Die Finite-Elemente-Methode hat ihren Ursprung in den 1950er Jahren, als Ingenieure erstmals die Methoden der Analysis mit der Variationsrechnung der Kontinuumsmechanik
kombinierten. Mitte der 1960er erschienen unabhängig voneinander mehrere Publikationen, die sich mit der Konstruktion und Analysis von Finite-Differenzen-Schemata für
elliptische Probleme mithilfe von Variationsmethoden beschäftigten. Zu nennen sind hier Céa, Demjanovic, Feng, Friedrichs und Keller und Oganesjan und Ruchovets. Aus dem Studium stetiger Approximationsfunktionen entwickelte sich schließlich die Theorie der Finiten Elemente. Allgemeines zur Mathematik der Finiten Elemente für elliptische Probleme findet sich z.B. bei Babuska und Aziz, Strang und Fix, Ciarlet sowie Brenner und Scott.
Die Entwicklung einer entsprechenden Methode für
parabolische Probleme begann um 1970, als die Finite-Differenzen-Analysis für derartige Probleme bereits weit fortgeschritten war. Diese Bachelorarbeit ist das Ergebnis meiner Independent Studies des akademischen Jahres
2014 am Lehrstuhl für Optimale Steuerung der TU München. Nach dieser kurzen Einleitung werde ich einen Einblick in die zeitliche Galerkin-Diskretisierungsmethode parabolischer
Differentialgleichungen sowie Theorie und Analysis linearer Probleme geben.
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt allerdings auf effzienten numerischen Realisierungen des titelgebenden Verfahrens, die im Anschluss an die Theorie präsentiert werden.
Für weitergehende Fehlerabschätzungen und Stabilitätsaussagen der Galerkin-Verfahren für parabolische Probleme sei auf Thomée verwiesen.
Als Standardwerke für die mathematische Theorie elliptischer und parabolischer Differentialgleichungen möchte ich noch Evans, sowie Lions und Magenes und Friedman nennen.
Technische Universit¨at M¨
unchen
Zentrum Mathematik
Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-
Methoden zur Zeitdiskretisierung
parabolischer partieller
Differentialgleichungen
Petrov-Galerkin-Finite-Element-Methods for Time-Discretization
of Parabolic Partial Differential Equations
Bachelorarbeit
von
Christoph Weber
Abgabetermin: 1. September 2014
Abstract
This bachelor's thesis deals with temporal discretization of parabolic partial differen-
tial equations by continuous Galerkin methods. Newton-based solution methods for the
semidiscrete equation systems resulting from time-discretization of nonlinear parabolic
problems with continuous Galerkin methods of order r are considered. Two approaches
for decoupling the Newton update equation, which consists of a coupled system of r ellip-
tic problems, are presented. The main idea in order to avoid complex coefficients which
arise inevitably in the equations obtained by a direct decoupling strategy, is to decouple
a suitable approximation to the exact Newton update equation. The first approach is
based on block-wise elimination and leads to a solution scheme which consists of several
steps with the same structure as implicit Euler steps. Therefore concrete realizations up
to order two together with numerical evidence are given. The basic idea of the second ap-
proach is the so-called single Newton iteration, which consists of replacing the coefficient
matrix with an approximation whose spectrum consists of only one r-fold real Eigenvalue.
As a result for each component only one standard step type of equation has to be solved
per Newton step. Also norm-based error analysis for systems of linear parabolic equations
is provided. Concrete realizations together with numerical evidence for orders up to nine
which confirm the quality of the approximation and the theoretical results are given.
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
2
Problemformulierung
3
3
Galerkin-Zeitdiskretisierung
6
4
Superkonvergenzeigenschaften
11
5
Newton-Verfahren zur L¨
osung des diskretisierten Gleichungssystems
13
6
Eine erste Entkopplungsvariante
19
6.1
Inexakter L¨
oser der linearen Subprobleme
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6.2
Konvergenz der inexakten Newton-Iteration
. . . . . . . . . . . . . . . . .
