Das 20. Jahrhundert war Zeuge der Setzung eines Marksteins in der Geschichte der Logik und Mathematik durch eine Arbeit, über deren Autor mancher gar sagt, er sei der größte Logiker seit Aristoteles. Im Jahre 1931 veröffentlicht der junge Mathematiker Kurt Gödel überraschend diese relativ kurze Abhandlung mit dem Titel „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“. Auch wenn die wissenschaftliche Gemeinschaft nicht sofort den gesamten Gehalt von Gödels Werk erkannte, so werden doch die von ihm gezogenen Schlüsse heutzutage weitgehend als revolutionierend und von grundlegender philosophischer Bedeutung angesehen (Nagel/Newman 2007).
Es ist das Ziel der vorliegenden Arbeit, durch eine Briefbemerkung Gödels angedeutete philosophische Implikationen seiner in jenem Fachartikel erbrachten (mathematischen) Hauptergebnisse, die sich in dem sogenannten Unvollständigkeitssatz manifestieren, aufzuzeigen und zu erläutern (Kap. 3). Dafür soll jedoch zunächst das Wesentliche respektive der allgemeine Charakter von Gödels Beweisführung herausgestellt werden (Kap. 2.1), damit nachvollzogen werden kann, auf welche geniale Weise er seine Erkenntnisse gewann, um darauf aufbauend zu einer Einschätzung und Würdigung seiner Arbeit zu gelangen (Kap. 2.2), die ein Kernproblem der Grundlagen der Mathematik in Angriff nimmt. In diesem Sinne wird knapp umrissen, inwieweit Gödels Argumentation und die daraus folgenden Unvollständigkeitssätze bahnbrechend für die Mathematik waren.
Inhaltsverzeichnis
- 1. Einleitung
- 2. Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz
- 2.1. Darstellung des Kerns des Beweises
- 2.2. Bedeutung, Einordnung und kurze Bewertung des Theorems für die Mathematik
- 3. Die Unmöglichkeit einer mechanisierten Mathematik
- 3.1. „Die Eliminierung des Geistes und abstrakter Entitäten“
- 3.2. ,,Mechanisierung"
- 3.3. Zusammenführung, Gesamtbild und Implikation
- 4. Abschließende Bemerkungen und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit befasst sich mit den philosophischen Implikationen von Gödels Unvollständigkeitssatz und analysiert die Auswirkungen auf die Mechanisierung der Mathematik. Ziel ist es, die Beweisführung des Satzes zu erläutern und seine Bedeutung für die Mathematik und ihre Grundlagen zu bewerten.
- Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz und seine Beweisführung
- Die Unmöglichkeit der vollständigen Formalisierung der Arithmetik
- Die Rolle des Geistes und abstrakter Entitäten in der Mathematik
- Die Grenzen der Mechanisierung und Algorithmisierung in der Mathematik
- Philosophische Implikationen und Auswirkungen auf die Wissenschaft
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einleitung führt in das Thema ein und erläutert die Bedeutung von Gödels Arbeit für die Logik und Mathematik. Kapitel 2 präsentiert den Gödelschen Unvollständigkeitssatz und erläutert die Beweisführung anhand der Arithmetisierung der Metamathematik und der Konstruktion einer selbstbezüglichen Aussage. In Kapitel 3 wird diskutiert, wie Gödels Satz die Unmöglichkeit einer vollständigen Mechanisierung der Mathematik impliziert, und die Rolle des Geistes und abstrakter Entitäten in der Mathematik wird beleuchtet.
Schlüsselwörter
Gödelsche Unvollständigkeitssätze, Formalisierung der Arithmetik, Mechanisierung der Mathematik, Geistesrolle, Abstrakte Entitäten, Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit, Metamathematik, Arithmetisierung, Diagonalisierung, Selbstbezüglichkeit.
- Quote paper
- Christian Hugo Hoffmann (Author), 2011, Über die Unmöglichkeit der Mechanisierung der Mathematik. Gödels Unvollständigkeitssatz und philosophische Implikationen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/371871
