Bei modernen Anlagen und Apparaten treten überwachungstechnische Aspekte mehr und mehr in den Vordergrund. Das Ziel ist nicht mehr nur die Entwicklung funktionierender und zuverlässig arbeitender Systeme, sondern immer häufiger auch die Implementierung einer raschen und verlässlichen Fehlererkennung und Auswertung. Nur dadurch ist gewährleistet mögliche Verluste im Fehlerfall – durch zu langen Funktionsausfall oder etwaige Folgeschäden – gering zu halten.
Als Beispiel genügt bereits ein kurzer Blick auf die Veränderungen in der Kraftfahrzeugtechnik. Immer komplexere Aggregate und Fahrzeugsysteme erfordern eine genauso komplexe Überwachung. Beschränken sich in älteren Fahrzeugen Warnsysteme meist nur auf Öltemperatur und -druck, so finden sich bei modernen Kraftfahrzeugen eine Vielzahl von Warn- und Fehleranzeigen. Aufgetretene Fehler werden gar zusammen mit verschiedenen Parametern wie Geschwindigkeit und Drehzahl in einem Fehlerspeicher abgelegt und können zur Analyse mit Computern (Bild 1.1) ausgelesen werden. Bei schwerwiegenden Fehlern im Fahrbetrieb aktiviert eine Steuereinheit ein so genanntes Notlaufprogramm und schützt den Motor so vor Beschädigung.
Bild 1.1: Kraftfahrzeug-Diagnosegerät KTS650 (Bosch)
[Bild 1.1 in Downloaddatei enthalten]
Besonders wichtig ist eine automatisierte Fehlererkennung bei Systemen, die weitgehend autark – also ohne bedienendes Personal vor Ort – arbeiten. Solche Systeme können weit abgelegen sein und von einer Zentralen Schaltwarte kontrolliert und gesteuert werden. Im Fehle rfall ist hier ein schnelles Eingreifen – gegebenenfalls über Fernleittechnik – entscheidend, um größere Schäden zu verhindern.
Solch ein weitgehend autark arbeitendes System stellt auch eine Pipeline dar (Bild 1.2). Hier werden über weite Strecken – häufig gar über hunderte von Kilometern hinweg in abgelegenen Gebieten – verschiedenste Stoffe transportiert.
Solche Pipelinesysteme sind heute aus Industrie und Wirtschaft kaum noch wegzudenken. Bei abgelegenen Rohstoffförderanlagen bieten Pipelines eine Möglichkeit des günstigen Transports zu Verlade- oder Verarbeitungsstätten. In großflächigen und trockenen Gebieten dienen sie zum Trinkwassertransport von Entsalzungsanlagen oder abgelegenen Brunnen hin zu Zwischenspeichern; sogar unter Wasser in Meeren und Ozeanen werden Pipelines eingesetzt. Hier transportieren sie Erdgas oder Rohöl von Offshore-Förderanlagen zum Festland.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Strömungslehre
2.1 Grundbegriffe der Strömungslehre
2.1.1 Stromlinienmodell
2.1.2 Kontinuität
2.2 Reibungsfreie (ideale) Fluide
2.2.1 Bernoulli-Gleichung
2.3 Reibungsbehaftete Strömungen
2.3.1 Innere Reibung und Viskosität
2.3.2 Reynolds-Zahl
2.3.3 Geschwindigkeitsprofile von Rohrströmungen
3 Mathematisch-physikalisches Modell
3.1 Erhaltungssätze
3.1.1 Impulserhaltung
3.1.2 Masseerhaltung
3.1.3 Energieerhaltung
3.2 Anwendung der Erhaltungssätze auf Rohrströmung
3.3 Modellgleichungen
3.3.1 Herleitung aus den Erhaltungssätzen
3.3.2 Analyse der Modellgleichungen
3.4 Numerische Lösung
3.4.1 Anwendung des Charakteristikenverfahrens
3.4.2 Bestimmtheitsgebiete und Randbedingungen
3.4.3 Lösungsalgorithmus für MATLAB
3.4.4 Beispiel einer Modellpipeline
3.5 Parameterschätzung des Reibungsbeiwertes
3.6 Simulation des leckfreien Pipeline-Betriebs
4 Leckage-Fall
4.1 Leckmodell
4.2 Leckerkennung und Leckflussschätzung
4.2.1 Dynamische Massenbilanz
4.2.2 Kreuzkorrelationsverfahren
4.2.3 Modifiziertes Kreuzkorrelationsverfahren
4.3 Leckortung
4.4 Simulation
4.4.1 Leckmodell
4.4.2 Leckerkennung und Leckflussschätzung
4.4.3 Leckortung
5 Zusammenfassung
Anhang MATLAB Quellcodes
Abkürzungsverzeichnis
Literaturverzeichnis
1 Einleitung
Bei modernen Anlagen und Apparaten treten überwachungstechnische Aspekte mehr und mehr in den Vordergrund. Das Ziel ist nicht mehr nur die Entwicklung funktionierender und zuverlässig arbeitender Systeme, sondern immer häufiger auch die Implementierung einer raschen und verlässlichen Fehlererkennung und Auswertung. Nur dadurch ist gewährleistet mögliche Verluste im Fehlerfall - durch zu langen Funktionsausfall oder etwaige Folgeschä-den - gering zu halten.
