Ziel dieser Arbeit ist die Schaffung von Transparenz für das Verständnis und die Bewertung von Power Optionen im Unterschied zu Standardoptionen. Basis für die Bewertung bildet dabei das klassische Black/Scholes-Modell (B&S-Modell) mit seinen Annahmen1. Die Abbildungen und Ergebnisse basieren auf ein speziell entwickeltes Excel-Sheet2 und beschränken sich auf europäische Optionsscheintypen. Die Einführung gibt bereits einen ersten Einblick in die jüngste Entwicklung an den Finanzmärkten. Darin enthalten ist eine kurze Begründung für die Emission von exotischen Finanzderivaten im Allgemeinen und von Power Optionen im Besonderen. Kapitel 2 bietet einen Überblick von Power Optionen mit unterschiedlichen Auszahlungsfunktionen, angefangen von asymmetrischen Power Optionen bis hin zu symmetrischen Power Optionen. Es werden drei Arten von symmetrischen Power Optionen im Detail vorgestellt und beschrieben.
Kapitel 3 ist der Schwerpunkt dieser Arbeit und zeigt grundlegende Unterschiede von Power Optionen zu Standardoptionen auf. Der Power-Warrant mag einen sehr aggressiven Eindruck erwecken, jedoch handelt es sich „um eine ausgesprochen vielschichtige Optionsscheinvariante, deren Risikoprofil sich zudem im Zeitablauf ändert“ [HSBC2000, S.58]. Anhand der Sensitivitätskennzahlen Delta, Gamma und Vega wird das Verhalten von Power Optionen und Standardoptionen aufgezeigt und mit Abbildungen unterlegt. Gleichzeitig werden zu jeder Kennzahl dynamische Hedging- Strategien erörtert und an einem kapitelübergreifenden Beispiel verdeutlicht. Kapitel 4 enthält schließlich eine kurze Kommentierung der wichtigsten Aussagen dieser Arbeit.
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Symbolverzeichnis
1 Einführung in die Problemstellung
2 Power Optionen im Überblick
2.1 Asymmetrische Power Optionen
2.2 Symmetrische Power Optionen
2.2.1 Auszahlungsfunktionstyp 1 (max{ S − X;0})
2.2.1.1 Darstellung
2.2.1.2 Bewertung
2.2.2 Auszahlungsfunktionstyp 2 max{ S − X;0}.
2.2.2.1 Darstellung
2.2.2.2 Bewertung
2.2.3 Auszahlungstyp 3 max{(S − X) ;0} .
2.2.3.1 Darstellung
2.2.3.2 Bewertung
3 Vergleich Standardoption - Power Option
3.1 Sensitivitätskennzahl Delta
3.1.1 Delta Calloption
3.1.2 Delta Power-Call
3.1.3 Delta Powerstraddle
3.1.4 Delta-Hedging Power Option
3.2 Sensitivitätskennzahl Gamma
3.2.1 Gamma Calloption
3.2.2 Gamma Power-Call
3.2.3 Gamma Powerstraddle
3.2.4 Gamma-Hedging Power Option
3.3 Sensitivitätskennzahl Vega
3.3.1 Vega Calloption
3.3.2 Vega Power-Option
3.3.3 Vega Powerstraddle
3.3.4 Vega-Hedging Power-Option
4 Zusammenfassung
A Annahmen des Black/Scholes-Modells
B Formelübersicht
C Detaillierte Lösung für Beispiele
Literaturverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1 Gewinn- und Verlust-Profil von PC1 gegenüber Standard Call
Abb. 2 Gewinn- und Verlust-Profil von PP1 gegenüber Standard Put
Abb. 3 Gewinn- und Verlust-Profil von PC2 gegenüber Standard Call
Abb. 4 Gewinn- und Verlust-Profil von PS gegenüber Standardstraddle
Abb. 5 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Delta
Abb. 6 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Gamma
Abb. 7 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Vega
Tabellenverzeichnis
Tab. 1: Vergleich der Auszahlung von PC1 und Standard Call
Tab. 2: Vergleich der Auszahlung von PP1 und Standard Put
