Die theoretische Grundlage der Gewinnung von Windenergie ist das Betzsche Gesetz, das von dem deutschen Ingenieur Albert Betz (1885–1968) stammt. Er formulierte es erstmals im Jahr 1919. Sieben Jahre später erschien es in seinem Buch Wind-Energie und ihre Ausnutzung durch Windmühlen. Der britische Ingenieur Frederick W. Lanchester (1868–1946) publizierte schon 1915 ähnliche Überlegungen.
Das Gesetz besagt, dass eine Windkraftanlage theoretisch maximal 16/27 (knapp 60 Prozent) jener mechanischen Leistung, die der Wind ohne den bremsenden Rotor durch dessen Projektionsfläche transportieren würde, in Nutzleistung umwandeln kann. Die Geschwindigkeit hinter dem Rotor sinkt bei maximaler Umwandlung auf 1/3.
Der Grund ist, dass die Energieabgabe mit einer Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit und einem Luftstau einhergeht, der einen Teil der heranströmenden Luft der Rotorfläche ausweichen lässt.
Betz' law which describes the transformation of wind energy to usable energy is not correct. A new model approach shows that theoretically not 59% but only 38% of wind energy is available.
Theorie der Windräder: Ansätze von Betz und Gail. Vergleich mit dem Impulserhaltungssatz
Die theoretische Grundlage der Gewinnung von Windenergie ist das Betzsche Gesetz, das von dem deutschen Ingenieur Albert Betz (1885-1968) stammt. Er formulierte es erstmals im Jahr 1919. Sieben Jahre später erschien es in seinem Buch Wind-Energie und ihre Ausnutzung durch Windmühlen. Der britische Ingenieur Frederick W. Lanchester (18681946) publizierte schon 1915 ähnliche Überlegungen.
Das Gesetz besagt, dass eine Windkraftanlage theoretisch maximal 16/27 (knapp 60 Prozent) jener mechanischen Leistung, die der Wind ohne den bremsenden Rotor durch dessen Projektionsfläche transportieren würde, in Nutzleistung umwandeln kann. Die Geschwindigkeit hinterdem Rotor sinkt bei maximaler Umwandlung auf 1/3.
DerGrund ist, dass die Energieabgabe mit einer Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit und einem Luftstau einhergeht, der einen Teil der heranströmenden Luft der Rotorfläche ausweichen lässt.
Zwei weitere Ansätze werden mitgeteilt.
1. Ansatz von Betz (Energieerhaltungssatz)
Die Überlegungen von Betz sind folgende:
Die Anströmleistung des Windes im Windradquerschnitt ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Index 0 vor dem Windrad
Index 1 hinter dem Windrad
P Windleistung
p Dichte der Luft, als konstant angenommen
V Volumendurchsatz der Luft
A Querschnitt des Windrades
w Windgeschwindigkeit
Die zu maximierende Leistung des Windrades beträgt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe. Die unabhängige Variable w1 ist so zu bestimmen, dass P0 - P1 ein Maximum wird. Vorher ist V noch zu substituieren, da es eine Funktion von w1 ist.
Betz setzt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Er nimmt also an, dass die Durchströmgeschwindigkeit durch das Windrad dem arithmetischen Mittel der Zu- und Abströmgeschwindigkeit entspräche.
Er erhält dann
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Setzt man W = w1/ w0als dimensionslose Optimierungsvariable, so ergibt sich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Differentiation und Nullsetzen ergibt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2. Ansatz von Gail (Energieerhaltungssatz)
Bei der Substitution von V in der Gleichung für die Leistung des Windrads wird nicht V = A (wo+ Wi)/2, sondern V = A wi gesetzt. Es wird angenommen, dass die Durchströmgeschwindigkeit gleich derAbströmgeschwindigkeit ist.
Damit wird
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Setzt man W = wi/ wo als dimensionslose Optimierungsvariable, so ergibt sich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Differentiation und Nullsetzen ergibt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3. Ansatz entsprechend Impulserhaltungssatz
Nach dem Impulssatz ist[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Ferner die Leistungen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Damit wird
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn bei den Ansätzen von Betz und Gall die Durchströmgeschwindigkeit gleich der Zuströmgeschwindigkeit gesetzt wird.
blau: Betz gelb: Gall grün: Impulssatz
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Betzsche Gesetz, und wer hat es formuliert?
