Die Arbeit , da sie sich mit der Schönheit der mathematischen Muster in Parkettierungen beschäftigt, ist eine Art Liebeserklärung an die Mathematik. Sie behandelt im fachlichen Teil zunächst die Frage, was eigentlich Mathematik ist - kein schlichtes Jonglieren mit Zahlen, sondern eine musterhafte Wissenschaft im wahrsten Sinne des Wortes. Anschließend geht sie auf die räumlichen Fähigkeiten ein, die eine wichtige Rolle für das Bewältigen von Mathematik spielen und ganz besonders in der Geometrie zu tragen kommen. Diese ist in der Welt der Symmetrie schier unerschöpflich, was die vielen verschiedenen Symmetriegruppen eindrucksvoll am Beispiel von L-Parketten zeigen. Der didaktische Teil der Arbeit wertet eine Untersuchung aus, die in einer sechsten Klasse einer Realschule durchgeführt wurde. Die Schüler sollten selbst L-Parkette entwerfen und Parkette fortsetzen. Außerdem sollten sie angeben, was für sie Mathematik ist und wie schwer oder leicht ihnen das Arbeiten mit Parketten fiel. Die Schülerleistungen werden in Diagrammen übersichtlich ausgewertet und didaktisch kommentiert. Die Arbeit zeigt, was sie in ihrem Schlusssatz sagt: "Wer die Mathematik erfolgreich anwenden will, muss Phantasie besitzen und träumen können."
Inhalt
1. Einleitung
2. Mathematik - eine musterhafte Wissenschaft?
2.1 Was ist Mathematik?
2.2 Was befähigt uns Mathematik zu betreiben?
2.2.1 Die numerisch-logischen Fähigkeiten
2.2.2 Die räumlichen Fähigkeiten
3. Was ist Geometrie?
3.1 Die Welt der Geometrie
3.2 Geometrie lernen
4. Formenmuster
4.1 Symmetrie
4.1.1 Symmetrien
4.1.2 Symmetriegruppen
4.2 Ornamente
4.2.1 Bandornamente
4.2.2 Flächenornamente
5. Untersuchung zu Parketten in einer sechsten Klasse
5.1 Planung der Untersuchung
5.1.1 Klassensituation
5.1.2 Überlegungen zur Methodik
5.1.3 Überlegungen zur Didaktik
5.1.4 Überlegungen zur Auswertung
5.2 Reflektion der Durchführung
6. Ergebnisse der empirischen Untersuchung
6.1 »Deine Meinung ist gefragt« - Schülerstimmen zu musterhafter Mathematik
6.1.1 Aspekt der Selbsteinschätzung der figurativen Intelligenz
6.1.2 Aspekt des mathematischen Weltbildes
6.2 Aspekt der figurativen Intelligenz
6.2.1 »Wie geht es weiter?« - Schüler erweitern Muster
6.2.2 »Wie viele L-Parkette findest du?« - Schüler erfinden L-Parkette
7. Zusammenfassung und Fazit
Literatur
„Aus der richtigen Perspektive betrachtet besitzt Mathematik nicht nur Wahrheit, sondern auch erhabenste Schönheit - eine kalte und strenge Schönheit wie die einer Statue ... von höchster Klarheit und Perfektion, zu der nur allergrößte Kunst fähig ist.“
Bertrand Russel (1872-1970), Britischer Philosoph, Mathematiker und Logiker
1. Einleitung
Bei der Suche nach der Antwort auf die Frage, was Mathematik ist, hört man Äußerungen wie »Mein persönlicher Horror...«, »Etwas, was man nach der Schule nie mehr braucht!«, »Hat mich fast mein Abitur gekostet...«, »Alles, was mit Zahlen zutun hat...«, »Nur was für Freaks...«, »Hab‘ ich nie gekonnt...« oder vielleicht »Die Wissenschaft von den Zahlen« - diese letzte Antwort wäre wohl noch die angemessenste unter vielen zu erwartenden auf diese Frage, die oftmals zuallererst von reflexartigem Unmut beantwortet wird.
Die Wissenschaft spricht heute mehrheitlich von der »Wissenschaft der Muster«, wenn sie Mathematik definiert, außerdem kann sie die Fähigkeiten, die wir anwenden, wenn wir Mathematik betreiben, ziemlich genau benennen - darum geht es im ersten Teil meiner Arbeit. Dazu beziehe ich mich in der Hauptsache auf den amerikanischen Mathematiker und Wissenschaftsjournalisten Keith Devlin sowie auf den französischen Neurowissenschaftler Stanislas Dehaene. Die Suche nach dem Zahlensinn zeigt, dass unser Gehirn, ganz im Gegensatz zum elektronischen Rechner, nicht optimal auf exaktes Rechnen eingestellt ist, sondern als eine Art »Mustererkennungsorgan« fungiert. Die Fähigkeit, Muster und Ähnlichkeiten zu erkennen, gehört zu den größten Stärken des menschlichen Gehirns. Vor diesem Hintergrund scheint das Fördern der räumlichen Intelligenz weit wichtiger zu sein als das oft einseitige Beanspruchen der numerischen Fertigkeiten durch einen zahlenfixierten Umgang mit der Mathematik in der Schule, der Kinder oftmals zu sogenannten »Zahlenanalphabeten« macht, wie Dehaene es ausdrückt. Weil zu viel Zeit für „das mechanische Erlernen der Arithmetik“ verwendet wird, werden viele Kinder erwachsen ohne jedes tiefere Verständnis für Rechenprinzipien - sie können rechnen, jedoch nicht denken.[1]
Der Professor für Mathematikdidaktik Peter Berger spricht in diesem Zusammenhang von der etwas weiter gefassten »figurativen Intelligenz« und hält sie für eine Art »mathematische Basisintelligenz«, die das Zahlenverständnis maßgeblich fördert und sogar vorbereitet. Es scheint ziemlich wahrscheinlich, dass diese figurative Intelligenz dem Individuum schon früh zur Verfügung steht - unabhängig von Kultur und Schulbildung - wie eine empirische Untersuchung von Dehaene und Kollegen zeigt. Sie verglichen die geometrischen Grundkenntnisse amerikanischer Kinder mit denen eines Eingeborenenstammes aus Amazonien und stellten fest, dass eine hohe Prozentzahl an Probanden der »Mundurukú« geometrische Phänomene erkannten, obwohl sie bis dahin nahezu keinen Zugang zu Schulbildung oder geometrischen Messgeräten gehabt hatten.[2]
Die Wichtigkeit dieser Fähigkeiten betont auch der US-amerikanische Neurologe und Professor für Erziehungswissenschaften Howard Gardner, wenn er bemerkt, dass die räumlichen Kapazitäten gebraucht werden zur Problembewältigung und Orientierung an verschiedenen Orten beim Umgang mit Objekten, Szenen, graphischen Abbildungen oder symbolischen Darstellungen.[3]
Der Verhaltensforscher Konrad Lorenz hält es sogar für mehr als wahrscheinlich, dass das gesamte Denken der Menschen aus den „von der Motorik gelösten Operationen im ‚vorgestellten‘ Raum seinen Ursprung genommen hat“ - die Raumvorstellung sei daher die unentbehrliche Grundlage für komplexe Denkakte.[4] Ebenso nennt der Kunstpsychologe Rudolf Arnheim die räumliche Vorstellung die erste Quelle des Denkens, wenn er befindet, dass die wichtigsten Denkoperationen direkt aus der Wahrnehmung der Welt entstammen.[5] Bei der Betrachtung dieser figurativen Intelligenz gehe ich zunächst knapp auf die Theorie der »multiplen Intelligenzen« ein, die Gardner vor nunmehr zwanzig Jahren prägte, gebe einen Überblick über den logisch-mathematischen Intelligenzbereich, um dann ausführlicher auf die räumlichen Fähigkeiten einzugehen.
Anschließend wird der Bereich der Mathematik aufgegriffen, der sich ganz offensichtlich mit Mustern und Figuren beschäftigt - die Geometrie. Was ist Geometrie eigentlich und wie sieht das Betreiben von Geometrie in der Schule aus? Zumeist geht es um Formen, die näher untersucht werden sollen im Hinblick auf ihre Eigenschaften - schlussendlich wird auch in der Geometrie hauptsächlich gerechnet, wenn es beispielsweise darum geht, fehlende Seiten rechtwinkliger Dreiecke mithilfe des Satzes von Pythargoras oder Flächen beziehungsweise Rauminhalte geometrischer Objekte anhand ihrer Formeln zu bestimmen.
Wie wichtig jedoch der konkrete Umgang mit Figuren ist, zeigen außerdem die Forschungen zur Entwicklung des mathematischen Denkens auf dem Gebiet der Kognitionspsychologie zu Beginn des 20. Jahrhunderts, aus denen bis heute didaktische Prinzipien abgeleitet werden. Ich gehe zum einen auf die Theorie der in Stufen ablaufenden Denkentwicklungen des Schweizer Experimentalpsychologen Jean Piaget ein, sowie auf die Weiterentwicklung dieser Lerntheorie durch den amerikanischen Kognitionspsychologen Jérôme Seymour Bruner.