Tab. 3: Vergleich der Auszahlung von PC2 und Standard Call
Tab. 4: Vergleich der Auszahlung von Powerstraddle und Standardoptionen
Tab. 5: Formeln für die Berechnung von Delta
Tab. 6: Preis und Kennzahlen von PC1 aus Beispiel, Restlaufzeit 6 Monate
Tab. 7: Preis und Kennzahlen von PC1 aus Beispiel, Restlaufzeit 1 Monat
Tab. 8: Formeln für die Berechnung von Gamma
Tab. 9: Formeln für die Berechnung von Vega
Symbolverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Griechische Symbole:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einführung in die Problemstellung
In jüngster Vergangenheit sind erhöhte Preisschwankungen und ein Anstieg der Vo- latilität der Finanzinstrumente an den Kapitalmärkten zu beobachten. Ein Indikator für eine steigende Volatilität stellt dabei der Dax-Volatilitätsindex (V-Dax) dar, wel- cher im Verlauf dieses Jahres von 20% auf über 57% am 07.10.2002 angestiegen ist. Im Zuge dieser Entwicklung wuchs die Nachfrage nach alternativen Absicherungsin- strumenten. Die neuen Risiken können nur unzureichend oder sehr teuer mit her- kömmlichen Strategien gehedged werden. Damit einhergehend, war ein Boom an Emissionen von so genannten „exotischen Optionen“ an Börsen und insbesondere an OTC-Märkten (over-the-counter) erkennbar. Die Idee hinter „exotischen Optionen“ ist eine präzisere Umsetzung von individuellen Markterwartungen des Investors, durch eigens für seine Bedürfnisse aufgelegte Finanzinstrumente. „Solche exoti- schen, strukturierten und maßgeschneiderten Optionsscheine sind oftmals lediglich komplexe Kombinationen der einfachen Grundbausteine (Calls, Puts)“ [HSBC2000, S.54].
Nach Adam-Müller, Schäfer (1998) versteht man unter dem Begriff „exotische Optionen“ alle Optionen, die nicht die vier wesentlichen Eigenschaften klassischer Optionen beinhalten. Die 4 Merkmale klassischer Optionen sind:
(1) Für die Ausübung der Option ist nur der Kurs des Basisinstruments von Interes- se.
(2) Der Optionserwerber unterliegt bei Erhalt der Zahlung einer linearen Auszah- lungsfunktion bezogen auf den Kassakurs des Basisinstruments.
(3) Die Zahlung bemisst sich lediglich, nach dem Kurs des Basisinstruments im Auszahlungszeitpunkt.
(4) Bis auf den Ausübungszeitpunkt existieren bei klassischen Optionen keinerlei Beschränkungen [Vgl. AdSc1998, S.559].
Ein großer Anteil am stark wachsenden außerbörslichen (OTC-) Markt für „exoti- sche Optionen“ fällt auf Power Optionen [Vgl. ScZi2001, S.1586]. Im Vergleich zu klassischen Optionen widersprechen sie dem gerade erwähnten Merkmal (2) einer linearen Auszahlungsfunktion. Der Wert von Power Optionen berechnet sich am Fälligkeitszeitpunkt aus einer exponentiellen Funktion (engl. power function) des Basispreises, wobei sich diese Arbeit auf quadratische Auszahlungsfunktionen be- schränkt. In Deutschland haben sich Power Optionen insbesondere im Devisenhandel durchgesetzt [Vgl. ScZi2001, S.1586].
Ziel dieser Arbeit ist die Schaffung von Transparenz für das Verständnis und die Bewertung von Power Optionen im Unterschied zu Standardoptionen. Basis für die Bewertung bildet dabei das klassische Black/Scholes-Modell (B&S-Modell) mit sei- nen Annahmen1. Die Abbildungen und Ergebnisse basieren auf ein speziell entwi- ckeltes Excel-Sheet2 und beschränken sich auf europäische Optionsscheintypen.