25
6.3
Realisierungen erster und zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
7
Eine zweite Entkopplungsvariante
30
7.1
Approximation der Koeffizientenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7.2
Single-Newton-Iteration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
7.3
Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
8
Numerische Resultate
37
9
Fazit und Ausblick
45
10 Literaturverzeichnis
46
11 Anhang
50
Kapitel 1
Einleitung
Die Finite-Elemente-Methode hat ihren Ursprung in den 1950er Jahren, als Ingenieure
erstmals die Methoden der Analysis mit der Variationsrechnung der Kontinuumsmecha-
nik kombinierten. Mitte der 1960er erschienen unabh¨
angig voneinander mehrere Publika-
tionen, die sich mit der Konstruktion und Analysis von Finite-Differenzen-Schemata f¨
ur
elliptische Probleme mithilfe von Variationsmethoden besch¨
aftigten. Zu nennen sind hier
C´
ea [6], Demjanovi~
c [9], Feng [14], Friedrichs und Keller [16] und Oganesjan und Rucho-
vets [25]. Aus dem Studium stetiger Approximationsfunktionen entwickelte sich schließlich
die Theorie der Finiten Elemente. Allgemeines zur Mathematik der Finiten Elemente f¨
ur
elliptische Probleme findet sich z.B. bei Babu~ska und Aziz [2], Strang und Fix [33], Ciar-
let [7] sowie Brenner und Scott [4]. Die Entwicklung einer entsprechenden Methode f¨
ur
parabolische Probleme begann um 1970, als die Finite-Differenzen-Analysis f¨
ur derartige
Probleme bereits weit fortgeschritten war.
Diese Bachelorarbeit ist das Ergebnis meiner Independent Studies des akademischen Jah-
res 2014 am Lehrstuhl f¨
ur Optimale Steuerung der TU M¨
unchen. Nach dieser kurzen
Einleitung werde ich einen Einblick in die zeitliche Galerkin-Diskretisierungsmethode pa-
rabolischer Differentialgleichungen sowie Theorie und Analysis linearer Probleme geben.
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt allerdings auf effizienten numerischen Realisie-
rungen des titelgebenden Verfahrens, die im Anschluss an die Theorie pr¨
asentiert werden.
F¨
ur weitergehende Fehlerabsch¨
atzungen und Stabilit¨
atsaussagen der Galerkin-Verfahren
f¨
ur parabolische Probleme sei auf Thom´
ee [34] verwiesen.
Als Standardwerke f¨
ur die mathematische Theorie elliptischer und parabolischer Diffe-
rentialgleichungen m¨
ochte ich noch Evans [13], sowie Lions und Magenes [21] und Fried-
man [15], nennen.
Kapitel 2
Problemformulierung
Dieses Kapitel legt den geeigneten mathematischen Rahmen f¨
ur die nachfolgenden Be-
trachtungen fest. Zum einen wird die Problemklasse vorgestellt und zum anderen werden
zwei Bedingungen an den elliptischen Operator gestellt, die sowohl die Existenz einer ein-
deutigen L¨
osung, als auch die Anwendbarkeit der sp¨
ater entwickelten L¨
osungsmethoden
sicherstellen. Die nun folgende Klasse parabolischer Probleme wurde bereits von Rich-
ter, Springer und Vexler [27] als Rahmen f¨
ur die Untersuchung einer Zeitdiskretisierung
mittles dG(r)-Verfahren gew¨
ahlt.
Man betrachte f¨
ur ein gegebenes T > 0 und zugeh¨
origes Zeitintervall I = (0, T ) eine
parabolische Gleichung der Form
t
u(t) + A(u) = f (t)
t I,
(2.1)
u(0) = u
0
.
Zur exakten funktionalanalytischen Formulierung sei R
d
ein polygonales Ortsgebiet
mit d {2, 3} und V ein Hilbertraum, der stetig und dicht in den Hilbertraum H := L
2
()
mit zugeh¨
origem Skalarprodukt (·, ·) und davon induzierter Norm || · ||
H
eingebettet ist.
Nach der Identifikation von H mit seinem Dualraum H
bilden die R¨
aume V H V
ein Gelfand-Tripel. Sei außerdem A : V V
ein (nichtlinearer) elliptischer Differential-
operator. Weiterhin sei A Fr´
echet-differenzierbar und die Ableitungen A
u
(u) : V V
seien, aufgefasst als Operatoren in H f¨
ur alle u V , selbstadjungiert und positiv.
