Die folgende Zusammenfassung enthält Stundenprotokolle aus der Mathematik. In diesem Kurs wurden die Themen Zahlenmengen und -körper, Folgen, komplexe Zahlen, weitere Integrationstechniken, die Fourier-Analyse, die Mandelbrot-Menge, sowie Matrizen- und Tensorrechnung behandelt.
Inhaltsverzeichnis
- Zahlenmengen und Zahlenkörper
- Bekannte Zahlenmengen
- Beweis durch Widerspruch
- √2 ist keine rationale Zahl
- Menge der reellen Zahlen. Beweis verschiedener Zusammenhänge
- Brüche und Dezimalschreibweisen
- Die Axiomatik des reellen Zahlenraums R; +; *
- Folgen
- Unterscheidung von Folgen
- Beschreibungen von Folgen .
- Zusammenhang zwischen Folgengliedern
- Umrechnung zwischen expliziter und rekursiver Darstellung
- Beweisverfahren der vollständigen Induktion
- Schema
- Eigenschaften von Folgen .
- Monotonie
- Monotonie bei Funktionen
- Monotonie bei Folgen
- Untersuchungsmethoden
- Durch 'Überlegen'
- Untersuchung der Differenz
- Untersuchung des Quotienten
- Beschränktheit von Folgen
- Grenzwert einer Folge
- Die eulersche Zahl e.
- Kombination aus Grenzwerten und Monotonie
- Grenzwertsätze
- Komplexe Zahlen
- Axiomatik der reellen Zahlen R; +; *
- Einstieg in die komplexen Zahlen: Der harmonische Oszillator
- Definition der komplexen Zahlen.
- Herleitung: Die Axiomatik des komplexen Zahlenraums
- Axiomatik des komplexen Zahlenraums
- Die Wurzel negativer Zahlen
- Einschub: Polarkoordinaten
- Kartesische Koordinaten
- Polarkoordinaten
- Umwandlung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten.
- Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
- Multiplikation komplexer Zahlen. .
- Taylor-Näherung für differenzierbare Funktionen.
- Die Euler'sche Identität
- Das harmonische Federpendel mit Reibung
- Integrationstechniken
- Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung
- Vorüberlegungen
- Zusammenhänge zwischen der Physik und der Integration .
- Partielle Integration oder Produktintegration .
- Ablauf der partiellen Integration.
- Übungen .
- Partielle Integration mit der Hilfe komplexer Zahlen
- Integration durch Substitution
- Substitutionsregel.
- Vermischte Aufgaben.
- Substitution der Integrationsvariablen.
- Trigonometrische Substitution
- Polynomdivision. .
- Vorgehen bei der Polynomdivision
- Partialbruchzerlegung .
- Fourier-Analyse
- Grundlagen
- Fourier-Analyse einer periodischen Funktion
- Exkurs: Fourier-Analyse für nicht periodische Funktionen
- Beispiel: zeitlicher Rechteck-Impuls (gerade Funktion)
- Komplexe Darstellung der Fourier-Transformation
- Analogien Fourier-Analyse und Vektorräume
- Mandelbrot-Menge
- Grundlagen
- Beschränktheit: M ¯ {c Є C : |c| ≤ 2}
- Implementierung in Python
- Grundlegende Umsetzung
- Quellcode
- Matrizen- und Tensorrechnung
- Lineare Abbildungen
- Umkehrmatrix und Gauß-Jordan-Algorithmus
- Determinante
- Berechnung einer Determinatnen
- Nutzung der Determinatne
- Bedeutung der Determinante
- Eigenvektoren und Eigenwerte .
- Bildung einer Matrix mithilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren. .
- Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieses Stundenprotokoll dient als Nachschlagewerk für den Mathe plus Kurs am Gymnasium am Römerring. Es fasst die wichtigsten Themen und Konzepte der behandelten Inhalte zusammen und bietet Übungsaufgaben zur Vertiefung des Stoffes.
