Die vorliegende Arbeit mit dem Titel „kompakte topologische Räume“ stellt eine Abhandlung über den Begriff der Kompaktheit in einem Topologischen Raum dar. Was wir unter einem topologischen Raum verstehen wollen, sowie die für diese Arbeit relevanten Begriffe werden in Kapitel 1 „Einführung und Notation“ anschaulich an Beispielen dargestellt. Als Grundlage dieser Arbeit dient uns das Lemma von Zorn. Wegen der bekannten Äquivalenz zum Auswahlaxiom, versetzen wir uns damit auch in die komfortable Lage aus Mengen gewisse Elemente auswählen zu können. Ferner setzen wir Kenntnisse im Umgang mit Mengen und allgemein mit metrischen Räumen voraus und nutzen diese an vereinzelten Stellen aus. In Kapitel 2 „Kompaktheit“ führen wir dann den relevanten Begriff der Kompaktheit ein und studieren seinen Einfluss auf die in Abschnitt 1.3 eingeführten Trennungseigenschaften. Seine Tragweite wird in Satz 2.12 formuliert werden. Nach diesem Abschnitt werden wir Kompaktheit mit einer gewissen Endlichkeitseigenschaft kennen gelernt haben. Das motiviert zu der Vermutung, dass wir in der Unendlichkeit und damit bei Produkten wie sie in Abschnitt 1.2 „Erzeugung topologischer Räume“ eingeführt werden, nicht erwarten kompakte Strukturen vorzufinden. Doch das Gegenteil ist der Fall, das fomulieren wir in Satz 2.21, dem Satz von Tychnoff. Den Beweis führen wir dabei indem wir das Lemma von Zorn 2.20 ausnutzen und dieses auf Ketten von Mengen mit endlicher Durchschnittseigenschaft anwenden werden. Vorab führen wir alle dafür relevanten Begriffen ein. Die Arbeit schließt letztlich mit einem „Ausblick: Metrisierbarkeit“ von topologischen Räumen. Das Wort Ausblick wurde gewählt, da wir uns hier weniger mit der Metrisierbarkeit als solche befassen - dafür fehlen Sätze wie der Metrisierbarkeitssatz von Urysohn -, vielmehr diskutieren wir die Rolle der Kompaktheit in metrischen Räumen und beleuchten einige Konsequenzen die sie mitbringt. So können wir indirekt folgern, dass auf einen kompakten Raum der bestimmte Eigenschaften nicht mitbringt, sinnvoll keine Metrik definiert
werden kann, welche die gegebene Topologie induziert.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einführung und Notation
- 1.1 Topologische Räume
- 1.2 Erzeugung topologischer Räume
- 1.3 Eigenschaften topologischer Räume
- 2 Kompaktheit
- 2.1 Definition und Eigenschaften
- 2.2 Der Satz von Tychonoff
- 2.3 Ausblick: Metrisierbarkeit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit untersucht den Begriff der Kompaktheit in topologischen Räumen, basierend auf [Rin75]. Die Zielsetzung besteht darin, den Begriff der Kompaktheit einzuführen, seine Eigenschaften zu analysieren und seine Beziehungen zu anderen topologischen Eigenschaften, insbesondere Trennungseigenschaften, zu untersuchen. Der Satz von Tychonoff wird bewiesen und die Rolle der Kompaktheit in metrischen Räumen wird diskutiert.
- Einführung in topologische Räume und deren Notation
- Definition und Eigenschaften von Kompaktheit
- Beweis des Satzes von Tychonoff
- Zusammenhang zwischen Kompaktheit und Trennungseigenschaften
- Kompaktheit in metrischen Räumen und Metrisierbarkeit
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung und Notation: Dieses Kapitel legt die Grundlagen für die Arbeit. Es definiert den Begriff des topologischen Raumes, führt verschiedene Notationen ein und diskutiert wichtige Eigenschaften wie offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen und den Abschluss von Mengen. Anhand von Beispielen wie der kofiniten und der diskreten Topologie wird der abstrakte Begriff des topologischen Raumes veranschaulicht und seine verschiedenen Aspekte beleuchtet. Die Definition und Eigenschaften von Umgebungen und Abschlüssen werden detailliert erläutert und mit Beweisen untermauert, welche die Grundlage für spätere Kapitel bilden. Die Notation wird präzise erklärt, um Missverständnisse zu vermeiden.