Die Einführung gibt bereits einen ersten Einblick in die jüngste Entwicklung an den Finanzmärkten. Darin enthalten ist eine kurze Begründung für die Emission von exo- tischen Finanzderivaten im Allgemeinen und von Power Optionen im Besonderen.
Kapitel 2 bietet einen Überblick von Power Optionen mit unterschiedlichen Auszahlungsfunktionen, angefangen von asymmetrischen Power Optionen bis hin zu symmetrischen Power Optionen. Es werden drei Arten von symmetrischen Power Optionen im Detail vorgestellt und beschrieben.
Kapitel 3 ist der Schwerpunkt dieser Arbeit und zeigt grundlegende Unterschiede von Power Optionen zu Standardoptionen auf. Der Power-Warrant mag einen sehr aggressiven Eindruck erwecken, jedoch handelt es sich „um eine ausgesprochen viel- schichtige Optionsscheinvariante, deren Risikoprofil sich zudem im Zeitablauf än- dert“ [HSBC2000, S.58]. Anhand der Sensitivitätskennzahlen Delta, Gamma und Vega wird das Verhalten von Power Optionen und Standardoptionen aufgezeigt und mit Abbildungen unterlegt. Gleichzeitig werden zu jeder Kennzahl dynamische Hed- ging-Strategien erörtert und an einem kapitelübergreifenden Beispiel verdeutlicht.
Kapitel 4 enthält schließlich eine kurze Kommentierung der wichtigsten Aussagen dieser Arbeit.
2 Power Optionen im Überblick
Wie bereits erwähnt, zeichnen sich Power Optionen im Unterschied zu Standardopti- onen durch eine exponentielle Auszahlungsfunktion des unterstellten Basispreises am Fälligkeitszeitpunkt aus. Die Ergebnisse asymmetrischer Power Optionen basie- ren auf Peter Zhang [Vgl. Zhan1998], wohingegen für symmetrische Power Optio- nen Robert Tompkins [Vgl. Tomp1999] die Grundlage liefert. Dividendenzahlungen oder sonstige Zahlungen an die Investoren finden dabei generell keine Berücksichti- gung.
2.1 Asymmetrische Power Optionen
Nach Zhang kennzeichnet eine asymmetrische Power Option, dass lediglich der Kurs des zu Grunde liegenden Basisinstrumentes3 quadriert wird, nicht aber der Basispreis [Vgl. Zhan1998, S.595]. Die Auszahlungsfunktion der asymmetrischen Power Option (AAPO) am Laufzeitende kann daher wie folgt dargestellt werden:
AAPO = max{ω [(S (τ)]2− ω X,0} (2.1)
Ȧ spiegelt hier den binären Optionsoperator wieder, das heißt, bei Ȧ =1 handelt es sich um eine Call-(Power) Option, bei Ȧ = −1 um eine Put-(Power) Option. Der ein- zige Unterschied zu der Auszahlungsfunktion für Standardoptionen ist der Exponent des Aktienkurses S des zu Grunde liegenden Finanzinstrumentes. Wäre dieser Expo- nent gleich eins, würde die AAPO der einer sonst identischen Standardoption ent- sprechen.
Der erwartete Preis der asymmetrischen Power Option (P(AAPO)) lässt sich in der B&S-Umgebung allgemein darstellen4 als:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Würde man auch bei der Preisberechnung der Power Option den Exponent p = 1 setzen, erhielte man exakt die Formel des B&S-Modells für die Bepreisung klassischer Optionen (siehe 2.5).
Zur Berechnung des Preises der quadratischen Auszahlungsfunktion aus (2.1) ergibt sich demzufolge die Formel:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Im Vergleich dazu wird die Preisermittlung einer sonst identischen Standardoption (P(STOP)) gegenübergestellt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Grundsätzlich hat die P(ASPO) die gleiche Struktur wie die der Standardoption, es wird im Prinzip der Basispreis im zweiten Term vom Aktienkurs im ersten Term abgezogen. Bei genauerer Betrachtung entdeckt man aber konkrete Unterschiede, die letztlich eine erhebliche Auswirkung auf den Preis einer asymmetrischen Power Op- tion haben. Die P(ASPO) quadriert den Aktienkurs und multipliziert diesen, mit der im Exponenten modifizierten Eulerschen Konstanten. Der Hilfsparameter d2 wird sowohl selbst im Zähler um den halben logarithmierten Basispreis erhöht, als auch bei der Berechnung der Standardabweichung in Gleichung (2.2) im Zuge der Annua- lisierung um den Faktor 2 erweitert.