Blicken wir hinter die Gestalt geometrischer Objekte, beschäftigen wir uns wiederum mit Mustern, die wir näher untersuchen können, »Formenmuster«, wie Devlin es nennt. Sie werden beispielsweise in Symmetrien sichtbar. Symmetrie empfinden wir im Alltag zumeist als angenehm, oftmals als schön oder aber auch als ordentlich. Manche Künstler oder Architekten hingegen versuchen ganz bewusst, sie aufzubrechen, weil sie hohe Grade an Symmetrie für langweilig oder konventionell halten. Die Mathematik koppelt die Symmetrien von den Objekten ab und untersucht die verschiedenen Symmetrien als Klasse für sich, indem sie die Auswirkungen symmetrischer Operationen verallgemeinert und verschiedene Symmetriegruppen unterscheidet. Bei diesen Ausführungen beziehe ich mich ebenfalls zu einem großen Teil auf Keith Devlin und sein Werk » Muster der Mathematik«.
Symmetrieabbildungen, die gedanklich unendlich fortgesetzt werden, schaffen Muster, die einer bestimmten Struktur folgen - um diese Muster, auch Ornamente genannt, soll es im Anschluss gehen. Ich gehe zunächst eher knapp auf die Struktur der Bandornamente ein, die sich nur in eine Richtung fortsetzen, um danach in die Welt der Flächenornamente einzutauchen - die Parkettierungen.
Dieses Stichwort wird erst mal nicht unbedingt mit Mathematik in Verbindung gebracht und galt bis vor zwanzig Jahren denn auch als ein eher obskurer mathematischer Zweig, der lediglich Teil der Unterhaltungsmathematik war. Inzwischen ist das Studium der Parkettierungen jedoch ein blühendes mathematisches Forschungsgebiet mit einer Reihe überraschender Anwendungen auch in anderen Gebieten der Mathematik und bei praktischen Aufgaben wie der Güterverteilung oder dem Entwurf von Schaltkreisen. Bei dem nunmehr gestiegenen Interesse, merken die Mathematiker, dass sie Vieles auf diesem Gebiet noch nicht verstehen und, so Devlins Anmerkung, „es zeigt sich auch hier wieder, dass tiefliegende mathematische Probleme aus allen Bereichen unseres Lebens hervorgehen können.“[6]
Das mathematische Interesse an Parketten basiert auf der Frage, mit welchen Formen und auf welche Art und Weise die Ebene lückenlos bedeckt werden kann - vergleichbar mit der Grundfrage der Atomtheorie nach dem Aufbau der Materie oder der der Primzahlen, in die sich alle Zahlen multiplikativ zerlegen lassen. Ich beleuchte die verschiedenen Möglichkeiten der Parkettierungen von den regelmäßigen Polygonen bis hin zu den Fabelwesen des niederländischen Künstlers Maurits Cornelis Escher, um dann auf »L-Parkette« näher einzugehen.
Beim Parkettieren mit L-förmigen konkaven Sechsecken habe ich mich selbst in der Konstruktion sowie der Rekonstruktion der Unendlichkeit versucht, indem ich einige L-Parkette den verschiedenen Symmetriegruppen zugeordnet habe, oder auf der Grundlage einer bestimmten Symmetriegruppe ein Parkett gezeichnet habe. Dieser Teil der Arbeit hat mich in vielerlei Hinsicht gefordert, nichtsdestotrotz großen Spaß gemacht und mich in eine faszinierende Musterwelt entführt - jede Pflasterung auf der Straße hat eine neue Bedeutung bekommen. Dazu hat auch die Beschäftigung mit den Werken des Künstlers Escher maßgeblich beigetragen. Die „ Schönheit dieser unendlichen Welt-in-einer-verschlossenen-Fläche“, wie er es selbst einmal nannte,[7] fesseln den Beobachter und zwingen geradezu zum Verstehenversuchen. Der von der Gesetzen der regelmäßigen Flächenaufteilung faszinierte Escher fühlte sich nicht selten hin- und hergerissen zwischen der Welt der Kunst und der der Mathematik - von Kollegen in der Kunstszene fühlte er sich zunehmend missverstanden je mehr er sich der Gehirngymnastik seiner Puzzlespielereien hingab.[8]
Mathematik oder doch eher Kunst? Mit der Beantwortung dieser Frage geben mir Schüler - mit »Schüler« sind in dieser Arbeit stets beide Geschlechter angesprochen, wenn keine anderen Angaben gemacht werden - einer sechsten Klasse Einblicke in ihr Bild von der Mathematik, wenn sie entscheiden sollen, ob sie das Zeichnen von Parketten eher für Kunst oder für Mathematik halten.
Mit den Überlegungen zur Unterrichtsplanung im Zuge der Untersuchung zur figurativen Intelligenz am Beispiel von Parketten beginnen die didaktische Ausarbeitung und der empirische Teil der Arbeit. Er steht unter dem Zeichen, Schüler beim Betreiben von Geometrie, also dem Anwenden ihrer räumlichen Fähigkeiten, zu beobachten.
Nachdem ich bereits erwähnt habe, dass diese Fähigkeiten sehr hilfreich beim Denken sind, ja nach Meinung einiger Autoren sogar die Voraussetzung dafür bilden, ist es jedoch schwierig Einblicke, in diese Vorzustellungen zu bekommen, da die Darstellung dieses Wissens problematisch ist. Es ist gemäß Gardner schwierig, definitive Aussagen über das figurative Wissen von Kindern zu machen, da es ihnen schwer fällt, erworbenes Wissen über räumliche Anordnungen durch eine Reihe von Einzelerfahrungen zu einem einzigen strukturierten Ganzen zu kombinieren. In der Darstellung bleibt ihr Wissen bruchstückhaft, auch wenn das Raumverständnis des Kindes Fortschritte macht, bleibt der Ausdruck dieses Wissens über eine andere Intelligenz oder einen symbolischen Code problematisch.[9]
Aus diesem Grund kann ich bei der Auswertung der Schülerarbeiten keine Kompetenzstufen checklistenartig abarbeiten, sondern lediglich eine Art Portrait der räumlichen Schülerfähigkeiten erstellen, das ich von ihrem Umgang mit Parketten ableite. Als didaktischer Bezug dienen mir sowohl die Forderungen, die in diesem Zusammenhang an die Grundschulmathematik gestellt werden als auch die Theorie des geometrischen Denkens des Ehepaars van Hiele, das unter der Förderung des niederländischen Mathematikers und Mathematikdidaktikers Hans Freudenthal geometrische Denkniveaus erforschte.
Vor diesem Hintergrund wird gefragt, inwieweit die Sechstklässler (noch) eine kreative, entdeckende Sicht auf die Mathematik haben, und wie sie mit Mustern und Strukturen der Ebene in Form von Parkettierungen umgehen. Diese Haltungen und Fähigkeiten sind wichtig für das Problemlösen in allen mathematischen Gebieten, denn auch in der Schulmathematik gilt, dass es stets um Muster und Regelmäßigkeiten geht.
Muster in der Mathematik, jedoch auch in Alltag, Kunst und Architektur sind nach einer gewissen Regel arrangiert. Muster erkennen beziehungsweise decodieren sowie Muster erzeugen, das heißt verschlüsseln oder auch codieren, gehören zu zwei großen Grundkompetenzen, den sogenannten »Big Ideas« der mentalen Fähigkeiten des Menschen. Ihre Anwendung reicht weit über den mathematischen Bereich hinaus - daher sind diese Kompetenzen auch universell zu nennen.
Die Mathematikdidaktikerin Miriam Lüken spricht in diesem Zusammenhang von einem »Struktursinn«, der „in Anlehnung an den Begriff des Zahlensinns die Leichtigkeit und Beweglichkeit im Umgang mit Mustern und Strukturen“ bezeichnet und nachgewiesenermaßen von essentieller Bedeutung für das mathematische Lernen ist.[10]
Wenngleich im Rahmen meiner Untersuchung keinesfalls der Beweis angetreten werden kann, dass erfolgreiches Mathematiklernen im Zusammenhang mit einem gut ausgebildeten Struktursinn steht, so ist diese Arbeit nichtsdestotrotz ein Plädoyer für die faszinierende Musterwelt der Mathematik.
2. Mathematik - eine musterhafte Wissenschaft?
Zur Erklärung des Phänomens, warum viele Menschen Mathematik so schwierig finden, findet Keith Devlin folgende Analogie. Er vergleicht die Welt der Mathematik mit einem Haus, in dem wir uns bewegen, wenn wir Mathematik betreiben - und nur dann. In allen anderen Fällen betreten wir das Haus erst gar nicht, sondern befassen uns nur mit den Bauplänen dieses Gebäudes. Wir werden keine klare Vorstellung von dem Inneren des Gebäudes entwickeln, wenn unsere einzige Informationsquelle ein Bauplan ist, der in abstrakter Fachsprache verfasst und mit unverständlichen Symbolen versehen ist. Nicht, dass wir nicht im Stande wären, uns ein Gebäude vorzustellen, wenn wir wüssten, dass der Plan ein solches beschreibt.
Ähnlich geht es vielen Menschen im Umgang mit der Mathematik - es ergibt irgendwie keinen Sinn. „Nicht, dass sie die dahinterstehende Mathematik nicht verstehen würden“, so Devlin, „sie dringen noch nicht einmal zu dieser vor!“[11] Das wirft die Frage auf, was Mathematik eigentlich ist, wenn es nicht das ist, was wir aus dem Schulalltag kennen.
2.1 Was ist Mathematik?
Die meisten Menschen verbinden mit Mathematik vor allem das Operieren mit Zahlen. Und doch ist diese Definition seit mehr als 2 500 Jahren überholt - die Lehre von den Zahlen war die Mathematik tatsächlich nur bis 500 Jahre vor Christus - bis dahin beschäftigten sich die alten Ägypter, Babylonier und Chinesen fast ausschließlich mit Arithmetik, weitgehend anwendungsorientiert der Art, , man nehme eine Zahl und stelle dies und das mit ihr an und man erhält ein Ergebnis ‘.
