Die folgende Arbeit beschäftigt sich mit dem sogenannten "Traveling Salesman Problem". Es werden verschiedene Varianten des Themenkomplexes vorgestellt und mögliche Lösungsansätze ausgearbeitet.
Das Problem des Handlungsreisenden ist ein kombinatorisches Optimierungsproblem. Weiterhin wird es auch als „Rundreiseproblem“ oder im Englischen als „Traveling Salesman Problem (TSP)“ bezeichnet. Das TSP gliedert sich in die Tourenplanung ein. Diese zielt darauf ab Faktoren wie die Entfernung zweier Standorte, die gesamte Fahrzeit der Tour, die variablen Kosten und die eingesetzten Fahrzeuge zu minimieren. Es sollen also alle Kundennachfragen pünktlich und zu optimalen Kosten realisiert werden.
Das TSP ist ein Verfahren, um eine reale Problemstellung in einem Modell zu abstrahieren, in jenem zu lösen und die Lösung dann auf die reale Welt zu übertragen. Weiterhin zählt das TSP zu den harten Problemen, die auch als NP-vollständige Probleme bezeichnet werden. Eine wesentliche Eigenschaft der NP-vollständigen Probleme ist, dass sich nicht effizient, also in einem angemessenen Verhältnis von Aufwand und Zeit, lösen lassen. Die Aufgabe des TSP besteht darin, den kürzesten Weg zwischen den einzelnen Orten einer Tour für den Handlungsreisenden zu bestimmen. Besagte Orte werden als „Knoten“ und die Tour als „Rundreise“ bezeichnet. Ausgehend von einem beliebigen Ausgangspunkt (Depot) werden die einzelnen Kunden (Aufträge) besucht. Man sucht im TSP einen Kreis minimaler Länge (Rundreise), welcher jeden zu beliefernden Knoten nur genau einmal enthalten darf. Einzige Ausnahme sind Anfangs- und Endknoten, die identisch sein müssen. Somit muss der Handlungsreisende am Ende seiner Tour wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren. Das TSP findet unter anderem Anwendung bei der Auslieferung von Waren, Planung von optimalen Touren und Fuhrparkkoordination.
Inhaltsverzeichnis
- I. Einleitung
- II. Varianten des Traveling Salesman Problems
- 1. Symmetrisches Traveling Salesman Problem
- 2. Asymmetrisches Traveling Salesman Problem
- 3. Metrisches Traveling Salesman Problem (A-TSP)
- 4. Wesentliche Unterschiede zwischen symmetrischem und asymmetrischem TSP
- III. Untere Schranken
- IV. Obere Schranken: Heuristiken
- V. Optimale Lösungen
- 1. Branch-and-Bound-Verfahren allgemein
- 2. Selbstgewähltes Beispiel anhand des Branch-and-Bound-Verfahrens
- VI. Selbstgewähltes Beispiel anhand des Nächster-Nachbar-Algorithmus
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit dem Traveling Salesman Problem (TSP), einem kombinatorischen Optimierungsproblem der Tourenplanung. Ziel ist es, die verschiedenen Varianten des TSP zu erläutern und Lösungsansätze aufzuzeigen. Es wird untersucht, wie man das Problem modelliert und optimale oder zumindest nahezu optimale Lösungen findet.
- Varianten des TSP (symmetrisch, asymmetrisch, metrisch)
- Untere und obere Schranken zur Lösungsfindung
- Optimale Lösungsverfahren wie Branch-and-Bound
- Heuristische Lösungsansätze wie der Nächster-Nachbar-Algorithmus
- Anwendung des TSP in der Praxis anhand eines Beispiels
Zusammenfassung der Kapitel
I. Einleitung: Die Einleitung führt in das Problem des Handlungsreisenden (TSP) ein, beschreibt es als kombinatorisches Optimierungsproblem und ordnet es in den Kontext der Tourenplanung ein. Es wird betont, dass das TSP zu den NP-vollständigen Problemen gehört, also nicht effizient lösbar ist. Die Zielsetzung der Arbeit wird skizziert, und ein praktisches Beispiel mit einem Versicherungsvertreter, der Kunden in verschiedenen Städten besuchen möchte, wird vorgestellt, um die Relevanz des Problems zu veranschaulichen. Die Einleitung dient als Grundlage für die folgenden Kapitel, in denen verschiedene Lösungsansätze und Varianten des TSP diskutiert werden.