Die Auswirkungen der genannten Veränderungen, resultierend aus der Modifizierung der Preisfunktion, sind enorm und werden kurz beispielhaft skizziert. Alle Beispiele in dieser Arbeit sind im Anhang C ausführlich dargestellt.
Beispiel 1: Es soll der Preis einer asymmetrischen Power Option mit 6-monatiger Restlaufzeit und einer Volatilität von 0,127 ermittelt werden. Der stetige Zinssatz beträgt dabei 5,9%, der Basiskurs wurde auf 100 festgelegt, der aktuelle Aktienkurs ist 105. Jeder Call (Put) berechtigt zum Kauf (Verkauf) einer Aktie. Damit ergibt sich ein rechnerischer Preis für den Standard Call von:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Demgegenüber errechnet sich ein Preis für die asymmetrischen Power Option von:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das Ergebnis zeigt sehr schnell die Grenzen des sinnvollen Einsatzes von (asymmet- rischen) Power Optionen auf. Um die Attraktivität dieser Produkte im Börsenhandel aufrecht zu erhalten, müsste die Auszahlung mit Hilfe eines Höchstpreises, dem so genannten Cap begrenzt werden. Allerdings werden solche Finanzderivate in der Regel nicht für den standardisierten Börsenhandel emittiert, sie eignen sich fast aus schließlich zur Absicherung spezieller Risiken und sind so individuell konzipiert, dass ein Handel damit kaum möglich ist [Vgl. ScZi2001, S.1586].
2.2 Symmetrische Power Optionen
Symmetrische Power Optionen sind dadurch gekennzeichnet, dass bei der Auszah- lungsfunktion beide Parameter, also der Aktienkurs und der Basispreis, auf eine be- liebige Art und Weise quadriert werden. Drei solcher Power Optionen werden in den Kapiteln 2.2.1 bis 2.2.3 vorgestellt und analysiert. Dabei kann die Anzahl der Terme bei der Berechnung des Preises symmetrischer Power Optionen bestimmt werden durch: Anzahl der Terme = Exponent + 1, also bei einer quadratischen Auszahlungs funktion besteht die Gleichung der Preisermittlung aus Zhan1998, S.600]. 2 + 1 Termen [Vgl.
2.2.1 Auszahlungsfunktionstyp 1 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Dieser Auszahlungstyp ist die einfachste symmetrische Power Option. Hierbei wird der gesamte Wert der Power Option quadriert. Tabelle 1 stellt den inneren Wert des Power Call am Verfallstag dem eines Standard Call und einem Bündel von 10 Standard Calls gegenüber. Der Power Call der Auszahlungsfunktion 1 wird mit PC1 bezeichnet, der dazugehörige Power Put mit PP1.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: [Vgl. Tomp1999, S.809]5
Tab. 1: Vergleich der Auszahlung von PC1 und Standard Call
Der Wert von PC1 wird quadriert und erreicht bei einem Aktienkurs von 20 genau den zehnfachen Wert eines Standard Call und den gleichen Wert wie das Bündel von
10 Standard Calls. Unter einem Aktienkurs von 20 fällt die Auszahlung von PC1 ge- ringer aus als die des Bündels, über dem Aktienkurs von 20 steigt der Wert von PC1 in quadratischen Stufen im Vergleich zu den linear ansteigenden Werten des Bün- dels.
PP1 kann unter den gleichen Voraussetzungen mit Standard Puts verglichen werden, was in Tabelle 2 aufgeführt ist.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tab. 2: Vergleich der Auszahlung von PP1 und Standard Put
Der Aktienkurs wird jetzt auf eine Breite von 0 - 10 begrenzt. PP1 ist am Fälligkeitszeitpunkt bei einem Kurs über dem Basispreis von 10 aus dem Geld und demnach wertlos. Bei sonst identischen Parametern hat PP1, am Laufzeitende bei einem Aktienkurs von 10, den zehnfachen Wert eines Standard Put und den gleichen Wert wie ein Bündel von 10 Standard Puts.
