Die grundlegenden Gleichungen in der Strömungsmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie stellen ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen dar und beschreiben das Fließverhalten zäher Fluide. Man leitet die Navier-Stokes-Gleichungen unter der Bedingung her, dass die Reibung eine lineare Funktion der Geschwindigkeit ist. In dieser Bachelorarbeit wird die Existenz von schwachen Lösungen unter der Annahme untersucht, dass die Reibung eine beliebige, nichtlineare Funktion der Geschwindigkeit ist. Genauer soll die Nichtlinearität ein monotoner Operator sein, der symmetrische, reelle 3×3-Matrizen auf ebensolche abbildet. Des Weiteren setzen wir voraus, dass das Fluid homogen und inkompressibel ist: Dies impliziert, dass das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist. Die daraus resultierenden Stokes-Gleichungen nennen wir allgemeine Stokes-Gleichungen. Das Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, folgenden Satz zu beweisen:
Seien das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld zur Zeit t = 0 und homogene Dirichlet-Randbedingungen gegeben. Dann existieren genau ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld u und genau ein Druckfeld p, sodass (u,p) das allgemeine Stokes-Problem im schwachen Sinne löst. Dabei seien äußere Kräfte vernachlässigbar.
In diesem Zusammenhang ist die Frage zu klären, welche weiteren Bedingungen an den monotonen, nichtlinearen Operator gestellt werden müssen.
Im ersten Kapitel leiten wir die Navier-Stokes-Gleichungen unter Vernachlässigung von äußeren Kräften her, um im zweiten Kapitel das allgemeine Stokes-Problem als Anfangs-Randwert-Problem zu formulieren. Im Anschluss konstruieren wir die Helmholtz-Projektion, mit deren Hilfe wir den Druck aus den Gleichungen eliminieren können. Daraus erhalten wir ein äquivalentes Anfangs-Randwert-Problem. Um dieses zu lösen, führen wir im dritten Kapitel die Funktionenräume ein, aus denen wir den Lösungsraum konstruieren können. Da die benötigten Funktionenräume allesamt Hilberträume sind, stellen wir ihre Elemente als Fourierreihen dar. Im vierten Kapitel zeigen wir zunächst, dass das äquivalente Problem höchstens eine schwache Lösung besitzen kann, bevor wir nachweisen, dass tatsächlich eine schwache Lösung existiert. Dazu wenden wir die Galerkin-Methode an, indem wir approximative Lösungen konstruieren.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
- 1.1 Konfigurationen, Euler'sche und Lagrange'sche Darstellung von Bewegungen
- 1.2 Substantielle Ableitung
- 1.3 Das Reynolds'sche Transporttheorem
- 1.4 Die Kontinuitätsgleichung
- 1.5 Die Euler-Gleichungen
- 1.6 Die Navier-Stokes-Gleichungen
- 2 Allgemeines Stokes-Problem
- 2.1 Hilberträume
- 2.2 Allgemeine konstitutive Gleichung, Formulierung des allgemeinen Stokes-Problems
- 2.3 Helmholtz-Projektion und Helmholtz-Zerlegung
- 2.4 Formulierung des äquivalenten Problems, allgemeiner Stokes-Operator
- 3 Benötigte Funktionenräume
- 3.1 Hilberträume
- 3.2 Bochneräume
- 3.3 Spuroperator und Spursatz
- 4 Lösung des äquivalenten Problems
- 4.1 Eindeutigkeit der schwachen Lösung des äquivalenten Problems
- 4.2 Approximative Lösungen
- 4.3 Existenz der Lösung des äquivalenten Problems
- 5 Fazit und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit untersucht die Existenz schwacher Lösungen der allgemeinen Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide. Das Hauptziel ist der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer solchen Lösung unter bestimmten Annahmen über den nichtlinearen, monotonen Operator, der die Reibung beschreibt. Die Arbeit baut auf der Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen auf und verwendet die Galerkin-Methode zur Lösung des Problems.
- Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
- Formulierung des allgemeinen Stokes-Problems
- Einführung und Anwendung der Helmholtz-Projektion
- Definition und Verwendung geeigneter Funktionenräume
- Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung mittels Galerkin-Methode
Zusammenfassung der Kapitel
1 Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen: Dieses Kapitel legt die Grundlagen der Kontinuumsmechanik dar, die für die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen notwendig sind. Es werden Konfigurationen, die Euler'sche und Lagrange'sche Darstellung von Bewegungen, die substantielle Ableitung, das Reynolds'sche Transporttheorem, die Kontinuitätsgleichung und schließlich die Navier-Stokes-Gleichungen selbst eingeführt. Der Fokus liegt auf der Beschreibung der mathematischen Werkzeuge und Konzepte, ohne tief in die physikalischen Interpretationen einzugehen. Die Herleitung erfolgt unter Verzicht auf Beweise, welche aus Gründen des Umfangs der Bachelorarbeit weggelassen wurden.