Als Beispiel genügt bereits ein kurzer Blick auf die Veränderungen in der Kraftfahrzeugtech-nik. Immer komplexere Aggregate und Fahrzeugsysteme erfordern eine genauso komplexe Überwachung. Beschränken sich in älteren Fahrzeugen Warnsysteme meist nur auf Öltempe-ratur und -druck, so finden sich bei modernen Kraftfahrzeugen eine Vielzahl von Warn- und Fehleranzeigen. Aufgetretene Fehler werden gar zusammen mit verschiedenen Parametern wie Geschwindigkeit und Drehzahl in einem Fehlerspeicher abgelegt und können zur Analyse mit Computern (Bild 1.1) ausgelesen werden. Bei schwerwiegenden Fehlern im Fahrbetrieb aktiviert eine Steuereinheit ein so genanntes Notlaufprogramm und schützt den Motor so vor Beschädigung.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 1.1: Kraftfahrzeug-Diagnosegerät KTS650 (Bosch)
Besonders wichtig ist eine automatisierte Fehlererkennung bei Systemen, die weitgehend autark - also ohne bedienendes Personal vor Ort - arbeiten. Solche Systeme können weit abgelegen sein und von einer Zentralen Schaltwarte kontrolliert und gesteuert werden. Im Fehlerfall ist hier ein schnelles Eingreifen - gegebenenfalls über Fernleittechnik - entscheidend, um größere Schäden zu verhindern.
Solch ein weitgehend autark arbeitendes System stellt auch eine Pipeline dar (Bild 1.2). Hier werden über weite Strecken - häufig gar über hunderte von Kilometern hinweg in abgelegenen Gebieten - verschiedenste Stoffe transportiert.
Solche Pipelinesysteme sind heute aus Industrie und Wirtschaft kaum noch wegzudenken. Bei abgelegenen Rohstoffförderanlagen bieten Pipelines eine Möglichkeit des günstigen Trans-ports zu Verlade- oder Verarbeitungsstätten. In großflächigen und trockenen Gebieten dienen sie zum Trinkwassertransport von Entsalzungsanlagen oder abgelegenen Brunnen hin zu Zwi-schenspeichern; sogar unter Wasser in Meeren und Ozeanen werden Pipelines eingesetzt. Hier transportieren sie Erdgas oder Rohöl von Offshore-Förderanlagen zum Festland.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 1.2: Rohölpipeline
Ganze Pipelinenetze kommen zur Anwendung, wenn kleinere Brunnen oder Förderanlagen miteinander zu verbinden sind um folgende größere Pipelines zu nutzen. Auch hier handelt es sich meist um Anlagen, die nur mit wenig oder ganz ohne Bedienpersonal arbeiten.
