Formelsammlung Mathematik. Aus dem Inhalt: Mengenlehre, Definitionen, Mengenoperationen, Zahlenmengen, Besondere Zahlen (Eulersche Zahl, Pi), Zahlensarstellung, Vollständige Induktion, Bionominalkoeffizient, Komplexe Zahlen, Addition/Subtraktion, Potenzierung/Radizierung, (...).
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ORMELSAMMLUNG
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ATHEMATIK
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Inhaltsverzeichnis
1 Mengenlehre ... 3
1.1 Definitionen ... 3
1.1.1 Beschreibende Form ... 3
1.1.2 Elemente ... 3
1.1.3 Leere
Mengen ... 3
1.1.4 Teilmengen ... 3
1.1.5 Potenzmenge ... 3
1.1.6 Kardinalität ... 3
1.2 Mengenoperationen ... 3
1.2.1 Kommunikativgesetze ... 4
1.2.2 Assoziativgesetze ... 4
1.2.3 Distributivgesetze ... 4
1.2.4 de
Morgansche Regeln ... 4
1.2.5 Folgerungen ... 4
2 Zahlenmengen ... 4
2.1 Definition ... 4
2.2 Besondere
Zahlen ... 5
2.2.1 Eulersche Zahl ... 5
2.2.2 Pi
(
) ... 5
2.3 Zahlendarstellung ... 5
2.3.1 Binärzahl in Dezimalzahl umrechnen ... 5
2.3.2 Dezimalzahl in Binärzahl umrechnen ... 5
2.3.3 Dezimalzahl
in
b-adische Zahl umrechnen ... 5
2.3.4 Hexadezimale
Zahlen
in Dezimalzahlen ... 5
2.3.5 Binärzahlen in Hexadezimale Zahlen ... 5
3 Vollständige
Induktion
... 6
3.1 Beispiel ... 6
3.2 Beispiel
Ungleichungen ... 6
3.3 Binominalkoeffizient ... 7
3.3.1 Definitionen ... 7
3.3.2 Lottozahlen
... 7
3.3.3 Bestimmung
von Teilmengen ... 7
3.3.4 Binomischer Lehrsatz ... 7
4 Komplexe
Zahlen ... 8
4.1 Definition ... 8
4.1.1 Normalform ... 8
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4.1.2 Trigonometrische Form ... 8
4.1.3 Eulersche Form ... 8
4.2 Konjugierte ... 8
4.3 Addition/Subtraktion
... 9
4.4 Multiplikation/Division ... 9
4.5 Potenzierung/Radizierung ... 9
5 Relationen ... 9
5.1 Definitionen ... 9
5.2 Beispiel ... 9
5.3 Darstellung
als Gitternetz ... 10
5.4 Andere
Definitionen ... 10
6
Folgen und Funktionen ... 11
6.1 Definitionen ... 11
6.1.1 Definition ... 11
6.1.2 Beschränktheit von Folgen ... 11
6.1.3 Monotonie ... 11
6.1.4 Eigenschaften ... 11
6.2 Rechnen
mit
Funktionen ... 11
6.3 Grenzwerte ... 12
6.3.1 Definition ... 12
6.3.2 Rechnen
mit Grenzwerten... 12
6.3.3 Stetigkeit
einer Funktion ... 12
6.4 Polynome ... 12
6.4.1 Definition ... 12
6.4.2 Horner-Schema ... 12
6.4.3 Polynomdivision ... 13
6.5 Trigonometrische Funktionen ... 13
6.5.1 Definitionen ... 13
6.5.2 Additionstheoreme ... 13
6.5.3 Bogenmaß
... 14
6.6 Periodische
Funktionen ... 14
6.7 Exponentialfunktion ... 14
6.7.1 Definition ... 14
6.7.2 Rechenregeln ... 14
6.7.3 Grenzwerte
... 15
6.7.4 Eulersche Zahl ... 15
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1 Mengenlehre
1.1 Definitionen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohl unterschiedener Objekte unserer
Anschauung oder unseres Denkens welche die Elemente der Menge genannt werden
zu einem Ganzen.
1.1.1 Beschreibende Form
{
}
E
t
Eigenschaf
hat
x
|
x
A
=
1.1.2 Elemente
A
x
x ist Element von A
A
x
x ist kein Element von A
1.1.3 Leere Mengen
oder {}
Menge, die kein Element enthält
1.1.4 Teilmengen
B
A
A ist Teilmenge von B
B
A
A ist keine Teilmenge von B
Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst, d.h.
A
A
.
Jede Menge A hat die leere Menge als Teilmenge, d.h.
A
.
Ist B
A
und
C
B
, so folgt
C
A
.
Ist B
A
und
A
B
, so folgt
B
A
=
.