In den darauffolgenden 800 Jahren betrachteten die alten Griechen die Zahlen auf eine geometrische Art und Weise, als Maßzahlen für Längen - für sie behandelte die Mathematik Zahlen und Formen. Sie wandelte sich von einer Sammlung von Vorschriften zum Messen und Zählen und für die Buchhaltung in eine akademische Disziplin mit ästhetischen und sogar religiösen Elementen. Um 350 vor Christus veröffentlichte der griechische Mathematiker Euklid sein 13-bändiges Mammutwerk »Elemente « - nach der Bibel das meistverbreiteste Buch aller Zeiten.
In den folgenden Jahrhunderten entwickelte sich die Mathematik insbesondere in Arabien und China weiter - gegen Ende des ersten Jahrtausends gelangte die bahnbrechende Erfindung der »Null« von Indien in den arabischen Raum und letztendlich auch nach Europa. Doch die Inhalte der Mathematik änderten sich nicht wesentlich bis zur Mitte des 17. Jahrhunderts, in dem die Differentialrechnung entwickelt wurde - von Isaac Newton in England und Gottfried Wilhelm Leibnitz in Deutschland. Diese neue Technik versetzte Mathematiker und Physiker in die Lage, Bewegungen und Veränderungen von Phänomenen wie das Fallen von Körpern, das Wachstum von Pflanzen und Tieren, Zu- und Abnahmen von Gewinnen in der Wirtschaft und vieles mehr zu beschreiben. Zu Beginn noch sehr anwendungsorientiert, wurde die Differentialrechnung selbst sukzessive ein weiteres Gebiet der Mathematik, auf das Schüler der gymnasialen Oberstufe nur zu gerne verzichten würden. „Zum Ende des 19. Jahrhunderts war Mathematik die Lehre von den Zahlen, geometrischen Formen, Bewegungen, Veränderungen, des mehrdimensionalen Raums und der Methoden, die bei deren Untersuchung eingesetzt wurden, geworden. Und dies war der Beginn der modernen Mathematik“, so Keith Devlin.[12]
Von nun an vermehrte sich das mathematische Wissen geradezu explosiv, es benötigte wohl an die 100 000 Bücher, um es aufzuschreiben, so Devlin weiter. Angesichts dieser Ausdifferenzierung lautet die häufigste Antwort auf die Frage, was Mathematik sei, »Mathematik ist die Wissenschaft der Muster«. Unterschiedliche Muster, wie beispielsweise ›Muster des Zufalls‹ oder ›Muster des Zählens‹ führen zu unterschiedlichen Zweigen der Mathematik.[13]
Mathematik als Lehre von den Mustern wurde schon vor Devlin von verschiedenen Mathematikern geprägt - er zitiert den 2008 verstorbenen englischen Mathematiker und Mathematikdidaktiker Walter Warwick Sawyer, der Mathematik schon 1955 in seinem Buch » Prelude to Mathematics« wie folgt beschreibt:
„Für den Zweck dieses Buches können wir sagen, dass Mathematik die Wissenschaft »von der Klassifizierung und Untersuchung aller möglicher Muster« ist. Der Begriff »Muster« wird hier in einer Art und Weise verwendet, die auf Widerspruch stoßen könnte. Er sollte nämlich in einer sehr allgemeinen Weise verstanden werden, als praktisch ›jede Art von Regelmäßigkeit‹ umfassend, ›die der Geist erkennen kann‹. Das Leben und insbesondere geistige Aktivitäten sind nur dadurch möglich, dass es bestimmte Regelmäßigkeiten gibt. Ein Vogel erkennt die regelmäßigen gelben und schwarzen Streifen einer Wespe. Der Mensch erkannte irgendwann, dass dem Säen von Samen das Wachsen von Pflanzen folgt. In beiden Fällen erkennt eine Gehirnstruktur ein Muster.“ [14]
Der ebenfalls 2008 verstorbene amerikanische Mathematiker Andrew Mattei Gleason stellt ein ähnliches Verständnis von Mathematik zur Debatte - in einem Artikel für die Oktoberausgabe des » Bulletin of the American Academy of Arts and Sciences« im Jahr 1984 schreibt er:
„Mathematik ist die Wissenschaft von Ordnung im Sinne von Regelmäßigkeiten und Mustern. Ziel der Mathematik ist die Identifizierung und Beschreibung solcher Ordnungen, Arten von Ordnungen und der Zusammenhänge, die zwischen diesen verschiedenen Formen von Ordnung bestehen.“ [15]
Devlin versucht die Definition kürzer zu fassen und schlägt folgende Beschreibung vor: »Mathematik ist die Wissenschaft von Ordnungen, Mustern, Strukturen und logischen Beziehungen«. Wenn jedoch klar sei, was im mathematischen Sinne mit Mustern gemeint ist, kann Mathematik auch ganz knapp »Wissenschaft von den Mustern« genannt werden.[16] Miriam Lüken beschreibt den Begriff »Muster« wie folgt: „Unter einem Muster soll das geordnete Ganze, jegliche räumliche oder numerische Regelmäßigkeit verstanden werden. Die Art und Weise, in der das Ganze gegliedert ist, die Beziehung zwischen den verschiedenen Bestandteilen, sei die Struktur des Musters.“[17]
Die Muster und Beziehungen, mit denen sich die Mathematik beschäftigt, kommen überall in der Natur vor - es gibt sie in den Symmetrien von Schneeflocken, in Umlaufbahnen von Himmelskörpern, in der Anordnung der Flecke eines Tierfelles, im Stimmverhalten der Bevölkerung bei einer Wahl, bei der statistischen Auswertung von Zufallsergebnissen beim Roulettespiel oder beim Würfeln, in Beziehungen zwischen Wörtern, die einen Satz ergeben, den Lautmustern, oder in Klangmustern - der Musik. Wir können also zusammenfassend mit Devlins Worten sagen: „Mathematik handelt nicht von Zahlen, sondern vom Leben. Von unserer Welt, in der wir leben. Von Ideen. Und sie ist überhaupt nicht langweilig und steril, wie so oft behauptet wird, sondern voller Kreativität.“[18]
Warum erscheint sie uns dennoch oft so lebensfern - ja unmenschlich? Das liegt an den abstrakten Symbolen, die sie verwendet, da die Muster, die die Mathematik untersucht, abstrakte Muster sind. Man kann sie sich „als eine Art »Skelett« aller Dinge und Erscheinungen unserer Welt vorstellen“, so Devlin. Mathematiker betrachten einen bestimmten Aspekt unserer Welt, etwa eine Blume oder eine Partie Skat und nehmen sich lediglich eine besondere Eigenschaft dieses Phänomens vor und lassen dann alle spezifischen Besonderheiten beiseite - „sie untersuchen das rein abstrakte Skelett“, das mache eben auch eine abstrakte Notation erforderlich, so Devlin weiter. Hinter diesen Symbolen verbergen sich die dargestellten Muster.[19] Welche Fähigkeiten brauchen wir nun, um diese Muster zu durchschauen?