Bei einer Pipeline ist eine einwandfreie Funktion von hoher Wichtigkeit. Kommt es hier zu einem Leck, das möglicherweise gewisse Zeit unentdeckt bleibt, so ist immer mit einem ho-hen Schaden zu rechnen. Austretendes Rohöl oder andere chemische Stoffe führen innerhalb kürzester Zeit zu einer starken Verschmutzung der direkten Umwelt und ziehen hohe Kosten für die Dekontaminierung des betroffenen Bodens nach sich. Im Meer ist ein möglicher Scha-den an einer Pipeline ebenfalls mit schweren Folgen für die in dem Bereich befindliche Tier-und Pflanzenwelt verbunden. Selbst wenn es sich lediglich um eine Trinkwasserpipeline han delt, ist die schnelle Erkennung eines Fehlers wichtig. Gerade in trockenen Gebieten ist Trinkwasser ein wichtiger und teurer Rohstoff.
Die Entwicklung einer Möglichkeit zur Überwachung solcher Pipelines mit Hilfe von Fern-leittechnik ist langfristiges Ziel der Behandlung dieses Themenkomplexes. Vor dem Entwurf eines Überwachungssystems für Pipelines oder ganze Pipelinesysteme gilt es jedoch die strö-mungstechnischen Vorgänge in einer Rohrleitung hinreichend genau zu untersuchen und zu verstehen. Eine grundlegende Einführung in den Komplex der Strömungsmechanik gibt hier-zu Kapitel 2.
Wie bei jedem Systementwurf muss zur Beschreibung der Vorgänge zuerst eine genaue ma-thematische Modellbildung erfolgen. Dies ist Ziel des Kapitels 3 dieser Arbeit und wird dort vorgenommen. Besonderer Wert wird bei der Modellbildung auf die Beschränkung der zur Verfügung stehenden Parameter gelegt. So ist es das Ziel, lediglich mit den zur Verfügung stehenden Druck- und Durchflussmesswerten von Anfangs- und Endpunkt, sowie den gege-benen Parametern der Pipeline und des Fluids das Druck- und Durchflussverhalten der Pipeli-ne über die gesamte Länge zu berechnen. Dazu muss zunächst ein geeignetes Lösungsverfah-ren für die Modellgleichungen gefunden und in MATLAB implementiert werden. Außerdem wird ein Verfahren benötigt, dass während des Pipeline-Betriebes Modellparameter kalibriert. Im Abschnitt 3.4.4 wird eine Modell-Trinkwasserpipeline eingeführt, die für alle folgenden Simulationen als Beispiel dient.
Während in Kapitel 3 der Normalbetrieb der Pipeline behandelt wird, widmet sich Kapitel 4 mit dem Störfall, dem Auftreten eines Lecks. Zuerst müssen die Auswirkungen einen Lecks auf die Pipeline und auf das Modell theoretisch untersucht werden. Im Störfall müssen dann zwei Phasen ablaufen, die Fehlererkennung und die Fehlerdiagnose. Auftretende Lecks müs-sen so schnell wie möglich erkannt werden ohne Fehlalarme zu produzieren. Auch kleine Lecks, also solche, die unter der Messgenauigkeit der Sensoren liegen, dürfen nicht unerkannt bleiben. Zur Fehlerdiagnose gehören die Leckflussschätzung und die möglichst genaue Leck-ortung um Gegenmaßnahmen einleiten zu können. Für beide Phasen der Fehlerbehandlung werden Verfahren hergeleitet, vorgestellt und durch Simulationen überprüft. Alle diese Ver fahren beruhen auf dem transiente Pipeline-Modell. Andere Verfahren (z.B. Druckfallverfahren, Line Balancing, Auswertung der Druckwellen beim Leckauftritt) werden in dieser Arbeit nicht behandelt.
Die auskommentierten Programmcodes befinden sich abschließend im Anhang.
2 Strömungslehre
In diesem Kapitel wird eine Basis für alle weitergehenden Betrachtungen gebildet und ein Grundwissen über das Themengebiet vermittelt. Alle späteren Vertiefungen stützen sich auf die folgenden Grundsätze.
2.1 Grundbegriffe der Strömungslehre
Während bei festen Körpern die Atome fest aneinander gebunden sind, sind sie bei Flüssigkeiten (Fluiden) frei verschiebbar und können so ihren Ort mit dem der Nachbaratome vertauschen. Fluide haben daher ein bestimmtes Volumen, aber keine bestimmte Form. Bei einer exakten Betrachtung von strömenden Fluiden ist jedes einzelne Atom einzubeziehen, was mit vertretbarem Aufwand nicht möglich ist. Aus diesem Grund müssen für ein mathematisch beschreibbares Modell Vereinfachungen getroffen werden.
