Zyklische Gruppen der Ordnung n bilden genau dann Automorphismengruppen auf einer 1-Faktorisierung des vollständigen Graphen K_n, wenn n ̸= 2^t für t ≥ 3. Im Falle n = 2^t mit t ≥ 3 wird bewiesen, dass es keine zyklische 1-Faktorisierung von K_n gibt, für die anderen Fälle wird die Aussage durch Konstruktion der 1-Faktoren bewiesen. Eine analoge Aussage für abelsche Gruppen ist möglich, wird aber nicht vollständig bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Einführung in die Graphentheorie
- Grundlagen und Definitionen
- Cayley-Graphen
- Faktorisierungen
- Zyklische 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen
- Struktur zyklischer 1-Faktorisierungen
- Konstruktion einer zyklischen 1-Faktorisierung
- Fazit
- Abelsche Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen
- Gruppen der Ordnung 2m (für m ungerade Primzahlpotenz)
- Zusammenfassung
- Beispiel
- Verallgemeinerung
- Zusammenfassung und Ausblick
- Quellenverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Bachelorarbeit befasst sich mit der Untersuchung von Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen. Ziel ist es, zu erforschen, welche zyklischen Gruppen als Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen von vollständigen Graphen auftreten können. Die Arbeit basiert auf der Arbeit von Hartman und Rosa [HR85] und verfolgt deren Beweisführung detailliert nach.
- Zyklische Gruppen als Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen
- Konstruktion von 1-Faktorisierungen mit zyklischen Automorphismengruppen
- Übertragbarkeit der Erkenntnisse auf abelsche Gruppen
- Cayley-Graphen als Hilfsmittel zur Konstruktion von 1-Faktorisierungen
- Anwendung der Graphentheorie auf die Modellierung netzartiger Strukturen
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel führt in die Thematik der Arbeit ein und erläutert die Bedeutung von 1-Faktorisierungen in der Graphentheorie. Es werden die wichtigsten Begriffe und Definitionen aus der Graphentheorie eingeführt, insbesondere im Hinblick auf Cayley-Graphen.
Kapitel 2 widmet sich der Untersuchung von zyklischen 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen. Es wird die Struktur dieser Faktorisierungen analysiert und eine konkrete Konstruktion einer zyklischen 1-Faktorisierung vorgestellt. Der Beweis, dass zyklische Gruppen der Ordnung n genau dann Automorphismengruppen auf einer 1-Faktorisierung des vollständigen Graphen Kn bilden, wenn n ‡ 2ª für t ≥ 3, wird detailliert nachvollzogen.
Kapitel 4 befasst sich mit der Frage, inwiefern die Erkenntnisse über zyklische Gruppen auf abelsche Gruppen übertragbar sind. Es wird ein Spezialfall betrachtet, nämlich Gruppen der Ordnung 2m (für m ungerade Primzahlpotenz). Die Arbeit verweist für allgemeine Aussagen auf die Literatur, da die entsprechenden Überlegungen den Rahmen der Arbeit übersteigen.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen 1-Faktorisierungen, vollständige Graphen, zyklische Gruppen, abelsche Gruppen, Automorphismengruppen, Cayley-Graphen, Graphentheorie, Konstruktion, Beweis, Struktur, Faktorisierung, Mathematik, Modellierung, netzartige Strukturen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine 1-Faktorisierung in der Graphentheorie?
Eine 1-Faktorisierung eines Graphen ist eine Zerlegung der Kantenmenge in perfekte Matchings (1-Faktoren).
Wann existiert eine zyklische 1-Faktorisierung eines vollständigen Graphen?
Dies ist für vollständige Graphen K_n genau dann der Fall, wenn n keine Potenz von 2 (n ≠ 2^t für t ≥ 3) ist.
Was sind Automorphismengruppen in diesem Kontext?
Es sind Gruppen von Symmetrie-Operationen, die die Struktur der 1-Faktorisierung des Graphen unverändert lassen.
Welche Rolle spielen Cayley-Graphen?
Cayley-Graphen dienen als wichtiges Hilfsmittel zur Konstruktion und Visualisierung von Faktorisierungen basierend auf Gruppenstrukturen.
Gilt die Aussage auch für abelsche Gruppen?
Die Arbeit zeigt, dass ähnliche Aussagen für abelsche Gruppen möglich sind, wobei der Fokus auf Gruppen der Ordnung 2m liegt.
- Arbeit zitieren
- Christin Zabelt (Autor:in), 2014, Symmetriegruppen der 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/283093