2.2 Was befähigt uns Mathematik zu betreiben?
Auf der Suche nach der mathematischen Intelligenz lässt sich bis heute nicht nachweisen, dass große Rechenkünstler ein größeres Gehirn hätten als andere Menschen oder eine besondere biologische Ausstattung sonstiger Art. Es ist offensichtlich die leidenschaftliche Beschäftigung mit den Zahlen, die den Unterschied macht. Dehaene unterscheidet unter den Rechenkünstlern zwischen den Profis, den Mußevollen und den sogenannten »idiots savants«, Menschen mit einer Inselbegabung. Allen drei Gruppen ist die intensive Beschäftigung mit dem Rechnen gemein. Im Fall der Profis ist es der Beruf, der arithmetische Kenntnisse verlangt und somit eine ständige Beschäftigung mit ihnen zur Folge hat. Zu den Mußevollen zählen diejenigen, die zum Zeitvertreib rechnen, weil ihr Beruf sie nicht ausfüllt, während im dritten Fall die Leidenschaft für Zahlen pathologisch bedingt und oft ein Symptom für das fehlende Interesse an menschlichen Beziehungen ist.[20]
Die mathematischen Fähigkeiten haben also eine Entwicklungsgeschichte - sie werden nach Gardner jedoch oft mit einem gesellschaftlichen Funktionsbereich verwechselt oder vermengt. Treffender wäre es beispielsweise von einer Entwicklung eines Mathematikers in einem gesellschaftlichen Funktionsbereich zu sprechen und nicht von der Entwicklung der mathematischen Intelligenz.[21] Gardner versteht Intelligenz als „ als biopsychisches Potenzial zur Verarbeitung von Informationen, das in einem kulturellen Umfeld aktiviert werden kann, um Probleme zu lösen oder geistige oder materielle Güter zu schaffen, die in einer Kultur hohe Wertschätzung genießen. “ Wichtig ist ihm, dass die Begabung ein Potential ist, vermutlich neuraler Art, dessen Aktivierung von den Werten einer bestimmten Kultur abhängig ist, sowie von den Entscheidungen, die von einem selbst oder Personen aus dem Umfeld, wie Lehrern oder Eltern, getroffen werden - nicht etwa sichtbare oder zählbare Dinge.[22]
Durch seine Theorie der vielfachen, auch multiplen Intelligenz en, war Intelligenz als zu definierende und messbare Fähigkeit nicht länger Gegenstand einer einzigen Forschungsdisziplin unter dem Blickwinkel der Testpsychologie, sondern Forschungsgegenstand zahlreicher weiterer Disziplinen.[23] Gardner spricht von sieben verschiedenen, voneinander unabhängig existenten Intelligenzen, die er wie folgt definiert:
Erstens spricht er von der sprachlichen Intelligenz, die den Umgang und das Erlernen von Sprache anzeigt, zweitens von der logisch-mathematischen Intelligenz, die logisches Analysieren und mathematisches Operieren einschließt. Diese beiden Intelligenzen dominieren die geläufigen Intelligenztests, stehen also vor allem in der wissenschaftlichen Welt traditionell für den Grad der Intelligenz. Gardner spricht jedoch drittens von der musikalischen Intelligenz, die sich durch Begabung zum Musizieren und Sinn für musikalische Prinzipien äußert, viertens von der körperlich-kinästhetischen Intelligenz, die durch gute Körperbeherrschung auffällt, sowie fünftens von der räumlichen Intelligenz - sie steht für den theoretischen und praktischen Sinn großer Räume und zeigt in unterschiedlichen Kulturen ganz verschiedene Ausprägungen. Schlussendlich zählt er ebenfalls Personalkompetenzen zum Intelligenzspektrum - zum einen nennt er sechstens die interpersonelle Intelligenz, die vom erfolgreichen Umgang mit Menschen gekennzeichnet ist, sowie siebtens die intrapersonelle Intelligenz, die die Fähigkeiten im verstehenden Umgang mit sich selbst zeigt. Er unterstreicht bei dieser Aufzählung, dass die Liste durchaus verlängerbar sei, es also weitere Bereiche gibt, die aufgenommen werden könnten. Außerdem ist in jeder Intelligenz ein Areal von Subintelligenzen eingeschlossen.[24]
Bei den mathematischen Fähigkeiten folgt er dem amerikanischen Ingenieur und Psychologen Louis Leon Thurstone, der 1937 als einer der ersten die Raumvorstellung als eigenständige Form der Intelligenz definiert hat - dieser spricht jedoch von einer Intelligenz, die er in sieben verschiedene Primärfaktoren aufteilt. Im Bereich der mathematischen Fähigkeiten unterscheidet er den Faktor N („number“), die Rechenfähigkeiten, den Faktor S („space“) mit dem räumlichen Vorstellungsvermögen sowie den Faktor R („reasoning“), der das logische und schlussfolgernde Denken beschreibt.[25]
Die Fähigkeiten, die uns Mathematik betreiben lassen, können demnach in drei Bereiche aufgeteilt werden, den numerischen, den logischen sowie den figurativen Bereich. Bei den anschließenden Betrachtungen zum numerisch-logischen Bereich beziehe ich mich hauptsächlich auf Keith Devlin, bei den räumlichen Fähigkeiten folge ich größtenteils den Ausführungen der 2007 verstorbenen Professorin für Mathematikdidaktik Marianne Franke.
2.2.1 Die numerisch-logischen Fähigkeiten
Unter die numerischen Fähigkeiten fällt der Zahlensinn - der Sinn für Anzahlen. Wir Menschen, sowie einige Tierarten, können zwischen einem, zwei oder drei Objekten unterscheiden - diese Fähigkeit ist angeboren. Sie hat sich im Laufe der biologischen und der kulturgeschichtlichen Evolution beim Menschen, sowie in eingeschränkter Form auch bei manchen Tieren, herausgebildet und die Entwicklung der Mathematik geprägt.
Hinzu kommt die Numerische Kompetenz, die uns zählen lässt und - im Unterschied zu den Tieren - die Reihe der Zahlen beliebig weit fortsetzen lässt. Dies müssen wir allerdings schon lernen - sowie jede weitere Fähigkeit auch. Schließlich haben wir mit den algorithmischen Fähigkeiten, die uns eine Reihe unterschiedlicher Operationen mit Zahlen durchführen lassen, die dritte und letzte Hauptvoraussetzung, um Arithmetik betreiben zu können.
Im Bereich der Logik, der über das bloße Rechnen hinausgeht, sind es fünf Kernfähigkeiten, die uns zu höherer Mathematik befähigen. Da ist zunächst die Fähigkeit zu abstrahieren, gemäß Keith Devlin, die größte Hürde bei der höheren Mathematik. Dazu kommt ein Sinn für Ursache und Wirkung, den wir, wiederum wie viele Tierarten, früh erwerben müssen. Erst wesentlich später haben wir die Fähigkeit, eine längere Kausalkette von Tatsachen oder Ereignissen zu konstruieren und zu verfolgen. Eng damit verwandt und eine Grundvoraussetzung, Mathematik zu betreiben, ist die Fähigkeit zum logischen Denken. Schlussendlich brauchen wir die Fähigkeit, Bezüge herzustellen - sie erstreckt sich auch auf alltägliche Dinge des Lebens - in der Mathematik jedoch in erster Linie auf Bezüge zwischen zumeist abstrakten Objekten.[26]
Zahlen sprechen jedoch nicht nur unser Gefühl für Mengen und Größen an, sie vermitteln uns auch ein nicht zu unterdrückendes Gefühl von räumlicher Ausdehnung. Dehaene hat dies in mehreren Versuchen beobachtet, bei denen Versuchspersonen durch Drücken eines Knopfes auf Zahlenwerte reagieren sollten. Sie erhielten jeweils Anweisung, mit welcher Hand sie den Knopf drücken sollten, wenn die gezeigte Zahl größer oder kleiner als eine vorgegebene war. Die Personen, die bei größeren Zahlen die rechte Hand benutzen durften, waren schneller in ihrer Reaktion. Diese Verknüpfung zwischen Zahl und Raum führt zu einem einfachen, jedoch guten Bild für die mentale Repräsentation numerischer Größen in unserem Gehirn, einer Art inneren Zahlenstrahl, der sich - analog zu unserer Leserichtung - von links nach rechts erstreckt.[27]
Die enge Verbindung zwischen mathematischem und räumlichem Vorstellungsvermögen ist oft empirisch nachgewiesen worden. Es besteht eine deutliche Beziehung zwischen der mathematischen Begabung eines Menschen und seinen Ergebnissen bei Raumwahrnehmungstests - fast so, als ob sie ein und dieselbe Fähigkeit beträfen. Mathematisch hoch begabte Kinder schneiden bei Aufgaben, die ein gutes Gefühl für räumliche Beziehungen erfordern, immer glänzend ab. Dehaene nennt die »Errichtung einer räumlichen Zahlenkarte« eine der grundlegenden Leistungen des menschlichen Gehirns. Möglicherweise nehmen große Rechenkünstler Zahlen als räumlich ausgedehnte Bereiche wahr, in denen sie eine erstaunliche Fülle von Einzelheiten erkennen können. Zahlen tauchen nicht nur als Punkte oder Striche auf, sondern vielmehr wie ein Spinnennetz mit Verbindungen in alle Richtungen.[28]
Dies zeigt einmal mehr, welch wichtigen Platz die Raumvorstellung innerhalb der mathematischen Fähigkeiten einnimmt. Während das logische-mathematische Wissen im Verlauf seiner Entwicklung immer abstrakter wird, bleibt die räumliche Intelligenz stets in Kontakt mit der realen Welt - „mit der Welt der Objekte und ihren Orten in der Welt“, wie Gardner es ausdrückt.[29]
2.2.2 Die räumlichen Fähigkeiten
Räumliches Vorstellungsvermögen ist ein sehr komplexer Begriff, der ganz allgemein die Fähigkeit zum visuellen Operieren mit konkreten, sichtbaren oder vorgestellten Objekten beschreibt. Oft versucht man die Raumvorstellung von der Raumwahrnehmung abzugrenzen. Die visuelle Wahrnehmung ist dabei ein konstruierendes Element von Vorstellungen und beinhaltet außer dem Sehen auch das Verarbeiten und Behalten wahrgenommener Objekte und damit das visuelle Gedächtnis. Die Raumvorstellung umfasst außerdem die Fähigkeit, mit diesen Bildern zu operieren, sie mental zu bewegen, umzuordnen oder neue entstehen zu lassen. Oftmals kann man beide Bereiche jedoch nicht eindeutig voneinander abgrenzen, da nicht immer nachvollziehbar ist, ob das Lösen räumlicher Probleme mithilfe der visuellen Wahrnehmung geschieht, oder ob jemand auf das räumliche Vorstellungsvermögen zurückgreifen muss. Das hängt nicht nur von der Aufgabenstellung ab, sondern auch von den individuellen Strategien, die jemand anwendet - auch in der einschlägigen Literatur kommt es gemäß Franke zu Überschneidungen.[30]
Ich werde die Einzelaspekte nachfolgend näher betrachten und Frankes Ausführungen folgend zunächst auf die visuelle Wahrnehmung eingehen, die als Voraussetzung für die Raumvorstellung angesehen werden kann und in sechs verschiedene Bereiche zerfällt.[31]
Die Figur-Grund-Unterscheidung gehört zu den grundlegenden Fähigkeiten unseres Wahrnehmungssystems, denn wir können von Geburt an Figur und Grund unterscheiden, ansonsten könnten wir keine Gegenstände erkennen und uns nicht im Raum orientieren. Die Unterscheidung von Figur und Grund wird geprägt von Konturen, die Grenzen zwischen Flächen darstellen. Geschlossene Konturen werden als Form wahrgenommen, wobei auch die Form wiederum aus einer Vielzahl einzelner Elemente bestehen kann, wie beispielsweise der Würfel. Wir erkennen Formen auch als gleichartig an, wenn sie nicht völlig identisch sind, da das Wahrnehmen nicht nur das Sehen, sondern zugleich das Interpretieren von Wahrgenommenem ist - dies trifft auch auf das Phänomen verschiedener Handschriften zu. Besonders faszinierend ist in diesem Zusammenhang, dass wir lesen können, obwohl unser Gehirn nicht dahingehend getrimmt wurde. „Der Grund, warum wir es doch lernen konnten", so der New Yorker Neurologe und Autor Oliver Sacks im Gespräch mit dem Spiegel „liegt in der uns innewohnenden Fähigkeit, Formen zu erkennen.“[32]
Während bei Parketten beispielsweise Figur und Grund gleichwertig sind - sie bedingen einander - ist bei einzelnen Figuren eine Umkehrung von Figur und Grund möglich. Diese sogenannten Kippfiguren können unterschiedlich interpretiert werden. Außerdem gibt es Scheinfiguren, auch amodale Figuren genannt, die den Grund wie eine überlagernde Figur aussehen lassen.
