njih.
Svaki *-homomorfizam izmedu dve C*-algebre
A i B je pozitivan jer
je za svako a
A:
(a
a) = (a
)(a) = (a)
(a) 0.
Teorema 4.1.1. Neka je
A Banahova *-algebra sa jedinicom, B C*-algebra
i *-homomorfizam iz
A u B. Tada je neprekidno preslikavanje i vazi:
(a
A) (a) a .
Dokaz. Prvo ´
cemo posmatrati slu
caj kada je a
A
S
. Tada je i (a)
A
S
:
(a)
= (a
) = (a),
28
odakle na osnovu Teoreme
2.2.4
(1) sledi:
(a) = r
B
((a)) = sup{||;
B
((a))}.
Ozna
cimo (
1
A
) = p. Tada je p
2
= (
1
A
·
1
A
) = (
1
A
) = p, tj. p je
projektor algebre
B. Oznacimo B
p
= p
Bp i primetimo da je projektor p
jedinica algebre
B
p
. Takode, va
zi (
A) B
p
jer:
(a) = (
1
A
a
1
A
) = (
1
A
)(a)(
1
A
) = p(a)p, za svako a
A.
Na osnovu ovog rezultata mo
zemo pokazati da je
B
p
((a))
A
(a), za
proizvoljno a
A. Zaista, kako je
B
p
((a))
1
B
p
- (a) /
B
-1
p
(
1
A
- a) /
B
-1
p
to ´
ce pretpostavka da /
A
(a) povla
citi egzistenciju inverza ( - a)
-1
A,
sto dalje povla
ci:
( - a)
-1
( - a) = ( - a)
-1
( - a) = p =
1
B
p
,
( - a) ( - a)
-1
= ( - a)( - a)
-1
= p =
1
B
p
,
odakle sledi da postoji ( - a)
-1
= ( - a)
-1
, sto je suprotno pretpo-
stavci da je
B
p
((a)).
Iz
B
p
((a))
A
(a), prema Teoremi
2.2.3
, sledi da je:
(a) sup{||;
A
(a)} a .
Ukoliko a nije samoadjungovan, prethodnu nejednakost mo
zemo prime-
niti na a
a jer ovaj element jeste samoadjungovan, pa imamo:
(a)
2
= (a)
(a) = (a
a) a
a a
2
.
Dakle, za svako a
A je (a) a , a ocigledno je da ovaj rezultat i
pretpostavka da je linearno preslikavanje povla
ce njegovu neprekidnost.
Teorema 4.1.2. Ako su
A i B C*-algebre i *-homomorfizam iz A u B
onda je (
A) C*-podalgebra od B.
Dokaz. Lako je proveriti da je (
A) normirana *-podalgebra algebre B, a
da bismo dokazali da je i C*-algebra moramo dokazati da je zatvorena.
Zbog osobina preslikavanja , njegovo jezgro ker = {a
A; (a) = 0}
je zatvoren dvostrani ideal pa je koli
cni
cka algebra
A/ ker C*-algebra,
prema Teoremi
2.4.4
. Definisimo preslikavanje ^
:
A/ ker (A) sa
^
(a + ker ) = (a).
29
O
cigledno je da je ovo preslikavanje *-homomorfizam i da njegovo jezgro
sadr
zi samo klasu 0 + ker , tj. samo nulu algebre
A/ ker . Zbog ovoga
je ^
*-izomorfizam iz
A/ ker u ^(A/ ker ) pa postoji njemu inverzno
preslikavanje ^
-1
: ^
(
A/ ker ) A/ ker koje je, takode, *-izomorfizam.
Primenimo prethodnu teoremu na ^
-1
i ^
i dobi´
cemo:
a + ker = ^
-1
(^
(a + ker )) ^
(a + ker ) a + ker
odakle sledi a + ker = ^
(a + ker ) = (a) .
Ukoliko je ((a
n
))
n
niz elemenata iz (
A) koji konvergira ka nekom
elementu b
B onda je taj niz Kosijev pa je i niz (a
n
+ ker )
n
Kosijev jer:
a
n
+ ker - (a
m
+ ker ) = (a
n
- a
m
) + ker
= (a
n
- a
m
)
= (a
n
) - (a
m
) .
Kako je
A/ ker C*-algebra to je niz (a
n
+ ker )
n
konvergentan i ako
ozna
cimo sa a + ker
A/ ker njegovu granicnu vrednost vidimo da niz
((a
n
))
n
konverigra ka (a) (
A) je:
(a
n
) - (a) = (a
n
- a) = a
n
+ ker - a + ker
odakle, na osnovu jedinstvenosti grani
cne vrednosti konvergentnog niza,
sledi da je b = (a). Dakle, b (
A), tj. (A) je zatvoren skup.
Definicija 4.1.2. Reprezentacija C*-algebre
A je ureden par (H, ), gde je
H Hilbertov prostor, a je *-homomorfizam iz
A u B(H). Reprezentacija
(H, ) je verna ako je *-izomorfizam izmedu
A i (A).
Svaka reprezentacija (H, ) C*-algebre
A definise vernu reprezentaciju
(H, ^
) koli
cni
cke algebre
A
=
A/ ker , sto se moze videti iz prethodnog
dokaza.
Teorema 4.1.3. Neka je (H, ) reprezentacija C*-algebre
A. Slede´ci uslovi
su ekvivalentni:
(1) Reprezentacija (H, ) je verna.
(2) ker = {0}
(3) (a
A) (a) = a
(4) (a
A) (a > 0 (a) > 0).
Dokaz. Pokaza´
cemo da je (1) (2) i da (2) (3) (4) (2).
(1) (2) : Iz pretpostavke da je reprezentacija (H, ) verna sledi da
je *-homomorfizam injektivan pa, kako zbog linearnosti preslikavanja
mora biti (0) = 0, sledi ker = {0}.
30
(2) (1) : Pretpostavimo da je ker = {0} i da nije injektivno
preslikavanje, tj. da postoje a, b
A takvi da je a = b i (a) = (b). Tada
je (a - b) = (a) - (b) = 0 odakle sledi da je a - b ker , tj. a = b sto
je suprotno pretpostavci. Dakle, mora biti injektivno preslikavanje.
(2) (3) : Pretpostavka da je ker = {0} nam omogu´
cava da definisemo
*-izomorfizam
-1
iz (
A) u A sa
-1
((a)) = a, za proizvoljno (a) (
A).
Primenjivanjem Teoreme
4.1.1
na
-1
, a zatim i na dobijamo da za
proizvoljno a
A vazi:
a =
-1
((a)) (a) a .
(3) (4) : Ukoliko za a
A vazi a > 0 onda sledi da je (a) = a > 0
odakle sledi (a) = 0. Kako je a pozitivan element to je a = b
b, za neko
b
A pa je (a) = (b
b) = (b)
(b) 0. Iz (a) 0 i (a) = 0 sledi
(a) > 0.
(4) (2) : Pretpostavimo suprotno, da postoji a ker takvo da je
a = 0. Tada je (a
a) = (a)
(a) = 0. Sa druge strane iz a
a = a
2
> 0
sledi da je a
a > 0 odakle, prema pretpostavci, sledi (a
a) > 0.
Definicija 4.1.3. Ako je
A C*-algebra i *-izomorfizam iz A u A onda
je *-automorfizam algebre
A.
Dakle, *-automorfizam je *-homomorfizam
ciji je rang jednak njegovom
domenu i
cije jezgro sad
zi samo nulu algebre. Posledica prethodne teoreme
je da *-automorfizam C*-algebre
cuva normu, tj. da za *-automorfizam
C*-algebre
A vazi (a A) (a) = a .
Definicija 4.1.4. Ako je (H, ) reprezentacija C*-algebre
A i ako je H
1
podprostor prostora H onda za H
1
ka
zemo da je invarijantan, ili stabilan,
u odnosu na ako za svako a
A vazi (a)H
1
H
1
.
Teorema 4.1.4. Neka je (H, ) reprezentacija C*-algebre
A i neka je H
1
zatvoren podprostor od H, a P
H
1
ortogonalni projektor H na H
1
. Tada je
H
1
invarijantan u odnosu na ako i samo ako P
H
1
komutira sa (a), za
svako a
A.
Dokaz. Neka je H
1
zatvoren podprostor od H invarijantan u odnosu na
i neka je a
A proizvoljno. Tada se proizvoljan element h H moze
predstaviti u obliku ortogonalne dekompozicije h = h
1
+ h
2
, gde su h
1
H
1
,
h
2
H \ H
1
odakle sledi:
(P
H
1
(a)P
H
1
)h = P
H
1
(a)h
1
= P
H
1
h
1
,
gde je h
1
= (a)h
1
H
1
zbog invarijantnosti, tako da dalje imamo:
(P
H
1
(a)P
H
1
)h = h
1
= (a)h
1
= ((a)P
H
1
)h.
31
Primenom ovog rezultata na a
dobijamo:
(a)P
H
1
= (P
H
1
(a)P
H
1
)
= (P
H
1
(a
)P
H
1
)
= ((a
)P
H
1
)
= P
H
1
(a).
