In dieser Arbeit geht es un dieTheorie bzw. Herleitung der multiplen linearen Regression und ihre Anwendung an einem Beispiel mithilfe von R (Code im Anhang).
Wenn danach gefragt wird, ob eine ausgewogene Ernährung das Herzinfarktrisiko reduziert, Führungskräfte überdurchschnittlich gut aussehen oder Kinder aus zerrütteten Familienverhältnissen häufiger zur Flasche greifen als andere, dann kann im Rahmen der Beantwortung dieser Frage eine Regressionsanalyse nützlich sein. Die Regressionsanalyse modelliert Zusammenhänge zwischen einer abhängigen Variable (aV) und einer (einfache Regressionsanalyse) oder mehreren (multiple Regressionsanalyse) unabhängigen Variablen (uV). Ein solches Modell wird auch häufig dafür verwendet, Vorhersagen über die Werte einer abhängigen Variable auf Grundlage der Werte der unabhängigen Variablen zu treffen oder um die Intensität der Beziehung zwischen den Variablen zu identifizieren. Wie auch bei der Korrelationsrechnung bedeutet ein Zusammenhang zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen bei der Regressionsanalyse nicht gleichzeitig eine Kausalität. Im Rahmen der Regression wird zwar gegebenenfalls vor Beginn der Rechnung eine Kausalitätsvermutung aufgestellt; ob die unabhängige Variable allerdings als Ursache tatsächlich vor der Wirkung (auf die abhängige Variable) steht, kann lediglich schlüssig argumentiert werden. Stellt sich die Regressionsgleichung als geeigneter Schätzer für die abhängige Variable heraus, so bedeutet das nur, dass mithilfe der unabhängigen Variablen die abhängige Variable hinreichend gut geschätzt werden kann. Eine Form der multiplen Regression ist die multiple lineare Regression, auf deren Theorie im Folgenden kurz eingegangen und die anschließend an einem Beispiel demonstriert wird.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Theorie
3 Beispiel
4 Fazit
5 Literatur
6 Anhang
6.1 Beispieldaten
6.2 R-Code
6.3 R-Graphiken
Zielsetzung und Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, die theoretischen Grundlagen der multiplen linearen Regression darzulegen und deren praktische Anwendung mittels einer statistischen Analyse zu demonstrieren.
- Mathematische Herleitung des multiplen Regressionsmodells
- Methodik der kleinsten Quadrate zur Schätzung von Parametern
- Interpretation von Gütemaßen wie dem Bestimmtheitsmaß
- Durchführung einer praktischen Regressionsanalyse mit der Software R
Auszug aus dem Buch
2 Theorie
Eine Frage, die mithilfe der multiplen Regression gelöst werden könnte, wäre z.B., ob bzw. wie und wie stark das Bruttoinlandsprodukt pro Einwohner (uV), die Zahl der Küstenkilometer (uV) eines Landes und dessen Menge der Treibhausgasemission (uV), die Anzahl der Arztbesuche (aV) der Bevölkerung dieses Landes beeinflusst. Im Rahmen der linearen multiplen Regression gilt es nun die Beziehung zwischen den Variablen mithilfe einer linearen mathematischen Funktion zu formulieren. Durch das Einsetzen der unabhängigen Variablen in die aufgestellte Funktion (Regressionsgerade) und Lösen einer Optimierungsaufgabe, können die Parameter ermittelt und die abhängige Variable vorhergesagt (geschätzt) werden. In einem weiteren Schritt kann die Güte dieser Vorhersagen identifiziert werden. Die vorherzusagende, abhängige Variable wird im Rahmen der multiplen Regressionsanalyse als Kriterium bezeichnet.
Die erklärenden, unabhängigen Variablen werden Prädiktoren genannt. Mathematisch kann der Zusammenhang zwischen Kriterium (y) und Prädiktoren (x), der bei der multiplen linearen Regression angenommen wird, mit der linearen Funktion y = β0 + β1x1 + · · · + βmxm dargestellt werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in das Konzept der Regressionsanalyse ein und erläutert, wie Zusammenhänge zwischen einer abhängigen Variable und mehreren unabhängigen Variablen modelliert werden können.
2 Theorie: Dieses Kapitel behandelt die mathematischen Grundlagen und die formale Herleitung des Modells der multiplen linearen Regression sowie relevanter statistischer Kennwerte.
3 Beispiel: Hier wird die Theorie anhand eines Datensatzes in der Software R praktisch angewendet, um den Einfluss verschiedener Faktoren auf die Arztbesuchsrate zu untersuchen.
4 Fazit: Das Fazit fasst den Nutzen der multiplen Regression als Werkzeug für statistische Analysen zusammen und reflektiert die Ergebnisse des praktischen Anwendungsbeispiels.
5 Literatur: Dieses Verzeichnis listet die verwendeten Quellen und Vorlesungsunterlagen auf.
6 Anhang: Der Anhang enthält die Rohdaten, den verwendeten R-Code sowie ergänzende graphische Auswertungen.
Schlüsselwörter
Multiple lineare Regression, Regressionsanalyse, Kriterium, Prädiktoren, Methode der kleinsten Quadrate, Bestimmtheitsmaß, Varianzaufklärung, R-Programmierung, Residuen, Schätzfehler, t-Test, Hypothesentest, Statistik, Modellbildung, Datenanalyse
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Theorie und der praktischen Implementierung der multiplen linearen Regression zur Analyse von Zusammenhängen zwischen Variablen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die mathematische Modellierung, die Schätzung von Regressionsparametern mittels der Methode der kleinsten Quadrate und die Interpretation statistischer Gütekriterien.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, den theoretischen Hintergrund der Regressionsmethode verständlich zu machen und die Durchführung einer solchen Analyse beispielhaft mit der Software R zu zeigen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird die Methode der kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares) im Kontext der multiplen linearen Regression angewendet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der Modellgleichung inklusive der Matrixschreibweise sowie ein empirisches Anwendungsbeispiel mit der Analyse von Arztbesuchsdaten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen gehören Multiple lineare Regression, Prädiktoren, Bestimmtheitsmaß, Residuen und die statistische Software R.
Warum wird im Beispiel ein R-Code verwendet?
Die Verwendung von R dient dazu, die theoretischen Formeln praktisch umzusetzen und sowohl automatisierte als auch manuelle Rechenwege zu veranschaulichen.
Welche Bedeutung haben die Residuenplots im Anhang?
Residuenplots dienen der Überprüfung der Modellannahmen, um festzustellen, ob systematische Fehler oder Nichtlinearitäten in der Schätzung vorliegen.
Was lässt sich aus dem berechneten Bestimmtheitsmaß im Beispiel schließen?
Das niedrige Bestimmtheitsmaß im Beispiel deutet darauf hin, dass die gewählten Variablen nur einen sehr geringen Teil der Varianz des Kriteriums erklären können.
Ist die in der Arbeit untersuchte Kausalität bewiesen?
Nein, die Arbeit stellt klar, dass eine Regressionsanalyse zwar Korrelationen identifizieren kann, aber keine Kausalität begründet.
- Citar trabajo
- Sibylle Weiss (Autor), 2015, Multiple lineare Regression - Theorie und Beispiel, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/292971