F¨
ur das Zeitintervall I und einen Banachraum B mit zugeh¨
origer Norm || · ||
B
sei der
(Bochner-)Raum
L
2
(I, B) := v : I B
||v||
L
2
(I,B)
<
mit Norm ||v||
2
L
2
(I,B)
:= (v, v)
I
:=
I
||u(t)||
2
B
dt gegeben.
KAPITEL 2. PROBLEMFORMULIERUNG
4
Nun k¨
onnen der kontinuierliche Ansatz- und Testraum X bzw. ~
X definiert werden:
X
:=
v L
2
(I, V )
t
v L
2
(I, V
)
mit ||v||
2
X
:= ||v||
2
L
2
(I,V )
+ ||
t
v||
2
L
2
(I,V
)
,
~
X
:= L
2
(I, V ) mit ||v||
~
X
:= ||v||
L
2
(I,V )
.
Nach diesen Vorbereitungen lautet die schwache Formulierung von (2.1):
Gesucht ist u X mit
I
t
u, dt +
I
a(u)() dt + (u(0), (0)) = (f, )
I
+ (u
0
, (0))
~
X,
(2.2)
wobei mit ·, · := ·, ·
V
×V
die Dualit¨
atspaarung zwischen V und V
bezeichnet wird
und die Semilinearform a (linear im zweiten Argument) durch
a(u)(·) := A(u), ·
(2.3)
definiert ist. Weiterhin muss f¨
ur den Startwert u
0
H und f¨
ur die rechte Sei-
te f L
2
(I, V
) gelten.
Die Form des Operators A entscheidet dar¨
uber ob das Problem eindeutig l¨
osbar ist. Es gibt
viele verschiedene Arten von Bedingungen, die die Wohlgestelltheit (nach Hadamard) des
kontinuierlichen Problems sicherstellen. W¨
ahrend der gesamten Arbeit werden nur solche
F¨
alle betrachtet, in denen ebendies sichergestellt ist.
Zwei Beispiele davon sollen hier aufgef¨
uhrt werden, vgl. f¨
ur (I) Wloka [37], Kapitel IV
und f¨
ur (II) Neitzel und Vexler [24]:
(I) Sei A ein linearer Operator der Form A(u)
:=
-div(G,
u) + u, wo-
bei mit G = (G
ij
)
1i,jr
, G
ij
L
() eine symmetrische und gleichm¨
aßig po-
sitiv definite Matrix auf gegeben ist. Sei weiterhin
L
(). F¨
ur V
kann entweder V := H
1
0
() oder V := H
1
() zusammen mit Neumann-Rand-
bedingungen gew¨
ahlt werden.
(II) Sei V
:= H
1
0
(). F¨
ur den Operator A gelte: A(u) = -u + g(t, x, u), wo-
bei g : I × × R f¨ur jedes u R messbar in (t, x) sei und Folgendes gelte:
(a) g ist stetig differenzierbar in u f¨
ur fast alle (t, x) I × und es gibt ein K > 0,
sodass
||g(·, ·, 0)||
L
(I×)
+ ||
u
g(·, ·, 0)||
L
(I×)
K.
gilt.
(b) Auf beschr¨
ankten Gebieten ist die erste Ableitung von g gleichm¨
aßig Lipschitz-
stetig, also zu jedem S 0 gibt es ein L(S) > 0, sodass
||
u
g(·, ·, u
1
) -
u
g(·, ·, u
2
)||
L
(I×)
L(S)|u
1
- u
2
|
f¨
ur alle u
1
, u
2
R mit |u
1
|, |u
2
| S gilt.
KAPITEL 2. PROBLEMFORMULIERUNG
5
(c) F¨
ur fast alle (t, x) I × ist g monoton wachsend in u R. Es gilt also:
u
g(·, ·, u) 0.
Desweiteren m¨
ussen die Daten die Regularit¨
atsvoraussetzungen u
0
L
()
und f L
q
(I × ) f¨
ur q >
d
2
+ 1 erf¨
ullen.
Die Bedingungen (II) stellen sicher, dass die L¨
osung des diskretisierten Problems mithilfe
des in Kapitel 5 entwickelten Newton-Verfahrens berechnet werden kann.
Kapitel 3
Galerkin-Zeitdiskretisierung
Die hier pr¨
asentierte Galerkin-Diskretisierungsmethode wurde bereits von Aziz und
Monk [1] vorgeschlagen. Die Notation ist an Richter, Springer und Vexler [27] angelehnt.
