Quasiprimitivität einer (endlichen) Gruppe wird als eine gemeinsame Verallgemeinerung von Einfachheit und Kommutativität zunächst charaktertheoretisch definiert. Anschließend wird die Äquivalenz dieser Eigenschaft zur "Konjugationsautonomie" aller Normalteiler der jeweils gegebenen Gruppe bewiesen.
Unter Rückgriff auf Folgerungen aus dem Klassifikationstheorem endlicher einfacher Gruppen gelingt eine vollständige Charakterisierung quasiprimitiver endlicher Gruppen.
Es wird gezeigt, daß jede auflösbare quasiprimitive Gruppe bereits kommutativ ist.
Weiterhin werden Verallgemeinerungen betrachtet, in denen der homogene Zerfall irreduzibler Charaktere nicht mehr über allen Normalteilern, sondern z.B. nur noch über charakteristischen (vollinvarianten) Untergruppen gefordert wird. Es wird gezeigt, daß jede dieserart charakteristisch - (bzw. vollinvariant-) quasiprimitive und auflösbare Gruppe sogar nilpotent von kleiner Klasse ist.
Die charakteristisch-quasiprimitiven p-Gruppen mit primzyklischer Kommutatorgruppe werden vollständig charakterisiert.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Grundlegende Definitionen und Sätze
- Der Begriff der quasiprimitiven Gruppe.
- Einfache Gruppen.
- Kommutatoren, Klasse-2-nilpotente und p-Gruppen
- Quasiprimitivität
- Modifikationen
- Charakteristische Quasiprimitivität
- K-Quasiprimitivität
- Zentralistische Gruppen
- Nachbetrachtungen
- Quasinilpotenz
- Permutationsgruppen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Verallgemeinerung der Begriffe Kommutativität und Einfachheit in der Gruppentheorie. Im Zentrum steht die Definition und Analyse des Konzepts der Quasiprimitivität einer Gruppe, das als gemeinsame Verallgemeinerung dieser beiden grundlegenden Begriffe aufgefasst werden kann. Das Ziel der Arbeit ist es, die Eigenschaften quasiprimitiver Gruppen innerhalb der etablierten gruppentheoretischen Systematik zu untersuchen und einzuordnen.
- Charakterisierung und Definition der Quasiprimitivität
- Analyse von Vererbungseigenschaften der Quasiprimitivität auf Normalteiler und Faktorgruppen
- Erarbeitung einer strukturellen Beschreibung quasiprimitiver Gruppen
- Untersuchung von Modifikationen und Abschwächungen des Begriffs der Quasiprimitivität
- Zusammenhänge zwischen Quasiprimitivität und anderen gruppentheoretischen Begriffen wie Auflösbarkeit und Nilpotenz
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Dieses Kapitel bietet eine allgemeine Einführung in die Thematik der Arbeit und motiviert die Untersuchung des Begriffs der Quasiprimitivität. Es stellt die Relevanz der Arbeit im Kontext der Gruppentheorie dar.
- Grundlegende Definitionen und Sätze: Dieses Kapitel führt wichtige Definitionen und Sätze der Gruppentheorie ein, die für das Verständnis der Arbeit essentiell sind. Dazu gehören insbesondere die Begriffe der quasiprimitiven Gruppe, einfacher Gruppen, Kommutatoren, Klasse-2-nilpotenter Gruppen und p-Gruppen.
- Quasiprimitivität: Dieses Kapitel definiert den Begriff der Quasiprimitivität und analysiert dessen grundlegende Eigenschaften. Es präsentiert eine äquivalente Beschreibung quasiprimitiver Gruppen, die keine direkten Bezug auf Gruppencharaktere nimmt, und untersucht die Vererbungseigenschaften der Quasiprimitivität auf Normalteiler und Faktorgruppen. Das Kapitel stellt fest, dass eine nichtabelsche quasiprimitive Gruppe nicht auflösbar sein kann und entwickelt eine strukturelle Beschreibung quasiprimitiver Gruppen.
- Modifikationen: Dieses Kapitel befasst sich mit möglichen Abschwächungen des Begriffs der Quasiprimitivität und untersucht die entsprechenden Modifikationen der im vorherigen Kapitel gewonnenen Aussagen. Es analysiert insbesondere die Auswirkungen der Abschwächungen auf die Struktur auflösbarer Gruppen.
Schlüsselwörter
Die Arbeit fokussiert auf die zentralen Begriffe Quasiprimitivität, Gruppencharaktere, einfache Gruppen, Normalteiler, Faktorgruppen, Auflösbarkeit, Nilpotenz, Kommutativität, strukturelle Beschreibung, Modifikationen, Abschwächungen, Vererbungseigenschaften.
Häufig gestellte Fragen
Was definiert eine quasiprimitive Gruppe in der Mathematik?
Quasiprimitivität wird als eine gemeinsame Verallgemeinerung von Einfachheit und Kommutativität definiert. Charaktertheoretisch bedeutet es, dass jeder irreduzible Charakter der Gruppe über jedem Normalteiler homogen zerfällt.
Sind auflösbare quasiprimitive Gruppen immer kommutativ?
Ja, die Arbeit beweist, dass jede auflösbare quasiprimitive Gruppe notwendigerweise bereits kommutativ (abelsch) ist.
Was ist der Unterschied zwischen Quasiprimitivität und charakteristischer Quasiprimitivität?
Während bei der Quasiprimitivität der homogene Zerfall über allen Normalteilern gefordert wird, beschränkt sich die charakteristische Quasiprimitivität auf den Zerfall über charakteristischen (vollinvarianten) Untergruppen.
Welche Struktur haben charakteristisch-quasiprimitive p-Gruppen?
Solche Gruppen, insbesondere wenn sie eine primzyklische Kommutatorgruppe besitzen, sind nilpotent von kleiner Klasse. Die Arbeit liefert hierfür eine vollständige Charakterisierung.
Wie hängen Quasiprimitivität und Konjugationsautonomie zusammen?
Die Arbeit beweist die Äquivalenz zwischen der Eigenschaft der Quasiprimitivität und der "Konjugationsautonomie" aller Normalteiler der gegebenen Gruppe.
- Quote paper
- Dr. René Bartsch (Author), 1996, Über Gruppen, deren irreduzible Charaktere sämtlich quasiprimitiv sind, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/26