2 Allgemeines Stokes-Problem: In diesem Kapitel wird das allgemeine Stokes-Problem als Anfangs-Randwert-Problem formuliert. Hierbei wird eine allgemeine konstitutive Gleichung verwendet, die eine nichtlineare, monotone Beziehung zwischen Spannung und Deformationsgeschwindigkeit zulässt, im Gegensatz zur linearen Annahme bei den klassischen Stokes-Gleichungen. Die Helmholtz-Projektion wird eingeführt, um den Druck aus den Gleichungen zu eliminieren und ein äquivalentes Problem zu erhalten. Dieses Kapitel ist essentiell für die spätere Anwendung der Galerkin-Methode.
3 Benötigte Funktionenräume: Dieses Kapitel beschreibt die für die Lösung des Problems notwendigen Funktionenräume. Es werden Hilberträume, Bochneräume und der Spuroperator eingeführt und deren Eigenschaften diskutiert. Die Auswahl dieser Räume ist entscheidend für die Anwendung der Galerkin-Methode und den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung. Die Darstellung der Elemente als Fourierreihen wird ebenfalls erläutert.
4 Lösung des äquivalenten Problems: Hier wird der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung des äquivalenten Problems, welches im vorherigen Kapitel hergeleitet wurde, geführt. Zunächst wird die Eindeutigkeit gezeigt, anschließend wird die Existenz mithilfe der Galerkin-Methode nachgewiesen. Approximative Lösungen werden konstruiert und ihre Konvergenz gegen die schwache Lösung wird gezeigt. Dieser Teil bildet den Kern der mathematischen Arbeit.
Schlüsselwörter
Stokes-Gleichungen, nicht-Newton'sche Fluide, schwache Lösungen, Galerkin-Methode, Helmholtz-Projektion, monotone Operatoren, Hilberträume, Bochneräume, Anfangs-Randwertproblem, inkompressible Fluide, divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Bachelorarbeit: Existenz schwacher Lösungen der allgemeinen Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide
Was ist das Thema der Bachelorarbeit?
Die Bachelorarbeit untersucht die Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen der allgemeinen Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide. Der Fokus liegt auf dem Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer solchen Lösung unter bestimmten Annahmen über den nichtlinearen, monotonen Operator, der die Reibung beschreibt.
Welche Methoden werden in der Arbeit verwendet?
Die Arbeit verwendet die Galerkin-Methode, um die Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung zu beweisen. Weiterhin werden die Helmholtz-Projektion zur Elimination des Drucks aus den Gleichungen und geeignete Funktionenräume (Hilberträume und Bochneräume) eingesetzt.
Wie ist die Arbeit strukturiert?
Die Arbeit gliedert sich in fünf Kapitel: Kapitel 1 leitet die Navier-Stokes-Gleichungen her. Kapitel 2 formuliert das allgemeine Stokes-Problem. Kapitel 3 beschreibt die notwendigen Funktionenräume. Kapitel 4 beweist die Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung mittels der Galerkin-Methode. Kapitel 5 bietet ein Fazit und einen Ausblick.
Welche Konzepte werden in Kapitel 1 behandelt?
Kapitel 1 behandelt grundlegende Konzepte der Kontinuumsmechanik, wie Konfigurationen, Euler'sche und Lagrange'sche Darstellung von Bewegungen, die substantielle Ableitung, das Reynolds'sche Transporttheorem, die Kontinuitätsgleichung und die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen. Beweise werden aus Gründen des Umfangs weggelassen.
Was ist das Besondere am "Allgemeinen Stokes-Problem" in Kapitel 2?
Das allgemeine Stokes-Problem in Kapitel 2 verwendet eine allgemeine konstitutive Gleichung, die eine nichtlineare, monotone Beziehung zwischen Spannung und Deformationsgeschwindigkeit zulässt, im Gegensatz zur linearen Annahme bei den klassischen Stokes-Gleichungen. Die Helmholtz-Projektion wird eingesetzt, um ein äquivalentes Problem zu erhalten, das sich mit der Galerkin-Methode lösen lässt.
Welche Funktionenräume werden in Kapitel 3 verwendet und warum?
Kapitel 3 beschreibt Hilberträume und Bochneräume sowie den Spuroperator. Die Wahl dieser Räume ist entscheidend für die Anwendung der Galerkin-Methode und den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung.
Wie wird die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung in Kapitel 4 bewiesen?
In Kapitel 4 wird die Eindeutigkeit der schwachen Lösung zunächst gezeigt. Anschließend wird die Existenz mithilfe der Galerkin-Methode nachgewiesen. Approximative Lösungen werden konstruiert und deren Konvergenz gegen die schwache Lösung wird demonstriert. Dieser Teil bildet den Kern der mathematischen Arbeit.
Welche Schlüsselbegriffe sind relevant für die Arbeit?
Wichtige Schlüsselbegriffe sind: Stokes-Gleichungen, nicht-Newton'sche Fluide, schwache Lösungen, Galerkin-Methode, Helmholtz-Projektion, monotone Operatoren, Hilberträume, Bochneräume, Anfangs-Randwertproblem, inkompressible Fluide, divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld.
- Quote paper
- Daniel Janocha (Author), 2012, Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/285549
