Darstellung einer Funktion als Verkettung:
Eine Funktion v sei an der Stelle x differenzierbar. Eine Funktion u sei an der Stelle z
differenzierbar.
[...]
Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen
Inhaltsverzeichnis
- 1. Darstellung einer Funktion als Verkettung
- 2. Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit zielt darauf ab, die Kettenregel der Differentialrechnung zu beweisen. Der Fokus liegt auf der Darstellung einer Funktion als Verkettung und der Herleitung der Kettenregel für streng monotone Funktionen. Der Beweis wird Schritt für Schritt erläutert und durch graphische Darstellungen veranschaulicht.
- Darstellung einer Funktion als Verkettung innerer und äußerer Funktionen
- Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen
- Anwendung des Grenzwertbegriffes im Beweis
- Graphische Veranschaulichung des Beweises
- Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Zusammenfassung der Kapitel
1. Darstellung einer Funktion als Verkettung: Dieses Kapitel führt in das Konzept der Kettenregel ein, indem es erklärt, wie eine Funktion als Verkettung von zwei Funktionen dargestellt werden kann. Es definiert die Begriffe innere und äußere Funktion und veranschaulicht dies anhand eines Beispiels. Die Darstellung der Funktion als Verkettung bildet die Grundlage für den Beweis der Kettenregel im folgenden Kapitel, indem sie die Struktur aufzeigt, die für die Anwendung des Grenzwertbegriffes essentiell ist. Die klare Definition der beteiligten Funktionen und die visuelle Unterstützung durch eine Abbildung (Abb. 1) erleichtern das Verständnis des komplexen mathematischen Konzepts.
2. Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen: Dieses Kapitel präsentiert den Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen. Der Beweis beginnt mit der Definition des Differenzenquotienten der verketteten Funktion und führt durch geschickte Umformungen und Anwendung des Grenzwertbegriffes zur Ableitung der Kettenregel. Die strenge Monotonie der inneren Funktion wird verwendet, um die Existenz der Grenzwerte zu gewährleisten und die Umformung zu rechtfertigen. Die graphische Darstellung einer streng monotonen Funktion (Abb. 2) unterstützt das Verständnis der notwendigen Bedingungen. Der Beweis gipfelt in der Formel f'(x) = u'[v(x)] * v'(x), wobei die einzelnen Schritte detailliert erläutert werden, um die logische Stringenz und die Gültigkeit des Ergebnisses sicherzustellen. Der Bezug auf die Stetigkeit der differenzierbaren Funktion ist ein wichtiger Aspekt des Beweises und unterstreicht den Zusammenhang zwischen den beiden Konzepten.
Schlüsselwörter
Kettenregel, Differentialrechnung, Verkettung von Funktionen, streng monotone Funktionen, Grenzwert, Differenzenquotient, innere Funktion, äußere Funktion, Stetigkeit, Differenzierbarkeit.
Häufig gestellte Fragen zum Dokument: Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen
Was ist der Hauptgegenstand dieses Dokuments?
Das Dokument behandelt den Beweis der Kettenregel der Differentialrechnung, insbesondere für streng monotone Funktionen. Es erklärt Schritt für Schritt die Herleitung und veranschaulicht die einzelnen Schritte graphisch.
Welche Kapitel umfasst das Dokument?
Das Dokument besteht aus zwei Hauptkapiteln: Kapitel 1 "Darstellung einer Funktion als Verkettung" und Kapitel 2 "Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen".
Was wird in Kapitel 1 behandelt?
Kapitel 1 führt in das Konzept der Kettenregel ein. Es erklärt, wie eine Funktion als Verkettung innerer und äußerer Funktionen dargestellt werden kann und veranschaulicht dies anhand von Beispielen und Abbildungen. Dies bildet die Grundlage für den Beweis in Kapitel 2.
Was wird in Kapitel 2 behandelt?
Kapitel 2 präsentiert den vollständigen Beweis der Kettenregel für streng monotone Funktionen. Es verwendet den Differenzenquotienten, den Grenzwertbegriff und die Eigenschaften streng monotoner Funktionen, um die Kettenregel herzuleiten (f'(x) = u'[v(x)] * v'(x)). Der Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit wird ebenfalls hervorgehoben.
Welche Schlüsselbegriffe werden im Dokument behandelt?
Wichtige Schlüsselbegriffe sind: Kettenregel, Differentialrechnung, Verkettung von Funktionen, streng monotone Funktionen, Grenzwert, Differenzenquotient, innere Funktion, äußere Funktion, Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
Welche Zielsetzung verfolgt das Dokument?
Das Dokument zielt darauf ab, den Beweis der Kettenregel verständlich und nachvollziehbar darzustellen. Der Fokus liegt auf der klaren Erklärung der einzelnen Schritte und der graphischen Veranschaulichung des Beweises.
Für wen ist dieses Dokument gedacht?
Das Dokument richtet sich an Personen, die sich mit der Differentialrechnung und dem Beweis mathematischer Sätze auseinandersetzen möchten, insbesondere Studenten der Mathematik oder verwandter Fächer.
Welche Rolle spielen graphische Darstellungen?
Graphische Darstellungen (Abbildungen) werden verwendet, um die Konzepte der Funktionsverkettung und der streng monotonen Funktionen zu veranschaulichen und das Verständnis des Beweises zu erleichtern.
Wie wird der Grenzwertbegriff im Beweis verwendet?
Der Grenzwertbegriff ist essentiell für den Beweis der Kettenregel. Er wird verwendet, um den Differenzenquotienten der verketteten Funktion zu analysieren und die Ableitung herzuleiten.
Welche Bedeutung hat die strenge Monotonie der Funktion?
Die strenge Monotonie der inneren Funktion garantiert die Existenz der notwendigen Grenzwerte und rechtfertigt die im Beweis verwendeten Umformungen.
- Citar trabajo
- Anne Udelhoven (Autor), 2012, Beweis der Kettenregel, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/265639