Obratno, ukoliko P
H
1
komutira sa (a) za svako a
A vazi´ce:
(a)H
1
{((a)P
H
1
)h; h H} = {P
H
1
(a)h; h H} H
1
.
Dakle, u ovom slu
caju H
1
jeste invarijantan u odnosu na .
Ako je H
1
invarijantan u odnosu na i ako je
1
definisano sa:
1
(a) = P
H
1
(a)P
H
1
= (a)P
H
1
,
a
A
onda je (H
1
,
1
) reprezentacija algebre
A jer:
1
(a)
1
(b) = (P
H
1
(a)P
H
1
)(P
H
1
(b)P
H
1
) = P
H
1
(a)P
H
1
(b)P
H
1
= P
H
1
(a)(b)P
H
1
= P
H
1
(ab)P
H
1
=
1
(ab).
Reprezentacija konstruisana na ovaj na
cin naziva se podreprezentacija re-
prezentacije (H, ).
Ortogonalni komplement, H
1
, zatvorenog podprostora H
1
invarijant-
nog u odnosu na , ´
ce takode biti invarijantan u odnosu na . Zaista, za
proizvoljne h H
1
i h
1
H
1
iz invarijantnosti H
1
sledi (a
)h
1
H
1
sto
povla
ci:
(h
1
, (a)h) = ((a)
h
1
, h) = ((a
)h
1
, h) = 0.
Za izvodenje jednog interesantnog zaklju
cka iz prethodnog razmatranja
potrebno je uvesti pojam direktne sume reprezentacija. Ako su (H
i
, ·
i
),
i I, Hilbertovi prostori, onda se direktna suma ovih prostora definise na
slede´
ci na
cin:
iI
H
i
= {(h
i
)
iI
; (i I) h
i
H
i
,
iI
h
i
2
i
< }. Direktna
suma reprezentacija (H
i
,
i
), i I definise se kao reprezentacija (H, ),
gde je H =
iI
H
i
, a =
iI
i
:
A B(
iI
H
i
) preslikavanje definisano sa
(a)(h
i
)
i
= (
i
(a)h
i
)
i
.
Dakle, uz oznaku H
2
= H
1
, dosli smo do zaklju
cka da, ukoliko je H
1
zatvoren podprostor od H i invarijantan u odnosu na reprezentaciju (H, ),
imamo dve podreprezentacije (H
1
,
1
) i (H
2
,
2
), gde je
1
(a) = P
H
1
(a)P
H
1
,
2
(a) = P
H
2
(a)P
H
2
, za a
A. Pri tom je H direktna suma skupova H
1
i H
2
, tj. H = H
1
H
2
, i =
1
2
. Dakle, dobili smo dekompoziciju
polazne reprezentacije:
(H, ) = (H
1
,
1
) (H
2
,
2
).
32
Skup H
0
= {h H; (a
A) (a)h = 0} je invarijantan u odnosu na
i odgovaraju
ca podreprezentacija
0
= P
H
0
P
H
0
je nula funkcija. Zbog
toga sto i netrivijalne reprezentacije imaju ovu podreprezentaciju pa se
mo
ze desiti da se u prethodno opisanoj dekompoziciji nade netrivijalan
podprostor sa trivijalnim *-homomorfizmom, uvodi se slede´
ci pojam.
Definicija 4.1.5. Za reprezentaciju (H, ) ka
zemo da je nedegenerisana
ako je H
0
= {h H; (a
A) (a)h = 0} = {0}.
O
cigledno, (H, ) je nedegenerisana ako i samo ako za svaki nenula
vektor h H postoji neko a
A takvo da je (a)h = 0, tj. ako i samo ako
je skup (
A)H = {(a)h; a A, h H} gust u H.
Definicija 4.1.6. Vektor Hilbertovog prostora H je cikli
can u odnosu
na skup ograni
cenih operatora M ako je lineal nad skupom {A; A M }
gust u H.
Definicija 4.1.7. Reprezentacija (H, ) C*-algebre
A je ciklicna reprezen-
tacija ako H sadr
zi vektor koji je cikli
can u odnosu na skup (
A).
O
cigledno, reprezentacija (H, ) je cikli
cna ako i samo ako postoji vek-
tor h H takav da je {(a)h; a
A} = H, tj. kra´ce (A)h = H odakle
je lako videti da je svaka cikli
cna reprezentacija nedegenerisana. Obrat u
opstem slu
caju ne va
zi, ali ipak postoji jaka veza izmedu nedegenerisanih
i cikli
cnih reprezentacija, sto ilustruje slede´
ca teorema.
Teorema 4.1.5. Neka je (H, ) nedegenerisana reprezentacija C*-algebre
A. Tada je direktna suma familije ciklicnih podreprezentacija.
Dokaz. Posmatrajmo familiju skupova oblika {h
i
; i I}, gde su h
i
nenula
vektori prostora H za koje va
zi ((a)h
i
, (b)h
j
) = 0, za sve a, b
A i
i = j. Na ovoj familiji mo
zemo uvesti skupovnu inkluziju kao parcijalno
uredenje pa ´
ce, prema Zornovoj lemi, postojati njen maksimalni element
E = {h
i
; i I}. Definisemo vektorske prostore:
H
i
= {(a)h
i
; a
A}, i I,
za koje je o
cigledno da su Hilbertovi podprostori od H, kao i da su invari-
jantni u odnosu na . Dakle, mo
zemo definisati podreprezentacije (H
i
,
i
),
i I, gde je
i
(a) = P
H
i
(a)P
H
i
, za svako a
A. Ove reprezentacije su
cikli
cne jer je skup {
i
(a)h
i
; a
A} gust u H
i
, po definiciji prostora H
i
.
Ostaje jos da se doka
ze da je H =
iI
H
i
. Neka je h (
iI
H
i
)
pro-
izvoljan. Tada iz (a, b
A)(i I) ((a)h
i
, (b)h) = ((b
a)h
i
, h) = 0
sledi da je (b)h ortogonalan u odnosu na sve prostore H
i
odakle, zbog
33
maksimalnosti elementa E, sledi da je (b)h = 0 za svako b
A. Kako je
(H, ) nedegenerisana reprezentacija to mora biti h = 0. Dakle, zaista je
(H, ) =
iI
(H
i
,
i
).
Sada mo
zemo zaklju
citi da se diskusija o nedegenerisanim reprezenta-
cijama mo
ze svesti na diskusiju o cikli
cnim reprezentacijama, sto je od
izuzetnog zna
caja jer ´
cemo u slede´
cem poglavlju videti kako se, polaze´
ci od
stanja algebre, konstruise cikli
cna reprezentacija.
U prethodnom dokazu smo izvrsili dekompoziciju reprezentacije pomo´
cu
netrivijalnih zatvorenih invarijantnih podprostora, pa ukoliko takvi pod-
prostori ne postoje dekompozicija ne´
ce biti mogu´
ca, sto pokazuje potrebu
za uvodenjem slede´
ce definicije.
Definicija 4.1.8. Reprezentacija (H, ) C*-algebre
A je ireducibilna re-
prezentacija ako ne postoje netrivijalni zatvoreni podprostori od H invari-
jantni u odnosu na .
Kako je H
0
= {h H; (a
A) (a)h = 0} zatvoren invarijantan
podprostor od H to je ireducibilna reprezentacija nedegenerisana, osim u
slu
caju kada je = 0 koji ´
cemo, zbog trivijalnosti, u ovom radu zanemariti.
Definicija 4.1.9. Neka je H Hilbertov prostor i X
B(H). Komutant
skupa X je skup X svih elemenata iz
B(H) koji komutiraju sa svim ele-
mentima skupa X.
Teorema 4.1.6. Neka je
A C*-algebra i (H, ) njena reprezentacija. Slede´ca
tvrdenja su ekvivalentna:
(1) (H, ) je ireducibilna reprezentacija.
(2) Svaki nenula vektor iz H je cikli
can u odnosu na (
A).
(3) (
A) = CI, gde je I identicki operator definisan na H.
Dokaz. (1) (2): Pretpostavimo suprotno, da postoji nenula vektor h H
za koji je (
A)h = H. Tada ortogonalni komplement ((A)h)
sadr
zi bar
jedan nenula vektor i o
cigledno je invarijantan u odnosu na , sto je u
suprotnosti sa pretpostavkom o ireducibilnosti.
(2) (3): Neka su A, B (
A) takvi da je AB = 0 i A = 0. Tada
postoji h H za koji je Ah = 0 i ABh = 0. Medutim, onda je za svako a
A,
A(a)Bh = (a)ABh = 0, a kako je Bh cikli
can vektor to je (
A)Bh = H
pa mora biti A = 0. Dakle, za A, B (
A) za koje je AB = 0 mora
va
ziti A = 0 ili B = 0. Iz ovog rezultata sledi (
A) = CI, ali dokaz te
implikacije zahteva rad sa fon Nojmanovim algebrama koje nisu tema ovog
rada. Za pomenuti dokaz mo
ze se konsultovati knjiga
"
Banach Algebras
and the General Theory of *-Algebras, Volume II", Theodore W. Palmer.