Das Betzsche Gesetz ist eine theoretische Grundlage zur Gewinnung von Windenergie. Es besagt, dass eine Windkraftanlage theoretisch maximal 16/27 (knapp 60 Prozent) der mechanischen Leistung des Windes in Nutzleistung umwandeln kann. Es wurde von dem deutschen Ingenieur Albert Betz formuliert.
Wann wurde das Betzsche Gesetz erstmals formuliert?
Albert Betz formulierte das Gesetz erstmals im Jahr 1919. Sieben Jahre später erschien es in seinem Buch "Wind-Energie und ihre Ausnutzung durch Windmühlen."
Was besagt das Betzsche Gesetz über die Windgeschwindigkeit hinter dem Rotor bei maximaler Umwandlung?
Das Betzsche Gesetz besagt, dass die Windgeschwindigkeit hinter dem Rotor bei maximaler Umwandlung auf 1/3 sinkt.
Warum kann eine Windkraftanlage nicht die gesamte Windenergie umwandeln?
Die Energieabgabe geht mit einer Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit und einem Luftstau einher. Dies führt dazu, dass ein Teil der heranströmenden Luft der Rotorfläche ausweicht.
Welche drei Ansätze werden in Bezug auf die Theorie der Windräder verglichen?
Es werden der Ansatz von Betz (Energieerhaltungssatz), der Ansatz von Gail (Energieerhaltungssatz) und ein Ansatz entsprechend dem Impulserhaltungssatz verglichen.
Wie berechnet Betz die Anströmleistung des Windes im Windradquerschnitt?
Die Anströmleistung des Windes im Windradquerschnitt wird berechnet als P = 1/2 * p * V * w0^2, wobei p die Dichte der Luft, V der Volumendurchsatz der Luft, und w0 die Windgeschwindigkeit vor dem Windrad ist.
Welche Annahme trifft Betz bezüglich der Durchströmgeschwindigkeit durch das Windrad?
Betz nimmt an, dass die Durchströmgeschwindigkeit durch das Windrad dem arithmetischen Mittel der Zu- und Abströmgeschwindigkeit entspricht, also V = A * (w0 + w1)/2, wobei A der Querschnitt des Windrades ist.
Wie unterscheidet sich der Ansatz von Gail vom Ansatz von Betz?
Bei der Substitution von V in der Gleichung für die Leistung des Windrads wird beim Ansatz von Gail V = A * w1 gesetzt, anstatt V = A * (w0 + w1)/2 wie bei Betz. Es wird angenommen, dass die Durchströmgeschwindigkeit gleich der Abströmgeschwindigkeit ist.
Wie lautet der Impulssatz im Kontext der Windradtheorie?
Nach dem Impulssatz gilt F = p * A * w0 * (w0 - w1), wobei F die Kraft ist.
Was passiert, wenn bei den Ansätzen von Betz und Gall die Durchströmgeschwindigkeit gleich der Zuströmgeschwindigkeit gesetzt wird?
Man erhält das gleiche Ergebnis wie beim Ansatz entsprechend dem Impulserhaltungssatz.
Wie werden die verschiedenen Ansätze in der Abbildung dargestellt?
Der Ansatz von Betz ist blau dargestellt, der Ansatz von Gail gelb, und der Ansatz basierend auf dem Impulssatz grün.
Was sind die Variablen, die in den Formeln verwendet werden?
Die wichtigsten Variablen sind: P (Windleistung), p (Dichte der Luft), V (Volumendurchsatz der Luft), A (Querschnitt des Windrades), w (Windgeschwindigkeit), mit den Indizes 0 (vor dem Windrad) und 1 (hinter dem Windrad).
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- Rainer Gall (Author), 2014, Theorie der Windräder: Ansätze von Betz und Gall. Vergleich mit dem Impulserhaltungssatz, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/263921
