„Keinerlei Glaubwürdigkeit ist in jenen Wissenschaften, die sich der
mathematischen Wissenschaften nicht bedienen oder keine Verbindung zu ihnen
haben“. (Leonardo da Vinci)
Frei nach diesem Zitat genießt mathematisches Modellieren von einfachen und
komplexen ökonomischen Sachverhalten in den Wirtschaftswissenschaften eine
enorme Bedeutung. Bei der Modellierung von dynamischen Systemen –also wenn
die Änderungsrate einer Größe von der Größe selbst abhängig ist – sind
Differentialgleichungen, oft mit DGL abgekürzt, unentbehrlich. So kommen in
vielen ökonomischen Modellen, insbesondere im Zusammenhang mit Produktionsund
Nutzenfunktionen, Wachstums- und Marktprozessen, Differentialgleichungen
vor. Im Allgemeinen werden Gleichungen in denen Funktionen als Unbekannte
gemeinsam mit ihrer Ableitung vorkommen Differentialgleichungen genannt.
Diese Bachelorarbeit thematisiert „gewöhnliche Differentialgleichungen“ mit
Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften und baut dabei auf Kenntnissen
aus den Vorlesungen Mathematik 1 und 2 für Wirtschaftswissenschaftler der
Universität Hamburg auf. Zum erleichterten Verständniss findet sich im Anhang
eine kleine Formelsammlung.
Durch die Harmonisierung von Theorie und Praxis wird in dieser Ausarbeitung das
Ziel verfolgt Lösungsansätze und Erkennungsmerkmale für Differentialgleichungen
sowie ihre Herleitung und ihr Verhalten exemplarisch darzustellen.
Da das Themengebiet der Differentialgleichungen sehr umfangreich ist, erhebt
diese Bachelorarbeit nicht den Anspruch alle Fassetten zu beleuchten. Es wird ein
Fokus auf Formen und Methoden gesetzt um ausgewählte Modelle näher
betrachten zu können. Sollte der Beweis eines Satzes, bzw. Lemmas von
besonderer Bedeutung für das Verständnis sein, wird dieser explizit bewiesen.
Als Einstieg in die Thematik werden die stetige Verzinsung anhand einer
Differentialgleichung hergeleitet und zwei Populationsmodelle betrachtet. Nach
Einführung von einigen Klassifizierungen werden Lösungsansätze für
Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung, gefolgt vom „Goodwin-
Modell zur Erklärung von Konjunkturschwankungen“ – musterhaft für
Differentialgleichungssysteme – erarbeitet und analysiert.
Inhaltsverzeichnis
1. Vorwort
2. Einführung und Klassifizierung von Differentialgleichungen
2.1. Stetige Verzinsung und ein einfaches Populationsmodell
2.2. Die Logistische-Differentialgleichung und die Weltpopulation
2.3. Klassifizierungen von Differentialgleichungen
2.3.1. Gewöhnlich und partielle Differentialgleichungen
2.3.2. Ordnung von Differentialgleichungen
2.3.3. Lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen
2.3.4. Homogene und inhomogene Differentialgleichungen
3. Differentialgleichungen erster Ordnung
3.1. Trennung der Variablen
3.2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung – Variation der Konstanten
3.3. Elastizitäten sowie Eindeutigkeit und Existenz von Lösungen
3.4. Nicht-lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
3.4.1. Exakte Differentialgleichungen erster Ordnung
3.4.2. Integrierender Faktor
4. Differentialgleichungen n-ter Ordnung
4.1. Charakteristische Gleichung – homogener Fall
4.2. Spezielle Lösung – inhomogener Fall
4.3. Angebot, Nachfrage und der Preis
5. Differentialgleichungssysteme
6. Das Konjunkturmodell von Goodwin - Die Lotka-Volterra-Gleichungen
6.1. Modellannahmen
6.2. Herleitung des Differentialgleichungssystems
6.3. Analyse des Modells
7. Nachwort
I. Anhang
Populationsprognosen
Formelsammlung
Mengen
Differentiations- und Integrationsregeln
II. Literaturverzeichnis
- Quote paper
- Yakub Nase (Author), 2012, Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/215230