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Abb. 1 Kippfigur »Vase oder Gesichter« (links) und Scheinfigur »Phantomwürfel« (rechts)[33]
Die visuomotorische Koordination beschreibt die Fähigkeit des Menschen, das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des Körpers zu koordinieren, wie beispielsweise beim Fangen eines Balles, das jüngere Kinder erst lernen müssen. Auch bei Ausschneideübungen zeigt sich, wie angestrengt sie mit dem ganzen Körper schneiden. Die visuomotorische Koordination sollte schon bei Vorschulkindern aufgebaut werden, da spätere Entwicklungsdefizite schwer ausgeglichen werden können. Sie ist beispielsweise beim Nachfahren von Abbildungen erforderlich, als Zusammenspiel zwischen Auge und Hand.
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Abb. 2 Visuomotorische Koordination beim Nachfahren einer Kontur[34]
Die Wahrnehmungskonstanz bezeichnet die Tendenz, Objekte in unserer Umgebung relativ stabil wahrzunehmen, obwohl sie sich unseren Sinnesorganen ganz unterschiedlich präsentieren. Diese Stabilität der Wahrnehmung geht mit einer Reihe von Korrekturprozessen bei der Verarbeitung der Reize einher, von denen die wichtigsten die Helligkeits-, Farb-, Vertikal-, Form- und die Größenkonstanz sind. Die Größenkonstanz basiert auf der Entfernung des Objektes und der Größe des Netzhautbildes, das mit zunehmender Entfernung kleiner wird. Trotzdem werden Objekte unabhängig von ihrem Netzhautbild aus unterschiedlichen Entfernungen gleich groß wahrgenommen, weil stabile Relationen zwischen den einzelnen Elementen in unserem visuellen Feld bestehen, sodass wir durch Größenvergleiche auf die tatsächliche Größe schließen können. Dies kann jedoch auch zu Täuschungen führen.
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Abb. 3 Täuschungen bezüglich der Größe des inneren Quadrates (links) und des Kreises (rechts)[35]
Bei der Formenkonstanz ist es die Form der Figur, die trotz unterschiedlicher Blickwinkel und Lage im Raum als konstant wahrgenommen wird, wie das Sechseck, das in unterschiedlicher Lage in einer komplexen Figur trotzdem wiedererkannt wird.
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Abb. 4 Formenkonstanz bezüglich des Sechseckes[36]
Auch in diesem Fall kann es zu Wahrnehmungstäuschungen kommen, bei zweideutigen Figuren, auch reversible Bilder genannt, in denen man beispielsweise entweder Rauten oder Würfel sieht.
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Abb. 5 Zweideutige Figur »Würfelbauwerke oder Rautenparkett«[37]
Räumliche Orientierung bedeutet, den eigenen Standort im Raum sowie die räumlichen Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten zu erkennen und zu verstehen. Ersteres wird auch Wahrnehmung der Raumlage genannt und bedeutet das Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines Gegenstandes zu dem Standpunkt der Person, die ihn wahrnimmt.
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Abb. 6 Wahrnehmung der Raumlage des schwarzen Dreieckes nach Drehung der Figur[38]
Die Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten nennt man auch Wahrnehmung räumlicher Beziehungen, sie werden mit allgemeinen Orientierungsbegriffen wie »rechts -links«, »oben - unten« oder »vorne - hinten« angesprochen. In der Praxis gibt es jedoch oftmals Überschneidungen zwischen den beiden Bereichen.
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Abb. 7 Wahrnehmung der räumlichen Beziehung zwischen Quader und Kegel38
Das visuelle Gedächtnis ist die Fähigkeit, charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes vorstellungsmäßig auf andere, präsente Objekte zu beziehen. Sie ist insbesondere bei verbalen Aufgabenstellungen erforderlich.
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Abb. 8 Das visuelle Gedächtnis merkt sich die Plätze der einzelnen Objekte[39]
Schlussendlich orientiert sich die visuelle Unterscheidung im Gegensatz zur Wahrnehmungskonstanz nicht an Gemeinsamkeiten zwischen Objekten, sondern an den Unterschieden zwischen Objekten. Sie äußert sich beispielsweise beim Sortieren und Klassifizieren geometrischer Körper nach bestimmten Merkmalen, die sie von anderen unterscheiden oder beim Finden von gleichen Objekten unter verschiedenen.
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Abb. 9 Visuelle Unterscheidung durch Entdecken der Unterschiede[40]
An zahlreichen Beispielen wird deutlich, dass die visuelle Wahrnehmung die Voraussetzung für das räumliche Vorstellungsvermögen ist, das sich ebenfalls in Teilkomponenten zerlegen lässt. Howard Gardner betrachtet die räumliche Intelligenz als eine Art Amalgam von einzelnen Fähigkeiten. Er beschreibt sie mit den Teilfähigkeiten „ die visuelle Welt richtig wahrzunehmen, die ursprüngliche Wahrnehmung zu transformieren und zu modifizieren und Bilder der visuellen Erfahrung auch dann zu reproduzieren, wenn entsprechende physische Stimulierungen fehlen.“[41] Diese Fähigkeiten sind nicht identisch, denn ein Mensch kann durchaus eine scharfe visuelle Wahrnehmung haben und trotzdem Schwierigkeiten haben, nicht präsente Dinge zu zeichnen, sich vorzustellen oder zu verändern.
Jean Piaget unterscheidet zwischen figurativem Wissen, das die Gestalt eines Objektes in Form eines mentalen Bildes speichert und operativem Wissen, bei dem die Betonung auf der Transformierung eines solchen Bildes liegt - er trennt also zwischen eher statischen und eher aktiven Formen des räumlichen Wissens, die sich ebenfalls in die Rubrik der räumlichen Intelligenz einordnen lassen.[42] Ich gehe auf drei Subkomponenten der räumlichen Fähigkeiten näher ein und folge der Einteilung Thurstones, der den Faktor » räumliches Vorstellungsvermögen « wie folgt in drei Subfaktoren aufgliedert.[43]
1. Räumliche Beziehungen - Spatial relations S 1 - „ An ability to recognize the identity of an object when it is seen from different angles or an ability to visualize a rigid configuration when it is moved into different position. “[44]
Dieser Faktor beinhaltet vorwiegend das richtige Erfassen räumlicher Gruppierungen von Objekten und deren Beziehungen untereinander. Dazu müssen die Objekte häufig auf der Vorstellungebene, also mental, gedreht oder gespiegelt werden. Dieser Subfaktor beinhaltet demnach die Fähigkeit sich Transformationen von Objekten vorzustellen, ohne dass diese als Ganzes verändert werden. Es gibt zahlreiche Aufgabenstellungen im zwei- oder dreidimensionalen Bereich, bei denen zu entscheiden ist, ob verschiedene Ansichten zu einem gleichen Objekt gehören oder nicht, wie die folgende Beispiele zeigen.
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Abb. 10 Räumliche Beziehungen erkennen durch mentales Rotieren von Polykuben[45]
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Abb. 11 Räumliche Beziehungen erkennen durch mentales Rotieren von Würfeln[46]
2. Veranschaulichung - Visualization S 2 - „ An ability to visualize a configuration in which there is movement or displacement among the internal parts of configuration.“[47]
Die Veranschaulichung umfasst die gedankliche Vorstellung von räumlichen Bewegungen wie Drehungen, Verschiebungen und Faltungen von Objekten, die Teilen sowie gedankliches Zerlegen und Zusammensetzen von Objekten mit einschließt - ohne Verwendung anschaulicher Hilfen. Der Begriff »Veranschaulichung« ist etwas missverständlich, da es stets um Veränderungen eines Objektes oder Teilen davon geht. Franke schlägt vor, stattdessen von der »Vorstellung von Veränderung einer Figur« zu sprechen. Bei der folgenden Aufgabenstellung geht es beispielsweise darum, die jeweils rechte Figur mit den schwarzen Teilen auszulegen, was mit Linien gekennzeichnet werden soll, wie im ersten Beispiel gezeigt.