34
(3) (1): Neka je H
1
zatvoren podprostor od H invarijantan u odnosu
na . Tada je, prema Teoremi
4.1.4
, P
H
1
(
A) pa je P
H
1
= I, za neko
C. Kako je P
2
H
1
= P
H
1
to mora biti = 0 ili = 1, a tada je H
1
= {0}
ili H
1
= H. Dakle, (H, ) jeste ireducibilna.
Neka je (H, ) nedegenerisana reprezentacija C*-algebre
A i neka je
h H proizvoljan nenula vektor jedini
cne norme. Definisimo preslikavanje:
h
(a) = ((a)h, h),
a
A
koje je linearni funkcional na
A, i to pozitivan jer je:
h
(a
a) = ((a
a)h, h) = ((a)h, (a)h) = (a)h
2
0.
Kako je, na osnovu Posledice
3.6
,
h
=
h
(
1) = h
2
= 1 to je
h
stanje
na
A (ukoliko A ne sadrzi jedinicu posmatra se njeno prosirenje jedinicom i
kanoni
cka ekstenzija funkcionala
h
i primenjuje se Teorema
3.9
). Ovakvo
stanje naziva se vektorsko stanje reprezentacije (H, ).
35
4.2.
Konsturisanje reprezentacija C*-algebre
Pokazano je kako se mo
ze konstruisati stanje na
A, polaze´ci od nede-
generisane reprezentacije (H, ) i proizvoljnog normiranog vektora iz H i
da se u tom slu
caju dobija vektorsko stanje. Sada ´
ce biti pokazan obrat:
kako se, polaze´
ci od proizvoljnog stanja , konstruise cikli
cna reprezenta-
cija (H
,
) algebre
A i vektor h
H
takav da se mo
ze poistovetiti
sa vektorskim stanjem
h
, tj. takav da va
zi (a) = (
(a)h
, h
) za svako
a
A.
Prvo ´
cemo kostruisati prostor reprezentacije, H
. Definisimo preslika-
vanje (·, ·) :
A × A C sa:
(a, b
A) (a, b) = (b
a).
Ovo preslikavanje je nenegativna seskvilinearna forma, tj. za proizvoljne
a, b, c
A, , C je:
(a, a) = (a
a) 0
jer je pozitivan,
(a + b, c) = (c
(a + b)) = (c
a) + (c
b) = (a, c) + (b, c)
(a, b) = (b
a) = (a
b) = (b, a)
pri
cemu je koris´
cena Teorema
3.7
(1). Dalje, posmatramo skup
I
= {a
A; (a
a) = 0}
koji je levi ideal algebre
A sto se lako dokazuje koris´cenjem Teoreme
3.7
(3).
Zaista, za proizvoljne i
I
i a
A je:
0 ((ai)
ai) = (i
a
ai) a
2
(i
i) = 0.
Koli
cni
cki prostor
A/I
je vektorski prostor pa definisanjem skalarnog pro-
izvoda
(a +
I
, b +
I
) = (a, b) = (b
a),
a, b
A
dobijamo unitarni prostor. Ovako definisan skalarni proizvod ne zavisi od
izbora predstavnika klase. Zaista, za proizvoljne i
1
, i
2
I
je:
((b + i
1
)
(a + i
2
)) = (b
a) + (i
1
a) + (b
i
2
) + (i
1
i
2
)
= (b
a) + (a
i
1
) + (b
i
2
) + (i
1
i
2
)
= (b
a)
Unitaran prostor se uvek mo
ze prosiriti do kompletnog, tj. Hilbertovog
prostora tako da se o
cuva skalarni proizvod i da polazni prostor bude gust
u prosirenju. Takvo prosirenje prostora
A/I
obele
zi´
cemo sa H
i to ´
ce
biti tra
zeni prostor reprezentacije.
36
Sada je potrebno definisati reprezentaciju
na prostoru H
. Prvo
´
cemo je definisati na skupu
A/I
na slede´
ci na
cin:
(a)(b +
I
) = ab +
I
,
a
A, b + I
A/I
.
O
cigledno je da preslikavanje ne zavisi od izbora predstavnika klase. Za
svako a
A preslikavanje
(a) je linearno jer:
(a)((b +
I
) + (c +
I
)) =
(a)((b + c) +
I
)
= a(b + c) +
I
= (ab +
I
) + (ac +
I
)
=
(a)(b +
I
) +
(a)(c +
I
)
Koriste´
ci Teoremu
3.7
(4) dobijamo:
(a)(b +
I
)
2
= ab +
I
2
= (ab +
I
, ab +
I
)
= ((ab)
ab) = (b
a
ab)
a
2
(b
b) = a
2
(b +
I
, b +
I
)
= a
2
b +
I
2
odakle sledi da je
(a) ograni
cen, tj.
(a)
B(A/I
). Kako je pri tom
A/I
gust podprostor Hilbertovog prostora H
to
(a) ima ograni
cenu li-
nearnu ekstenziju na H
koju ´
cemo, takode, ozna
cavati sa
(a). Ispitajmo
jos da li je
*-homomorfizam iz
A u B(H
):
(a)
(b)(c +
I
) =
(a)(bc +
I
) = abc +
I
=
(ab)(c +
I
)
(
(a)(b +
I
), c +
I
) = (ab +
I
, c +
I
) = (c
ab)
= (b +
I
, a
c +
I
) = (b +
I
,
(a
)(c +
I
)).
Dakle, konstruisali smo reprezentaciju (H
,
) algebre
A. Ostaje jos
da odredimo vektor stanja h
za koji ´
ce va
ziti (
(a)h
, h
) = (a). Na
po
cetku konstrukcije smo napomenuli da ukoliko
A nema jedinicu, ovu
konstrukciju izvodimo na prosirenju ~
A algebre A jedinicom, pa mozemo
definisati h
=
1 + I
i uverimo se da je (a) vektor stanja:
(
(a)h
, h
) = (a +
I
,
1 + I
) = (a).
Ukoliko algebra
A sadrzi jedinicu, skup {
(a)h
; a
A} je zapravo
skup {a +
I
; a
A} koji je gust u H
pa je vektor h
cikli
can u odnosu
na reprezentaciju (H
,
).
Ako
A ne sadrzi jedinicu onda primenjivanjem prethodno opisane kon-
strukcije na prosirenje ~
A algebre A jedinicom, dobijamo reprezentacioni
37
prostor H
u kome je skup
( ~
A)h
= {
1 + a + I
; C, a A} gust.
Vektor h
je cikli
can ako je skup
(
A)h
= {a +
I
; a
A} gust u H
, a
to ´
ce va
ziti ukoliko je h
=
1 + I
sadr
zan u njegovom zatvorenju. Neka je
(e
)
aproksimativna jedinica u
A. Tada je:
(e
)h
- h
2
= (
(e
)h
- h
,
(e
)h
- h
)
= (
(e
e
)h
, h
) - (e
) - (e
) + h
2
= (e
2
) - 2(e
) + 1.
Koriste´
ci Teoremu
3.4
i njenu Posledicu
3.5
, zaklju
cujemo da je:
lim
(e
)h
- h
2
= 1 - = 0.
Dakle, vektor h
je u skupu
(
A)h
odakle sledi da je cikli
can vektor.
Da sumiramo, polaze´
ci od stanja konstruisali smo seskvilinearnu
formu (a, b) = (b
a), a zatim smo uo
cili da je
I
levi ideal da bismo defini-
sali skalarni proizvod (a+
I
, b+
I
) = (b
a) na
A/I
. Potom smo definisali
preslikavanje
(a)(b + I
) = ab +
I
na unitarnom prostoru
A/I
, koje smo
zatim prosirili do reprezentacije (H
,
) i dokazali da je ona cikli
cna jer je
vektor h
=
1 + I
cikli
can. Pri tom je (a) = (
(a)h
, h
), tj. je vek-
torsko stanje algebre
A. Ova konstrukcija ciklicne reprezentacije naziva se
Geljfand-Naimark-Sigal konstrukcija, ili kra´
ce GNS konstrukcija. Dobijena
reprezentacija ozna
cava se sa (H
,
, h
) da bi se istakao cikli
cni vektor
h
i naziva se kanoni
cka reprezentacija algebre
A pridruzena stanju .
Definicija 4.2.1. Dve reprezentacije (H
1
,
1
) i (H
2
,
2
) C*-algebre
A su
unitarno ekvivalentne ako postoji unitaran operator U iz H
1
na H
2
takav
da je:
(a
A) U
1
(a)U
=
2
(a).
Teorema 4.2.1. Neka je stanje C*-algebre
A. Ukoliko je (H, , h) ci-
kli
cna reprezentacija algebre
A takva da je h H vektor koji je ciklican
u odnosu na nju i da je (a) = ((a)h, h), za svako a
A, onda je ova
reprezentacija unitarno ekvivalentna kanoni
ckoj reprezentaciji (H
,
, h
)
algebre
A.
Dokaz. Definisimo operator U
0
iz
(
A)h
na (
A)h sa:
(a
A) U
0
(a)h
= (a)h.