Eine Möglichkeit zur Beschreibung strömender Fluide stellt das im Folgenden beschriebene Stromlinienmodell dar.
2.1.1 Stromlinienmodell
Strömungen, bei denen alle Geschwindigkeiten überall nach Betrag und Richtung zeitlich konstant sind, heißen stationär. Das Stromlinienmodell erlaubt eine einfache Visualisierung von Strömungsvorgängen. Dabei wird die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v durch die Tangente an einer Stromlinie definiert, während der Betrag von v durch die Dichte der Stromlinien angegeben wird. Da es in einer Strömung unendlich viele Stromlinien gibt, wird nur ein Teil der Stromlinien zur Darstellung verwendet. Ein ausgewähltes Stromlinienbündel bildet dann eine Stromröhre (Bild 2.1) und die darin befindliche Flüssigkeit heißt Stromfaden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2.1: Stromlinienbild einer stationären Strömung
In der Strömungslehre unterscheidet man zwei Arten von Strömungen: Kreuzen sich die Stromlinien einer Strömung nicht, spricht man von einer laminaren Strömung. Praktisch be-deutet dies, dass keine Verwirbelung des Fluids stattfindet. Im Gegensatz dazu heißt eine verwirbelte Strömung turbulent. Unter welchen Bedingungen sich laminare oder turbulente Strömungen ausbilden, wird im Abschnitt 2.3.2 behandelt. Vorerst werden laminare Strömun-gen betrachtet.
2.1.2 Kontinuität
Laut Definition des Stromlinienmodells tritt durch die Wände einer Stromröhre weder Flüssigkeit ein noch aus. Der Massestrom d m/ d t durch die Stromröhre ist demnach konstant:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mit der Dichte ρ als das Verhältnis der Masse m eines Fluids zu seinem Volumen V gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Geht man von einem inkompressiblen Fluid aus, bleibt die Dichte konstant und damit auch der Volumenstrom d V/ d t:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.2 Reibungsfreie (ideale) Fluide 9
Diese Kontinuitätsgleichung lässt unter den genannten Einschränkungen folgende Schlüsse zu4: Wenn die Geschwindigkeit entlang einer Stromlinie zunimmt, muss sich der Querschnitt der Stromröhre verengt haben. Umgekehrt gilt ebenso, dass eine Verengung der Röhre mit einer Erhöhung der Fließgeschwindigkeit einhergeht.
2.2 Reibungsfreie (ideale) Fluide
Zur Entwicklung grundlegender Gesetze ist es zunächst vorteilhaft von einem idealen Fluid auszugehen. Eine mathematisch zulässige, aber praktisch nie erreichbare Vereinfachung für eine Strömung ist die Annahme der völligen Reibungsfreiheit und Inkompressibilität. Während letztere noch in großen Bereichen für Fluide und teilweise sogar für Gase Gültigkeit besitzt, ist die Reibungsfreiheit praktisch nicht annähernd realisierbar. Verfeinerungen des Modells können danach eingearbeitet werden.
Ein Fluid, das als reibungsfrei und inkompressibel betrachtet wird, heißt ideal.
Bei Vernachlässigung der Reibung ist bei strömenden Fluiden genau wie in der Mechanik starrer Körper keine äußere Kraft notwendig um eine konstante Geschwindigkeit zu erhalten. In anderen Worten: Eine Strömung durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt kann bei Reibungsfreiheit ohne Druckdifferenz an den Enden aufrecht erhalten werden9.
