Eine häufig sehr interessante Eigenschaft von Funktionen ist ihr Verhalten im Unendlichen. Man analysiert hier, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. kleiner werdende x-Werte verhält.
Dieses Wissen ist bei Kurvendiskussionen oft hilfreich, da sich das Verhalten oft nicht gleich aus dem Funktionsterm auslesen lässt. Wenn ich weiß, wie die Funktion sich für x gegen Unendlich verhält, bin ich in der Lage, diese Information direkt auf die Skizze zu übertragen und mögliche Fehler frühzeitig zu erkennen.
Es werden hier im Allgemeinen zwei Fälle unterschieden: Die Funktion wächst sozusagen ins Unendliche (∞), oder nähert sich einem bestimmten Grenzwert an, den es durch Umformung des ursprünglichen Funktionsterms zu bestimmen gilt.
In der vorliegenden Facharbeit wird das Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen näher beleuchtet und dabei die vier auftretenden Fälle untersucht.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Gebrochenrationale Funktionen
- Form
- Verhalten im Unendlichen
- Zählergrad < Nennergrad
- Zählergrad > Nennergrad
- Schiefe Asymptoten
- Polynomdivision
- Näherungskurven
- Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Facharbeit untersucht das Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im Unendlichen, insbesondere die Bestimmung von Asymptoten. Ziel ist es, das Verständnis für das Verhalten von Funktionsgraphen für sehr große oder kleine x-Werte zu verbessern und dieses Wissen in Kurvendiskussionen anzuwenden.
- Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im Unendlichen
- Bestimmung von Asymptoten (waagerecht und schief)
- Anwendungsbeispiel zur Kurvendiskussion
- Polynomdivision als Methode zur Analyse
- Näherungskurven
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in die Thematik des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen ein und erläutert die Bedeutung dieser Analyse für Kurvendiskussionen. Es wird auf die Unterscheidung zwischen Funktionen, die ins Unendliche wachsen, und solchen, die sich einem Grenzwert annähern, hingewiesen. Die Arbeit konzentriert sich auf die Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen und deren vier verschiedene Fälle.
Gebrochenrationale Funktionen: Dieses Kapitel definiert gebrochen rationale Funktionen als Quotienten zweier ganzrationaler Polynome. Es werden die Begriffe Zählergrad und Nennergrad eingeführt und die Unterscheidung zwischen echt und unecht gebrochen rationalen Funktionen erläutert. Die allgemeine Form dieser Funktionen wird vorgestellt und die Bedeutung der Unterscheidung zwischen echt und unecht gebrochen rationalen Funktionen im Hinblick auf das Verhalten im Unendlichen hervorgehoben. Die Möglichkeit der Polynomdivision bei unecht gebrochen rationalen Funktionen wird angedeutet.
Gebrochenrationale Funktionen II. Verhalten im Unendlichen (a) Zählergrad < Nennergrad: Dieser Abschnitt behandelt den Fall, in dem der Zählergrad einer gebrochen rationalen Funktion kleiner als der Nennergrad ist. Anhand eines Beispiels wird gezeigt, dass die Funktion sich im Unendlichen der x-Achse (y=0) annähert und somit eine waagerechte Asymptote besitzt. Die allgemeine Asymptotengleichung für diesen Fall (y=0) wird formuliert und graphisch veranschaulicht. Die Bedeutung der Dominanz des Nennergrades für große x-Werte wird betont.
Schlüsselwörter
Gebrochenrationale Funktionen, Asymptoten, waagerechte Asymptote, schiefe Asymptote, Polynomdivision, Grenzwert, Kurvendiskussion, Verhalten im Unendlichen, Näherungskurven, Zählergrad, Nennergrad.
Häufig gestellte Fragen: Facharbeit - Verhalten gebrochen rationaler Funktionen
Was ist der Gegenstand dieser Facharbeit?
Die Facharbeit untersucht das Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im Unendlichen, insbesondere die Bestimmung von Asymptoten. Ziel ist es, das Verständnis für das Verhalten von Funktionsgraphen für sehr große oder kleine x-Werte zu verbessern und dieses Wissen in Kurvendiskussionen anzuwenden.
Welche Themen werden behandelt?
Die Arbeit behandelt folgende Themen: Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im Unendlichen, Bestimmung von Asymptoten (waagerecht und schief), Anwendungsbeispiel zur Kurvendiskussion, Polynomdivision als Methode zur Analyse und Näherungskurven.
Was sind gebrochen rationale Funktionen?
Gebrochen rationale Funktionen werden als Quotient zweier ganzrationaler Polynome definiert. Die Unterscheidung zwischen echt und unecht gebrochen rationalen Funktionen (abhängig vom Verhältnis von Zähler- und Nennergrad) ist entscheidend für ihr Verhalten im Unendlichen.
Wie verhält sich eine gebrochen rationale Funktion im Unendlichen, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist?
Wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, nähert sich die Funktion im Unendlichen der x-Achse (y=0) an. Sie besitzt somit eine waagerechte Asymptote bei y=0. Der Nennergrad dominiert für große x-Werte.
Welche Rolle spielt die Polynomdivision?
Die Polynomdivision ist eine Methode zur Analyse von unecht gebrochen rationalen Funktionen (Zählergrad größer gleich Nennergrad). Sie ermöglicht es, den Funktionsverlauf besser zu verstehen und Asymptoten zu bestimmen.
Welche Arten von Asymptoten werden betrachtet?
Die Arbeit betrachtet waagerechte und schiefe Asymptoten. Waagerechte Asymptoten treten auf, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Schiefe Asymptoten werden im Zusammenhang mit unecht gebrochen rationalen Funktionen behandelt.
Was sind Näherungskurven?
Die Facharbeit erwähnt Näherungskurven, die vermutlich zur Vereinfachung und Visualisierung des Funktionsverhaltens im Unendlichen dienen.
Wie ist die Facharbeit strukturiert?
Die Facharbeit beinhaltet eine Einleitung, Kapitel zu gebrochen rationalen Funktionen (inkl. Verhalten im Unendlichen), Schiefe Asymptoten, Polynomdivision und Näherungskurven, sowie eine Zusammenfassung. Ein Inhaltsverzeichnis und Schlüsselwörter sind ebenfalls enthalten.
Welche Schlüsselwörter beschreiben die Arbeit?
Schlüsselwörter sind: Gebrochenrationale Funktionen, Asymptoten, waagerechte Asymptote, schiefe Asymptote, Polynomdivision, Grenzwert, Kurvendiskussion, Verhalten im Unendlichen, Näherungskurven, Zählergrad, Nennergrad.
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- Evan Ramos (Author), 2014, Schiefe Asymptoten und Näherungskurven, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/283246