On je dobro definisan i unitaran, sto sledi iz:
(U
0
(a)h
, U
0
(b)h
) = ((a)h, (b)h) = ((b
a)h, h)
= (b
a) = (
(a)h
,
(b)h
)
38
Kako su domen,
(
A)h
, i rang, (
A)h, ovog preslikavanja gusti skupovi
u, redom, H
i H to se ono mo
ze prosiriti do unitarnog operatora U iz H
na H. Za proizvoljne a, b
A ´ce tada vaziti:
(a)U
0
(b)h
= (a)(b)h = (ab)h
= U
0
(ab)h
= U
0
(a)
(b)h
,
odakle sledi (a)U = U
(a), tj. U
(a)U
= (a), za svako a
A.
Nakon uo
cavanja veze izmedu stanja i reprezentacija, mo
zemo tu vezu
produbiti uspostavljanjem korelacije izmedu
cistih stanja i ireducibilnih
reprezentacija, ali prvo ´
cemo se podsetiti Risove teoreme i dokazati lemu
neophodnu za dalji rad.
Teorema 4.2.2 (Ris). Ako je H Hilbertov prostor i H
onda postoji
jedinstven vektor x H za koji je (y) = (y, x), za svako y H.
Lema 4.2.3. Neka je H Hilbertov prostor i ograni
cena seskvilinearna
forma na njemu. Tada postoji jedinstven ograni
cen operator T na H za
koji je (x, y) = (x, T y), za sve x, y H.
Dokaz. Za fiksirano y H ozna
cimo
y
(x) = (x, y), za svako x H.
Preslikavanje x
y
(x) je ograni
cen linearan funkcional na H sto, prema
Risovoj teoremi, povla
ci egzistenciju jedinstvenog vektora h
y
takvog da je:
(x, y) =
y
(x) = (x, h
y
).
Na ovaj na
cin definisan je operator na H, T : y h
y
koji je ograni
cen jer:
T y
2
= h
y
2
= (h
y
, h
y
) =
y
(h
y
)
y .
Kako je (x, y) =
y
(x) = (x, T y), to je tvrdenje dokazano.
Teorema 4.2.4. Neka je stanje C*-algebre
A. Tada je njemu pridruzena
kanoni
cka reprezentacija (H
,
, h
) ireducibilna ako i samo ako je
cisto
stanje.
Dokaz. (): Pretpostavimo suprotno, da nije
cisto stanje, tj. da postoji
pozitivan funkcional algebre
A takav da je (a
a) (a
a), za svako
a
A, i = , 0 1. Koriste´ci nejednakost Kosi-Svarca dobijamo
da za proizvoljne a, b
A vazi:
|(b
a)|
2
(b
b)(a
a) (b
b)(a
a) =
(b)
2
(a)
2
.
Kako je sa (·, ·) : (
(a)h
,
(b)h
) (b
a) definisana ograni
cena seskvi-
linearna forma na skupu
(
A)h
×
(
A)h
koji je gust u H
× H
to,
prema prethodnoj lemi, postoji T
B(H
) takav da je:
(b
a) = (
(a)h
, T
(b)h
).
39
Kako za sve C vazi = , to mora vaziti i T = I, gde je I identicki
operator na H
, jer bi u suprotnom bilo:
(b
a) = ¯
(
(a)h
,
(b)h
) = ¯
(b
a).
Sa druge strane,
(
(a)h
, T
(b)
(c)h
) = ((bc)
a) = (c
(b
a))
= (
(b
a)h
, T
(c)h
)
= (
(a)h
,
(b)T
(c)h
),
odakle sledi da je T
(
A) , sto je u kontradikciji sa pretpostavkom da
je reprezentacija ireducibilna, prema Teoremi
4.1.6
.
(): Pretpostavimo da je
cisto stanje i da je X zatvoren invarijan-
tan podprostor od H
. Prema Teoremi
4.1.4
, ortogonalni projektor P
X
komutira sa (a), za svako a
A. Definisimo preslikavanje:
(a) = (
(a)P
X
h
, P
X
h
), a
A
i uo
cimo da je ono pozitivan funkcional na
A. Kako je, za proizvoljno a A:
(a
a) = (
(a
a)P
X
h
, P
X
h
) =
(a)P
X
h
2
= P
X
(a)h
2
P
X
2
(a)h
2
= (a
a)
to je pa, kako je
cisto stanje, mora postojati neko [0, 1] za koje
je = . Za proizvoljne a, b
A je tada:
(
(a)h
,
(b)h
) = (b
a) = (b
a)
= (
(b
a)P
X
h
, P
X
h
) = (
(a)P
X
h
,
(b)P
X
h
)
= (P
X
(a)h
, P
X
(b)h
) = (P
2
X
(a)h
,
(b)h
)
= (P
X
(a)h
,
(b)h
)
odakle sledi P
X
= I. Ukoliko je P
X
= 0 onda iz P
X
= I = 1 sledi = 1,
tj. P
X
= I. Dakle, ortogonalni projektor P
X
je ili nula-preslikavanje ili je
identi
cko preslikavanje sto povla
ci zaklju
cak da je X = {0} ili je X = H
,
cime je dokazana ireducibilnost reprezentacije (H
,
, h
).
Teorema 4.2.5. Neka je stanje C*-algebre
A koja nema jedinicu i neka
je ~
njegova kanoni
cka ekstenzija na algebru ~
A = C1 + A. Tada je cisto
stanje na
A ako i samo ako je ~ cisto stanje na ~
A.
Dokaz. Neka je (H
,
, h
) kanoni
cka reprezentacija algebre
A pridruzena
stanju i neka je
1
~
identi
cko preslikavanje na H
, tj. jedinica algebre
B(H
). Ako ozna
cimo H
~
= H
, h
~
= h
i
~
(
1 + a) = 1
~
+
(a), za
40
C i a A, onda je (H
~
,
~
, h
~
) cikli
cna reprezentacija na ~
A za koju je,
za proizvoljno a
A:
(
~
(a)h
~
, h
~
) = ((
1
~
+
(a))h
, h
)
= (h
, h
) + (
(a)h
, h
)
= h
+ (a)
= + (a) = ~
(a).
O
cigledno je da je (H
,
, h
) ireducibilna ako i samo ako je (H
~
,
~
, h
~
)
ireducibilna odakle, na osnovu prethodne teoreme, sledi da je
cisto stanje
algebre
A ako i samo ako je ~ cisto stanje algebre ~
A.
Teorema 4.2.6. Neka je stanje komutativne C*-algebre
A. Tada je
cisto stanje ako i samo ako je (ab) = (a)(b), za svako a, b
A.
Dokaz. (): Neka je
cisto stanje. Tada je njemu pridru
zena kanoni
cka
reprezentacija (H
,
, h
) ireducibilna pa je
(
A) = CI. Kako je A ko-
mutativna algebra to je
(
A)
(
A) = CI, tj. svi elementi skupa
(
A)
su multiplikativni operatori pa komutiraju sa svim ostalim operatorima iz
B(H
), tj.
B(H
) =
(
A) = CI. Dakle, za proizvoljne a, b A postoje
neki , C takvi da je
(a) = I i
(b) = I zbog
cega je:
(ab) = (
(ab)h
, h
) = (h
, h
) = (h
, h
)(h
, h
) = (a)(b),
pri
cemu je iskoris´
ceno (h
, h
) = h
2
= 1.
(): Neka je multiplikativno stanje na
A i neka je pozitivan linearan
funkcional na
A takav da je . Ako je a ker onda je (a
a)
(a
a) = (a
)(a) = 0 pa iz |(a)| (a
a)
1/2
sledi (a) = 0, pri
cemu
smo koristili nejednakost Kosi-
Svarca. Dakle, ker ker odakle sledi da
postoji C za koji je = . Neka je a A takav da je (a) = 1. Tada
je (a
a) = (a)
(a) = 1 odakle sledi (a
a) = (a
a) = , a kako je
0 (a
a) (a
a) = 1 to mora biti 0 1. Dakle, za proizvoljan
linearan pozitivan funkcional takav da je pronasli smo [0, 1] za
koji je = pa mo
zemo zaklju
citi da je
cisto stanje.
41
4.3.
Egzistencija reprezentacija C*-algebre
Na po
cetku ovog poglavlja podseti´
cemo se Han-Banahove teoreme koja
predstavlja jedan od najzna
cajnijih rezultata teorije operatora, a na kraju
poglavlja nalazi se uopstenje te teoreme na stanja C*-algebre.
Teorema 4.3.1 (Han-Banah). Neka je Y podprostor normiranog prostora
X i neka je f ograni
cen linearan funkcional na Y . Tada postoji ograni
cen
linearni funkcional F takav da je (y Y ) F (y) = f (y) i F
= f .
Teorema 4.3.2. Neka je
A C*-algebra i a A. Tada postoji cisto stanje
na
A takvo da je (a
a) = a
2
, a samim tim i ireducibilna reprezentacija
(H, , h) za koju je (a) = a .