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Abb. 12 Veranschaulichung durch mentales Teilen und Auslegen[48]
Neben zweidimensionalen Aufgabenstellungen gehören zu dieser Subkomponente auch Aufgaben zu Abwicklungen und Netzen sowie dem Vorstellen von Bauwerken, die sich aus vorgegebenen Bausteinen errichten lassen. Im folgenden Beispiel soll entschieden werden, welches Bauwerk sich aus den links abgebildeten Steinen bauen lässt.
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Abb. 13 Veranschaulichung durch mentales Teilen, Drehen und Zusammenfügen[49]
3. Räumliche Orientierung - Spatial orientation S 3 - „ An ability to think about those spatial relations in which the body orientation of the observer is an essential part of the problem.“[50]
Bei der räumlichen Orientierung geht es um die Einordnung der eigenen Person in eine räumliche Situation. Im Unterschied zu räumlichen Beziehungen liegt der Standort der Person innerhalb der Aufgabenstellung, die sich ganz auf die Situation einlassen muss und nicht von einer neutralen Position aus handeln kann. Da sich die räumliche Orientierung nicht mit klar abgrenzbaren Fähigkeiten auf die gleiche Stufe neben die anderen beiden stellen lässt, wird sie - im Gegensatz zu Thurstones Unterscheidung - häufig mit den räumlichen Beziehungen zusammengefasst.
Die räumliche Orientierung hebt sich vor allem durch größere Komplexität und mehr Alltagsnähe ab, daher kommt ihr besondere Bedeutung zu. Es geht darum, sich in eine andere Perspektive zu versetzen, mental den Standort zu wechseln - sich also in einer weiten Landschaft zu orientieren. Im nachfolgenden Beispiel wird man mittels eines Landkartenausschnittes und einer Schilderung in die Lage versetzt, mit einem Boot von Westen kommend an einer Küste entlang zu fahren und muss anschließend die entstandenen Fotografien in die richtige Reihenfolge bringen.
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Abb. 14 Räumliche Orientierung durch »mentale Küstenfahrt«[51]
Die Förderung dieser räumlichen Fähigkeiten findet insbesondere im Geometrieunterricht statt, der reichlich Anlässe bietet, Figuren sprechen zu lassen. Die Geometrie ist nicht das Übersetzen von Figuren in Zahlen, sondern eine besondere Form des Denkens und Sehens wie Peter Berger es ausdrückt, das numerische Zusammenhänge besser begreifbar macht.[52] Das geometrische Denken hilft also dem numerischen Denken auf die Sprünge - doch was ist eigentlich Geometrie?
3. Was ist Geometrie?
Lange Zeit waren Mathematik und Geometrie als vollkommenes gedankliches System synonym - die Geometrie war das eigentlich Wahre, so Hans Freudenthal, bis man feststellte, dass die Axiomensysteme von Moritz Pasch und David Hilbert einerseits lückenhaft und andererseits zu kompliziert waren, um in ihnen Geometrie betreiben zu können. Doch nicht nur als deduktive Wissenschaft hat die Geometrie Tradition, „sie war auch das älteste und vorbildliche Beispiel einer Didaktik“, so Freudenthal. Die erste Unterrichtsstunde, von der uns ein schriftlicher Bericht erreicht hat, war eine Probelektion in Geometrie, die Sokrates vor den Augen des Menon dessen Sklaven erteilte. Zusammenfassend nennt Freudenthal die Geometrie abseits ihrer hohen Stufe, einem axiomatisch organisierten Teilgebiet der Mathematik, auf ihrer elementaren Stufe schlicht die „Erfassung des Raumes“.[53] Es folgt im Anschluss zunächst ein Überblick über die deduktiv organisierte Welt der Geometrie bevor es um das Lernen von Geometrie in der Schule geht.
3.1 Die Welt der Geometrie
Das Wort »Geometrie« stammt aus dem Griechischen und bedeutet so viel wie »Feldmesskunst« oder »Messung der Erde«. Die Geometrie ist ein „Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Gebilden der Ebene und des Raums befasst“.[54] Der Name deutet darauf hin, dass geometrische Probleme ursprünglich im Zusammenhang mit Aufgaben der Landvermessung, jedoch auch in der Architektur wie beispielsweise beim Pyramidenbau in Ägypten und mit der Navigation mithilfe der Sterne, also der Zeitmessung, auftraten.
Eine erste zusammenfassende Darstellung der geometrischen Kenntnisse der Antike stammt von Euklid aus dem vierten Jahrhundert vor Christus. Das bereits erwähnte Werk » Elemente « galt bis ins 19. Jahrhundert als das wichtigste Lehrbuch der Geometrie. In diesem Werk versuchte Euklid alle geometrischen Sachverhalte aus Postulaten und Axiomen herzuleiten. Neben der ›euklidischen Geometrie‹ gibt es auch eine ›nichteuklidische Geometrie‹, in der das von Euklid formulierte Parallelenaxiom nicht gilt. In dieser Geometrie kann es auch mehrere oder gar keine Parallele zu einer Gerade und einem gegebenen Punkt außerhalb dieser Gerade geben - mithilfe dieser nichteuklidischen Geometrie kann beispielsweise unser All beschrieben werden.
Die Welt der Geometrie wird in unterschiedliche Teilgebiete untergliedert: In der Elementargeometrie unterscheidet man zwischen der ebenen Geometrie, der Planimetrie und der räumlichen Geometrie, der Stereometrie. Zu diesen Gebieten gehören die Beschreibung und Konstruktion geometrischer Figuren und die Messung von Längen, Winkeln, Flächen und Rauminhalten. Mit der Berechnung von Längen und Winkeln in geometrischen Figuren beschäftigt sich die Trigonometrie. Das Zeichnen räumlicher Gebilde in der Ebene ist Gegenstand der darstellenden Geometrie, mithilfe verschiedener Abbildungsverfahren entstehen anschauliche Zeichnungen räumlicher Objekte.
In der analytischen Geometrie stellt man ebene oder räumliche Punktmengen in einem Koordinatensystem dar, durch Rechnung mit Koordinaten werden Erkenntnisse gewonnen über die gegenseitige Lage geometrischer Figuren sowie über die Größe von Strecken, Winkeln, Flächen und anderem - zur Darstellung werden auch Vektoren benutzt. Zuletzt gibt es die Abbildungsgeometrie, die sich mit Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich selbst beschäftigt, wobei vor allem interessiert, welche Größen unter der Abbildung fest bleiben. Solche Invarianzen bei Kongruenzabbildungen untersucht die Kongruenzgeometrie. In der Ähnlichkeitsgeometrie spielen solche Größen eine Rolle, die bei Ähnlichkeits-abbildungen fest bleiben. Die einzelnen Abbildungsarten bilden Gruppen bezüglich ihrer Verkettung. Daher kann man mithilfe der Gruppentheorie eine Systematik der Geometrie entwerfen.[55]
Die Geometrie beschäftigt sich gemäß Devlin mit den Mustern der Formen, jedoch nicht mit allen, sondern nur mit den regelmäßigen Formen. Dazu gehören beispielsweise Dreiecke, Rechtecke, Parallelogramme, Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Kugeln und viele mehr. Die Welt um uns herum ist beispielhaft für solche Formen - Sonne und Monde erscheinen als Scheiben am Himmel, Uhren und Räder sind rund, Bodenfliesen dreieckig, quadratisch oder sechseckig, Schachteln sind quaderförmig, Fußbälle kugelförmig und so weiter.
Die Geometrie beschäftigt sich mit diesen Formen in einer abstrakten Art und Weise, abgekoppelt von den Zusammenhängen der realen Welt. Einzelne Formen werden von Geometrikern untersucht auf allgemeine Eigenschaften, die auf alle Formen dieser Art zutreffen. So sagt beispielsweise der Satz des Pythargoras aus, dass bei jedem rechtwinkeligen Dreieck die Fläche des Quadrats der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seitenlänge gleich der Summen der Quadrate der anderen beiden Seitenlängen ist.
Viele der grundlegenden Sätze hat Euklid in seinem bereits erwähnten berühmten Buch zusammengefasst. Neben der Beschreibung der euklidischen Geometrie durch verschiedene Axiome hat er sich mit den regelmäßigen Vielflächnern, den sogenannten Polyedern beschäftigt. Sie sind die dreidimensionalen Pendants zu den regelmäßigen Vielecken, den Polygonen. Diese sind regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und ihre Winkel gleich groß sind - die einfachste Figur dieser Art ist das gleichseitige Dreieck, dessen Winkel an den Ecken jeweils 60° betragen. Es folgen das Quadrat, das regelmäßige Fünfeck, das regelmäßige Sechseck und so weiter - diese Polygone können beliebig viele Seiten haben und werden mit steigender Seitenzahl immer kreisähnlicher.
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Abb. 15 Reguläre Polygone[56]
Ein regelmäßiger Polyeder ist ein dreidimensionales Objekt, dessen Oberflächen aus identischen, regelmäßigen Vielecken gebildet werden - und sie können nicht beliebig viele Flächen haben - bereits Euklid hat gezeigt, dass es nur fünf dieser regelmäßigen Polyeder gibt.
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Abb. 16 Die fünf regulären Polyeder[57]
Es lässt sich leicht nachvollziehen, warum es nur fünf dieser regelmäßigen Polyeder gibt, auch platonische Körper genannt, da sie von Platon ausführlich beschrieben wurden.