II. Varianten des Traveling Salesman Problems: Dieses Kapitel beschreibt die drei Hauptvarianten des TSP: das symmetrische, das asymmetrische und das metrische TSP. Der Hauptunterschied liegt in der Annahme der Gleichheit der Kosten (oder Entfernungen) zwischen zwei Knotenpunkten in beide Richtungen. Im symmetrischen Fall sind die Kosten gleich, im asymmetrischen Fall nicht. Das metrische TSP fügt zusätzliche Bedingungen hinzu, die die Dreiecksungleichung erfüllen müssen (die direkte Verbindung zwischen zwei Punkten ist immer kürzer als jeder Umweg über einen dritten Punkt). Das Kapitel erläutert die Unterschiede der Varianten und ihre Modellierung mit ungerichteten und gerichteten Graphen. Es legt die Grundlage für das Verständnis der Komplexität des Problems und der unterschiedlichen Lösungsansätze, die für jede Variante geeignet sind.
Schlüsselwörter
Traveling Salesman Problem (TSP), Tourenplanung, kombinatorisches Optimierungsproblem, NP-vollständig, symmetrisch, asymmetrisch, metrisch, Branch-and-Bound, Heuristiken, Nächster-Nachbar-Algorithmus, untere Schranken, obere Schranken, Optimierung.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zum Dokument: Varianten und Lösungsansätze des Traveling Salesman Problems
Was ist das Thema des Dokuments?
Das Dokument behandelt das Traveling Salesman Problem (TSP), ein kombinatorisches Optimierungsproblem aus der Tourenplanung. Es erklärt verschiedene Varianten des TSP und präsentiert Lösungsansätze, sowohl optimale als auch heuristische.
Welche Varianten des TSP werden behandelt?
Das Dokument beschreibt drei Hauptvarianten: das symmetrische TSP, das asymmetrische TSP und das metrische TSP. Der Hauptunterschied liegt in den Kosten zwischen zwei Knotenpunkten: symmetrisch bedeutet gleiche Kosten in beide Richtungen, asymmetrisch ungleiche Kosten, und metrisch fügt die Dreiecksungleichung als zusätzliche Bedingung hinzu.
Wie wird das TSP modelliert?
Das TSP wird mit Graphen modelliert. Symmetrische TSPs werden mit ungerichteten Graphen dargestellt, asymmetrische mit gerichteten Graphen. Die Knoten repräsentieren die zu besuchenden Orte, und die Kanten repräsentieren die Verbindungen mit den entsprechenden Kosten oder Entfernungen.
Welche Lösungsansätze werden vorgestellt?
Das Dokument präsentiert sowohl optimale Lösungsverfahren wie Branch-and-Bound als auch heuristische Ansätze wie den Nächster-Nachbar-Algorithmus. Untere und obere Schranken werden ebenfalls diskutiert, um die Güte der gefundenen Lösungen einzuschätzen.
Was ist der Unterschied zwischen oberen und unteren Schranken?
Untere Schranken geben einen minimal möglichen Wert für die optimale Lösung an. Obere Schranken repräsentieren den Wert einer bereits gefundenen Lösung (z.B. durch eine Heuristik). Die Differenz zwischen oberer und unterer Schranke gibt Auskunft über die Qualität der besten gefundenen Lösung.
Was ist der Branch-and-Bound Algorithmus?
Branch-and-Bound ist ein optimales Lösungsverfahren, das den Lösungsraum systematisch durchsucht und durch das Abschneiden von uninteressanten Teilbäumen die Suche effizienter gestaltet. Es nutzt untere Schranken, um Teilbäume zu eliminieren, die keine bessere Lösung als die bereits gefundene liefern können.
Was ist der Nächster-Nachbar-Algorithmus?
Der Nächster-Nachbar-Algorithmus ist eine Heuristik, die eine Näherungslösung findet. Er beginnt an einem beliebigen Knoten und wählt in jedem Schritt den nächstgelegenen noch nicht besuchten Knoten aus, bis alle Knoten besucht wurden. Diese Lösung ist nicht unbedingt optimal, aber oft eine gute Annäherung.
Warum ist das TSP ein NP-vollständiges Problem?
Das TSP gehört zu den NP-vollständigen Problemen, was bedeutet, dass es keinen bekannten Algorithmus gibt, der das Problem in polynomieller Zeit (effizient) für alle Instanzen löst. Für große Problemgrößen werden die Rechenzeiten sehr schnell unpraktikabel lang.
Welche Schlüsselwörter sind mit dem TSP verbunden?
Schlüsselwörter sind: Traveling Salesman Problem (TSP), Tourenplanung, kombinatorisches Optimierungsproblem, NP-vollständig, symmetrisch, asymmetrisch, metrisch, Branch-and-Bound, Heuristiken, Nächster-Nachbar-Algorithmus, untere Schranken, obere Schranken, Optimierung.
- Quote paper
- Ricardo Escoda (Author), Michael Schäfer (Author), 2016, Das Problem des Handlungsreisenden. Lösungsansätze des Travelling-Salesman-Problem, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/367666