Im zweiten Teil des Kapitels werden ein Existenz- und Eindeutigkeitsresultat, sowie be-
reits bekannte a priori Absch¨
atzungen aus der Literatur zusammengetragen.
Um das Problem (2.2) in der Zeit zu diskretisieren, wird eine Partition des halboffenen
Intervalls ~
I := (0, T ] in halboffene Teilintervalle I
m
= (t
m-1
, t
m
] mit m {1, ..., M } be-
trachtet, sodass
0 = t
0
< t
1
< ... < t
M
= T
ist. Weiter sei die L¨
ange der Teilintervalle mit k
m
= |I
m
| und die Maximall¨ange eines
Zeitschrittes mit k = max
1mM
k
m
bezeichnet. Die Ansatz- und Testr¨
aume X
r
k
bzw. ~
X
r-1
k
des semidiskreten Petrov-Galerkin-Verfahrens der Ordnung r (cG(r)-Diskretisierung) sind
durch
X
r
k
:=
C(I, V )
|
I
m
r
(I
m
, V ), m = 1, ..., M ,
~
X
r-1
k
:=
L
2
(I, V )
|
I
m
r-1
(I
m
, V ), m = 1, ..., M
gegeben, wobei
r
(I
m
, V ) den Raum der Polynome vom Grad h¨
ochstens r von I
m
nach V
bezeichnet. F¨
ur Funktionen aus X
r
k
und ~
X
r
k
wird folgende abk¨
urzende Notation ein-
gef¨
uhrt:
-
m
:= lim
0
(t
m-1
- )
und
+
m
:= lim
0
(t
m-1
+ ).
Somit lautet die semidiskrete cG(r)-Formulierung nun:
Gesucht ist u
k
X
r
k
mit
M
m=1
(
t
u
k
, )
I
m
+
I
a(u
k
)() dt = (f, )
I
~
X
r-1
k
.
(3.1)
KAPITEL 3. GALERKIN-ZEITDISKRETISIERUNG
7
Die Dualit¨
atspaarung wurde durch ein Skalarprodukt ersetzt, da die Zeitableitung einer
Funktion aus
r
(V ) in
r-1
(V ) liegt.
Nun wird (3.1) im Ort diskretisiert, um ein vollst¨
andig diskretisiertes Gleichungssystem
zu erhalten. Dies geschieht mit finiten Elementen, was bspw. in Ciarlet [7], Kapitel 2
nachzulesen ist. Verwendet werden, je nach Dimension, form-regul¨
are Gitter T
h
auf aus
offenen Dreiecken oder Tetraedern K. Der Diskretisierungsparameter h eines Gitters soll
den maximalen Durchmesser der Zellen K beschreiben. Somit definiert
V
s
h
() :=
v
h
C( ¯
)
v
h
|
K
s
(K)
K T
h
einen V -konformen Finite-Elemente-Raum der Ordnung s auf dem Gitter T
h
.
Mithilfe von V
s
h
() k¨
onnen nun die diskreten Ansatz- und Testr¨
aume X
r,s
k,h
bzw. ~
X
r-1,s
k,h
wie folgt definiert werden:
X
r,s
k,h
:=
C(I, V )
|
I
m
r
(I
m
, V
s
h
()), m = 1, ..., M
X
r
k
,
~
X
r-1,s
k,h
:=
L
2
(I, V )
|
I
m
r-1
(I
m
, V
s
h
()), m = 1, ..., M
~
X
r-1
k
.
Hierzu zwei Bemerkungen:
(i) Die hier pr¨
asentierten Ergebnisse lassen sich auch auf Gitter aus Vierecken oder
Hexaedern ¨
ubertragen.
(ii) Die im weiteren Verlauf der Arbeit entwickelten Konzepte lassen sich, aufgrund
der Unstetigkeiten der Testfunktionen, auf Situationen verallgemeinern, in denen
der Finite-Elemente-Raum V
s
h
() ¨
uber die Zeit variiert. Siehe hierzu Schmich und
Vexler [29].
Da die r¨
aumliche Diskretisierung konform gew¨
ahlt wurde, ist die vollst¨
andig diskretisierte
Formulierung des Verfahrens (3.1) nun gegeben als:
Gesucht ist u
kh
X
r,s
k,h
, welches
M
m=1
(
t
u
kh
, )
I
m
+
I
a(u
kh
)() dt = (f, )
I
~
X
r-1,s
k,h
(3.2)
erf¨
ullt.