Eine Ecke eines Polyeders entsteht, wenn man drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke aneinanderfügt. Bei sechs Dreiecken wird die Summe an der gemeinsamen Spitze 360°, sie bilden eine geschlossene Fläche, die nicht in den Raum ,emporwachsen‘ kann. Drei dieser Körper bestehen also aus regelmäßigen Dreiecken, der Tetraeder, der Oktaeder sowie der Ikosaeder. Benutzt man Quadrate als Flächen, kann die Ecke des Polyeders nur aus drei Quadraten gebildet werden - daraus entsteht der Hexaeder, besser bekannt als Würfel. Bei regelmäßigen Fünfecken gibt es ebenfalls nur eine Möglichkeit mit drei Fünfecken pro Ecke entsteht der Dodekaeder. Ab einer Eckenanzahl von mehr als fünf Ecken kann keine Polyederecke mehr entstehen, da drei Sechsecke schon eine Ecke mit 360° ergeben.[58]
„In diesem Fall begrenzen die Gesetze der Geometrie die Zahl der Möglichkeiten“, so Devlin[59]
Mit Mustern von Tapeten oder Ornamenten verhält es sich ganz ähnlich - dort beschränken die Gesetze der Geometrie die Zahl der Möglichkeiten auf siebzehn verschiedene Grundmuster. Auch unzählige verschiedene Tapetenmuster können einer begrenzten Anzahl von bestimmten Grundmustern zugeordnet werden, die quasi endlos wiederholt werden.
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Abb. 17 Beispiele für die siebzehn Tapetenmuster[60]
Hier stellen sich einige Fragen, die typisch ›geometrische Probleme‹ aufwerfen: Auf wie viele Arten kann man ein bestimmtes Muster beliebig oft wiederholen? Wie sehen diese reproduzierbaren Muster aus? Ich kann die Muster nebeneinander anordnen, ich kann sie gegeneinander nach oben und unten versetzen - kann ich sie auch in einem bestimmten Winkel drehen? Wie viele Möglichkeiten gibt es letztendlich? Diese Fragen können auch unter einer subsumiert werden: Was genau ist an der endlosen Wiederholbarkeit eines bestimmten Grundmusters beteiligt? Diese Fragestellung ist geradezu prädestiniert, mithilfe mathematischer Methoden untersucht zu werden und es ist erstaunlich, dass die mathematische Systematik genau siebzehn verschiedene Grundmuster definiert, die schon alle von Designern von Teppichen, Mosaiken oder Wandfliesen entdeckt worden waren.
„Das Tapetenmuster-Theorem ist ein gutes Beispiel dafür, wie sich die Mathematik der Welt nähert“, so Devlin. „In der Geometrie sind die Muster unmittelbar zu erkennen - die Begrenzungslinien, Dreiecke, Kreise, Tetraeder, Kugeln und so weiter. Doch manchmal muss man die richtige Perspektive finden und die richtigen Fragen stellen, bevor man die interessanten Muster entdeckt. Im Fall der Tapetenmuster lautete diese Frage: Welche Arten von Mustern gibt es, mit denen man ein bestimmtes Design beliebig oft wiederholen kann, um damit ganze Wände zu bedecken?“[61]
Man könne dabei nicht von vorneherein wissen, ob diese Fragestellung eine interessante und nützliche mathematische Eigenschaft birgt. Bei den Tapetenmustern hat sich herausgestellt, dass sie etwas Mathematisches sind, weil es möglich ist, ein Theorem zu beweisen, das sich mit ihnen beschäftigt. Ich werde später noch ausführlicher auf die Symmetrieguppen eingehen, möchte jedoch zuerst fragen, wie Geometrie in der Schule gelehrt und gelernt wird.
3.2 Geometrie lernen
Neben der Verbesserung der Raumvorstellung geht es im Geometrieunterricht vor allem um den Erwerb geometrischen Wissens und damit um das Bilden geometrischer Begriffe, denn, so Franke, „Begriffe sind Bausteine menschlichen Wissens.“ Sie organisieren das Verhalten, sind Grundlage der verbalen Kommunikation und beeinflussen das Gedächtnis sowie das Problemlösen.[62]
Man kann die geometrischen Begriffe nach dem Inhalt grob in Begriffe für ebene und räumliche Objekte oder nach logischen Gesichtspunkten in Objektbegriffe, Eigenschaftsbegriffe, Relationsbegriffe oder auch Operationsbegriffe einteilen, sie werden jedoch stets gleichzeitig und vernetzt gelernt und nicht in einer bestimmten Reihenfolge.[63]
Objektbegriffe umfassen die ebenen Objekte wie Dreieck, Kreis, Strecke oder Gerade sowie die räumlichen Objekte wie den Würfel, die Kugel oder den Quader. Jeder Objektbegriff steht für eine Klasse von Elementen, die gemeinsame Eigenschaften besitzen.
Eigenschaftsbegriffe werden zum Definieren von weiteren Begriffen benutzt, indem ein Oberbegriff durch Festlegen von Eigenschaften wieder in Klassen unterteilt wird, dabei können auch Bezeichnungen für Objekte als Eigenschaftsbegriffe auftreten, wenn beispielsweise der Begriff »Quadrat« mit »Rechteck« und »gleichlange Seiten« erklärt wird. Unter den Eigenschaftsbegriffen gibt es qualitative wie regelmäßig, viereckig oder quadratisch oder quantitative wie beispielsweise Längen- und Inhaltsmaße, der Mathematikdidaktiker Gert Kadunz spricht in diesem Zusammenhang von »Maßbegriffen«.[64]
Relationsbegriffe beschreiben Beziehungen zwischen geometrischen Objekten. Dabei handelt es sich in der Geometrie um Beziehungen von Figuren innerhalb der gleichen Klasse. So sind beispielsweise zwei Strecken gleich lang, zwei Dreiecke deckungsgleich oder zwei Figuren symmetrisch. Aus den Eigenschaften und Beziehungen der Objekte ergeben sich außerdem verschiedene Operationen, die auf sie angewendet werden können.
Operationsbegriffe beschreiben also die Operationen, die auf Objekte angewendet können, wie beispielsweise, dass ein Dreieck gespiegelt oder zerlegt werden kann.
Peter Berger warnt in diesem Zusammenhang jedoch davor, die geometrische Begriffsbildung vor der konkreten Anwendung zu üben, wenn er feststellt: „Die Begriffe stehen aber niemals am Anfang des Lernens, sondern am Ende.“ Das Lernen beginnt nicht mit der Klärung von Begriffen, sondern wird nach dem erfolgreichen Lernen mit der Begriffsbildung abgeschlossen, die sich allmählich beim Handeln aufgebaut hat.
Der Weg des Lernens führt also stets von den Phänomenen zu den Begriffen - anders ausgedrückt vom Handeln zum Denken.[65]
Diese didaktischen Forderungen ergeben sich aus den Erkenntnissen des Entwicklungspsychologen Jean Piaget, der seit den zwanziger Jahren erstmals untersuchte, was Kinder in bestimmten Altersstufen können und damit eine Wende in der Kinderpsychologie einläutete. Trotz der Tatsache, dass nicht alle seine Experimente zweifelsfrei in seinem Sinne bestätigt werden konnten, lieferte er damit die bis heute bedeutendste Theorie des Erkennens für den Mathematik- und insbesondere den Geometrieunterricht.[66]
Er beschäftigte sich lange mit Biologie und sah den Unterschied zwischen Mensch und Tier darin, dass Menschen nicht nur eine praktisch-unmittelbare Intelligenz haben, sondern denken können, was er als » verinnerlichtes Probe- oder Ersatzhandeln« bezeichnet. Bei dem Übergang von den konkreten zu den intellektuellen Operationen lösen sich die Handlungen von ihren speziellen Objekten, sie werden immer abstrakter, sukzessive durch Vorstellungen ersetzt und in kognitiven Schemata organisiert. Diese Entwicklung verläuft nach Piagets empirischen Forschungen etappenweise und wird von allen Kindern gleichermaßen durchlaufen.
Die einzelnen Stufen bauen gemäß Piaget aufeinander auf und beginnen am Lebensanfang mit dem sensomotorischen Stadium, das etwa zwei Jahre andauert und von den biologischen Formen der Anpassung wie Reflexen und Reiz-Reaktionskopplungen bestimmt wird. Das Kind ist lediglich dem Augenblick und der direkten Umgebung zugewandt. Piaget beschreibt die Wahrnehmung der sensomotorischen Intelligenz wie einen langsam abrollenden Film, bei dem Einzelbilder noch nicht zu einem Gesamten zusammengesetzt werden.
Das nachfolgende präoperative Stadium geht in etwa bis zum sechsten Lebensjahr und ist vom Erlernen der Sprache und Symbolfunktion gekennzeichnet. Das Kind kann sich nun von der unmittelbaren Gegenwart lösen und auch über Vergangenes nachdenken und sich darüber äußern - das Denken ist jedoch vorwiegend an konkrete Anschauung gebunden. Im Bereich der Geometrie werden topologische Beziehungen erlernt, die in Form von Entweder-oder-Beziehungen bewertet werden. Die Kinder können beispielsweise sagen, ob Objekte verbunden oder unverbunden, innen oder außen oder auch nah oder fern sind.