Dokaz. Ukoliko
A nema jedinicu smatra´cemo da je prosirena njome. Na
podprostoru B = {
1+a
a; , C} od A definisimo linearni funkcional:
f (
1 + a
a) = + a
2
.
Primenom Teoreme
2.2.4
, imaju´
ci u vidu da je a
a samoadjungovan element
i da je
1 + a
a normalan, dobijamo:
| + a
2
| sup{| + |; (a
a)} =
1 + a
a ,
odakle sledi da je
f
1. Sa druge strane, iz f (
1) = 1 sledi f 1.
Dakle, f = 1 = f (
1), odakle na osnovu Posledice
3.6
sledi da je f stanje.
Prema Han-Banahovoj teoremi sledi da postoji ograni
cen linearan funk-
cional koji je ekstenzija funkcionala f na ~
A i za koji vazi
= f = 1 = f (
1) = (1),
odakle sledi da je stanje.
Pri tom je (a
a) = f (a
a) =
a
2
pa je
skup S
a
= { S(
A); (a
a) = a
2
} neprazan, a kako je i konveksan,
slabo*-zatvoren podskup jedini
cne kugle
A
1
prostora
A
, to je S
a
konveksan
slabo*-kompaktan skup u
A
.
Prema Krein-Milmanovoj teoremi, skup
S
a
ima bar jednu ekstremnu ta
cku koju ´
cemo ozna
citi sa . Doka
zimo
da je tada ekstremna ta
cka skupa S(
A). Pretpostavimo da, za neke
1
,
2
S(
A) i (0, 1), vazi =
1
+(1-)
2
. Tada je |
1
(a
a)| a
2
,
|
2
(a
a)| a
2
i a
2
= (a
a) =
1
(a
a) + (1 - )
2
(a
a), sto je mogu´
ce
samo ukoliko je
1
(a
a) =
2
(a
a) =
a
2
, tj.
ukoliko je
1
,
2
S
a
.
Medutim, tada je
1
=
2
= jer je ekstremna ta
cka skupa S
a
. Dakle,
je ekstremna ta
cka skupa S(
A), a na osnovu Teoreme
3.11
sledi da je
cisto stanje.
Prema Teoremi
4.2.4
, kanoni
cka reprezentacija (H
,
, h
) je ireduci-
bilna, a prema Teoremi
4.1.1
je:
a
2
= (a
a) =
(a)h
2
(a) a
2
.
42
Teorema 4.3.3 (Geljfand-Naimark). Svaka C*-algebra je izometri
cki
*-izomorfna sa C*-podalgebrom od
B(H), gde je H neki Hilbertov prostor.
Dokaz. Za svako stanje algebre
A konstruisimo odgovaraju´cu kanonicku
reprezentaciju (H
,
, h
) i formirajmo direktnu sumu ovih reprezentacija:
H =
S(
A)
H
,
=
S(
A)
.
Zatim primetimo da za svako a
A, prema prethodnoj teoremi, postoji
stanje
a
takvo da je
a
(a)
=
a
pa je
(a)
a
(a)
=
a .
Sa druge strane, prema Teoremi
4.1.1
je
(a) a . Dakle, za svako
a
A vazi jednakost (a) = a . Kako iz izometricnosti *-homomorfizma
sledi njegova injektivnost to dobijamo da je *-izomorfizam iz
A na
(
A) B(H). Na osnovu Teoreme
4.1.2
, (
A) je C*-algebra.
Teorema 4.3.4. Neka je
B C*-podalgebra C*-algebre A i neka je stanje
na
B. Tada postoji stanje ^ na A koje je ekstenzija stanja . Ako je
cisto stanje onda se ^
mo
ze izabrati tako da bude
cisto stanje na
A.
Dokaz. Bez gubljenja opstosti mo
zemo pretpostaviti da
A i B imaju za-
jedni
cku jedinicu
1, jer se mogu posmatrati prosirenja ovih algebri ukoliko
je potrebno, s tim sto bi se u tom slu
caju posmatrala kanoni
cka ekstenzija
stanja i pozivali bismo se na Teoremu
4.2.5
.
Prema Han-Banahovoj teoremi, postoji ograni
cena linearna ekstenzija
~
stanja na
A za koju je ~ = = 1. Kako je pri tom i ~(1) = (1) = 1
to je ~
stanje, prema Teoremi
3.6
. Ako sa S
ozna
cimo skup svih stanja
na
A koja su ekstenzije stanja onda je S
konveksan slabo*-zatvoren
podskup od S(
A) pa je i slabo*-kompaktan. Prema Krein-Milmanovoj
teoremi, skup S
ima bar jednu ekstremnu ta
cku ^
. Pretpostavimo da
je
cisto stanje i doka
zimo da je tada ^
ekstremna ta
cka skupa S(
A), a
samim tim i
cisto stanje. Neka su ^
1
, ^
2
S(
A) i (0, 1) takvi da je
^
= ^
1
+ (1 - )^
2
. Restrikcije
1
i
2
stanja ^
1
i ^
2
, redom, na
B su
stanja na
B i za njih vazi =
1
+ (1 - )
2
. Kako je
cisto stanje to je
=
1
=
2
odakle sledi ^
1
, ^
2
S
pa je ^
= ^
1
= ^
2
jer je ^
ekstremna
ta
cka skupa S
.
43
4.4.
Reprezentacije komutativne C*-algebre
Definicija 4.4.1. Neka je
A komutativna C*-algebra. Linearno nenula
preslikavanje :
A C za koje vazi osobina multiplikativnosti:
(ab) = (a)(b), za svako a, b
A
naziva se karakter u
A. Skup svih karaktera algebre A naziva se spektar
algebre
A i oznacava se sa (A).
Dakle, karakteri su nenula homomorfizmi iz
A u C i kao takvi, oni su
neprekidna preslikavanja.
Lema 4.4.1. Ako je
A C*-algebra bez jedinice i karakter u njoj onda je
i njegova kanoni
cka ekstenzija ~
karakter na ~
A.
Dokaz. Za proizvoljne , C, a, b A je:
~
((
1 + a)(1 + b)) = ~(1 + b + a + ab)
= + (b) + (a) + (a)(b)
= ( + (a))( + (b))
= ~
( + a)~
( + b).
Lema 4.4.2. Ako je karakter komutativne C*-algebre
A onda je
(a
A) (a) (a). Takode, za svako a A je (a) a i (a
a) 0.
Dokaz. Na osnovu prethodne leme, bez gubljenja opstosti mo
zemo pret-
postaviti da
A sadrzi jedinicu, jer bismo u suprotnom posmatrali njeno
prosirenje jedinicom, ~
A, i kanonicku ekstenziju karaktera .
Pod uslovom da je = 0 va
zi´
ce (
1) = 1 jer je za proizvoljno a A:
(
1)(a) = (1a) = (a).
Neka je a
A i neka je C takav da je / (a). Tada postoji b A
takav da je (
1 - a)b = 1 odakle sledi:
( - (a))(b) = (
1 - a)(b) = (1) = 1,
pa mora va
ziti (a) = . Dakle, za svako /
(a) vazi (a) = , sto povlaci
(a) (a). Zato je |(a)| r(a) a . Kako je (a
a) (a
a) [0, )
to mora biti (a
a) 0.
Dakle, svaki karakter je ograni
cen linearan funkcional norme ne ve´
ce od
1, tj. spektar (
A) je podskup jedinicne kugle u dualnom prostoru A
.
44
Teorema 4.4.3. Neka je nenula linearan funkcional komutativne
C*-algebre
A. Tada je cisto stanje ako i samo ako je karakter, tj.
(
A) = P (A).
Dokaz. Na osnovu Teoreme
4.2.6
, stanje je
cisto ako i samo ako je multipli-
kativno, tako da preostaje jos samo da se doka
ze da je norma karaktera
jednaka 1. Neka je (e
)
aproksimativna jedinica u
A. Iz multiplikativnosti
karaktera i Teorema
3.4
i
3.5
sledi:
= lim
(e
2
) = lim
(e
)(e
) = (lim
(e
))
2
=
2
odakle zaklju
cujemo da je = 1.
Primer 4.4.1. Neka je X lokalno kompaktan Hausdorfov prostor. Stanje
C*-algebre C
0
(X) je
cisto ako i samo ako va
zi:
(x X)(f C(X)) (f ) = f (x).
Pretpostavimo da je
cisto stanje, ozna
cimo sa µ meru za koju je
(f C
0
(X))(f ) =
X
f dµ i doka
zimo da za svaka dva neprazna, disjunktna
skupa X
1
, X
2
X mora vaziti µ(X
1
) = 0 ili µ(X
2
) = 0. Iz disjunktnosti
ovih skupova sledi da mo
zemo konstruisati pozitivne funkcije f
1
, f
2
C
0
(X)
takve da za nosa
ce ovih funkcija va
zi: X
1
supp f
1
= {x X; f
1
(x) = 0},
X
2
supp f
2
= {x X; f
2
(x) = 0} i supp f
1
supp f
2
= , odakle sledi da
je f
1
f
2
= 0. Kao
cisto stanje, je karakter, sto povla
ci:
(0) = (f
1
f
2
) = (f
1
)(f
2
).