2.2.1.1 Darstellung
Abbildung 1 verdeutlicht den in Tabelle 1 beschriebenen Zusammenhang grafisch. Die Power Option und Standardoption beziehen sich dabei immer auf einen Basis- preis von 10.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: [Vgl. Tomp1999]
Abb. 1 Gewinn- und Verlust-Profil von PC1 gegenüber Standard Call
Der Schnittpunkt von PC1 und dem Bündel an Standard Calls befindet sich wie an- gedeutet bei einem Aktienkurs von 20. Bei jedem weiteren Anstieg des Aktienkurses wird der Abstand immer bedeutender und damit das Risiko eines Power Call Emit- tenten immer größer. Gleichzeitig verteuert sich der Erwerb von PC1 für Investoren aufgrund des Preisanstieges. Die Power Option verliert in diesem Zusammenhang an Attraktivität und Flexibilität. Um das zu vermeiden ist an die Einführung einer Be- grenzung für Wert- und Risikoentwicklung zu denken. Das Setzen eines Höchstprei- ses bietet dafür die geeignete Lösung.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 2 Gewinn- und Verlust-Profil von PP1 gegenüber Standard Put
Man erkennt, dass der Wert von PP1 in diesem Szenario immer höher als der Wert eines Standard Put ausfällt, den Wert des Bündels an Standard Puts aber nicht über- steigen kann.
Wird der Aktienkurs im Intervall von (0,20) festgesetzt, so lässt sich folgende Aussage treffen: Wert einer Standardoption Wert einer Power Option Wert eines Bündels von 10 Standardoptionen. Es ist daraus leicht abzulesen, dass bei einer so aggressiven Wertentwicklung der Power Option sich der Preis und damit auch das Risiko des Verkäufers in ähnlicher Weise verhalten.
2.2.1.2 Bewertung
Die Bewertungen der unterschiedlichen, hier vorgestellten Auszahlungstypen sind alle unter Berücksichtigung eines Cap aufgeführt. In Anhang B sind die Schritte für die verwendeten Formeln nachvollziehbar aufgelistet, auf deren Herleitung wird an dieser Stelle verzichtet. Es sei dabei auf Robert Tompkins [Vgl. Tomp1999] verwie- sen. Durch das Setzen eines Cap modifiziert sich die Auszahlungsfunktion für die besprochene Power Option:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Man kann wiederum über den binären Optionsparameter Ȧ ermitteln, ob es sich um einen Power Call oder Power Put handelt. Solange der quadrierte Wert dieser Power Option kleiner ist als der festgelegte Cap, liegt ein exponentieller Wertverlauf zu Grunde. Sobald der quadrierte Wert der Option den Cap übersteigt, ist die Power Option auf die Höhe des Cap begrenzt. Steigende Aktienkurse haben damit keinen Einfluss mehr auf die weitere Entwicklung der Auszahlung der Power Option. Die Auswirkungen im Vergleich zu Standardoptionen werden in Kapitel 3 erläutert. Der Preis von PC1 berechnet sich unter Berücksichtigung des Cap aus:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
X stellt den normalen Basispreis dar, Xcap den begrenzenden Höchstpreis. C(Xcap,T) ist der Wert eines Standard Call mit dem Basispreis Xcap. Diese Formel findet nur Anwendung, wenn gilt: Xcap > X, andernfalls ist PC1 wertlos. PC1(X,T) und PC1(Xcap,T) lassen sich als eigene Gleichungen aufführen, die aus jeweils drei Termen bestehen. PC1(X,T) ist dabei der Preis eines Power Call ohne Cap.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
S ist der Aktienkurs, r beschreibt den risikoneutralen Zinssatz. Die Volatilität der Aktie kommt in der Variablen ı zum Ausdruck und τ stellt die Restlaufzeit der Power Option dar. Die Optionsparameter d0 bis d2 sind im Anhang B3 aufgeführt. N(dx) entspricht der Standardnormalverteilung der entsprechenden Hilfsparameter. Die Bedeutung des Cap wird in Beispiel 2 erkennbar:
Beispiel 2: Es gelten weiterhin die bekannten Parameter aus Beispiel 1. Xcap wird auf 104 festgesetzt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ohne Berücksichtigung des Cap weist PC1 einen Preis von 148,679 auf. Wenn allerdings der Cap wie angegeben in die Berechnung aufgenommen wird, verringert sich der Power Optionspreis erheblich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Vor diesem Hintergrund ist leicht zu erkennen, dass das Setzen eines Höchstpreises für die Power Option bedeutende Folgen hat, die in Kapitel 3 näher erläutert werden. Hier soll nur gezeigt werden, dass sich der Preis für die Power Option mit Cap in einem Rahmen bewegt, der den Handel für Käufer und Verkäufer der Option attraktiv gestaltet. Die Formeln für PP1 sind im Anhang nachlesbar.