1.1.5 Potenzmenge
P(A)
Menge aller Teilmengen der Menge A
1.1.6 Kardinalität
A
Anzahl der Elemente von A
A
2
)
A
(
P
=
B
A
B
A
B
A
-
+
=
1.2 Mengenoperationen
{
}
B
x
und
A
x
|
x
B
A
=
Schnitt von A und B
{
}
B
x
oder
A
x
|
x
B
A
=
Vereinigung von A und B
{
}
B
x
und
A
x
|
x
AB
=
Differenz von A und B (A ohne B)
A
\
M
A
=
Komplementmenge
bezüglich der Grundmenge M
n
2
1
A
...
A
A
×
×
×
Kartesisches Produkt der Mengen A
1
, ... A
n
Die
Elemente
heißen
n-Tupel
)
C
A
(
)
B
A
(
)
C
A
(
A
)
C
A
(
)
B
A
(
)
C
A
(
A
×
×
=
×
×
×
=
×
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1.2.1 Kommunikativgesetze
A
B
B
A
A
B
B
A
=
=
1.2.2 Assoziativgesetze
C
)
B
A
(
)
C
B
(
A
C
)
B
A
(
)
C
B
(
A
=
=
1.2.3 Distributivgesetze
)
C
A
(
)
B
A
(
)
C
B
(
A
)
C
A
(
)
B
A
(
)
C
B
(
A
=
=
1.2.4 de Morgansche Regeln
)
C
\
A
(
)
B
\
A
(
C)
(B
\
A
)
C
\
A
(
)
B
\
A
(
C)
(B
\
A
=
=
1.2.5 Folgerungen
Es sei M = Grundmenge, A, B sind Teilmengen von M.
A
)
B
A
(
A
A
)
B
A
(
A
A
A
A
A
A
A
=
=
=
=
A
M
A
M
M
A
=
=
B
A
B
A
B
A
B
A
A
A
A
A
;
A
M
A
A
;
A
A
=
=
=
=
=
=
=
B
A
B
\
A
=
2 Zahlenmengen
2.1 Definition
N = {1, 2, 3, ...}
Menge der natürlichen Zahlen
Z = {-2, -1, 0, 1, 2, ...}
Menge der ganzen Zahlen
Q =
}
0
b
,
Z
b
,
Z
a
|
b
a
{
Menge der rationalen Zahlen
R
Alle Zahlen, die als Punkte auf der Zahlengeraden dargestellt werden heißen
reelle
Zahlen
R\Q Die Menge ,,R ohne Q" heißt Menge der irrationalen Zahlen
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2.2 Besondere Zahlen
2.2.1 Eulersche Zahl
7182818285
,
2
e
Gebraucht wird diese z.B. bei der Verzinsung:
n
n
n
100
p
1
K
K
+
=
Endkapital nach einem Jahr, bei n Verzinsungszeiträumen
100
p
e
Maximale Verzinsung bei noch so großem n
2.2.2 Pi (
)
1415926536
,
3
Benötigt z.B. bei der Flächenberechnung von Kreisen:
r
2
U
r
A
2
=
=
2.3 Zahlendarstellung
2.3.1 Binärzahl in Dezimalzahl umrechnen
101010
2
= 1
2
5
+ 0
2
4
+ 1
2
3
+ 0
2
2
+ 1
2
1
+ 0
2
0
= 32 + 8 + 2 = 42
2.3.2 Dezimalzahl in Binärzahl umrechnen
Funktioniert analog zu 2.3.3:
1
st
Re
0
2
:
1
1
st
Re
1
2
:
3
0
st
Re
3
2
:
6
1
st
Re
6
2
:
13
=
=
=
=
Gesuchte Binärzahl: 1101
2
2.3.3 Dezimalzahl in b-adische Zahl umrechnen
1) Man dividiere m durch b und notiere den Rest der Division.
2) Man dividiere das Divisionsergebnis durch b und notiere wieder den Rest dieser
Division.
3) Man wiederhole Schritt 2, bis als Divisionsergebnis 0 auftritt.
4) Man schreibe die aufgetretenen Reste in der umgekehrten Reihenfolge ihres
Auftretens als b-adische Zahl.
2.3.4 Hexadezimale Zahlen in Dezimalzahlen
Bestehen aus den Ziffern 1-9 und den Buchstaben
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15
3FB
16
= 3
16
2
+ F
16
1
+ B
16
0
= 768 + 240 + 11 = 42
2.3.5 Binärzahlen in Hexadezimale Zahlen
13
1
4
8
7
1
2
4
6
2
4
1101
0111
0110
=
+
+
=
+
+
=
+
Excerpt out of 15 pages
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- Quote paper
- Patrick Schimmel (Author), 2007, Formelsammlung Mathematik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/279528
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