2.2.1 Bernoulli-Gleichung
Gemäß Abschnitt 2.1.2 muss sich bei einer Verengung des Rohres die Fließgeschwindigkeit erhöhen. Dazu ist eine Druckdifferenz notwendig, wobei der Druck p als eine auf eine Fläche A bezogene Normalkraft Fn definiert ist. Bild 2.2 stellt eine solche Verengung des Rohres dar.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2.2: Drücke und Geschwindigkeiten in einem Rohr mit Verengung bei idealer Strömung
Ein Flüssigkeitselement [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird durch eine Kraft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beschleunigt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ersetzen von ∆ durch d und anschließendes Integrieren von (1) nach (2) führt zu
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Durch Umstellen erhält man die Bernoulli-Gleichung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Differenz aus dem statischen Druck p und dem Gesamtdruck pges ist der Staudruck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Bernoulli-Gleichung in Form von (2.9) vernachlässigt jedoch einen möglichen Schweredruck, der z.B. aus der potenziellen Energie resultiert (Bild 2.3).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2.3: Erweiterung des Gesamtdrucks um den Schweredruck
Die Addition dieses Schweredrucks ρ gh zum statischen und Staudruck führt zur verallgemeinerten Bernoulli-Gleichung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Durch Umformen lässt sich (2.10) auch in Höhengrößen oder massenbezogenen (spezifischen) Energiegrößen ausdrücken. In diesem Fall wird sie zur Energiegleichung für ideale Flüssigkeiten - die Summe der spezifischen Strömungsenergieformen ist konstant5:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die hier dargestellte Bernoulli-Gleichung und ihre Umwandlungen gelten nur für ideale Strömungen, allmähliche Querschnittsveränderungen und ohne Wärmeaustausch mit der Um-gebung.
2.3 Reibungsbehaftete Strömungen
Im Gegensatz zu idealen Fluiden treten in der Realität Reibungseffekte auf. Durch diese Reibungseffekte wird kinetische Energie in Wärme umgewandelt; die theoretischen Gesetzmäßigkeiten des idealen Fluids müssen dementsprechend zum realen Fluid hin erweitert werden. Hiervor ist es notwendig einige Begriffsbestimmungen vorzunehmen.
2.3.1 Innere Reibung und Viskosität
Bewegen sich Volumenelemente einer Flüssigkeit mit einer Geschwindigkeitsdifferenz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aneinander vorbei, tritt Reibung als Folge von Kohäsionskräften auf. Diese Reibung nennt man innere Reibung. Sie ist eine volumenbezogene Kraft und zur Geschwindigkeit proportio-nal.
Die Viskosität eines Fluids gibt an, wie stark das Medium Formänderungen widersteht. Sie wird durch innere Schubspannungen verursacht und ist vom Druck und vor allem von der Temperatur abhängig. Zur mathematischen Definition der Viskosität stellt man sich ein Fluid zwischen zwei parallelen, unendlich großen Platten vor (Bild 2.4). Die untere befindet sich in Ruhe, die obere bewegt sich mit der Geschwindigkeit v. In Folge der Adhäsion bleibt an jeder der Platten eine dünne Schicht des Mediums haften, so dass ein Geschwindigkeitsgefälle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] über den Abstand x entsteht.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2.4: Zur Herleitung der inneren Reibung
Da dieser Reibungswiderstand eine verzögernde Wirkung ausübt, wird zur Aufrechterhaltung der Geschwindigkeit v eine beschleunigende Kraft F benötigt. Nach Newton ist die Kraft proportional dem Geschwindigkeitsgefälle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und der Fläche A. Mit dem noch benötigtem Proportionalitätsfaktor η folgt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Setzt man die Kraft ins Verhältnis mit der Fläche, erhält man die Schubspannungτ :
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Proportionalitätsfaktor η gibt die Zähigkeit eines Fluids an und wird die dynamische Viskosität oder auch nur kurz Viskosität genannt. Sie gilt nur für newtonsche Flüssigkeiten und ist wie folgt definiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Neben der dynamischen Viskosität wird in der Strömungstechnik auch häufig mit der kinema-tischen Viskosität ν gearbeitet, welche die dynamische Viskosität bezogen auf die Dichte angibt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Reynolds-Zahl Re sagt aus, ob und wie stark eine Wirbelbildung stattfindet. Sie entsteht mit Hilfe der Ähnlichkeitsmechanik, da bei Strömungsproblemen realer Fluide eine analyti-sche Lösung nur in wenigen Fällen möglich ist. Um Ergebnisse experimenteller Untersuchun-gen auf zu behandelnde Strömungsvorgänge beziehen zu können, ist zwischen Versuchs- und Originalströmung physikalische Ähnlichkeit notwendig. Diese Forderung ist erfüllt, wenn Proportionalität der äußeren Abmessungen, Proportionalität der Oberflächenbeschaffenheit sowie Proportionalität aller an der Strömung beteiligten mechanischen Größen und Stoffei-genschaften gegeben sind5.