Dakle, mora va
ziti 0 = (f
1
) =
X
f
1
dµ ili 0 = (f
2
) =
X
f
2
dµ odakle sledi da je
µ(X
1
) µ(supp f
1
) = 0 ili µ(X
2
) µ(supp f
2
) = 0. Na osnovu ovog zaklju
cka
sledi da je, za neko x X, supp µ = {x}, sto povla
ci (f ) =
X
f dµ = f (x).
Sa druge strane, ako postoji x X takvo da je (f C
0
(X))(f ) = f (x),
onda je za proizvoljne f, g C
0
(X):
(f g)(y) = (f g)(y) = f (y)g(y) = (f )(y),
y X,
tj. je karakter.
Teorema 4.4.4 (Stoun-Vajerstras). Neka je X lokalno kopaktan Hausdor-
fov prostor i neka je F podalgebra od C
0
(X). Skup F je gust u C
0
(X) ako
i samo ako va
zi (x X)(f F ) f (x) = 0 i F razdvaja ta
cke u X, tj.
(x, y F )(x = y (f F )f (x) = f (y)).
45
Teorema 4.4.5 (Geljfand-Naimark). Ako je
A komutativna C*-algebra
onda je njen spektar (
A) lokalno kompaktan Hausdorfov prostor u od-
nosu na slabu*-topologiju duala
A
. Pri tom,
A je *-izomorfna sa alge-
brom C
0
((
A)) svih neprekidnih funkcija na (A) koje iscezavaju u bes-
kona
cnosti. (
A) je slabo*-kompaktan ako i samo ako A sadrzi jedinicu.
Dokaz. Da doka
zemo da je (
A) lokalno kompaktan u slaboj*-topologiji
posmatrajmo (
A) i dokazimo da postoji okolina K
(
A) ove tacke
cije je zatvorenje slabo*-kompaktan skup. Mogu´
ce je izabrati a
A
+
ta-
kav da je (a) > 0 pa se, bez gubljenja opstosti, mo
ze pretpostaviti da
je (a) > 1. Skup K
= { (
A); (a) > 1} je, ocigledno, otvoren
i sadr
zan je u jedini
cnoj kugli
A
1
jer je (
A) sadrzan u njoj. Ako je
(
n
)
n
niz u K
= { (
A); (a) 1} koji tezi ka onda je (A)
i (a) = lim
n
n
(a) 1. Dokazali smo da je K
slabo*-zatvoren podskup
slabo*-kompaktne jedini
cne kugle, pa je i sam slabo*-kompaktan. Dakle,
K
je okolina ta
cke takva da je K
slabo*-kompaktan skup pa, zbog pro-
izvoljnosti ta
cke (
A) sledi da je (A) lokalno kompaktan prostor. Ovo
nas navodi na posmatranje prostora C
0
((
A)) pa definisemo preslikavanje
G : a ^
a sa:
( (
A)) ^a() = (a), a A.
Vidimo da su ^
a neprekidne funkcije iz (
A) u C, a pri tom za proizvoljne
a, b
A i (A) vazi:
G(ab)() = ^
ab() = (ab) = (a)(b) = ^
a()^
b() = G(a)()G(b)(),
G(a
)() = (a
) = (a) = G(a),
odakle sledi da je G *-homomorfizam. Kako su elementi skupa (
A) stanja
to su njihove norme jedini
cne, odakle sledi:
^
a = sup
(
A)
|(a)| a .
Sa druge strane, prema Teoremi
4.3.2
za proizvoljno a
A postoji karakter
a
za koji je (a
a) = a
2
na osnovu
cega je:
^
a
2
= sup
(
A)
|^
a()|
2
= sup
(
A)
|(a)|
2
= sup
(
A)
|(a
a)|
a
(a
a) = a
2
.
Dakle, G je izometri
cni *-homomorfizam, odakle sledi da je *-izomorfizam
iz
A na G(A).
Za svako > 0 skup K = { (
A); |(a)| } je slabo*-kompaktan, sto
se mo
ze dokazati sli
cno prvom delu ovog dokaza. Dakle, ^
a is
cezava u bes-
kona
cnosti, tj. preslikavanje G je *-izomorfizam iz
A na G(A) C
0
((
A)).
Medutim, kako za
1
,
2
(
A) iz
1
=
2
sledi da postoji neki a
A
46
za koji je ^
a(
1
) =
1
(a) =
2
(a) = ^
a(
2
), to sledi da G(
A) razdvaja svoje
ta
cke. Na osnovu Stoun-Vajerstrasove teoreme, G(
A) = C
0
((
A)).
Ukoliko
A sadrzi jedinicu, onda je K
1
= { (
A); (21) 1} = (A) pa
se, rasudivanjem primenjenim na K
u prvom delu dokaza, mo
ze zaklju
citi
da je (
A) kompaktan skup. Obratno, ako je (A) kompaktan skup onda
C
0
((
A)) = C((A)) sadrzi konstantne funkcije, odakle sledi da A mora
sadr
zati jedinicu zbog izometri
cnosti.
U primeru
2.1.4
smo videli da je, za lokalno kompaktan Hausdorfov
prostor X, C
0
(X) komutativna C*-algebra, a sada smo dokazali i neki
vid obrata- da je svaka komutativna C*-algebra izometri
cki izomorfna sa
C
0
(X), za X = (
A). U pomenutom primeru smo zakljucili i da je C
0
(X)
C*-podalgebra od
B(L
2
(X; µ)) pa je u tom smislu G reprezentacija algebre
A i naziva se Geljfandova reprezentacija.
47
Glava 5
Primene teorije C*-algebri
Upotreba C*-algebri mo
ze olaksati rad u mnogim oblastima matema-
tike, kao sto su numeri
cka analiza, nekomutativna geometrija i teorija re-
prezentacija, ali i u raznim oblastima fizike, na primer u klasi
cnoj mehanici,
kvantnoj mehanici, teoriji kvantnih polja, statisti
ckoj fizici. Rezultati doka-
zani u ovom radu najzna
caniji su za fiziku, prvenstveno kvantnu mehaniku,
jer je ona bila motivacija za njihovo otkrivanje, dok je za razmatranje pri-
mene C*-algebri u matematici potrebno njihovo dublje razumevanje. Stoga
´
ce ukratko biti opisano samo kako se C*-algebre mogu primeniti u fizici.
5.1.
Klasi
cna mehanika
Klasi
cna mehanika je deterministi
cki zasnovana, sto zna
ci da ukoliko
zelimo da analiziramo ponasanje neke
cestice i ukoliko su nam poznati
po
cetni uslovi problema, tj. polo
zaj i impuls te
cestice u po
cetnom trenutku
vremena, onda mo
zemo ta
cno odrediti putanju kretanja te
cestice. Stanja
jedno
cesti
cnog sistema su ta
cke (r, p) faznog prostora, gde r = (x, y, z)
predstavlja vektor polo
zaja
cestice, a p = (p
x
, p
y
, p
z
) njen impuls. Obser-
vable, tj. dinami
cke varijable koje se mogu meriti (npr. polo
zaj
cestice,
njen impuls, brzina, kineti
cka energija), su neprekidne funkcije koje zavise
od polo
zaja i impulsa
cestice. Kako njihove vrednosti mo
zemo izmeriti
to one moraju biti realne funkcije. Dakle, u klasi
cnoj fizici observable su
neprekidne realne funkcije definisane na faznom prostoru M , a stanja se
mogu poistovetiti sa pozitivnim linearnim funkcionalima na ovoj algebri
koja svakoj observabli pridu
zuju njenu vrednost u tom stanju, tj. uko-
liko je sistem u stanju S = (r, p) onda se ovo stanje mo
ze posmatrati kao
funkcional definisan sa:
S
(f ) = f (S),
f C(M ).
48
U slu
caju sistema sa n
cestica, fazni prostor M ´
ce biti 6n-dimenzionalan,
stanja ´
ce biti njegove ta
cke (r
1
, r
2
, . . . , r
n
, p
1
, p
2
, . . . , p
n
), a observable ne-
prekidne realne funkcije definisane na njemu.
Kako je fazni prostor lokalno kompaktan Hausdorfov prostor, to mo
zemo
zaklju
citi da su observable samoadjungovani elementi C*-algebre C(M ),
sto je od izuzetnog zna
caja jer to zna
ci da svi fizi
cki sistemi, koji se
mogu medusobno drasti
cno razlikovati, dele sve osobine C*-algebri. Sa
druge strane, na osnovu komutativne verzije Geljfand-Naimarkove teo-
reme, poznavanje C*-algebre observabli nam omogu´
cava odredivanje fa-
znog prostora kao spektra te algebre, sto nam daje informacije o mogu´
cim
polo
zajima
cestice.
