Kontinuierliche Automaten und die Methode der Finiten Differenzen

Inhalt

1) Begriffserklärung & Erläuterungen
- Was ist ein kontinuierlicher Automat
- Beispiele kontinuierlicher Automaten von Wolfram
- Vorführung am Simulationsbeispiel
- Eigenschaften und Besonderheiten

2) Methode der finiten Differenzen
- Erläuterungen zur Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung
- Wie funktioniert die Methode der finiten Differenzen
- Erklärung am Beispiel einer Wärmeleitungsgleichung

1) Begriffserklärung & Erläuterungen

Als Erstes werde ich einige Begriffe zu den Kontinuierlichen Automaten erklären und erläutern. Bisher haben wir schon einige verschiedene Arten von Zellularautomaten kennengelernt, wie z.B. den Wolfram-, den Totalistischen-, den Partikel- und den Probabilistischen Automaten. Bei all diesen Automaten war es so, dass die Zellenwerte durch bestimmte individuelle Regeln im nächsten Zeitschritt neu berechnet werden. Auffallend charakteristisch war dabei, dass alle Zellen der Automaten nur eine bestimmte Anzahl an Zuständen annehmen können. In den vorangegangenen Beispielen waren es Zustände, wie schwarz oder weiß, 0 oder 1, rot oder grün oder braun.

Nun ein wenig zur Geschichte der Kontinuierlichen Automaten (im weiteren Text mit KA abgekürzt). Mitte der 1970er Jahre entstanden bzw. entwickelten sich die verschiedensten Arten von KA. Dies geschah einmal bei der Idealisierung von Differentialgleichungssystemen zur Berechnung von Wellen- oder Schwingungsgraphen, was im zweiten Teil der Ausarbeitung an einem Bespiel genauer vorgestellt wird. Außerdem entstanden damals die KA implizit beim Lösen von partiellen Differentialgleichungen durch Näherung von finiten Differenzen. Daraus entwickelte sich die Methode der finiten Differenzen, welche Hauptbestandteil der zweiten Hälfte dieses Textes ist. Erst Anfang der 1980er Jahre wurden die KA dann unter zu Hilfenahme von Computersimulationen erforscht. Dies geschah vermutlich, nachdem sich Steven Wolfram mit den gewöhnlichen Zellularautomaten eingehend beschäftigt hatte.

Kommen wir nun konkret zur Art der kontinuierlichen Automaten. Das besondere beim KA im Gegensatz zu den bisher besprochenen Zellularautomaten ist, dass die Zellen Zustände aus einem unendlichen kontinuierlichen Zustandsraum annehmen können. Es können z.B. alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 angenommen werden oder alle Graustufen zwischen schwarz und weiß. Dies bezeichnet man auch als den Grund für das Verlassen des klassischen Konzepts der Zellularautomaten. Die Regel des KA ist so aufgebaut, dass sich der Zustand der Zelle aus dem Durchschnittswert der Vorgängerzelle und deren beiden direkten Nachbarzellen, welche eine Gewichtung erhalten können, neu ergibt (wie in Bild 1 zu erkennen). Dort sehen wir einen KA mit der Regel, dass sich jede Zelle aus dem Durchschnittswert des Vorgängers und seiner beiden Nachbarn ergibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Bild 1]

Man stellt sich die Tabelle in Bild 1 als eindimensionalen kontinuierlichen

Zellularautomaten vor, wobei jede Zeile für einen Zeitschritt steht. Die Eins

steht hier für eine komplett schwarze und die Null für eine weiße Färbung . So bekommen wir hier die mathematische Regel: D = (A + B + C) / 3 ,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Bild 2]

wobei D der Wert der neuen Zelle ist und A, B und C die Werte der [Bild 2]

Vorgängerzellen sind (Anordnung siehe Bild 2).

Ich möchte dies jetzt noch einmal an einem Bespiel erklären. Um den Wert der Zelle mit dem grüngefärbten Wert (= D) zu erhalten, muss man die rotgefärbten Werte (A,B,C) addieren und durch 3 teilen, um den Durchschnitt zu erhalten.

Dies ergibt hier (0,111+0,222+0,333 = 0,666) / 3 = 0,222.

Nun gibt es aber auch noch KA bei denen sich der Zellenwert aus dem Durchschnitt des Vorgängers und beider Nachbarn multipliziert mit dem Faktor 3/2 ergibt. Falls der Wert hierbei größer oder gleich 1 ist, trennt man von diesem Wert dann die Nachkommastellen ab (Siehe Bild 3). Die mathematische Regle ist dann: D= (((A + B + C) / 3) * 3/2) mod 1.

Dies ergibt dann ein Muster, wie in Bild 4 zu sehen ist. Es weißt eine Pyramidenform auf und enthält immer wiederkehrende Teilmuster.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Bild 3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Bild 4]

Bei einer dritten Art die Regel aufzustellen, addiert man mit einer Konstanten, anstatt mit einem Faktor zu multiplizieren. Auch hierbei nimmt man nur die Nachkommastellen, falls der Wert größer oder gleich Null ist. Die Regel, welche den nachstehenden KA (Bild 5) darstellt lautet mathematisch: D= (((A + B + C) / 3) + ¼) mod 1 . Hier fällt auf, dass sich das Muster an den Rändern des Bildes immer wiederholt. Es entstehen immer wiederkehrende Streifen, welche man im Bild 6 gut erkennen kann. Dies geschieht durch die Addition der Konstanten und das Abschneiden der Nachkommastellen - wenn der Wert größer oder gleich Null ist- in jedem neuen Zeitschritt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Bild 5]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Bild 6]

Auf dem folgenden Bild 7 sieht man eine Auswahl von Musterbildungen eines dieser Kontinuierlichen Zellularautomaten. Dabei hat man nur die Additionskonstante verändert und geschaut, wie sich die Verhaltensmuster der Automaten daraufhin verändern. Als Ausgangskonfiguration hat man immer genau eine komplett schwarze und als Rest komplett weißen Zellen genommen.

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