- Zahlenmengen und Zahlenkörper
- Folgen und Grenzwerte
- Komplexe Zahlen
- Integrationstechniken
- Fourier-Analyse
Zusammenfassung der Kapitel
Zahlenmengen und Zahlenkörper
Dieses Kapitel behandelt die grundlegenden Zahlenmengen und Zahlenkörper, die in der Mathematik verwendet werden. Es werden die Eigenschaften der verschiedenen Zahlenmengen, wie z.B. der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen, erläutert und die Beweise für die wichtigsten Zusammenhänge erläutert.
Folgen
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Folgen und deren Eigenschaften. Es werden verschiedene Arten von Folgen, wie z.B. arithmetische und geometrische Folgen, vorgestellt, und die Konzepte der Monotonie, Beschränktheit und des Grenzwerts einer Folge erläutert. Der Beweis durch vollständige Induktion wird als Methode zur Überprüfung von Aussagen über Folgen vorgestellt.
Komplexe Zahlen
Dieses Kapitel behandelt die komplexen Zahlen und ihre Bedeutung in der Mathematik. Es werden die Grundlagen der komplexen Zahlen, wie z.B. die Definition der komplexen Zahlen und die Darstellung in der komplexen Ebene, erläutert und die Verwendung der komplexen Zahlen in der Mathematik vorgestellt.
Integrationstechniken
Dieses Kapitel behandelt verschiedene Integrationstechniken, die in der Mathematik verwendet werden. Es werden die Grundlagen der Integration, wie z.B. der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, erläutert, und verschiedene Techniken zur Berechnung von Integralen, wie z.B. die partielle Integration und die Substitution, vorgestellt.
Fourier-Analyse
Dieses Kapitel führt die Fourier-Analyse ein, ein Werkzeug zur Darstellung von periodischen Funktionen als Summe von Sinus- und Cosinus-Funktionen. Es werden die Grundlagen der Fourier-Analyse, wie z.B. die Fourier-Reihe und die Fourier-Transformation, erläutert und die Anwendung der Fourier-Analyse in verschiedenen Gebieten der Mathematik und Physik vorgestellt.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter und Themen dieses Stundenprotokolls sind Zahlenmengen, Zahlenkörper, Folgen, Grenzwerte, komplexe Zahlen, Integration, Fourier-Analyse, Differentialrechnung, Integralrechnung, Mathematik.
Häufig gestellte Fragen
Was sind komplexe Zahlen und wie werden sie definiert?
Komplexe Zahlen erweitern den reellen Zahlenraum, um Wurzeln aus negativen Zahlen zu ermöglichen. Sie bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil (z. B. z = a + bi).
Wie funktioniert die Integration durch Substitution?
Bei dieser Technik wird eine Variable im Integral durch eine Funktion ersetzt, um den Integrationsprozess zu vereinfachen. Dies ist das Gegenstück zur Kettenregel der Differentialrechnung.
Was ist das Ziel der Fourier-Analyse?
Die Fourier-Analyse zerlegt periodische Funktionen in eine Summe von Sinus- und Cosinus-Funktionen. Sie findet Anwendung in der Physik und Signalverarbeitung.
Was beschreibt die Mandelbrot-Menge?
Die Mandelbrot-Menge ist eine Menge komplexer Zahlen, die in der Fraktalgeometrie eine Rolle spielt. Das Dokument behandelt ihre Grundlagen und die Implementierung in Python.
Was ist der Gauß-Jordan-Algorithmus?
Dies ist ein Verfahren in der Matrizenrechnung zur Lösung linearer Gleichungssysteme und zur Bestimmung der Umkehrmatrix.
- Citar trabajo
- Florian Wolf (Autor), Jonas Martin (Autor), 2017, Zusammenfassung über die Grundlagen der Zahlenmengen, komplexen Zahlen, Integrationstechniken, Matrizen u. A., Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/372477