Aufgrund der Unstetigkeiten der Testfunktionen an den Knotenpunkten k¨
onnen sie auf
jedem Intervall unabh¨
angig voneinander gew¨
ahlt werden. Testet man nun mit Funktionen,
die nur auf einem Intervall Werte ungleich Null besitzen, so erh¨
alt man ein zu (3.2)
¨
aquivalentes implizites Zeitschrittverfahren der Form
(
t
u
m
kh
, )
I
m
+
I
m
a(u
m
kh
)() dt = (f, )
I
m
r-1
(I
m
, V
s
h
()), m = 1, ..., M
(u
m
kh
(t
m-1
) - u
m-1
kh
(t
m-1
),
+
m
) = 0
r-1
(I
m
, V
s
h
), m = 1, ..., M,
KAPITEL 3. GALERKIN-ZEITDISKRETISIERUNG
8
wobei u
m
kh
die L¨
osung auf dem Teilintervall I
m
bezeichnet und die zweite Gleichung aus der
geforderten Stetigkeit an den Intervallendpunkten zusammen mit der Anfangsbedingung
u
0
kh
(t
0
) := u
0
folgt.
W¨
ahlt man nun Basen von
r
(I
m
, V
s
h
()) und
r-1
(I
m
, V
s
h
()) als {
j
n
}
n=1,...,N
j=0,...,r
bzw. { ~
i
n
}
n=1,...,N
i=1,...,r
aus den entsprechenden Basen {
j
}
r
j=0
von
r
(I
m
, R), { ~
i
}
r
i=1
von
r-1
(I
m
, R) und {
n
}
N
n=1
von V
s
h
(), so erh¨
alt man ein System von 2rN skalaren nichtli-
nearen Gleichungen auf jedem Diskretisierungsintervall I
m
der Form
(
t
u
m
kh
, ~
i
n
)
I
m
+
I
m
a(u
m
kh
)(
n
) · ~
i
dt = (f, ~
i
n
)
I
m
,
i = 1, ..., r, n = 1, ..., N
~
i
(t
m-1
)(u
m
kh
(t
m-1
) - u
m-1
kh
(t
m-1
),
n
) = 0,
i = 1, ..., r, n = 1, ..., N.
(3.3)
Falls A ein linearer Operator ist, lassen sich ein Existenz- und Eindeutigkeitsresultat der
L¨
osung der semidiskreten Gleichung, sowie A-Stabilit¨
at des cG(r)-Verfahrens und a priori
Fehlerabsch¨
atzungen zeigen. Bei Schieweck [28] findet sich Theorie zu cG(r)-Verfahren f¨
ur
Evolutionsgleichungen in Hilbertr¨
aumen, sowie weitergehende Analysis f¨
ur gew¨
ohnliche
Differentialgleichungen in R
d
und lineare parabolische Gleichungen. F¨
ur die numerische
Berechnung wird dort jeweils die (r+1)-punktige Gauss-Lobatto-Quadratur verwendet.
Es sei an dieser Stelle ausdr¨
uklich erw¨
ahnt, dass lediglich die Ordnung der numerischen
Quadratur eine Rolle spielt und die dort bewiesenen Resultate somit auch bspw. f¨
ur die
r-punktige Gauss-Legendre-Quadratur gelten mit der die numerischen Experimente in
Kapitel 8 durchgef¨
uhrt wurden. F¨
ur eine ausf¨
uhrlichere Darstellung der Theorie parabo-
lischer Gleichungen sei auf Ern [12], Kapitel 6 verwiesen. Die nun folgenden Resultate
werden aus Schieweck [28] zitiert und beinhalten die obigen Aussagen f¨
ur das lineare
Setting aus (I) in Kapitel 2 mit Dirichlet-Randbedingungen.