Kod sistema sa
cinjenih od velikog broja
cestica (preciznije reda veli
cine
Avogadrovog broja koja je pribli
zno 6·10
23
) ovakav pristup postaje zna
cajno
komplikovaniji pa se rad upros´
cava prelaskom na statisti
cku mehaniku
koja ima probabilisti
cki pristup. Umesto izra
cunavanja vrednosti obser-
vable pomo´
cu informacija o polo
zajima i impulsima velikog broja
cestica,
mo
zemo ponoviti N puta eksperiment u kome merimo vrednost te observa-
ble, pri
cemu je sistem pri svakom ponavljanju u istom stanju. Intuitivno
je da se za vrednost observable u tom stanju uzme srednja vrednost rezul-
tata dobijenih u N merenja. Drugim re
cima, observable posmatramo kao
slu
cajne promenljive, a stanja sistema kao raspodele verovatno´
ca, odnosno
kao funkcije koje svakoj promenljivoj pridru
zuju njenu o
cekivanu vrednost
u tom stanju. Ovakvo uopstenje stanja je u skladu sa Primerom
3.1
, iz
koga se vidi da se stanja C*-algebre C(M ) mogu poistovetiti sa merom
verovatno´
ce, i Primerom
4.4.1
, na osnovu koga se mo
ze zaklju
citi da su sva
stanja u klasi
cnoj mehanici
cista.
49
5.2.
Kvantna mehanika
Po
cetkom 20. veka fizi
cari su u vise eksperimenata otkrili izvesne ne-
pravilnosti koje su dovele do otkrivanja kvantne mehanike koja, za razliku
od klasi
cne fizike, nije deterministi
cka, tj. nije mogu´
ce odrediti putanju
kretanja
cestice na osnovu po
cetnih uslova. Zapravo, u kvantnoj fizici tra-
jektorije ne postoje, ve´
c observable uzimaju diskretne vrednosti pa samim
tim i polo
zaj
cestice ne´
ce biti neprekidna funkcija. Iako nije mogu´
ce predvi-
deti ponasanje
cestice, mogu´
ce je izvrsiti eksperiment u kome ´
ce se izmeriti
vrednost
zeljene observable u odredenom stanju sistema. Ukoliko ponovimo
takav eksperiment veliki broj puta mo
zemo odrediti u
cestanost svakog od
mogu´
cih rezultata merenja. Na taj na
cin se dobijaju verovatno´
ce da u
odredenom stanju sistema posmatrana observabla ima svaku od mogu´
cih
vrednosti. Prirodno je uzeti srednju vrednost izmerenih rezultata kao vred-
nost observable u tom stanju, odnosno o
cekivanu vrednost slu
cajne promen-
ljive
cija je raspodela dobijena na osnovu u
cestanosti izmerenih rezultata u
n ponovljenih identi
cnih, nezavisnih eksperimenata. Dakle, mo
zemo sma-
trati da je sistem pre merenja u superpoziciji, odnosno konveksnoj kombi-
naciji takozvanih stacionarnih stanja u kojima je ta
cno odredena vrednost
observable, i da se tek u trenutku merenja sistem
"
opredeljuje" za odredenu
vrednost observable, tj. odredeno stacionarno stanje. Funkcija koja opi-
suje verovatno´
ce da sistem pri merenju
"
izabere" svako od stacionarnih
stanja, naziva se talasna funkcija, stanje sistema ili vektor stanja. U tre-
nutku neposredno nakon sto je izmerena vrednosti observable, verovatno´
ca
da ta observabla ima izmerenu vrednost jednaka je jedinici, a verovatno´
ce
svih ostalih mogu´
cih vrednosti observable jednake su nuli, zbog
cega tala-
sna funkcija vise nije superpozicija stacionarnih stanja, ve´
c opisuje samo
jedno od njih- ono stacionarno stanje u kome posmatrana observabla ima
izmerenu vrednost. Ovaj
cin promene talasne funkcije iz superpozicije u
stacionarno stanje koje se desava pri merenju observable, naziva se ko-
lapsom talasne funkcije. Pre nego sto se doslo do ovih zaklju
caka mnogi
nau
cnici su pokusali da formulisu kvantnu mehaniku na, manje ili vise,
strog na
cin i pri tom su se izdovjile dve formulacije- matri
cna mehanika
Vernera Hajzenberga i talasna mehanika Ervina
Sredingera.
U slu
caju sistema sa n
cestica mase m, Hajzenberg je vektore polo
zaja
i impulse
cestica poistovetio sa operatorima q
i
i p
j
, i, j = 1, n, koji su
definisanim na Hilbertovom prostoru H i zadovoljavaju kanoni
cke relacije
komutacije:
[p
i
, p
j
] = [q
i
, q
j
] = 0,
[p
i
, q
j
] = -i
ij
,
50
gde je
1, 05 · 10
-34
J · s redukovana Plankova konstanta,
ij
=
0
i = j
1
i = j
Kronekerova delta funkcija, a izraz [A, B] komutator operatora A i B koji
je jednak nuli ukoliko ovi operatori komutiraju jer se definise na slede´
ci
na
cin:
[A, B] = AB - BA.
Observable se, u opstem slu
caju, menjaju sa protokom vremena, a tu pro-
menu operatora koji zadovoljavaju prethodne uslove je Hajzenberg opisao
jedna
cinom:
A
t
t
=
i
[H, A
t
],
gde je H =
n
i=1
p
2
i
2m
+ V (r
1
, r
2
, . . . , r
n
) Hamiltonijan sistema,
ciji prvi sabirak
predstavlja ukupnu kineti
cku energiju sistema, a drugi potencijalnu ener-
giju, tj. energiju medusobne interakcije
cestica. Maks Born je uvideo da su
operatori koje je Hajzenberg uveo zapravo matrice, zbog
cega je ta teorija
postala poznata kao matri
cna mehanika i zbog
cega je Hajzenberg dosao do
zaklju
cka da observable u opstem slu
caju ne komutiraju. Ukoliko dve ob-
servable komutiraju, i njima pridru
zene matrice ´
ce komutirati pa je mogu´
ce
dijagonalizovati ih obe i odrediti njihove sopstvene vrednosti. Hajzenberg
u svojoj teoriji nije pominjao rezultate merenja, ali je D
zon fon Nojman
kasnije uvideo da precizno merenje vrednosti observable mora biti neka od
sopstvenih vrednosti matrice pridru
zene toj observabli, a danas je ovaj za-
klju
cak jedna od aksioma kvantne mehanike. Pri tom ´
ce nastupiti kolaps
vektora stanja i on ´
ce uzeti vrednost odgovaraju´
ceg sopstvenog vektora te
matrice.
Ervin
Sredinger je kvantnu mehaniku zasnovao na kompleksnoj funk-
ciji
t
(r
1
, r
2
, . . . r
n
) koja zavisi od polo
zaja
cestica i vremena, i koja di-
namiku sistema (sa
cinjenog od n
cestica masa m
cija je medusobna in-
terakcija opisana potencijalnom energijom V ) opisuje vremenski zavisnom
Sredingerovom jedna
cinom:
i
t
t
(r
1
, r
2
, . . . r
n
) =
-
2
2m
n
i=1
i
+ V (r
1
, r
2
, . . . , r
n
)
t
(r
1
, r
2
, . . . , r
n
),
gde je
i
Laplasov operator i-te
cestice, tj.
i
=
x
i
+
y
i
+
z
i
, pri
cemu su x
i
, y
i
i z
i
koordinate vektora polo
zaja i-te
cestice. Fizi
cki, funkcija
t
(r
1
, r
2
, . . . , r
n
) = |
t
(r
1
, r
2
, . . . , r
n
)|
2
se tuma
ci kao gustina verovatno´
ce, u
smislu da veli
cina |
t
(r
1
, r
2
, . . . , r
n
)|
2
dr
1
dr
2
· · · dr
n
predstavlja verovatno´
cu
da se u trenutku vremena t, za svako i = 1, n, i-ta
cestica sistema nade
u okolini ta
cke r
i
. Da bi funkcija
t
, koja se naziva talasna funkcija, zai-
sta definisala gustinu verovatno´
ce na prethodno opisan na
cin, mora va
ziti
51
R
3n
|
t
(r
1
, r
2
, . . . , r
n
)|
2
dr
1
dr
2
· · · dr
n
= 1 pa se zahteva da
t
bude normiran
element Hilbertovog prostora L
2
(R
3n
) svih kvadratno integrabilnih kom-
pleksnih funkcija definisanih na prostoru R
3n
. U ovako zasnovanoj teoriji
observablama se pridru
zuju operatori definisani na skupu svih mogu´
cih sta-
nja sistema, npr. vektoru polo
zaja i-te
cestice sistema pridru
zuje se multi-
plikativni operator q
i
= r
i
, dok se njenom impulsu pridru
zuje operator
p
i
= -
i
i
.
U Hajzenbergovoj reprezentaciji kvantne mehanike operatori (odno-
sno matrice) pridru
zeni observablama zavise od vremena, dok stanja si-
stema opisuju sopstveni vektori tih operatora i oni ne zavise od vremena.