2.2.2 Auszahlungsfunktionstyp 2 maxS
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Auszahlungsfunktionstyp 2 ist dadurch gekennzeichnet, dass sowohl der Aktien- kurs als auch der Basispreis einzeln quadriert werden. Wie schon zuvor wird die Po- wer Option mit einem Bündel von Standardoptionen verglichen, betrachtet werden diesmal jedoch lediglich Calloptionen. Tabelle 3 gibt einen Überblick über den Wert der Optionen am Fälligkeitszeitpunkt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: [Vgl. Tomp1999, S.810]
Tab. 3: Vergleich der Auszahlung von PC2 und Standard Call
Anstatt PC2 mit nur einem Standard Call in Beziehung zu setzen, wird versucht, die Auszahlung von PC2 zwischen den Aktienkursen 10 und 11 nachzubilden. Dazu werden 21 Standard Calls benötigt. Der Aktienkurs wird wieder von 10 ab begrenzt, da der Basispreis 10 entspricht und PC2 bei einem niedrigeren Aktienkurs am Laufzeitende zu keiner Auszahlung führt. Bei einem Aktienkurs von 20 erreicht der PC2 den gleichen Wert wie ein Bündel von 30 Standard Calls.
2.2.2.1 Darstellung
Die Werte die in Tabelle 3 berechnet und gegenüber gestellt wurden, sind Grundlage von Abbildung 3.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: [Vgl. Tomp1999, S.810]
Abb. 3 Gewinn- und Verlust-Profil von PC2 gegenüber Standard Call
Wiederum ist der Schnittpunkt von PC2 mit dem Optionsbündel bei einem Aktienkurs von 20. PC2 weist aber im Gegensatz zu PC1 einen viel engeren Verlauf an das vergleichbare Bündel Standardoptionen auf. Die Wertentwicklung vollzieht sich schneller als das bei PC1 der Fall war. Dafür erzielt PC1 ab einem Aktienkurs von 20 eine höhere Differenz zum vergleichbaren Bündel von Standardoptionen als PC2. Ceteris paribus obliegt PC1 ein relativ größeres Performancepotential.
Nehmen wir auch hier an, dass sich der Aktienkurs im Intervall (0,20) befindet. Der Wert von PC2 kann damit abgeschätzt werden zu:
Wert von 21 Standard Calls Wert von PC2 Wert von 30 Standard Calls.