Etwa zwischen dem siebten und elften Lebensjahr - also in der Grundschulzeit - befindet sich das Kind im konkret-operativen Stadium. Konkret-operativ bedeutet, dass beim Lernen nicht mit konkreten Darstellungen gearbeitet werden muss - die Operationen hängen jedoch von gleichzeitiger oder kurz vorher erfolgter konkreter Erfahrung ab. Piaget drückt es folgendermaßen aus: „ Die Operationen, um die es sich hier handelt, sind also noch »konkret« und nicht »formal«: immer mit der Handlung verbunden geben sie dieser eine logische Struktur, in der die sie begleitenden sprachlichen Ausdrücke mit einbezogen sind, was aber noch nicht die Fähigkeit einschließt, einen von der Handlung unabhängigen Schluss zu entwickeln.“[67]
Im Bereich der Geometrie können sie über Lagebeziehungen wie »liegt rechts von« oder »steht vor« sprechen. Außerdem lernen sie, dass solche Aussagen oft standpunktabhängig sind - beispielsweise ist der rechte Arm meines Gegenüber von meiner Sicht aus der linke. Schlussendlich lernen sie euklidische Beziehungen zumeist als Entfernungsbeziehungen bei der Konstruktion von Linien, Figuren oder Körpern mit konstanten Maßeinheiten und konstanten Bezugssystemen.
Ab dem etwa zwölften Lebensjahr setzt das formal-operative Stadium ein, das der amerikanische Psychologe David Paul Ausubel, der Piagets Erkenntnisse im Bereich der Lerntheorien weiterentwickelte, so charakterisiert: „ Mit Beginn dieses Stadiums werden die Kinder zunehmend unabhängiger von Erfahrungen mit konkretem Material, wenn sie komplexe abstrakte Beziehungen in ihre kognitive Struktur einbeziehen sollen. Schließlich [...] taucht eine qualitativ neue Fähigkeit auf: Das intellektuell reife Individuum wird fähig, abstrakte Beziehungen ohne jeden Bezug zur konkreten Wirklichkeit zu verstehen. “[68]
Die Begriffsbildung ist also ein langfristiger Prozess, an dessen Anfang immer Erfahrungen im Kontext von Handlungen gemacht werden. Diese Handlungen können wir dann in Bildern verdichten, bei denen wir das Handeln vor Augen haben, um diese Bilder, die quasi Erinnerungsfotos unserer Handlungen sind, schlussendlich mit Symbolen darstellen zu können. Das Sprechen über geometrische Begriffe findet nämlich, wie das Aufschreiben von Formeln, nur auf der symbolischen Ebene statt.
Diese Stufenbildung vom »Handeln mit konkreten Objekten« über das »Operieren mit Bildern« hin zum »Handeln mit Symbolen« geht zurück auf Jérôme Seymour Bruner, einen Schüler Piagets, der zum ersten Mal auf diesen Zusammenhang zwischen symbolischen, ikonischen und enaktiven Formen des Lernens aufmerksam machte. Während sich Piaget mit der kognitiven Entwicklung der Menschheit und des Individuums beschäftigte, untersuchte Bruner, wie sich diese Entwicklungen auf die jeweilige heranwachsende Generation auswirkten.
Er forderte die Ausrichtung des Mathematikunterrichts an Grundideen, die jedem Kind in jedem Alter in entsprechender Form vermittelt werden können. Ihn interessierten vor allem die Vermittlung und die Instruktion von Wissen, da für ihn die intellektuelle Entwicklung ein Resultat der Wechselwirkung zwischen Lehrenden und Lernenden war. Damit verband er das Prinzip der Orientierung an Grundideen mit dem Prinzip der Stufengemäßheit. Aus dieser Erkenntnis formulierte er einige didaktische Prinzipien wie beispielsweise das »Spiralprinzip«, das im Zuge der didaktischen Überlegungen zur Behandlung von Parketten in der Schule noch zur Sprache kommt - ein weiteres wichtiges Prinzip ist das sogenannte »EIS-Prinzip«, das für die bereits erwähnten verschiedenen Wissensrepräsentationsmodi E naktiv- I konisch- S ymbolisch steht.[69]
Bei Bruner bilden diese Stufen vor allem eine Entwicklungshierarchie, es ist jedoch wichtig, dass diese drei Formen stets in Verbindung stehen, und die einzelnen Stufen nicht von der nächsten abgelöst werden. Auch wenn die Denkentwicklung sich durch fortschreitendes Abstrahieren aufbaut, kann zwischen den einzelnen Ebenen gewechselt werden. Bildlich gesprochen handelt es sich nicht um eine Treppe, die immer nur hinauf führt, sondern eher um drei benachbarte Räume einer Wohnung, in denen man sich wechselnd aufhält.[70]
Betrachtet man den Bildungsplan des Landes Baden-Württemberg für die Sekundarstufe 1 bezüglich des Geometrielernens, so finden sich unter den sechs »Leitideen der Mathematik« zwei mit deutlichen Bezügen zur Geometrie, jedoch lediglich eine, die die figurative Intelligenz fördert, die Leitidee »Raum und Form«. Die Leitidee »Messen« sowie die vier übrigen Leitideen fallen in den mathematisch-logischen Bereich, da sie sehr zahlenorientiert sind - fördern demnach nicht die so wichtige figurative Intelligenz. Selbst unter den Kompetenzen und Inhalten der Leitidee Raum und Form für die einzelnen Klassenstufen der Realschule finden sich Aspekte, die in der Schulwirklichkeit meist sehr zahlenfixiert umgesetzt werden.
Die Kompetenzen zur Leitidee » Raum und Form« für den mittleren Bildungsabschluss lassen sich wie folgt zusammenfassen.[71]
Die Schülerinnen und Schüler
-erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt,
-operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern,
-stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar,
-stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,
-analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene und des Raumes,
-beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit oder Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen,
-wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen an, insbesondere den Satz des Pythargoras und den Satz des Thales,
-zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamischer Geometriesoftware,
-untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen,
-setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen ein.
[...]
[1] Vgl. Dehaene 1999, S. 160ff.
[2] Vgl. Dehaene et al. 2006, S. 381-384
[3] Vgl. Gardner 1991, S. 165
[4] Vgl. Zitation nach Wittmann 1975, S. 50
[5] Vgl. Gardner 1991, S. 166
[6] Devlin 1998, S. 194
[7] Locher 1994, S. 92
[8] Vgl. Locher 1994, S. 55
[9] Vgl. Gardner 1991, S. 169
[10] Vgl. Lüken 2010, S. 3
[11] Devlin 2006, S. 158
[12] Devlin 2006, S. 22
[13] Vgl. Devlin 2006, S. 20-23
[14] Zitiert nach Devlin 2006, S. 95f.
[15] Zitiert nach Devlin 2006, S. 96
[16] Devlin 2006, S. 96f.
[17] Lüken 2010, S. 1
[18] Devlin 2006, S. 100
[19] Vgl. Devlin 2006, S. 100f.
[20] Vgl. Dehaene 1999, S. 189
[21] Vgl. Gardner 2008, S. 52
[22] Vgl. Gardner 2008, S. 46f.
[23] Vgl. Gardner 2008, S. 37
[24] Vgl. Gardner 2008, S. 55-58
[25] Vgl. Franke 2009, S. 52f.
[26] Vgl. Devlin 2006, S. 26ff.
[27] Vgl. Dehaene 1999, S. 97
[28] Vgl. Dehaene 1999, S. 175
[29] Vgl. Gardner 1991, S. 190
[30] Vgl. Franke 2009, S. 28ff.
[31] Vgl. Franke 2009, S. 33-51
[32] Bethke 2011, S. 130}
[33] Franke 2009, S. 35 u.45, zitiert aus Kebeck
[34] Franke 2009, S. 38
[35] Franke 2009, S. 40
[36] Vgl. Frostig et al., zitiert nach Franke 2009, S. 41
[37] Franke 2009, S. 43
[38] Eigener Entwurf, vgl. Franke 2009, S.47
[39] Franke 2009, S. 50
[40] Franke 2009, S. 51
[41] Vgl. Gardner 1991, S.16
[42] Vgl. Gardner 1991, S.168
[43] Vgl. Franke 2009, S. 57-65
[44] Thurstone 1950, zitiert nach Pinkernell 2003, S. 21
[45] Linn/ Petersen 1985, abgebildet in Franke 2009, S. 58
[46] Thurstone 1937, abgebildet in Franke 2009, S. 60
[47] Thurstone 1950, zitiert nach Pinkernell 2003, S. 22
[48] Franke 2009, S. 62
[49] Nach Thurstone 1949, abgebildet in Franke 2009, S. 64
[50] Thurstone 1950, zitiert nach Pinkernell 2003, S. 23
[51] de Lange, abgebildet in Franke 2009, S. 65
[52] Vgl. Berger: Kognitive Geometrie, S. 29f.
[53] Vgl. Freudenthal 1979, S. 375f.
[54] Schülerduden Mathematik I 2004, S. 147
[55] Vgl. Schülerduden Mathematik I 2004, S. 147ff.
[56] Römer 2000
[57] Tarassow 1999, S. 49
[58] Vgl. Tarassow 1999, S. 49
[59] Devlin 2006, S. 104
[60] Devlin 1998, S. 187
[61] Devlin 2006, S. 102-107
[62] Vgl. Franke 2009, S. 93
[63] Vgl. Berger: Mathematikdidaktik, S. 52
[64] Kadunz 2009, S. 143
[65] Vgl. Berger: Mathematikdidaktik, S. 51
[66] Vgl. Wittmann 1975, S. 42-53
[67] Zitiert nach Wittmann 1975, S. 58
[68] Zitiert nach Wittmann 1975, S. 59
[69] Vgl. Wittmann 1975, S. 66-70
[70] Vgl. Berger: Kognitive Geometrie, S. 27-33
[71] Vgl. Franke 2009, S. 17f.
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