Die Reynolds-Zahl Re berechnet sich aus der Strömungsgeschwindigkeit v, der kinematischen Viskosität ν und der charakteristischen Dimension d, welche bei Rohren dem Durchmesser D entspricht:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Durch die Reynolds-Zahl wird das Verhältnis von Trägheits- und Reibungskräften ausgedrückt. Bedeutet eine kleine Reynolds-Zahl weitestgehend laminare Strömung und somit ein Überwiegen der Reibungskräfte, weist dagegen eine große Reynolds-Zahl auf turbulente Strömung und überwiegende Trägheitskräfte hin. Die kritische Reynolds-Zahl Rekrit gibt an, wann laminare in turbulente Strömung umschlägt. In einer glatten Röhre mit dem strömenden Fluid Wasser liegt Rekrit bei ca. 2300.
Das Umschlagen von laminarer zu turbulenter Strömung wird im folgenden Beispiel näher erläutert: In einem geraden Rohr mit konstantem Querschnitt ist das Strömungsverhalten eines Fluids mit konstanter Viskosität zunächst laminar. Trifft eine Stromlinie auf einen Widerstand, wird sie nach oben verdrängt. Eine darüber liegende Stromröhre wird dadurch verengt; die Flüssigkeit dort muss schneller fließen. Da auf Grund des Trägheitsgesetzes eine Erhöhung der Geschwindigkeit ein Abfallen des Drucks nach sich zieht, steigt der Druck unterhalb der gestörten Stromlinie an. Als Folge davon vergrößert sich die Störung. Die Strömung wird „instabil“ und demzufolge turbulent4. Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung ist in Bild 2.5 dargestellt und wird Umschlag genannt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2.5: Strömungsumschlag bei Auftreten einer Störung
2.3.3 Geschwindigkeitsprofile von Rohrströmungen
Dieser Abschnitt befasst sich mit der Frage, mit welcher Geschwindigkeit ein Fluid durch ein Rohr strömt. Ein reibungsbehaftetes Fluid fließt im Gegensatz zum idealen Fluid nicht mit über dem Querschnitt konstanter Geschwindigkeit. Stattdessen wird sich ein - je nach Strömungstyp unterschiedliches - Geschwindigkeitsprofil ausbilden.
Laminare Rohrströmung
Die Berechnung des Geschwindigkeitsprofils bei laminaren Strömungen ist mathematisch einfach und qualitativ leicht zu verstehen. Direkt an der Rohrwand bleiben die Moleküle des
Fluids haften. Dort, wo sie am weitesten von der Rohrwand entfernt sind, also in der Rohrmitte, können sie am schnellsten fließen (Bild 2.6).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2.6: Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Rohrströmung
Für die mathematische Herleitung geht man z.B. nach9 von einem Kräftegleichgewicht aus: Die treibende Kraft Ftr entspricht im stationären Fall der Reibungskraft FR:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ist nicht nötig mit Vektoren zu arbeiten, da die Ausbreitungsrichtung der Strömung im laminaren Fall stets parallel zur Rohrwand ist. Die treibende Kraft entsteht durch einen
Druckunterschied[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf die Kreisfläche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Reibungskraft wird mit dem Newtonschen Reibungsgesetz (2.12) berechnet:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zu beachten ist, dass als Fläche nicht der Rohrquerschnitt eingesetzt wird, sondern die betrachtete reibende Fläche 2π rL. Das Kräftegleichgewicht zwischen Reibungs- und treibender Kraft ergibt nach Umformungen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Integration über r liefert das parabolische Geschwindigkeitsprofil laminarer Rohrströ-mungen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aus der mittleren Geschwindigkeit v und dem Rohrquerschnitt A lässt sich der Volumenstrom V & nach (2.3) berechnen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Diese Gleichung ist das Hagen-Poiseuille-Gesetz, das den Volumenstrom bei laminarer Rohströmung in Abhängigkeit vom Druckgefälle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dem Rohrradius RR und der Viskosität η beschreibt. Anwendung findet sie z.B. beim Durchfluss-Viskosimeter, das zur experimentellen Bestimmung der Viskosität verwendet werden kann.