Als wichtigen Teilraum von X bezeichne X
0
im Folgenden alle Funktionen in X mit
homogenen Anfangsbedingungen. F¨
ur die Theorie wird o.B.d.A. angenommen, dass nur
nach dem homogenen Anteil u
0
k
:= u
k
- u
0
im zugeh¨
origen Raum X
r
k,0
:= X
0
X
r
k
gesucht
wird. Definiert man nun f
0
: (0, T ) H
als f
0
(t) := f (t) - Au
0
f¨
ur u
0
V , so erh¨alt
man f¨
ur die semidiskrete Formulierung (3.1):
Gesucht ist u
0
k
X
r
k,0
mit
M
m=1
(
t
u
0
k
, )
I
m
+
I
a(u
0
k
, ) dt = (f
0
, )
I
~
X
r-1
k
,
(3.4)
wobei aufgrund der Linearit¨
at von A die Semilinearform a(·)(·) aus (2.3) nun als Biline-
arform a : V × V R aufgefasst wird.
In diesem Setting kann das Existenz- und Eindeutigkeitsresultat nun formuliert werden:
Theorem 3.1 (Theorem 4 in [28]) Sei die Bilinearform a(·, ·) stetig und koerziv, dann
existiert f¨
ur jede Partition des Zeitintervalls (0, T ) eine eindeutige L¨
osung ¯
u
0
k
X
r
k,0
des
KAPITEL 3. GALERKIN-ZEITDISKRETISIERUNG
9
semidiskreten Problems (3.4) mit
||¯
u
0
k
||
X
=
T
0
||
t
¯
u
0
k
||
2
V
+ ||¯
u
0
k
||
2
V
dt
1/2
1
c
||f
0
||
L
2
(I,V
)
,
mit einer von k und T unabh¨
angigen Konstanten c.
Basierend auf diesem Resultat lassen sich nun optimale Fehlerabsch¨
atzungen beispiels-
weise in der Norm des L¨
osungsraums || · ||
X
oder der L
2
-Norm beweisen, welche der
Vollst¨
andigkeit halber hier ebenfalls aus Schieweck [28] zitiert werden.
Der erste Satz gibt eine a priori Absch¨
atzung in || · ||
X
f¨
ur das semidiskrete Problem (3.4).
Theorem 3.2 (Theorem 5 in [28]) Sei u : [0, T ] V in X
0
mit
r+1
t
u L
2
(I
m
, V )
eine L¨
osung des kontinuierlichen Problems. Dann erf¨
ullt die L¨
osung u
k
X
r
k,0
von (3.4)
die folgende Absch¨
atzung:
||u - u
k
||
X
c
M
m=1
k
2r
m
||
r+1
t
u||
2
L
2
(I
m
,V )
1/2
ck
r
||
r+1
t
u||
L
2
(I
m
,V )
,
mit einer von k
m
, k und T unabh¨
angigen Konstanten c.
Der nun folgende Satz garantiert die Existenz und Eindeutigkeit einer mithilfe von nume-
rischer Quadratur berechneten L¨
osung des Problems (3.4).
Theorem 3.3 (Theorem 6 in [28]) Sei u : [0, T ] V in X
0
mit
r+1
t
u L
2
(I
m
, V )
eine L¨
osung des kontinulierlichen Problems und f : [0, T ] H
mit
r+1
t
f L
2
(I
m
, H
).
Dann existiert die mithilfe numerischer Quadratur berechnete L¨
osung u
k
X
r
k,0
von (3.4)
eindeutig und erf¨
ullt die folgende Absch¨
atzung mit einer von k
m
, k und T unabh¨
angigen
Konstanten c:
||u - u
k
||
X
c
M
m=1
k
2r
m
||
r+1
t
u||
2
L
2
(I
m
,V )
+ ||
r+1
t
f ||
2
L
2
(I
m
,H
)
1/2
ck
r
||
r+1
t
u||
L
2
(I
m
,V )
+ k||
r+1
t
f ||
L
2
(I
m
,H
)
.
Zuletzt folgt noch eine Fehlerabsch¨
atzung in der L
2
(I, H)-Norm.
Theorem 3.4 (Theorem 10 in [28]) Sei u : [0, T ] V in X
0
mit
r+1
t
u L
2
(I
m
, V )
eine L¨
osung des kontinuerlichen Problems, desweiteren sei der zu A adjungierte Ope-
rator A
: V V
¨
uber A
u, v := a
(u, v) := a(v, u) definiert. Dann erf¨
ullt die L¨
osung
u
k
X
r
k,0
von (3.4) die folgende Absch¨
atzung:
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L
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M
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2
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1/2
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L
2
(I
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,
Ende der Leseprobe aus 62 Seiten
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