„Primzahlen sind die Atome im Reiche der Zahlen.
Aus ihnen setzen sich alle anderen zusammen." (Bartholomé et al. 2001)
Schon seit mittlerweile fast 2500 Jahren interessieren sich Menschen für die Primzahlen. Angefangen
mit den Griechen Euklid, welcher zeigte, dass unendlich viele Primzahlen existieren,
und Eratosthenes, dem es gelang, ein Verfahren zu entwickeln, mit dessen Hilfe man alle
Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Zahl n bestimmen kann, hin zu Mathematikern der
Neuzeit, denen es mit den modernen Verschlüsselungstechniken erstmals gelang, einen wirklichen
Nutzen aus der Thematik zu ziehen. „Noch vor nicht langer Zeit hätte wohl niemand
so in den Alltag hineinreichende praktische Anwendungen der Zahlentheorie für möglich gehalten.“
Fundamentale Ideen und Methoden der Mathematik wurden im Sommersemester 2010 im
Rahmen der gleichnamigen Vorlesung von Klaus-Ulrich Guder an der Leuphana Universität
Lüneburg vertieft. All diese Ideen lassen sich in der sogenannten ‚Verordnung über Masterabschlüsse
für Lehrämter in Niedersachsen’ nachlesen. Das Thema Primzahlen findet sich dort
auf Seite 548 dem Unterpunkt Algebra und hier dem Teilgebiet Grundlagen der elementaren
Zahlentheorie zugeordnet. Da heißt es, dass die Absolventen des Masterstudiengangs im Fach
Mathematik mit dem Schwerpunkt Grundschule wesentliche „Eigenschaften der Primzahlen
[...], [den] Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sowie [das] Aufzeigen
der Bedeutung der Primzahlen für Codierungen“ beherrschen müssen.
Im zum Modul zugehörigen Seminar war es Aufgabe der Studierenden sich mit ausgewählten
Fundamentalen Ideen auseinander zu setzen und ihre Ergebnisse in Form von Referaten dem
Plenum zu präsentieren. Darauf aufbauend wurden die Inhalte gemeinsam in Workshops und
Diskussionen vertieft. Der Leistungsnachweis im Modul bestand darin, das eigene Thema zu einer fachwissenschaftlichen Abhandlung auszubauen. Dies haben wir mit der vorliegenden
schriftlichen Hausarbeit durchgeführt.
Im Folgenden werden wir nun zunächst einmal grundlegende Definitionen und Eigenschaften
von Primzahlen erläutern, um daran anschließend einige Primzahltestverfahren näher zu erläutern.
Im letzten Kapitel werden wir schließlich noch einige besondere Typen von Primzahlen
vorstellen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Definitionen und Eigenschaften von Primzahlen
- Bausteine der natürlichen Zahlen
- Wie viele Primzahlen gibt es?
- Goldbach´sche Vermutung
- Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen
- Sieb des Eratosthenes
- Der kleine Satz von Fermat
- Pseudoprimzahlen & Carmichael-Zahlen
- Besondere Primzahlen
- Primzahlzwillinge und -drillinge
- Fermat-Zahlen
- Mersenne-Zahlen
- Vollkommene Zahlen
- Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Hausarbeit befasst sich mit dem Thema der Primzahlen. Ziel ist es, die grundlegenden Definitionen und Eigenschaften von Primzahlen zu erläutern, verschiedene Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen zu untersuchen und einige besondere Typen von Primzahlen vorzustellen. Die Arbeit basiert auf einer Recherche in Fachliteratur und vertieft die im Rahmen der Vorlesung „Fundamentale Ideen und Methoden der Mathematik“ vermittelten Inhalte.
- Die Bedeutung von Primzahlen als „Bausteine“ der natürlichen Zahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik
- Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen
- Verschiedene Primzahltests, wie das Sieb des Eratosthenes und der kleine Satz von Fermat
- Besondere Primzahlarten, darunter Primzahlzwillinge, Fermat-Zahlen und Mersenne-Zahlen
- Der Zusammenhang zwischen Mersenne-Primzahlen und vollkommenen Zahlen
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einleitung führt in das Thema der Primzahlen ein und beleuchtet die historische Entwicklung des Forschungsfeldes sowie die Relevanz von Primzahlen in der Mathematik und im Alltag.
Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit Definitionen und Eigenschaften von Primzahlen. Es werden die grundlegenden Konzepte der Teilbarkeit, des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und der Primfaktorzerlegung erläutert. Im Fokus steht der Fundamentalsatz der Arithmetik, der die eindeutige Zerlegbarkeit aller natürlichen Zahlen in Primzahlen postuliert. Des Weiteren wird die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen mit Hilfe des Beweises von Euklid demonstriert. Abschließend wird die Goldbach´sche Vermutung vorgestellt, die bis heute ungelöst ist.
Kapitel 3 widmet sich verschiedenen Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen. Das Sieb des Eratosthenes, ein effizienter Algorithmus zur systematischen Generierung von Primzahlen, wird detailliert beschrieben. Darüber hinaus wird der kleine Satz von Fermat vorgestellt, der zwar keine eindeutige Primfaktorzerlegung liefern kann, aber zusammengesetzte Zahlen identifizieren kann.
Das vierte Kapitel beleuchtet einige besondere Primzahlen, wie Primzahlzwillinge, Fermat-Zahlen und Mersenne-Zahlen. Es werden die Eigenschaften dieser Primzahlen sowie die Frage nach der Existenz von unendlich vielen Primzahlzwillingen und der Beziehung zwischen Mersenne-Primzahlen und vollkommenen Zahlen behandelt.
Schlüsselwörter
Primzahlen, Fundamentalsatz der Arithmetik, Sieb des Eratosthenes, kleiner Satz von Fermat, Primzahlzwillinge, Fermat-Zahlen, Mersenne-Zahlen, vollkommene Zahlen, Goldbach´sche Vermutung.
- Quote paper
- Nicola Hengels (Author), Marta Kulaszewska (Author), 2010, Was ergibt zwei mal sieben? Prima Zahlen!, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/204417