Turbulente Rohrströmung
Auf Grund der in einer turbulenten Strömung vorkommenden Wirbel findet eine Durchmi-schung einzelner Strömungsfäden statt und es entsteht eine starke Querbewegung. Dadurch erhöht sich die innere Reibung im Fluid. Unterschiede in der Fließgeschwindigkeit, ausge-hend von der Rohrmitte, gehen fast gänzlich verloren. Wie im laminaren Fall bleibt die Fließ-geschwindigkeit an der Rohrwand null. Bild 2.7 stellt qualitativ das Geschwindigkeitsprofil dar.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2.7: Geschwindigkeitsprofil einer turbulenten Rohrströmung
Das quantitative Geschwindigkeitsprofil ist jedoch nicht wie beim laminaren Fall mit einer einfachen mathematischen Beziehung auszudrücken. Hierfür ist es notwendig weitergehende Betrachtungen durchzuführen.
3 Mathematisch-physikalisches Modell
Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Umsetzung und Erweiterung der bisherigen Erkenntnisse. Ziel ist das Erstellen von Rohrmodellgleichungen, deren mathematische Lösung und die Softwaretechnische Implementierung der Systemgleichungen in eine Simulationsumgebung.
3.1 Erhaltungssätze
Sind die bisherigen Beziehungen auf einfache Strömungsformen im Zweidimensionalen beschränkt, so erlauben die Bilanzgleichungen weitaus komplexere Strömungen zu untersuchen. Erst mit ihnen ist es erreichbar, Veränderungen von Kräften, wie z.B. der Reibungs- oder Druckkraft, in Richtung der Koordinaten des Raumes zu berücksichtigen.
3.1.1 Impulserhaltung
Um turbulente Strömungsvorgänge im dreidimensionalen Raum behandeln zu können, wird zuerst ein quaderförmiges Element eines Fluids betrachtet. (Bild 3.1)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3.1: Infinitesimales Strömungselement
Für dieses Strömungselement wird das dynamische Kräftegleichgewicht aufgestellt. Die einzelnen Kräfte sind:
Die Trägheitskraft
Die Trägheitskraft berücksichtigt den Widerstand des Fluids gegen Geschwindigkeitsänderungen. Die volumenbezogene Trägheitskraft berechnet sich aus dem Produkt der Dichte ρ und der Beschleunigung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wie folgt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hier sind jedoch zwei Fälle der Geschwindigkeitsänderung zu berücksichtigen. Zum einen ist dies die Änderung der gesamten Strömungsgeschwindigkeit im Rohr, welche als Orts-beschleunigung bezeichnet wird. Zum anderen kann das Volumenelement an einen anderen Ort in der Strömung transportiert werden und ändert dabei seine Geschwindigkeit auf die dort im Strömungsfeld herrschende. Dieser zweite Fall wird als Feldbeschleunigung bezeichnet.
Die x -Komponente der Ortsbeschleunigung ∂ vx /∂ t und die x -Komponente der Feldbeschleuni-gung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
ergeben für den dreidimensionalen Fall nach10:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist als komponentenweise Anwendung des skalaren Operators [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aufzufas sen.
Die Druckgradientenkraft
Mit Druckgradientenkraft bezeichnet man die Kraft, die durch die Druckverluste entlang der Rohres auftritt. Sie wirkt mit der Strömung und übt deshalb beschleunigende Wirkung in x -Richtung aus. Der Druck pges setzt sich wie in (2.9) aus dem statischen Druck p und dynamischen Druck 1/2 ρ v 2 (Staudruck) zusammen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ä ußere Kräfte
Unter den äußeren Kräften werden alle Kräfte zusammengefasst, die zusätzlich von außen auf das System wirken. Diese können z.B. die Schwerkraft oder die Corioliskraft sein und werden r vorerst mit F ''' bezeichnet.