2 Kompaktheit: Kapitel 2 führt den zentralen Begriff der Kompaktheit ein. Es werden Definitionen und Eigenschaften kompakter Räume präsentiert und deren Einfluss auf die in Kapitel 1 eingeführten Trennungseigenschaften untersucht. Ein Höhepunkt dieses Kapitels ist der Beweis des Satzes von Tychonoff, der zeigt, dass das beliebige Produkt kompakter Räume wieder kompakt ist. Der Beweis verwendet das Lemma von Zorn und konzentriert sich auf Ketten von Mengen mit endlicher Durchschnittseigenschaft. Schließlich wird ein Ausblick auf die Metrisierbarkeit topologischer Räume gegeben, wobei die Rolle der Kompaktheit in metrischen Räumen hervorgehoben wird.
Schlüsselwörter
Kompaktheit, topologischer Raum, Trennungseigenschaften, Satz von Tychonoff, Lemma von Zorn, Metrisierbarkeit, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Umgebungen, Abschluss.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zu "Kompaktheit in Topologischen Räumen"
Was ist der Inhalt dieses Dokuments?
Dieses Dokument bietet einen umfassenden Überblick über das Thema "Kompaktheit in topologischen Räumen". Es enthält ein Inhaltsverzeichnis, die Zielsetzung und Themenschwerpunkte, Zusammenfassungen der Kapitel und wichtige Schlüsselbegriffe. Der Fokus liegt auf der Definition und den Eigenschaften von Kompaktheit, dem Beweis des Satzes von Tychonoff und dem Zusammenhang zwischen Kompaktheit und anderen topologischen Eigenschaften, insbesondere Trennungseigenschaften.
Welche Kapitel sind enthalten?
Das Dokument umfasst zwei Hauptkapitel:
- Kapitel 1: Einführung und Notation: Dieses Kapitel legt die Grundlagen, indem es topologische Räume, deren Notation und wichtige Eigenschaften wie offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen und den Abschluss von Mengen definiert und erläutert. Es verwendet Beispiele wie die kofinite und die diskrete Topologie zur Veranschaulichung.
- Kapitel 2: Kompaktheit: Dieses Kapitel behandelt den zentralen Begriff der Kompaktheit. Es definiert Kompaktheit, untersucht deren Eigenschaften und den Einfluss auf Trennungseigenschaften. Ein wichtiger Bestandteil ist der Beweis des Satzes von Tychonoff. Der Ausblick auf die Metrisierbarkeit und die Rolle der Kompaktheit in metrischen Räumen wird ebenfalls behandelt.
Was ist die Zielsetzung des Dokuments?
Die Zielsetzung ist die Einführung und Analyse des Begriffs der Kompaktheit in topologischen Räumen, basierend auf [Rin75]. Es geht darum, die Eigenschaften von Kompaktheit zu untersuchen und deren Beziehungen zu anderen topologischen Eigenschaften zu beleuchten. Der Beweis des Satzes von Tychonoff bildet einen weiteren Schwerpunkt, ebenso wie die Diskussion der Rolle der Kompaktheit in metrischen Räumen.
Welche Schlüsselbegriffe werden behandelt?
Die wichtigsten Schlüsselbegriffe sind: Kompaktheit, topologischer Raum, Trennungseigenschaften, Satz von Tychonoff, Lemma von Zorn, Metrisierbarkeit, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Umgebungen und Abschluss.
Was wird im Kapitel "Einführung und Notation" behandelt?
Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen fest. Es definiert den topologischen Raum, führt wichtige Notationen ein und erklärt detailliert Eigenschaften wie offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen und den Abschluss von Mengen. Es verwendet Beispiele zur Veranschaulichung der abstrakten Konzepte.
Was wird im Kapitel "Kompaktheit" behandelt?
Kapitel 2 konzentriert sich auf den Begriff der Kompaktheit. Es präsentiert Definitionen und Eigenschaften kompakter Räume und untersucht den Zusammenhang mit Trennungseigenschaften. Der Beweis des Satzes von Tychonoff, unter Verwendung des Lemmas von Zorn, ist ein zentraler Punkt. Der Abschnitt über Metrisierbarkeit und die Rolle der Kompaktheit in metrischen Räumen rundet das Kapitel ab.
Wie wird der Satz von Tychonoff bewiesen?
Der Beweis des Satzes von Tychonoff wird im zweiten Kapitel präsentiert und verwendet das Lemma von Zorn. Der Beweis konzentriert sich auf Ketten von Mengen mit der endlichen Durchschnittseigenschaft.
Für wen ist dieses Dokument geeignet?
Dieses Dokument eignet sich für akademische Zwecke und richtet sich an Personen, die sich mit Topologie auseinandersetzen und ein vertieftes Verständnis von Kompaktheit erlangen möchten.
- Quote paper
- Marcel Dahlmann (Author), 2014, Die Kompaktheit im topologischen Raum, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/281965