2.2.2.2 Bewertung
Auch bei diesem Auszahlungstyp wird kurz auf die Bewertung eingegangen. Der Wertanstieg von PC2 ist schneller als der von PC1. Die Auszahlungsfunktion lautet:
W (ASPO 2) = min(cap; max{0;ω S ω }) (2.11)
Die Parameter bleiben in ihrer Bedeutung unverändert. Der Cap spielt bei diesem
Auszahlungstyp wegen der rasanten Wertentwicklung eine bedeutendere Rolle. Die
Preisberechnung für die Cap-Version ist:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Term aus (2.11) lässt sich auch hier wieder einzeln berechnen, es ist möglich den
Optionspreis von PC2 mit Hilfe des Optionspreises von PC1 zu ermitteln:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wenden wir auf diesen Auszahlungstyp das Beispiel an, wird die getroffene Aussage über den Cap deutlich.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Preisentwicklung des Auszahlungstyps ist enorm und damit auch höchst spekula- tiv. Das Einsatzgebiet dieser Finanzderivate beschränkt sich hauptsächlich, wie bei asymmetrischen Power Optionen auch, auf die Befriedigung individueller Absiche- rungsbedürfnisse einzelner Investoren. Der OTC-Markt stellt dafür die richtige Platt- form dar.
2.2.3 Auszahlungstyp 3 max[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Halter dieser Power Option erhält bei Fälligkeit eine Auszahlung des quadrierten inneren Wertes und profitiert damit von jeder Aktienkursentwicklung, egal ob positiv oder negativ. Lediglich wenn der Aktienkurs und der Basispreis nahezu identisch bleiben, verfällt die Power Option wertlos. Hieraus resultiert, dass dieser Auszah- lungstyp im Prinzip eine Kombination aus Power Call und Power Put darstellt und am ehesten mit einem üblichen europäischen Straddle vergleichbar ist. Deshalb wird
die Power Option im weiteren Verlauf als Powerstraddle (PS) bezeichnet. „Die Bildung von Straddle-Positionen erfolgt […] aus der Erwartung einer bestimmten Volatilitätsentwicklung des Basiswertes. Die Richtung der Marktentwicklung spielt dabei keine Rolle“ [StBr2000, S.525]. Diese Aussage lässt sich ohne weiteres auf den PS übertragen. Tabelle 4 zeigt die Auszahlungen des PS auf:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: [Vgl. Tomp1999, S.810]
Tab. 4: Vergleich der Auszahlung von Powerstraddle und Standardoptionen
Bei einem Aktienkurs von 0 bis 10 ist die Auszahlung des PS der des PP1 identisch. Im Bereich der Aktienkurse von 10 bis 20 spiegelt PS exakt die Auszahlung von PC1 bei Fälligkeit wieder. Wertlos ist der PS bei einem Aktienkurs von 10, da dieser dem Basispreis entspricht. An diesem Punkt weist weder PP1 noch PC1 Auszahlungen auf. Der PS profitiert gleichermaßen von einer positiven und einer negativen Aktienkursveränderung. Konstruieren lässt sich ein PS durch den Kauf eines PC1 und den gleichzeitigen Kauf eines PP1 mit dem gleichen Basispreis und identischer Laufzeit. Bei Fälligkeit verfällt eine dieser Power Optionen wertlos.
2.2.3.1 Darstellung
In Abbildung 4 wird die Kombination von PC1 und PP1 bei einem Powerstraddle noch einmal deutlich erkennbar. Standardstraddles und PS weisen in diesem Szenario ein unbegrenztes Gewinnpotential auf. Zeitgleich sind aber auch hohe Kosten für den Kauf eines PS aufzubringen, da sowohl ein PC1, als auch ein PP1 gekauft werden müssen und mit sinkender Restlaufzeit ein Verlust des Zeitwertes einhergeht [Vgl. StBr2000, S.526].
[...]
1Die Annahmen des Black/Scholes-Modells sind im Anhang A ersichtlich.
2 Das Excel-Sheet steht zum Download auf der Homepage: http://www.andreas-eberhardt.info zur Verfügung.
3 Im Verlauf dieser Arbeit wird zur Vereinfachung nur noch vom Aktienkurs die Rede sein.
4 Diese Formel gilt aus Arbitrageüberlegungen nur unter der Annahme, dass für alle Finanzin strumente der gleiche risikolose Zinssatz zur Diskontierung der Auszahlungen verwendet wird [Vgl. Zhan1998, S.597].
5 Bei Topmkins hat sich ein Fehler bei der Berechnung der Auszahlung des PC1 bei einem Aktienkurs von 18 eingeschlichen. Die Auszahlung beläuft sich auf 64 anstatt auf 56.
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