Kod
Sredingerove reprezentacije situacija je obrnuta, stanje sistema opi-
suje funkcija koja je vremenski zavisna, dok operatori pridru
zeni vektoru
polo
zaja i impulsu ne zavise od vremena. Ne mo
ze se re´
ci da je neka od ove
dve reprezentacije pogodnija za rad jer to zavisi isklju
civo od konkretnog
problema koji je potrebno resiti i upravo zbog toga bi mogu´
cnost biranja
u kojoj ´
ce se reprezentaciji resavati zadati problem bila izuzetno korisna.
Upravo tu mogu´
cnost pru
zio je D
zon fon Nojman 1932. godine kada je do-
kazao ekvivalentnost ovih reprezentacija koriste´
ci teoriju C*-algebri. Tada
je postalo o
cigledno da su observable samoadjungovani operatori Hilber-
tovog prostora, a stanja normirani vektori tog prostora ili, ekvivalentno,
observable su samoadjungovani elementi nekomutativne C*-algebre koja
sadr
zi jedinicu, a stanja sistema su
cista stanja te algebre.
GNS kon-
strukcija predstavlja vezu izmedu predstavljanja sistema pomo´
cu Hilber-
tovog prostora i algebarskog predstavaljanja sistema pomo´
cu C*-algebre
generisane observablama. Sigal je uo
cio da, kako se za svako
cisto stanje
sistema mo
ze konstruisati ireducibilna kanoni
cka reprezentacija, to je za
prou
cavanje sistema dovoljno posmatrati samo ireducibilne reprezentacije
odgovaraju´
ce C*-algebre, a zbog unitarne jedinstvenosti kanoni
cke repre-
zentacije mogu´
ce je izabrati u kojoj ´
ce se reprezentaciji problem resavati
da bi se rad sto je vise mogu´
ce olaksao.
52
Glava 6
Zaklju
cak
U ovom radu je prikazano nekoliko interesantnih korelacija. Pre svega,
postoji povezanost izmedu samih stanja i reprezentacija, koju opisuje GNS
konstrukcija. Zatim, kao posledica GNS konstrukcije, Geljfand-Naimarkova
teorema ilustruje relaciju izmedu dva naizgled sasvim nepovezana pojma-
komutativnih C*-algebri i njihovih *-homomorfizama sa topoloskim prosto-
rima i njihovim neprekidnim funkcijama. Na kraju, razvoj teorije C*-algebri
oslikava neraskidivu uzajamnu vezu izmedu matematike i fizike: matema-
tika obezbeduje formalnost fizici, stroge temelje za izvodenje zaklju
caka i
odgovore na mnoga pitanja, ali fizika uzvra´
ca stalnim otkrivanjem nepo-
znatog, postavljanjem novih pitanja i motivacijom za pronala
zenje metoda
neophodnih za razumevanje i opisivanje sveta oko nas matemati
ckim jezi-
kom.
Dalji rad bi mogao obuhvatiti izu
cavanje Hilbertovih C*-modula, koji
predstavljaju uopstenje Hilbertovih prostora, i fon Nojmanovih algebri,
koje su specijalan slu
caj C*-algebri, kao i Tomita-Takesaki teoriju, koja
se bavi automorfizmima fon Nojmanovih algebri, i primenu u kvantnoj
mehanici i statisti
ckoj fizici.
53
Literatura
[1] Ola Bratteli, Derek W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Sta-
tistical Mechanics 1, Springer, Berlin-Heidelberg, 2002.
[2] Dragan S. Dordevi´
c, Algebras and Modules in Functional Analysis,
Faculty of Sciences and Mathematics, University of Nis, 2015.
[3] N. P. Landsman, Lecture notes on C-algebras and quantum mechanics,
Draft 8 April 1998.
[4] B. Blackadar, Operator algebras: theory of C-algebras and von Neu-
mann algebras, Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 2006.
[5] M. Takesaki, Theory of operator algebras I, Second printing, Springer-
Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2002.
[6] Gerard J. Murphy, C*-algebras and operator theory, Academic Press,
Inc., San Diego, 1990.
[7] I.E.Segal, Irreducible Representations of Operator Algebras, Bull. Amer.
Math. Soc. 53, 1947
[8] Theodore W. Palmer, Banach Algebras and The General Theory of *-
Algebras, Volume II: *-Algebras, Cambridge University Press, 1994.
[9] Jonathan James Gleason, The C*-algebraic formalism of quantum
mechanics, 2009.
http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/
REUPapers/Gleason.pdf
54
Biografija
Nevena Stankovi´
c je rodena 20.08.1990. u Nisu. Zavrsila je osnovnu
skolu
"
Dositej Obradovi´
c" u Nisu kao nosilac Vukove diplome. Gimnaziju
"
Svetozar Markovi´
c"u Nisu, upisala je 2005. godine i zavrsila 2009. godine.
Tokom skolovanja u
cestvovala je na mnogobrojnim takmi
cenjima iz mate-
matike, fizike, srpskog i engleskog jezika. Osnovne studije matematike na
Prirodno-matemati
ckom fakultetu upisala je 2009. godine i zavrsila 2014.
Iste godine upisuje master studije na smeru Matemati
cki modeli u fizici
koje zavrsava 2017. godine sa prosekom 8.5, ne ra
cunaju´
ci ocenu master
rada.
55
Često postavljana pitanja
Šta je tema ovog dokumenta?
Ovaj dokument je sveobuhvatni pregled jezika sa naslovom "Sadrzaj", tablicom sadržaja, ciljevima i ključnim temama, sažecima poglavlja i ključnim rečima, namenjen za akademsku upotrebu, analizirajući teme na strukturiran i profesionalan način.
Šta je obuhvaćeno u prvom poglavlju?
Prvo poglavlje, "Uvod", uvodi osnove algebri operatora, sa temeljima koje je postavio Džon fon Nojman. Naglašava potrebu za matematičkim alatima koji bi omogućili da kvantna fizika postane naučna teorija, sa osvrtom na rad Marka Naimarka, Izraela Geljfanda i Irvinga Sigala, kao i na GNS konstrukciju.
Šta sadrži drugo poglavlje?
Drugo poglavlje, "C*-algebre", definiše osnovne pojmove C*-algebri, uključujući algebre sa involucijom, *-algebre, Banahove *-algebre, i C*-algebre. Daju se primeri i osnovne teoreme.
Šta se razmatra u trećem poglavlju?
Treće poglavlje, "Stanja C*-algebre", sadrži definiciju pozitivnog linearnog funkcionala, kao i teoreme koje opisuju strukturu skupa svih stanja C*-algebre i njegov odnos sa skupom svih čistih stanja C*-algebre.
Šta je tema četvrtog poglavlja?
Četvrto poglavlje, "Reprezentacije C*-algebre", definiše pojam reprezentacije C*-algebre, metode konstrukcije reprezentacija, као и егзистенцију репрезентација, kao i reprezentacije komutativne C*-algebre.
Šta se proučava u petom poglavlju?
Peto poglavlje, "Primene teorije C*-algebri", opisuje primene rezultata dobijenih u radu, posebno u klasičnoj i kvantnoj mehanici.
Šta je zaključak ovog rada?
U zaključku se naglašava povezanost izmedu stanja i reprezentacija C*-algebri, veza izmedu komutativnih C*-algebri i topoloških prostora, и узјамна веза математике и физике.
Šta se nalazi u odeljku "Literatura"?
Odeljak "Literatura" sadrži spisak referenci korišćenih u ovom radu, uključujući knjige i naučne radove koji se bave tematikom C*-algebri i njihovih primena.
Šta se nalazi u odeljku "Biografija"?
Odeljak "Biografija" sadrži kratku biografiju Nevene Stanković, autora ovog rada, sa detaljima o njenom obrazovanju i učešću на такмичењима.
Domande frequenti
Qual è l'argomento principale di questo studio sulle C*-algebre?
Il lavoro presenta i concetti base delle C*-algebre, con particolare attenzione agli elementi positivi, alle identità approssimate, agli stati e alle rappresentazioni.
Quali sono i teoremi più importanti discussi nel testo?
Vengono approfonditi la costruzione GNS (Gelfand-Naimark-Segal) e i due teoremi di Gelfand-Naimark, fondamentali per la teoria delle C*-algebre.
Chi sono i pionieri della teoria degli operatori menzionati?
Il testo cita John von Neumann come fondatore, insieme ai contributi di Mark Naimark, Israel Gelfand e Irving Segal.
In quali ambiti della fisica trovano applicazione le C*-algebre?
La teoria viene applicata sia alla meccanica classica che alla meccanica quantistica, fornendo strumenti matematici per spiegare fenomeni fisici complessi.
Cosa si intende per analisi spettrale nel contesto delle C*-algebre?
L'analisi spettrale riguarda lo studio dello spettro degli elementi dell'algebra, un concetto chiave trattato nel capitolo 2.2 del documento.
Viene trattata la differenza tra algebre commutative e non commutative?
Sì, il documento dedica una sezione specifica (4.4) alle rappresentazioni delle C*-algebre commutative.
Excerpt out of 56 pages
- scroll top
Buy now
- Quote paper
- Nevena Stankovic (Author), 2017, Stanja i reprezentacije C*-algebri, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/386904
Look inside the ebook