Die Reibungskraft
Betrachtet wird wieder das Volumenelement eines Fluids, das sich in x -Richtung bewegt. Die Strömung hat ein Geschwindigkeitsgefälle in y -Richtung. Auf jede der Seitenflächen des Vo-lumenelements wirkt eine Reibungskraft, abhängig vom dortigen Geschwindigkeitsgefälle (Bild 3.2).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3.2: Reibungskräfte auf ein Volumenelement einer Strömung
Für die auf linke Stirnfläche wirkende Kraft gilt gemäß[4]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Analog ergibt sich für die rechte Stirnseite, wobei hier das Gefälle abweichen kann:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Gesamtreibungskraft berechnet sich aus der Summe (3.5) und (3.6) zu:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wenn sich die Geschwindigkeit nicht ausschließlich in y -Richtung ändert, ist jede Koordinate zu berücksichtigen, und für die volumenbezogene Reibungskraft ergibt sich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Jetzt ist man in der Lage das vollständige Gleichgewicht aufzustellen und erhält so die Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Fluide:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mit dieser mathematischen Beziehung ist es erstmals möglich turbulente Strömungsvorgänge zu beschreiben.
3.1.2 Masseerhaltung
Ist ein Volumen V(t) abgeschlossen und von äußeren Massequellen unbeeinflusst, so ist die darin enthaltene Masse konstant. Man schreibt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die zeitliche Änderung der Masse [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] setzt sich zusammen aus der Zeitabhängig keit der Dichte ρ im Volumen d V
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
sowie der Änderung des Masseflusses durch die Kontrollfläche A (Bild 3.3) :
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3.3: Durchströmte Fläche A
Für die Summe aus (3.11) und (3.12) ergibt sich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nach kurzem Umformen erhält man
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
was - da V frei wählbar ist und somit der Integrand verschwinden kann - weiter vereinfacht werden kann zu
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Diese Form wird auch als lokale Kontinuitätsgleichung in Eulerscher Darstellung bezeichnet.
3.1.3 Energieerhaltung
Neben Impuls- und Masseerhaltung gilt die Energieerhaltung. Sie kann aus dem ersten Haupt-satz der Thermodynamik abgeleitet werden: Führt man einem System von außen die Wärme-energie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu, so kann sie teilweise zu einer Arbeitsleistung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verbraucht werden, welche deshalb kleiner Null ist4. Der Rest von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] führt zur Steigerung der inneren Energie[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
[...]
1 Albring W. Angewandte Strömungslehre, 4.Auflage Akademischer Verlag, Berlin 1970
2 Billmann L. Methoden zur Lecküberwachung und Regelung von Gasfernleitungen VDI-Verlag, Düsseldorf 1984
3 Geiger G. LEO-Pipe - Leckerkennung und -ortung an Pipelines mittels Druck- und Durchflusssignalen 1991
4 Gerthsen C. Physik Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1993
5 Kalide W. Einführung in die technische Strömungslehre Hanser-Verlag, München, Wien 1990
6 Kittel A. Lecküberwachung - Prinzip und Anwendung TÜV Rheinland, Köln 1979
7 Laurien E. Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Strömungen Vorlesungsskriptum, Universität Stuttgart 2002
8 Matko D., Geiger G., Gregoritza W. Pipeline Simulation Techniques Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam 2000
9 Paus H.J. Physik in Experimenten und Beispielen Hanser-Verlag, München, Wien 1995
10 Platt U. Statik und Dynamik der fluiden Systeme der Erde Vorlesungsskriptum, Universität Heidelberg 2002
11 Prandtl L. Führer durch die Strömungslehre Vieweg-Verlag, Braunschweig 1990
12 Siebert H., Klaiber Th. Leckerkennung und Leckortung an einer Benzin-Pipeline mit einem Mikrorechner 3R-International 6, Heft 19, 1980
13 Streeter V.L. Fluid mechanics, 8th Edition McGraw-Hill, New-York 1985
14 The MathWorks Inc. MATLAB Help The MathWorks Inc, Natick 2002
15 VDI-Gesellschaft Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen VDI-Wärmeatlas, 9. überarbeitete Auflage Springer Verlag, Berlin 2002
16 Zoebl H. Strömung durch Rohre und Ventile Springer Verlag, Berlin 1982
- Arbeit zitieren
- Tom Berger (Autor:in), Michael Weis (Autor:in), 2003, Modellbildung und Simulation einer Pipeline und Entwurf einer Lecküberwachung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/21359
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